数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则 课件（共17张ppt）

(共17张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
基本初等函数的导数公式
在例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t. 这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢
探究！设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x) g(x)]′，它们与f′(x) 和g'(x)有什么关系 再取几组函数试试，由此你能想到什么
设y=f(x)+g(x)=x2+x, 因为
探究！设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]'与[f(x) g(x)]'，它们f '(x)与g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，由此你能想到什么
设y=f(x)+g(x)=x2+x, 因为
所以 [f(x)+g(x)]′= f'(x)+g'(x) .
而 f'(x)=(x2)'=2x, g'(x)=(x)'=1
同样地，对于上述函数，[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
一般地，对于两个函数和(或差)的导数，我们有如下法则：
[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)
例3 求下列函数的导数：
(1)y=x3-x+3 (2)y=2x+cosx
解：(1)y'=(x3-x+3)'=(x3)'-(x)'+(3)'=3x2-1
(2)y'=(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2-sinx
思考 设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x) g(x)]′与f′(x)g′(x), 它们是否相等 f (x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商
通过计算可知 [f(x) g(x)]′=(x3)′=3x2,
f′(x)g′(x)=2x 1=2x,
因此 [f(x) g(x)]′≠ f′(x)g′(x).
事实上，对于两个函数f (x)和g(x)的乘积(或商) 的导数，我们有如下的法则：
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
事实上，对于两个函数f (x)和g(x)的乘积(或商) 的导数，我们有如下的法则：
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
由两个函数f (x)和g(x)的乘积的导数法则：
[Cf(x)]′=C′(x)f(x)+Cf′(x)= Cf′(x) ；
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
[Cf(x)]′=Cf′(x) .
解：(1)y'=(x3ex)'
=(x3)′ex+x3(ex)'
=3x2ex+x3ex
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知, c′(98)=25c′(90). 它表示进化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率 , 大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍 . 这说明水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
例6 若函数 f(x)=ln x+2x2+ax的图像上存在与直线x-y=0平行的切线, 则实数a的取值范围是(　)
A.[-3,+∞) B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,-3]
解:函数f(x)=ln x+2x2+ax的图像上存在与直线x-y=0平行的切线, 则f'(x)=1在(0,+∞)上有解,
又f'(x)= +4x+a, ∴+4x+a=1在(0,+∞)上有解,
即a=1-4x-在(0,+∞)上有解.
∵-4x-=-(4x+)≤-2=-4, 当且仅当x= 时等号成立,
∴a≤1-4=-3, ∴a的取值范围是(-∞,-3]. 故选D.
归纳小结
导数运算法则：
[f(x)+g(x)]′= f′(x)+g′(x) ;
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g′(x) ;
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；

特别的[Cf(x)]′=Cf′(x) .
练习1(1)下列求导运算正确的是(　)　　　　　　　　　　　　　　
A.(x+)′=1+ B.(log2x)′=
C.[ln(3x)]= D.(x2cos x)′= -2xsin x
解:(x+)′=1 , 故A不正确;
(log2x)′= , 故B正确;
[ln(3x)]'=(ln 3+ln x)′= , 故C不正确;
(x2cos x)'=2xcos x x2sin x , 故D不正确. 故选B.
(2)已知函数f(x)的导函数是f'(x), 且满足f(x)=2xf'(1)+ln ,则f(1)=____.
解:因为f(x)=2xf'(1) lnx , 所以f'(x)=2f'(1) ,
所以f'(1)=2f'(1) 1, 解得f'(1)=1,
所以f(x)=2x+ln , f(1)=2+ln 1=2.
(3)设函数f(x)= , 若f'(1)= , 则a=　　.
解:由f(x)= 得f'(x)= ,
因为f'(1)= , 所以= ,
整理得(a-1)2 =0 , 所以a=1.
2.设函数f(x)=axex+x3-3, 若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2e+3, 则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为(　)
A.y=(2e+3)x-2e-5 B.y=(2e+3)x-e-5
C.y=(2e+3)x+e+5 D.y=(2e+3)x+2e+5
解: ∵f(x)=axex+x3-3的导数为f'(x)=a(x+1)ex+3x2,
由y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2e+3, 可得2ae+3=2e+3, 解得a=1 ,则f(1)=e-2,
∴切线的方程为y-(e-2)=(2e+3)(x-1),
即y=(2e+3)x-e-5.故选B.
3.函数f(x)=x3-x+3的图像在点P处的切线平行于直线y=2x-1, 则点P的坐标为(　)
A.(1, 3) B.(-1, 3)或(1, 3) C.(-1, -3)或(1, 1) D.(-1, 3)
解:设切点P(x0, y0), 由f(x)=x3-x+3, 可得f'(x)=3x2-1, 则点P处切线的斜率k=f'(x0)=3x02-1,
因为f(x)=x3-x+3的图像在点P处的切线平行于直线y=2x-1, 所以3x02-1=2, 解得x0=±1.
当x0=1时, f(1)=3, 此时P(1, 3); 当x0=-1时, f(-1)=3, 此时P(-1, 3) . 故选B.