北师大版小学数学六年级下册 总复习 平均数 教案

教学设计
第一部分：基本信息
年 级 6年级 教科书版本及章节 北师大版第七单元3节
相关领域 统计与概率
第二部分：单元教学设计
单元学习主题 统计与概率
1.单元内容分析
（一）知识脉络分析 图1:1-6年级统计领域脉络图 1-6年级各册教材中，关于统计部分的编排顺序，大致分为：数据的调查与记录、整理和表示、数据的表示与分析、数据的处理。不同的年级有不同的侧重点，但是都强调引导学生经历数据统计的全过程，即引导学生经历收集、整理、描述和分析数据的过程，鼓励学生从数据中获取尽可能多的有效信息；希望学生能够关注统计与现实生活的密切联系，体会数据分析的价值；体现数据分析、判断原则的不同，根据问题的背景选择合适的方法。 （二）学习情境分析 年级一下二下三下四下五下六上课题整理房间评选吉祥物、最喜欢的水果小小鞋店、快乐成长（统计班级身高情况）生日、栽蒜苗单手投球远还是双手投球远？两地气温对比。身高1.2米免票线各类食物摄入量、奥运获金牌情况、身高的情况、身高的变化
通过教材中关于统计部分的情境梳理，我们可以发现，都是从学生的生活实际出发，强调统计对生活的指导以及在生活中的应用。 平均数的两次认识分别安排在四下和五下，利用“淘气能记住几个数字”、“身高1.2m免票线”、“歌手大赛”等情境，让学生从实际问题出发，在经历统计全过程的基础上，突出对数据的表示和分析。 综上，平均数的学习应该在解决问题的过程中理解、应用，从而培养学生的数据分析观念，进一步发展学生的应用意识。
2.学习者分析
（一）第一次调研 调研目的：面对实际问题，学生是否有主动应用统计解决问题的意识和方法 前测题目：如何比较今年和去年哪年的空气质量好一些？请简要描述一下你的想法。 图2：学生的不同方法 经过调查发现，几乎所有的学生都能够具有很好的统计意识和方法，能够理解利用统计的方法解决问题。 （二）面对数据，学生的分析方法 两家创业中的小公司各有7名职员，各自的薪资（按美元计）如下表： 甲乙两个创业公司薪资（美元）汇总表 员工1员工2员工3员工4员工5员工6员工7甲公司1000145014502000480014502200乙公司1650210016502050200016502200
1. 快速浏览这组数据，你觉得哪个公司的薪资水平比较高？并简要说明理由。 【调研目的】了解学生是否能够整体地观察、合理分析一组数据。 2. 仔细思考，请用你喜欢的方式准确地描述这两个公司的薪资水平，并简要说明你的理由。 【调研目的】了解学生能否准确地描述一组数据水平的方法。 3. 对比1和2的结果，你有什么想说的吗？ 【调研目的】了解学生能否辩证地看待平均数。 描述一组数据的方法整体观察、合理分析对比后的发现根据分析 做出决策能够正确计算平均数逐个求差极值波动17219715173.9%8.7%82.6%30.4%65.2%4.4%
图3：计算平均数 图4：数据整体分析 图5：感受数据的波动及极值影响 图6：根据数据主动做出决策 由此可见，面对一组数据，学生能够整体观察、合理分析，在需要准确表达一组数据的水平时能够调动平均数的知识进行分析。更重要的是，他们在对比整体观察与平均数描述之后，能够感受到数据分布特点，以及平均数受到极值影响时，变得不太可靠，辩证地看待平均数。同时发现，有个别学生能够根据数据分析做出合理的决策，实现数据的价值。 我的思考： 1. 在教材层层递进的设计下，学生能够意识到在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息； 2.面对一组数据，学生能够根据数据特点，选择合适的分析方法，并辩证地看待平均数； 3.给出具体的情境或数据，学生能够进行合理地分析；如果再回到真实的生活情境中，学生能否调动已有经验，帮助自己分析、解决问题，并进一步发展数据分析观念和应用意识呢？ 图7：6年级下册统计总复习
3.单元教学目标（含重、难点）
1.经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，进一步体会统计在实际生活中的应用；在运用统计知识解决实际问题的过程中，发展数据分析观念。 2.收集统计在生活中应用的例子，整理收集数据的方法；在解决问题的过程中，整理所学习的统计图和统计量，能用自己的语言描述各种统计图的特点。 3.根据问题背景选用合适的方法进行数据的整理、描述和分析，有效地从数据中提取信息分析问题，在活动中获得数据分析的亲身体验，逐步形成用数据分析问题的思维习惯。
4.单元整体教学思路（可附教学结构图）
图8：单元教学结构图
第三部分：课时教学设计
课 题 《平均数》总复习
1.指导思想与理论依据
数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。 应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。 图9：数学核心概念关系结构图（孙晓天教授） 对学生数据分析观念的培养，有助于学生应用意识的发展，因为在这个过程中，学生能够感受到统计与生活的联系，以及统计的价值；应用意识的发展，也为数据分析观念的培养提供了更广泛的空间。
2.内容分析
（一）教材的横向分析 图10：三个不同版本教材《平均数》的教材呈现 无论哪个版本的教材，都选择了学生易于接受的真实情境，非常注重引导学生感受平均数的统计意义。在经历了移多补少的过程后，使学生感受到平均数的“代表性”“集中趋势”“匀出来”的这些统计特征。 （二）教材纵向梳理 图11：北师版教材四下和五下《平均数》的教材呈现 大部分版本教材将“平均数”这个内容编排在了四年级下册的一个课时之中，而北师版教材则分为了四下《平均数》和五下《平均数的再认识》两个课时。对比两个课时可以发现，四下的平均数是第一次认识，侧重于从统计的角度认识平均数，感受到平均数是匀出来的，是一组数据的集中趋势等；而五下的平均数再认识，更加注重联系生活实际，通过对平均数的实际应用，从不同维度感受平均数的重要特征，在数据分析观念发展的基础上培养学生的应用意识。 （三）北师版教材中情境的分析 史宁中教授将统计分为描述统计与推断统计，并进行了界定：“描述统计只是针对调查了的数据本身进行表述”，而“推断统计希望推断调查数据以外的信息”，并指出“推断统计的核心是通过经验过的事物推断未曾经验的事物。”史宁中教授认为，现实世界的大多数事情都是以随机现象出现的，因此，现代统计学主要是研究推断统计。 在这个基础上，我们对教材中出现的统计情境从“描述统计”与“推断统计”两个角度进行了梳理，从而帮助我们读懂教材。 图12：北师版教材四下和五下《平均数》的情境选择 在平均数的学习过程中，学生经历了丰富的描述统计，并初步体验了推断统计，更能使学生体会数据的价值。 （四）教材对“平均数”总复习的指导 我们从青岛版和北师版两版教材的对比发现，教材都不约而同地提出了：“举出生活中应用平均数的例子”“收集生活中应用平均数的例子”这样的问题。两版教材在4-6年级的学习过程中都是先认识平均数，然后带着“平均数”再回到生活中寻找例子。 图13：青岛版和北师版对《平均数》总复习的教学要求 综上所述，平均数的学习离不开生活中的真实情境，在对真实情境分析、解决的过程中，获得数据分析的亲身体验，不断丰富对平均数的认识，发展学生的数据分析观念。随着学习的不断深入，教材也非常注重拓宽对平均数实际意义的理解，培养学生的应用意识。
3.学习者分析
一、学生分析 在授课之前，为了了解学生对于平均数的认识程度、平均数的应用与作用、以及学生所想采用的复习方式，设计了相应的前测题目，便于更好地指导教学，做好相应的准备工作。 学生对于平均数的认识 前测题（1）关于平均数，你都有哪些认识？（尽可能丰富地写） 错误认识正确认识维度平均分计算意义统计意义其他人数61253百分比26.1%52.2%21.7%13%
图14：平均分 图15：平均分 图16:平均数的计算意义 图17:平均数统计意义 前测分析： 从表格中的数据可以看出，有26.1%的学生对于平均数的认识是错误的，即认为平均数就等同于平均分（见图14、图15）。值得注意的是，尽管全班的绝大多数学生对于平均数的认识是正确的，但是有52.2%的学生都是结合平均数的计算意义去分析的（见图16），并没有从平均数的统计意义上进行理解；全班只有20%多的学生能够结合平均数的统计意义进行阐述（见图17），如平均数可以代表一组数据的平均水平，或是平均数可以帮助人们进行分析和推断。 为什么会是这样的表现呢？这与前面教材分析时用的“描述统计”与“推断统计”有关。 描述统计使学生更加关注“计算”平均数，特别是计算依赖的均分模型，使学生更关注计算意义，甚至认为平均分就是平均数。推断统计在描述统计的基础上，在利用平均数解决问题的过程中，体会平均数“代表性”“指导性”，辩证地看待平均数，实现对数据的深度分析。史老师特别强调：现实世界的大多数事情都是以随机现象出现的，因此，现代统计学主要是研究推断统计。因此，我们的情境设计应该向这样的方向努力。 总的来看，本课的设计有必要帮助学生体会：1.平均数的本质意义，如何区分平均数与平均分；2.更多的体会平均数的统计意义，而不是仅仅停留在计算的层面上。 （二）平均数的应用 前测题（2）请认真观察生活，想一想生活中哪些地方用到了平均数？ 学生作答情况： 前测分析： 对于这道前测题的分析主要侧重以下三个方面：第一，绝大部分的学生想到平均数时，几乎第一时间能想到的就是考试中的平均分，其次就是教材中最常见的平均身高、体重和评委打分的情境。由此可以分析，学生所利用进行理解平均数的情境虽然常见，但是却较为单一。第二，学生能够感知平均数的普遍存在，却难以感受其应用价值，学生尽管能够描述常见的使用平均数的情境，但是却没有涉及到平均数的作用，即可以帮助我们做什么事。第三，出现高达6次的如AA制这样的平均分情境值得我们注意，说明学生在平均分与平均数之间划上了等号，对于平均数的认识是不正确的，特别依赖“均分模型”的理解，这也与第一道前测题的分析结果相契合。 根据数据的分析进行思考，在本节复习课中应采用丰富、有效的情境来帮助学生巩固、提升对于平均数的认识，而不是再采用毫无新鲜感、无刺激性的材料进行重复性教学。并且，除了要让学生知道平均数，还要让学生体会到平均数的作用。 （三）利用平均数做推断 前测题（3）你认识的平均数还能帮我们做点什么？ 学生作答情况： 图18:描述统计1 图19：描述统计2 前测分析： 在谈到平均数的作用时，学生大多是使用平均数进行描述（见图18、图19），如平均数可以作为一个标准。而后，在继续的追问中，大部分学生认识到可以根据平均数做出一些决策或者推断，帮助我们来解决问题。由此能够说明，平均数的应用价值并不是不存在的，而是潜藏在学生的潜意识中，需要被“唤醒”。 那么在学生认识了平均数本质意义的基础上，还需要设计相关的教学活动来帮助学生体会平均数的作用和价值，帮助学生建立主动利用平均数进行推断和决策的意识。 （四）平均数的复习方式 前测题（4）我们马上要进行平均数的总复习，关于平均数你想怎么复习？ 学生作答情况： 方式练习题画思维导图阅读课本看看生活中有什么用人数121410百分比52.2%4.3%17.4%43.5%
图20：做练习题 图21：画思维导图 图22：利用课本复习概念 图23：结合生活实际 前测分析： 通过整理与分析学生的作答情况，不得不说，也许这就是应试教育的弊端，一半多的学生在谈到复习时，更多地是联想到做练习题，而不是如何结合知识本身进行查缺补漏、建立联系的有效复习。除此以外，还是有43.5%的学生提到结合生活实际去复习平均数，不过就像上一个前测题分析的一样，希望学生并不是止步在生活中哪里存在平均数，而是能够主动地利用平均数去解决实际问题。 我的思考： 通过学生分析，本课时在设计中可以着重从以下几个方面入手： 1.引导学生收集在生活中应用平均数的例子，帮助学生体会平均数的广泛存在和应用价值。坚信上课的素材应该从学生中来，寻找学生素材中有价值的“点”，进行小组孵化，在学生经历统计的全过程基础上，发现学生的数据分析观念，培养学生的应用意识。 2.在对真实实例分析、解决过程中，引导学生体会到平均数能说话，构建起对平均数丰富、全面、辩证地认识，并与平均分进行区分，再次体会平均数的统计意义； 3.在根据数据做出预测、推断和决策的过程中，引导学生感受到平均数说话有力量，辩证地使用平均数。 4.构建较为完整的总复习脉络，使学生能够掌握一定的总复习方式和方法，打破以“做题”为主的固有复习模式。
4.教学目标(含重、难点)
教学目标： 1. 引导学生主动收集平均数在生活中应用的例子，并进行孵化，构建学习素材；在孵化过程中，发展学生的数据分析观念，培养应用意识。 2. 以“平均数总复习”梳理为主线，使学生经历完整的总复习过程，掌握一定的总复习的方法和技巧。 3. 在丰富的平均数应用实例中，使学生感受到平均数在生活中的普遍存在，体会到平均数在生活中的应用价值，在应用过程中能够全面、辩证地看待平均数。 教学重点： 在分析、解决实际问题的过程中，拓展、深化学生对平均数的认知，实现学生对平均数全面、深刻、辩证地认识，发展学生的数据分析观念，培养应用意识。 教学难点： 丰富的生活中应用平均数的例子，使学生感受到平均数在生活中的普遍存在，体会到平均数在生活中的应用价值，在应用过程中能够全面、辩证地看待平均数。
5.教学过程与教学资源设计（可附教学流程图，含板书设计）
一、课前回顾 最近几天我们开始对“平均数”进行总复习了。课前，我们为了更好地梳理“平均数”，一起讨论了梳理的角度，在这些角度的基础上，你们都利用手抄报的形式进行了梳理。这些手抄报都贴在了周围，刚才大家都看到了吧。通过大家的梳理，我们可以看出，大家对平均数都有特别丰富的认识。老师也发现40%的同学都希望结合实际找找生活中的平均数。我们委托19班和20班就去生活中找事儿去了。老师经过阅读，精选了几个有代表性的事儿，今天我们一起来交流。 【设计意图】使学生进入到“平均数”复习的整体活动情境之中。既引导学生明晰复习的整体思路，也为后续情境的分析与解决奠定良好地基础。 二、呈现情境 （同时投上四件事）这是我们从大家的素材中，选择的四件事儿。然后，经过小组同学的努力，最终完成了四份我们可以研究的学习材料。 大家先独立阅读，然后说说，咱们先看哪件事儿？ 三、分析解决 （一）主情境下经历统计全过程 1.观看视频，探索方法 我们先看一段小视频。学生部需要做一件什么事儿？ 预设：了解学生对三个项目的喜欢程度。 这件事儿怎么解决呢？你们帮着宁宁老师想想办法。 预设：首先得调查，利用数据进行分析，然后做出判断。 【设计意图】引导学生了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息。 大家的想法和宁宁老师不谋而合，她也想利用这样一份问卷首先进行调查，这份问卷大家能看懂吗？问卷是怎么表示喜欢程度的呢？ 预设：用数字的大小。 我们利用这份问卷，对6年级每个班的5号同学进行了调查，获得了非常宝贵的数据。咱们班谁参加调查了？说说你是怎么填写的？ 【设计意图】使学生了解调查研究的基本思路，初步感受问卷调查的基本方法，也对后面将要分析的数据更加可感，能够理解数据产生的背景信息。 2.出示数据，小组分析 数据来了，你打算怎么跟宁宁老师准确地汇报每个项目的喜欢程度？小组内先说一说，用你们喜欢的方式表达出来。 小组解决，在过程中寻找特别有价值的小组观点。 3.全班交流，分享方法 看来每个组都有自己的想法，哪个组先和大家分享一下，你们想怎么汇报？ 预设：（1）总和；（2）平均数；（3）众数； 教师：（众数）看来你观察了数据的特点，用出现次数特别多的来衡量了。 【设计意图】了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。 平均数。那请你根据平均数描述一下每个项目的喜欢程度吧。 为什么要用平均数？平均数代表着什么？ 预设：直观地刻画；一组数据的集中趋势，平均水平；直接准确。学生板书关键词。 【设计意图】首先，引导学生经历统计的全过程，从提出问题——探索解决——调查研究——收集数据——分析数据——做出判断；其次，调动学生对平均数的基础认识，为后续不断拓展、深化对平均数的认识奠定基础；再次，选择学生亲身经历的事儿，更易使学生感受平均数对生活的应用价值。 （二）副情境下丰富认知 1.明确任务，继续探索 通过解决这件事儿，勾起了我们对“平均数”一些认识。同学们还有这样的事儿。一会儿我们再走进去，仔细交流一下。 首先，大家需要看一下这些事儿中哪有平均数？这个平均数什么意思？有什么用？ 其次，大家再思考，通过这件事儿，你对平均数有没有新的认识或问题？ 【设计意图】在经历了第一个情境之后，引导学生进入到更加广泛的生活情境之中，从而引导学生在横向上感受到平均数在生活中普遍存在，也进而产生继续探索平均数的动力。 2.个人阅读，自我理解 先每个人独立阅读。可以在纸上画一画，写一写。 通过对这些的事儿阅读和分析，你们对平均数肯定有了不一样的感受了。是不是？下面以组为单位，把你最感兴趣的事情从这两个维度和小组交流一下。 这些事儿中哪有平均数？这个平均数什么意思？有什么用？ 通过这件事儿，你对平均数有没有新的认识或问题？ 【设计意图】引导学生个体先独立阅读生活情境，走进情境，初步思考平均数的意义和价值，以及从个性的角度思考平均数的不同维度，也为后续的全班交流营造更加有效的氛围。 3.全班分享，多维理解 全班分享。 聚餐中的平均数：人均费用，能比较两个餐馆的消费水平（表示水平）；评分的可靠程度受人多人少的影响。 你们说的人多人少其实就是统计中的样本，也就是说样本的多少影响着平均数的可靠程度，是吗？ 【设计意图】引导学生感受到样本的大小对“平均数”代表性可靠程度的影响。 篮球比赛中的平均数：你们对平均数有什么感受？平均数可以帮我们预测一些未知的事情。那么，根据你们的预测，是不是可以直接判断勇士要赢得总冠军了呢？ 总结：同学们理解得很好，平均数是可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映某种特殊情况。 咱们篮球赛的时候，预测谁得冠军，你们是这么做的吗？用数据预测更加专业，更有力量。 【设计意图】引导学生感受平均数作为一组数据集中趋势的代表，能够在数据不断丰富的前提下帮助我们对一些事情做出预测或判断，再次感受数据的应用价值。也引导学生感受基于平均数做出的预测虽然有一定的参加价值，但是也有一定的随机性。 阅读中的平均数：根据人均阅读，判断谁的水平好。 首先，存在极值，代表性不好；其次，存在0值，不能去掉；最后，这里的平均数是一个虚拟的数，是平均出来的。 总结：通过图书馆中平均数的一段讨论，我们发现0还不能去掉，这种情况下有极值平均数代表性就不是很强了。学生板书：极端数据；0不能去掉；虚拟的数。 【设计意图】引导学生感受极值对“平均数”代表性的影响，以及“0”值虽然会对平均数产生很大影响，但是也是不可以删除的。 （三）反向情境，深化认知 通过这么多的事儿，我们对平均数有了非常丰富的认识。带着这些认识，再看看19班一个同学提到的《旅行中的平均数》，他说的是咱们今天说的平均数吗？说一说你的理由。 统计中的平均数有一组不确定的数据，而这个就是确定的数据；之前的平均数是虚拟的数，均出来的，而这个数是真实存在的。 【设计意图】通过平均分的问题，引导学生从反向再次审视平均数，从而在不断分析辩解的过程中，形成对平均数更加深度、更加丰富的认知。 四、回顾反思 你们可真不一般，对平均数有了这么多认识。（把四件事儿和平均分呈现在屏幕上）通过讨论这么多事儿，你们肯定对平均数有了不一样的认识，也可能有新的问题，和大家交流一下。 带着这些认识，再回看自己的手抄报，看看有哪些地方特别精彩，还有哪些地方需要做出调整、修改或者完善？ 【设计意图】通过总结，希望学生能够实现以下两个方面的发展：首先，使学生整体建构对平均数的丰富认知与深度认知，感受到平均数在生活中的广泛应用；其次，理解对于一方面内容的总复习，可以有一定的方式可以积累、沿循。
6.板书设计
7.学习效果评价设计
1.回看自己的手抄报，看看有哪些地方特别精彩，还有哪些地方需要做出调整、修改或者完善？ 2.请你继续收集生活中应用平均数的例子，并思考在这个例子中，平均数表示的是什么？有什么用？你又有了哪些新的认识、发现或问题？
8.教学设计特色说明与教学反思(300-500字)
1.孵化，实现数据分析观念的第一次破壳而出。 从学生真实需求出发，引导学生自主收集现实应用的例子，以此构建学习素材。因此，素材来源于学生，也用之于学生；素材来源于生活，也应用于生活。 在学生调研过程中，发现学生对平均数在生活中的应用深受教材和直接生活经验的影响，能够提到的大部分素材基本都是考试中的平均分、平均身高、评委打分等等。通过分析可以看出，这些素材并没有突破学生已有的认知，学生缺少主动探索平均数在生活中应用的意识和能力。因此，本课在之前发动学生搜集可以利用的平均数的真实情境，拓宽学生的视野，将数学与生活建立更加广泛的联系，培养学生的应用意识。从中选择特别有价值的“点”，引导学生经历“孵化”的过程，这样的话，学生数据分析观念的发展第一次破壳而出。 2. 数据分析，实现数据分析观念的第二次破壳而出。 将学生找到的真实情境作为学习素材，构建结构化的学习素材，引导全体学生共同经历统计全过程中，在分析、解决问题的现实应用中，实现对平均数全面、深刻、辩证地认识。 在此基础上，还应使学生感受到：首先，学生能够感受到平均数在生活中是广泛存在的；其次，在解决问题的过程中，感受到平均数是有价值、有力量的；最后，能够通过具体情境辩证地看待平均数。 3.构建了较为完整的总复习脉络，使学生能够掌握一定的总复习方式和方法。 构建知识梳理的角度→进行知识梳理→发现学生需求→寻找并分析生活实例→丰富对平均数的认知→再反思梳理，这是一个比较完整的总复习脉络，希望经历了这样一个过程之后，学生能够掌握一定的总复习方式和方法，形成自主的学习意识和能力。 4. 要关注孵化过程中学生参与的“广度”“深度”，提高孵化效益。 通过学生课上表现可以看出，在课前经历了这样完整的孵化过程后，更有利于发展学生的数据观念，培养学生的应用意识。但是，因为第一次尝试做这样的事情，时间太少，导致了没有全部学生参与其中；对参与其中的学生，也缺乏100%的深度引导。在今后的教学中，要关注学生参与的“广度”“深度”，提高孵化效益
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