数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件（共20张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件（共20张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 918.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-24 19:26:15 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题, 涉及平均速度和瞬时速度; 另一类是几何学中的问题, 涉及割线斜率和切线斜率 . 这两类问题来自不同的学科领域, 但在解决问题时, 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法 ; 问题的答案也是一样的表示形式 . 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
对于函数y=f(x), 设自变量x从x0变化到x0+ x, 相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+ x).
这时，x的变化量为 x , y的变化量为
y=f(x0+ x)-f(x0).
我们把比值，即= 叫做函数y=f(x)从x0到x0+ x的平均变化率.
当 x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或y′|x=x ，即
由导数的定义可知，问题1中运动
员在t =1时的瞬时速度v(1)，就是函数
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 在t =1处的导
数h′(1) ；
问题2中抛物f(x)=x2线在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数f(x)=x2在x =1处的导数f′(1).
实际上，导数可以描述任何运动变
化事物的瞬时变化率，如效率、交变电
流、比热容等.
例1 设f (x)= ，求f ′(1).
求函数的增量:
2. 求平均变化率：
3. 取极限得导数值
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法:
y=f(x0+ x)-f(x0).
根据导数的定义
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为 y=
f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).
根据导数的定义
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3℃/h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5℃/h的速率上升.
f ′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
分析: 瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2), v′(6).
根据导数的定义
解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
根据导数的定义
解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).
在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度分别为2m/s2和-6
m/s2. 它说明在第2s附近, 汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6h附近, 汽车的速度每秒大约减少6m/s.
我们知道, 导数f′(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率, 反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况. 那么导数 的几何意义是什么？
思考 观察函数y=f(x)
的图像，平均变化率
= 表示什么
表示什么
瞬时变化率
容易发现，平均变化率= 表示割线P0P的斜率.
如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)), 如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0 , f(x0)), 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似 , 容易知道 , 割
线P0P的斜率k= .
记△x=x-x0, 当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时，即当△x→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.
与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线P0P的斜率k= .
记 x=x0-x, 当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时, 即当 x→0时, k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.
因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0.
这就是导数的几何意义.
．
继续观察：可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.
进一步地，利用信息技术工具将 点P0附近的曲线不断放大， 可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.
因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.
这是微积分中重要思想方法--以直代曲.
例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t0，t1 ，t2 附近的变化情况。
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1, t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
(2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时, 在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t 轴，h′(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
例5 如图是人体血管中的药物浓度c=f(t)(单位:mg/ml)随时间t(单位:min)变化的函数图像. 根据图像, 估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8(min)时, 血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看, 它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.
例5 根据图像, 估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8(min)时, 血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度的瞬时变化率的近视值.
作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如(0.7，0.91)， (1.0，0.48)，则此刻切线的斜率
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f'(t) 0.4 0 -0.7 -1.4
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到, 当x=x0时, f ′(x0) 是一个确定的数. 这样, 当x变化时, y= f ′(x)就是x的函数, 我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y'即:
1.导数的概念
2.导数的几何意义
3.导函数的概念
归 纳 小 结
f ′(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题, 涉及平均速度和瞬时速度; 另一类是几何学中的问题, 涉及割线斜率和切线斜率 . 这两类问题来自不同的学科领域, 但在解决问题时, 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法 ; 问题的答案也是一样的表示形式 . 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
对于函数y=f(x), 设自变量x从x0变化到x0+ x, 相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+ x).
这时，x的变化量为 x , y的变化量为
y=f(x0+ x)-f(x0).
我们把比值，即= 叫做函数y=f(x)从x0到x0+ x的平均变化率.
当 x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或y′|x=x ，即
由导数的定义可知，问题1中运动
员在t =1时的瞬时速度v(1)，就是函数
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 在t =1处的导
数h′(1) ；
问题2中抛物f(x)=x2线在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数f(x)=x2在x =1处的导数f′(1).
实际上，导数可以描述任何运动变
化事物的瞬时变化率，如效率、交变电
流、比热容等.
例1 设f (x)= ，求f ′(1).
求函数的增量:
2. 求平均变化率：
3. 取极限得导数值
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法:
y=f(x0+ x)-f(x0).
根据导数的定义
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为 y=
f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).
根据导数的定义
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3℃/h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5℃/h的速率上升.
f ′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
分析: 瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2), v′(6).
根据导数的定义
解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
根据导数的定义
解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).
在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度分别为2m/s2和-6
m/s2. 它说明在第2s附近, 汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6h附近, 汽车的速度每秒大约减少6m/s.
我们知道, 导数f′(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率, 反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况. 那么导数 的几何意义是什么？
思考 观察函数y=f(x)
的图像，平均变化率
= 表示什么
表示什么
瞬时变化率
容易发现，平均变化率= 表示割线P0P的斜率.
如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)), 如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0 , f(x0)), 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似 , 容易知道 , 割
线P0P的斜率k= .
记△x=x-x0, 当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时，即当△x→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.
与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线P0P的斜率k= .
记 x=x0-x, 当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时, 即当 x→0时, k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.
因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0.
这就是导数的几何意义.
．
继续观察：可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.
进一步地，利用信息技术工具将 点P0附近的曲线不断放大， 可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.
因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.
这是微积分中重要思想方法--以直代曲.
例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t0，t1 ，t2 附近的变化情况。
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1, t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
(2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时, 在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t 轴，h′(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
例5 如图是人体血管中的药物浓度c=f(t)(单位:mg/ml)随时间t(单位:min)变化的函数图像. 根据图像, 估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8(min)时, 血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看, 它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.
例5 根据图像, 估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8(min)时, 血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度的瞬时变化率的近视值.
作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如(0.7，0.91)， (1.0，0.48)，则此刻切线的斜率
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f'(t) 0.4 0 -0.7 -1.4
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到, 当x=x0时, f ′(x0) 是一个确定的数. 这样, 当x变化时, y= f ′(x)就是x的函数, 我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y'即:
1.导数的概念
2.导数的几何意义
3.导函数的概念
归 纳 小 结
f ′(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0.