2023中考数学二轮专题《巧妙建系 解密桥拱——二次函数的应用复习》学案（含答案）

《巧妙建系 解密桥拱——二次函数的应用复习》教案
一、学习目标
1.会巧妙建系，灵活转化线段长度和点的坐标.
2.会用待定系数法求二次函数表达式，掌握不同表达式之间的区别和联系.
3.掌握拱桥的安全通行问题的常见解法和解决实际问题的一般路径.
二、学习重难点
重点：探究解决二次函数应用之拱桥的安全通行问题的一般方法.
难点：比高度和比宽度这两种方法的解题路径的提炼和运用.
三、学习过程
（一）问题背景 (课本P17)
如图有一座拱桥，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m，求该抛物线的函数表达式.
思考1 求二次函数表达式有何方法？
思考2 待定系数法解题的一般步骤是什么？
思考3 坐标从而何来，你认为首先要做的工作是什么？
首要工作是思考如何建立直角坐标系.
【设计意图】通过本题，达成以下教学目标：掌握常见的建系方法.点的坐标和线段长度会相互转化.会用待定系数法求二次函数表达式.掌握不同表达式之间的区别和联系.观察与分析：同一条抛物线在不同坐标系下的表达式各不相同，但a的值相同；求表达式的过程难易不同，体会选择建立合适的坐标系的必要性.本环节是后续环节中的解决实际问题的基础，起到铺垫作用.
（二）问题探究
例1.如图，一艘宽2米的船上平放着一些长3米，宽2米，且厚度均匀的长方形
木板，要使该船通过此拱桥，则这些木板最高可堆放到距离水面多少米处？
思考1 船从哪里驶入，才能使木板堆放最高？
思考2 木板怎么放，才能堆放最高？
方法提炼：知x求y得到垂直高度，是求得点的纵坐标的重要依据，为后面学习“比高度”法判断船只能否安全过拱桥做准备.
变式：若已知该拱桥限高米，求可通行船只的最大宽度.
方法提炼：知y求x得到水平宽度，是求得点的横坐标的重要依据，为后面学习“比宽度”法判断船只能否安全过拱桥做准备.
【设计意图】通过问题串的设计，让学生明确船的行驶路线，以及木板的堆放方式，引导学生掌握线段长度与点的坐标之间相互转化.复习了水平线段的长度＝x右－x左，竖直线段的长度＝y上－y下.通过例1及时提炼出解法：知x求y得到最大高度，为“比高度”作铺垫；通过变式及时提炼出解法：知y求x得到最大宽度，为“比宽度”作铺垫.
（三）拓展生长
例2 现有两艘宽3米，高出水面2米的船只，同时到达该拱桥，它们能在桥下
顺利交汇吗？（不考虑两船间的空隙）.
思考1 两船怎样行驶，才可能完成交汇？
思考2 还有其他解法吗？
思考3 哪种方法更简便？
变式：现有两艘宽3米，高出水面2米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升1.2米.请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）.
思路一：不论水位升降与否，船高出水面的距离保持不变，即MN=2，再比较EN和2的大小。
思路二：水位上涨1.2米，船也跟着升高了1.2米，现在船顶到AB的距离=2+1.2=3.2米，再比较EF和3.2的大小。
【设计意图】情境的生长路线：从一艘船的安全通行问题，拓展到两艘船的安全交汇问题，再拓展生长到水涨船高的安全通行问题.主要复习两种常见的方法：知x求y，然后比高度；知y求x，然后比宽度.
提炼出解决实际问题的一般路径：先通过巧妙建系：以水平方向为x轴，分别以点D、点A、点C为原点，从实际问题中抽象出线段长度，再转化成点的坐标，然后代入二次函数模型求得三个不同的表达式，再代入x求y，然后根据所求的y值去和船高比高度，若最大高度大于船高则船能安全通行，反之.同时，对比不同建系方法中的最优方法，从而突出巧妙建系的重要性.
（四）梳理提升
【设计意图】将本节课的知识建构和方法归纳进行系统地梳理，以思维导图的形式进行呈现，有助于学生思维的成长.