浙江省中考案例分析——深度研究中考指向精准教学课件（212张PPT）
文档属性
| 名称 | 浙江省中考案例分析——深度研究中考指向精准教学课件（212张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 45.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-24 20:47:54 | ||
图片预览
文档简介
(共212张PPT)
延迟符
近年中考导向下的教学案例分析
深度研究中考 指向精准教学
重视教材 落实常规教学
一
细研试题 注重变式教学
二
注重探究 关注过程教学
三
发展能力 指向思维教学
四
目录总览
重视教材 落实常规教学
一
用好素材，精准课堂教学
1
挖掘素材，落实拓展教学
2
重视教材 落实常规教学
教材是《课程标准》的载体，是课程目标和课程内容的具体化．回归教材，以教材为依据设计试题，是确保考题“对标”，合理把握《课程标准》对课程内容的具体要求．2021年各地市的许多试题都是由学生所用的教材或省编作业本上的题目和内容改编而成.
——摘自《2020年省评价报告（数学）》
用好素材，精准课堂教学
1
来源
1.教材：教材例题、习题（作业题）、
探究活动、阅读材料。
2.省编作业本（1）（2）
例1（2021湖州卷第6题）
【评析】本题由九上课本第91页作业题第2题而来，考查的知识点是三角形外心的概念，圆周角定理等．试题将原题的外接圆隐藏，考查学生对基本概念的掌握情况．
6.如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是
A.60° B.70° C.80° D.90°
（第6题）
（九上课本第91页作业题2）
重视教材 落实常规教学
例2（2021湖州卷第21题）
【评析】本题由九上课本第93页作业题第6题改编而来，考查的知识点主要有：圆周角定理及其推论、直角三角形性质、垂径定理和三角函数等．知识点基础，综合性强，源于教材，较好地起到了试题的导向功能。
（第21题）
（九上课本第93页作业题6）
重视教材 落实常规教学
【评析】本题改编自九下教材53页目标与评定第4题，图形几乎一样，改编角度侧重题设和结论互换，并增加第（2）问计算，与三角形相似、勾股定理等知识无缝融合，增大考查范围，提升考查要求..对教材试题的合理改编，再度利用，以期引领教学的方向.
例3（2021衢州卷第21题）
21.（本题8分）
如图，在△ABC中，CA=CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF.
（1）求证：BF是⊙A的切线.
（2）若BE=5，AC=20，求EF的长.
（第21题）
F
E
D
C
B
A
（九下教材53页目标与评定第4题）
例4（2020湖州卷第9题）
重视教材 落实常规教学
例4（2021衢州卷第10题）
10.已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（ ▲）
A．15km B．16km C．44km D．45km
x(h)
O
y(km)
(第10题)
（八上课本第166页作业题2）
【评析】本题改编自八上教材166页作业题2，试题通过改编考查行程问题用一次函数表征，解读图象的意义，关注数和形，图和表的契合.本题解法多，入口宽，既可用函数表达式解决，也可用行程线段图解决，还可用几何中全等法解决.可以照顾到各类各层学生的能力水平和思考方式.
重视教材 落实常规教学
例5（2019宁波卷第24题）
重视教材 落实常规教学
24．（本题10分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【评析】课本例题是最基础的函数图象实际问题,例5则是对课本例题的一个延伸与拓展，多了些变化让问题更赋层次感和思维性。充分彰显了在常规教学中应重视教材的教学导向。
【评析】本题改编自人教版八上数学教材62页练习1，以尺规作图为背景，考查有关等腰三角形的知识．要求学生正确理解隐藏在所作图形背后的信息，并发现图形对称性的本质特征．本题考查内容比较丰富，涉及等腰三角形、垂直平分线、圆等知识，以及转化思想和整体思想等，可以有效考查学生综合运用数学知识解决问题的能力．
例6（2021台州卷第15题）
重视教材 落实常规教学
（八上课本第62页练习1）
例7（2021台州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
（九上课本第49页问题）
例7（2021台州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
【评析】本题改编自人教版九上数学教材49页问题，本题以学生常见的抛弹性小球为背景，假定两次运动过程中，小球离地的高度具有2倍关系时，探究两次运动时间之间的关系．这个问题的背景学生非常熟悉，但设置的问题十分巧妙，不同思维层次的学生解决方法不同．
例7（2021台州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
例8（2016绍兴卷第21题）
重视教材 落实常规教学
【评析】本试题改编自九上课本第24页《1.4二次函数的应用》例1。该试题巧妙地选取了大家所熟知的课本例题作为背景，进行了适当的改编，将原题的图形“半圆形+矩形”改编为“双正方形+矩形”，保持了原题中解决问题的知识和原理，减小了计算的难度和繁易度，体现了命题者高度重视教材，源于教材又拓于教材的理念。
例9（2019湖州卷第21题）
【评析】本试题改编自八下第124页《探究活动》,重点考查了平行四边形、菱形和特殊三角形等核心几何知识，试题考查基础。课本中的素材揭示的是一种通性，例9将通性具体化呈现，形成了一个新的试题。
重视教材 落实常规教学
21.（本小题8分）
如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB,BC,AC的中点，连结DF，EF，BF.
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长.
（第21题）
例10（2017湖州卷第22题）
【评析】本试题改编自八下第132页作业题11题,重点考查了正方形、全等三角形、相似三角形等核心知识，试题让学生感到熟悉而又在原题基础上进行了进一步研究。试题渗透转化思想和方程思想，问题设计有梯度，让不同程度的学生都有收获。
重视教材 落实常规教学
例11（2019湖州卷第9题）
【评析】本试题改编自八下课本第131页《阅读材料-有趣的拼图》以及作业本八下（2）第22页第7题。该试题巧妙地选取了素材一的问题背景及素材二的知识背景，立意却又高于这两个素材，不仅要求学生会找分割线，还需计算出剪痕的长度.命题者将实践操作与推理证明运算相融合，较好地贯彻了源于教材并适当高于教材的命题原则，充分体现了高于寻常的多元化素养立意.
重视教材 落实常规教学
9.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条 直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是
（第9题）
（九上课本第72页例2）
【评析】此题以探究形式，通过学生观察、发现、证明，综合考查学生的所学知识和几何证明方法。第（1）小题要求学生观察基本图形，运用相似三角形知识简单解决问题，第（2）小题通过转化，运用全等三角形解决或等腰三角形知识解决，第（3）小题对学生要求较高，首先会猜想和提出问题，此题引导学生数学学习，从直观地操作活动到多层次地思维活动，从感性认识上升到理性认识。
例12（2021嘉兴、舟山卷第24题）
重视教材 落实常规教学
例13（2019嘉兴卷第23题）
重视教材 落实常规教学
【评析】本试题改编自九上课本第149页《4.5相似三角形的性质及其应用（3）》的作业题B组第5题。试题在原题的基础之上做了一次探究，给出了探究问题的一种基本套路：温故（缘起）—操作（猜想）—推理（类比）—拓展（延伸）。让学生在阅读理解之后完成所给的三个问题，这三个问题由易到难、由浅入深、层层递进。引导学生去发现问题的本质并最终利用本质来解决拓展延伸的问题。此乃研究问题的基本套路，试题的立意极高。
教学建议
教学中要充分挖掘课本例习题的潜在教学价值，科学地使用教材，合理整合教学内容，引导学生通过对课本例习题的深度剖析，以求分析概括出例习题中共同关注的、本质的数学原理、思想方法等。
重视教材 落实常规教学
用好素材，精准课堂教学
1
案例1.九上3.3垂径定理（1）教学片断
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
O
A
B
C
图1
先解决课本中的例2.一条排水管的截面如图1所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．
图2
抽象出模型
教师：图2中，是否有可能，只知道其中的两条线段（所有的半径或直径算一条），也能像我们刚才那样，就能求出其他所有线段吗？
接下来，就请同学们自己来编题，编好后让全班同学做！
图2
题目1：已知：OC=3，OE=5，求其他所有线段.
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
题目2：已知：OC=3，OB=5，求其他所有线段.
教师点评：我们可以把这两种归成一类：
已知半径和弦心距，能求其余线段.
题目3：已知：OC=6，AC=8，求其他所有线段.
题目4：已知：OC=6，BC=8，求其他所有线段.
题目5：已知：OC=6，AB=16，求其他所有线段.
教师引导学生点评：知道弦心距和弦的一半（或弦），能求其余线段.
题目6：已知OE=5，AC=3，求其他所有线段.
图2
题目7：已知ED=10，AB=6，求其他所有线段.
继续引导学生点评：知道了半径（或直径）
和弦（或弦的一半），能求其余线段.
题目8：已知OB=10，CD=6，求其他所有线段.
教师点评：知道半径和CD，能求其余所有线段.
题目9：已知BC=5，CD=3，求其他所有线段.
方程思想
教师总结提炼：……
评析：整个案例，通过教师课前的精心准备，设计了如此别具匠心的编题环节，不仅让学生在编题的过程中弄清了本题图中线段之间关系的本质变化，从而达到了“会一类”的效果，而且以课本例2作为一个示范，教会了学生思考问题就应该从问题的本源出发，大大地提升了学生分析问题、提出问题、解决问题的能力.
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
挖掘素材，落实拓展教学
2
重视教材 落实常规教学
——摘自《2020年评价报告（数学）》
“数学史在今天已成为一门具有无可否认重要性学科，无论从数学的角度还是从教学的角度看，其作用变得更为明显，因此，在公众教育中给予其恰当的位置仍是不可或缺的事．”近年来，各地在数学学业水平考试中积极依托数学发展史编制试题，体现了数学的育人价值．
例1（2017湖州卷第9题）
【评析】七巧板是我们祖先的一项卓越创造，也是学生较为熟悉的玩具之一。以此为背景设计试题，能让每个学生动手参与数学化的过程，即渗透了爱国主义教育，又考查学生利用数学知识解决问题的能力，通过七个板块的边长尺寸，即可解决问题，体现“几何直观”的核心理念，是一道优秀的PISA题。
重视教材 落实常规教学
关注教材 用好素材
重视过程 提炼本质
注重能力 提升思维
试题导向分析
图1
（第16题）
图2
核心素养视角下的特色解读
题材背景熟悉，立足数学文化
活用基本图形，培养创新意识
聚焦数学思想，凸显核心素养
重视教材 落实常规教学
例2（2019湖州卷第16题）
图1
（第16题）
图2
解法赏析
△EMP∽△GNP
解法1
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法2
△EMK≌△GNK
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法3
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法4
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法5
EM=4，FM=8
——摘自2019年第11期《中学数学教学参考》（中旬）的文章《渗透数学文化 活用基本图形》，作者：李清强（浙江省湖州市第十二中学）
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
立足教材 渗透数学文化
鼓励操作 积累活动经验
注重思维 回归问题本质
试题特色
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路一：利用图形变换
向右平移①②③④⑤
图4-1
向右平移①②③④
图4-2
平移⑦
平移⑥
图5-1
平移⑤⑥
图5-2
旋转①
旋转⑦
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路二：确定最大板块
图6-1 图6-2 图6-3
图7-1 图7-2 图7-3
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路二：确定最大板块
图8-1 图8-2 图8-3
图8-4
图9-1 图9-2
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路三：借助网格图形
图10-1 图10-2
图11-1 图11-2 图11-3
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路三：借助网格图形
图10-1 图10-2
图12-1 图12-2 图12-3
——摘自2020年第9期《中学数学教学参考》（中旬）的文章《积累活动经验 提升数学素养》，作者：吴志权（浙江省长兴县华盛达睿达实验学校）
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
例4（2018金华丽水卷第15题）
【评析】本题编制的素材来自于浙教版教材七上6.1几何图形（第143页）中的探究活动和八下131页阅读材料，以七巧板这一常用的构图，设计了一个需要深入思考、分析的问题. 从图1与图2的对比中，分析各个三角形边长之间的关系，通过设元、消元等转化、化归方法，求得所求之值. 图1的出现，降低了试题的难度，便于考生将图1中的有关量的联系，转化到图2中的有关量. 本题考查了学生的图形几何直观、化归思想、探究能力，同时，突出对教材内容的理解，引导对教材问题进行深入探究.
重视教材 落实常规教学
例5（2018湖州卷第9题）
【评析】本题在传说故事中以尺规作图为载体，考查学生作图能力和圆的内接正多边形、勾股定理等数学知识，试题情景丰富，形式新颖活泼，难度适中，既让学生感受到“尺规作图”的历史与特有魅力，又别出心裁地考查了尺规作图，领会作图过程中所蕴含的问题本质.
1
重视教材 落实常规教学
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a=3，b=4 ，则该矩形的面积为（ ）
A. 20 B. 24 C. D.
例6（2018温州卷第10题）
a
b
（第10题）
【评析】该题用一位对中国古代数学发展产生了深远影响的数学家刘徽的一项研究为背景，展示了一个数学问题.该题的考查，不但是数学文化的一种展示，数学魅力的一种感受，更是数学素养的一种演绎.
m
m
重视教材 落实常规教学
例7（2018嘉兴舟山卷第7题）
∴AD就是方程的一个正根.
重视教材 落实常规教学
【评析】浙教版教材八年级下册“一元二次方程”这章中，有一个题为“一元二次方程的发展小记”的阅读材料，材料中介绍了方程 的图解法. 本题以此材料为素材，改编成试题.解答该题，需要应用数形结合的数学思想，理解方程的含意，运用勾股定理，来解决该问题。通过这个小综合问题的解决，即达到考查数学知识、方法综合运用的能力，又具有宣传数学文化、重视教材典故的功能.
我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么索长____尺，竿子长为____尺.
例8（2018绍兴卷第12题）
【评析】以上两题用我国古代数学读本作为问题背景，展示了一个数学问题.本质为二元一次方程组的考查，整题原文叙述，无现代文翻译，对学生的数学文化阅读理解能力提出了更高的要求.
重视教材 落实常规教学
例17（2019嘉兴卷第8题）
重视教材 落实常规教学
例9（2019金华丽水卷第15题）
元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ▲ .
【评析】该试题同样用我国古代数学读本作为问题背景，展示了一个数学问题.本质为一次函数图象的考查，整体原文叙述，无现代文翻译，对学生的数学文化阅读理解能力提出了更高的要求.
挖掘素材，落实拓展教学
2
重视教材 落实常规教学
教学建议
在教学中，我们要有数学文化意识，可以渗透数学文化和知识，多编制或多整理数学知识与数学文化之间的融合类的题目，让数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、融入教学。
案例2.九年级数学拓展性课程20讲
挖掘素材，落实拓展教学
2
案例2 九年级数学拓展性课程20讲
2020年度浙江省微课程开发
如何借助拓展性课程的开发来培养学生的数学核心素养？
重视教材 落实常规教学
《九年级数学拓展性课程20讲》微课程内容解读
重视教材 落实常规教学
（一）微课程简介
本微课程基于学生的学情和核心素养发展的要求，按知识方法和学生认知规律，选择浙教版数学九年级教材中的重要拓展性课程内容和知识点，开发系列拓展性微课程，通过学生自主学习微课，激发学生学习数学兴趣，促进学生对数学数学思考和理解，提升数学学习力。
本微课程针对浙教版数学九年级教材中的数学与文化，知识与拓展，数学与生活的拓展性系列微课，为学生制作了拓展思维方法的微课，突出学习重点，突破学习难点，挖掘内在思想，体现“趣味性、层次性、启发性”特征，着力为学生打造精品拓展性课程，满足学生的不同需求，让每个学生都能学好数学，会学数学，是我们努力实现的目标。
重视教材 落实常规教学
（二）微课程内容
数学与文化01 6节
知识与拓展02 7节
数学与生活03 7节
重视教材 落实常规教学
单元编号 知识（技能）点编号 知识（技能）点名称 知识（技能）点描述 目标类型
数学与文化01 0101 会徽中的数学 了解国际数学教育大会的会徽图案，掌握会徽中蕴含的数学知识 了解掌握
0102 哥特式建筑上的圆弧 了解圆弧在哥特式建筑中的应用 理解运用
0103 拿破仑的四等分圆 理解圆的四等分，理解并掌握只用圆规将圆四等分的方法 理解掌握
0104 美妙的黄金分割 了解黄金分割比，拓展黄金矩形，三角形 掌握
0105 泰勒斯测量金字塔 利用相似测量物体高度：陈子测日，视差法测距 理解运用
0106 “割圆术”与圆周率 了解“割圆术”与圆周率的关系，初步掌握利用“割圆术”近似求圆周率的方法 了解掌握
数学与文化01 6节
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0101 会徽中的数学 》
主要目标：了解国际数学教育大会的会徽图案，掌握会徽中蕴含的数学知识.
参考资料：浙教版九下第27页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0102 哥特式建筑上的圆弧 》
主要目标：了解圆弧在哥特式建筑中的应用.
参考资料：浙教版九上第94页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0103 拿破仑的四等分圆 》
主要目标：理解圆的四等分，理解并掌握只用圆规将圆四等分的方法.
参考资料：浙教版九上第100页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0104 美妙的黄金分割》
主要目标：了解黄金分割比，拓展黄金矩形，三角形.
参考资料：浙教版九上第122页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0105 泰勒斯测金字塔》
主要目标：利用相似测量物体高度：陈子测日，视差法测距.
参考资料：浙教版九上第147、164页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0106 “割圆术”与圆周率》
主要目标：了解“割圆术”与圆周率的关系，初步掌握利用“割圆术”近似求圆周率的方法.
参考资料：浙教版九下第17页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
单元编号 知识（技能）点编号 知识（技能）点名称 知识（技能）点描述 目标类型
知识与拓展02 0201 二次函数的系数a，b，c与图象的关系 理解并掌握二次函数解析式中系数与图象的关系，能根据系数了解图象位置，并能根据图象判断系数的正负性 理解掌握运用
0202 用函数图象估计方程的解 理解函数解析式与方程的关系，掌握用函数图象估计方程的解的方法 理解掌握
0203 正多边形的对称性 理解正多边形的中心对称性或轴对称性，掌握对称性与边数的关系，并掌握正多边形的对称轴条数与边数的关系 理解掌握
0204 蝴蝶定理 了解蝴蝶定理，能用圆和相似三角形的知识证明蝴蝶定理 了解理解
0205 精彩的分形 掌握正多边形不断分形后的周长计算方法，并理解无限分形后的图形特性 理解掌握
0206 探究锐角三角函数的其它关系 掌握锐角三角函数的概念和关系，并能以此探究锐角三角函数的其它关系 掌握运用
0207 圆内接正多边形的边长与半径的关系 探究圆内接正方形、正十边形的边长与变径的关系，并发现规律 掌握运用
知识与拓展02 7节
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0201 二次函数系数与图象的关系》
主要目标：借助几何画板理解二次函数解析式中系数与图象的关系，能根据系数了解图象位置，并能根据图象判断系数的正负性.
参考资料：浙教版九上第18、19页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0202 用函数图象估计方程的解》
主要目标：理解函数解析式与方程的关系，掌握用函数图象估计方程的解的方法.
参考资料：浙教版九上第31页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0203 正多边形的对称性》
主要目标：理解正多边形的中心对称性或轴对称性，掌握对称性与边数的关系，并掌握正多边形的对称轴条数与边数的关系.
参考资料：浙教版九上第100页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0204 蝴蝶定理》
主要目标：了解蝴蝶定理，能用圆和相似三角形的知识证明蝴蝶定理.
参考资料：浙教版九上第133页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0205 精彩的分形》
主要目标：掌握正多边形不断分形后的周长计算方法，并理解无限分形后的图形特性.
参考资料：浙教版九上第159页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0206 探究锐角三角函数的其它关系》
主要目标：掌握锐角三角函数的概念和关系，并能以此探究锐角三角函数的其它关系.
参考资料：浙教版九下第13页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0207 圆内接正多边形的边长与半径的关系》
主要目标：探究圆内接正方形、正十边形的边长与变径的关系，并发现规律.
参考资料：浙教版九下第22页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
单元编号 知识（技能）点编号 知识（技能）点名称 知识（技能）点描述 目标类型
数学与生活03 0301 巧建坐标系解决抛物线型拱桥问题 能通过建立平面直角坐标系，利用二次函数解决抛物线型拱桥问题 掌握运用
0302 用丁字尺找圆心 理解外心的概念，能借助丁字尺用不同的方法找到圆心 理解运用
0303 隧道的限高问题 能利用垂径定理、勾股定理等知识解决货车过隧道的问题 掌握运用
0304 美妙的镶嵌 理解镶嵌的基本原理，掌握多边形镶嵌的基本原则 理解掌握
0305 正多边形的折纸问题 了解用正方形折出正三角形的折法，理解这种折法的正确性，并尝试其它的折纸操作 了解理解
0306 放缩尺的数学原理 了解放缩尺，理解放缩尺的数学原理，并能进行简单说理 了解理解
0307 最短的爬行路径 理解“两点之间线段最短”在立体图形中的适用性，掌握在圆柱侧面寻找并计算最短的爬行路径 理解掌握
数学与生活03 7节
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0301 巧建坐标系解决抛物线型拱桥问题》
主要目标：能通过建立平面直角坐标系，利用二次函数解决抛物线型拱桥问题.
参考资料：浙教版九上第17页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0302 用丁字尺找圆心》
主要目标：理解外心的概念，能借助丁字尺用不同的方法找到圆心.
参考资料：浙教版九上第70页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0303 隧道的限高问题》
主要目标：能利用垂径定理、勾股定理等知识解决货车过隧道的问题.
参考资料：浙教版九上第80页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0304 美妙的镶嵌》
主要目标：理解镶嵌的基本原理，掌握正多边形镶嵌的条件和组合.
参考资料：浙教版九上第101页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0305 正多边形的折纸问题》
主要目标：了解用正方形折出正三角形的折法，理解这种折法的正确性，并尝试其它的折纸操作.
参考资料：浙教版九上第108页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0306 放缩尺的数学原理》
主要目标：了解放缩尺，理解放缩尺的数学原理，并能进行简单说理.
参考资料：浙教版九上第154页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0307 最短爬行路径》
主要目标：理解“两点之间线段最短”在立体图形中的适用性，掌握在圆柱侧面寻找并计算最短的爬行路径.
参考资料：浙教版九下第84页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
挖掘素材，落实拓展教学
2
充分利用与挖掘数学教材中的素材，我们的初中数学拓展性课程教学将会真正落地生根并开花。
重视教材 落实常规教学
课例欣赏：
《 0101 会徽中的数学 》
沈莹琪 省教坛新秀
省优质课一等奖 省教学竞赛一等奖
细研试题 注重变式教学
二
近年来，浙江省各地市中考试题中涌现了一大批注重几何推理的创新试题。由此可见，在平时的教学中，注重一题多变，一题多解显得尤为重要。
细研试题 注重变式教学
例1（2021衢州卷第24题）
细研试题 注重变式教学
例2（2021嘉兴卷第24题）
细研试题 注重变式教学
例3（2019绍兴卷第23题）
细研试题 注重变式教学
例4（2020绍兴卷第22题）
细研试题 注重变式教学
例5（2019绍兴卷第24题）
细研试题 注重变式教学
例6（2021绍兴卷第23题）
细研试题 注重变式教学
例7（2019宁波卷第26题）
明确课标要求的前提下，精心设计课堂教学，突出例题的典型性和示范性，并以例题为基点纵、横向深入拓展，重视知识的生成和思维规律的揭示，突出数学的本质属性。
教学建议
做一题 会一类 通一片
细研试题 注重变式教学
案例3.问题变式之否定属性策略
案例3.问题变式之否定属性策略
图1
图2
例题 如图1，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB边上的中点，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
案例3.问题变式之否定属性策略
列出问题中的各个属性：
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性4的新属性：直角顶点E是AB边上的任意一点
案例3.问题变式之否定属性策略
变式1 如图3，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB边上的任意一点，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图3
变式“问题串1”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性4的新属性：直角顶点E是AB延长线上的任意一点
案例3.问题变式之否定属性策略
变式2 如图4，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB延长线上的任意一点，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图4
图5
变式“问题串1”
案例3.问题变式之否定属性策略
图1
利用属性4的新属性：直角顶点E
是AB反向延长线上的任意一点
利用属性5的新属性：另一条直角边与∠CBM的平分线的反向延长线相交于点F
图6
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
案例3.问题变式之否定属性策略
变式3 如图6，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB反向延长线上的任意一点，另一条直角边与∠CBM的平分线的反向延长线相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图6
图7
变式“问题串1”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性1的新属性：△ABD是正
三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
图8
案例3.问题变式之否定属性策略
变式4 如图8，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB边上的中点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图8
图9
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是正三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
利用属性4的新属性：60°角顶点E
是AB边上的任意一点
图10
图8
案例3.问题变式之否定属性策略
变式5 如图10，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB边上的任意一点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图10
图11
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是正三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
利用属性4的新属性：60°角顶点E
是AB延长线上的任意一点
图12
图8
案例3.问题变式之否定属性策略
变式6 如图12，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB延长线上的任意一点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图12
图13
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是正三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
利用属性4的新属性：60°角顶点E
是AB反向延长线上的任意一点
属性5的新属性：另一条边与∠DBM的平分线
的反向延长线相交于点F
图8
图14
案例3.问题变式之否定属性策略
变式7 如图14，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB反向延长线上的任意一点，另一条边与∠DBM的平分线的反向延长线相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图14
图15
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
变式8 如图16，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB边上的中点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图16
图17
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
利用属性4的新属性：45°角顶点E
是AB边上的一点，并满足AE=
图18
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
图18
图19
变式9 如图18，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB边上的一点，并满足AE= ，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
利用属性4的新属性：45°角顶点E
是AB延长线上的一点，并满足BE=
图20
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
变式10 如图20，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB延长线上的一点，并满足BE= ，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图20
图21
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
属性4的新属性：45°角顶点E是AB
反向延长线上的一点，并满足AE=
属性5的新属性：另一条边与∠DBM的平分线
的反向延长线相交于点F
图22
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
变式11 如图22，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB反向延长线上的一点，并满足AE= ，另一条边与∠DBM的平分线的反向延长线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图22
图23
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图24
图25
图26
图27
变式“问题串4”
图1
案例3.问题变式之否定属性策略
只要我们教师平时能积极利用否定属性策略来研究问题，那既能编出精彩的试题，也能在课堂上设计出更加精彩的问题变式或变式串.这样不仅能提高教师自身的专业素养，也能提高学生的提出问题和解决问题的能力，相信这一定能成为教师职业生涯的一笔宝贵的“财富”.
案例3启示
探究变化
层层递进
方程思想
操作探究型
1
注重探究 关注过程教学
三
例1（2013湖州卷第23题）
学为中心
层层递进
过程学习
注重探究 关注过程教学
例2（2015湖州卷第23题）
操作探究型
1
探究旋转
层层递进
构造相似
注重探究 关注过程教学
例3（2016湖州卷第24题）
操作探究型
1
注重探究 关注过程教学
例4（2021台州卷第10题）
操作探究型
1
折纸是学生都有过的经历，一张纸条折两次，变成一个含有3个直角的五边形，考查学生有关轴对称，特殊角三角函数，直角三角形等知识，解题方法多样，能让不同层次的学生有不同水平的解法，增强学生对数学学习的信心，体现了试题的人文关怀．
阅读提炼
数学抽象
现学现用
新定义阅读型
2
注重探究 关注过程教学
例5（2015湖州卷第15题）
阅读提炼
数学抽象
直观想象
注重探究 关注过程教学
例6（2016湖州卷第9题）
新定义阅读型
2
例7（2018湖州卷第16题）
在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为 ，此时正方形EFGH的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 ▲ ．(不包括5)
（第16题）
图1
备用图
【评析】本题作为客观题的压轴题，以网格图为素材，定义了格点弦图这一新图形，运用正方形、直角三角形和全等三角形等知识，考查数形结合、分析问题和解决问题的能力，以及学生的应用、设计能力，在能力层面上提出了更高的要求．
注重探究 关注过程教学
新定义阅读型
2
（第16题）
图1
备用图
注重探究 关注过程教学
新定义阅读型
2
49或13或9.
注重探究 关注过程教学
例8（2014嘉兴卷第23题）
新定义阅读型
2
等对角四边形（14年）
注重探究 关注过程教学
例9（2015嘉兴卷第24题）
新定义阅读型
2
等对角四边形（14年）
等邻边四边形（15年）
注重探究 关注过程教学
例10（2016嘉兴卷第23题）
新定义阅读型
2
嘉兴新定义姊妹题
等对角四边形（14年）
等邻边四边形（15年）
等邻角四边形（16年）
注重探究 关注过程教学
例11（2018嘉兴卷第24题）
新定义阅读型
2
【评析】这类试题的解答,学生无法直接套用书本的知识或现成的模式,只有在有效阅读给定材料的基础上，经过发现与提炼，才能有效地解决问题。因此，这类试题在考查学生数学阅读能力、理解能力、问题的分析与解决能力等具有独特的功能.
等高底三角形
注重探究 关注过程教学
例12（2021宁波卷第15题）
新定义阅读型
2
倒数点
注重探究 关注过程教学
例13（2021金华卷第23题）
新定义阅读型
2
Z函数
注重探究 关注过程教学
例14（2020宁波卷第24题）
新定义阅读型
2
遥望角
注重探究 关注过程教学
新定义阅读型
2
倍半四边形
例15（2021南浔区一模第24题）
注重探究 关注过程教学
例16（2019宁波卷第25题）
新定义阅读型
2
邻余四边形
分层评价类
3
注重探究 关注过程教学
例17（2018绍兴卷第23题）
Solo分层评价法是由澳大利亚心理学家比格斯教授提出的，是根据学生在学习过程中对于不同学习任务的表现，将学生具体分成前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平这五个水平。
注重探究 关注过程教学
例18（2019绍兴卷第21题）
分层评价类
3
注重探究 关注过程教学
例19（2019嘉兴卷第21题）
（3）从平均数、中位数、众数、方差等方面，选择合适的统计量进行分析，例如：
①从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同．
②从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
③从方差看，B小区居民对垃圾分类知识的掌握情况比A小区稳定．
分三个层次评价：
A层次：能从1个统计量进行分析；
B层次：能从2个统计量进行分析；
C层次：能从3个及以上统计量进行分析．
（符合A层次给1分，B层次给2分，C层次给4分）．
分层评价类
3
注重探究 关注过程教学
例20（2021温州卷第19题）
分层评价类
3
本题改编自七上教材第 6 章第 1 节课内练习第 2题，八下教材第 3 章目标与评定第 11 题。
一道学生乐于阅读且喜于参与的 SOLO 评价试题．在评分标准上，体现 SOLO 分类评价的基本理念，让不同层次的学生都能展示自己的能力水平，进一步体现分类评价与分层赋分的公平性与有效性，为今后的课堂教学起到良好的导向．
注重探究 关注过程教学
4
项目化学习
例21（2021台州卷第23题）
数学是其它学科研究中必不可少的工具，但长期以来，考查往往局限于数学学科知识，很少涉及。这与社会的发展与要求严重脱节．本题进行了大胆尝试，引入跨学科的情境，进行学科间的融合，考查学生学科综合实践素养．
教师应结合具体问题大力开展数学问题解决、数学建模活动，开展数学研究性学习，为学生运用所学知识解决实际问题创造条件和机会. 切切实实关注学生学习的体验过程，重视知识的发生过程，在学习中只有亲自动手操作实验、在探究中发现规律才会真正理解。
教学建议
注重探究 关注过程教学
案例4.九年级二次函数复习课课例
【案例4】九年级二次函数复习课课例.
图1
师：（问题1）如图1，你能说出哪些结论？
【评析】教师用一个开放型问题作为引入，不仅预热了学生的发散性思维，同时，也为后面的递进深入式探究做好了有效的思维铺垫.
1.呈现问题 开放提问
注重探究 关注过程教学
图1
2.追问跟进 层层递进
师（追问）：你能求出该二次函数的解析式吗？
生（稍作思考）：不能.
师：（问题2）那么请你自己添加一个条件，使得该二次函数解析式能求？
生：点B的坐标为（0，3）等.
生：我添加的条件是：△ABC的面积是6，也能求出二次函数的解析式.
【评析】学生平时习惯了对于给定条件求函数解析式的训练，这里的元问题（问题2）创设非常之巧妙，即能激发学生的开放型思维，又引导了学生带着逆向的思维来考虑问题，如此双向思维考虑问题便于快速地寻找到问题的本质.
图2
3.增设条件 探究深入
师：二次函数解析式就用刚才同学们求的最多的：
，连结线段BC，作出抛物线的对称轴，交x轴于点H，交BC于点K.如图2所示.
师：（问题3）能求出图中各点的坐标吗？
【评析】教师通过增设条件创设了问题3，进一步激发学生的探究欲.此问题起点较低，基础稍差的学生也都能积极思考并求出.可见，教师的设计面向全体学生，全体参与的理念落实到位.同时，也为接下来的进一步深入探究做好知识和思维的双重铺垫.
4.精准引导 自主提问
师：（问题4）根据以上信息，你能设计一个怎样的问题，来考考大家呢？请大家通过思考把自己所设计的问题记录下来，以便稍后的交流与互相解答.
图2
师：温馨提示一下，同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段长度；2.特殊角；3.三角形形状；4.图形的面积；……
【评析】教师通过问题1至问题3的创设，以及相关知识和思维的双重铺垫，顺理成章地引出了这样一个能激发学生自主探究欲的元问题（问题4），让课堂在生生互解问题的节奏中进行着，此刻的课堂完全交予学生.教师摆正了自己组织者和引导者的身份，充分保证了学生的全体参与和高效参与.相信，如此课堂设计定能有效提升学生提出问题和解决问题的能力.
图3
5.引导深入 经历变化
师：接下来，我们继续探究该函数图象在动态情况下的数形关系吧！（问题5）在x轴上取一动点P(m,0)，-3＜m＜-1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，根据以上条件，图3中哪些点的坐标、线段长度可以用m来表示？
【评析】让学生在探究中经历了“点动→线动→形动”的动态过程，也深刻体会到了“变中有变”和“变中有不变”，如：学生能发现除去几个定点之外，随着点P的运动，点Q、F、E也随之运动，因此这几个点的坐标都在发生变化.同理，跟这几个点相关的线段长度也都在改变，但是EF和EP的长度始终保持相等关系.有了这些重要结论的发现，为接下来的终极探究（相对于本节课）搭建好了思维的“脚手架”.
6.自主变式 探究生成
师：（问题6）根据以上信息，你能设计出怎样的问题来考考大家呢？
图3
师：同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段与线段长度或位置关系；2.三角形形状；3.面积问题；4.最值问题；……
生成问题1：设△CEF的面积为S，求S关于m的函数解析式.
（说明：同类问题不再一一赘述，如：△CEP、△BEF、△CBF等面积问题.下同）
生成问题2：当m为何值时，△CEF的面积最大？
生成问题3：当m为何值时，BF与x轴平行？
生成问题4：判断EF与EP的长度关系，并说明理由.
6.自主变式 探究生成
师：（问题6）根据以上信息，你能设计出怎样的问题来考考大家呢？
图3
师：同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段与线段长度或位置关系；2.三角形形状；3.面积问题；4.最值问题；……
生成问题5：在运动过程中，是否会存在QF=EF的情况，如存在，求出m的值，不存在，请说明理由？
生成问题6：当m为何值时，△BEF为等腰三角形？
生成问题7：当m为何值时，△BEF为直角三角形？
生成问题8：当m为何值时，△CEF与△CFB相似？
生成问题9：连结QC、QD，当m为何值时，△CDQ的面积最大？
……
师：（问题7）如果将点P的运动范围扩大，可以自由连线，你还能设计出怎样的问题呢？和同伴一起解决.
图3
课外拓展探究问题
【评析】有了之前一系列的知识储备和思维酝酿，教师所设计的元问题（问题6）终于引发了学生的一场探究大风暴和思维大碰撞.学生通过独立探究与合作探究，自主变式出了诸多新生成的问题，且水准较高，有几个问题甚至已涉及到分类思想，试想一下，能设计出如此问题的学生，还用担心同类知识点的掌握情况吗？纵观整个案例，教师通过别具匠心的元问题设计，不仅让学生在自主变式探究的过程中弄清了问题中各个量之间的本质联系，还通过解决同学设计的多种类型的新问题，从而达到了“做一题，会一类，通一片”的效果，同时，也教会了学生如何进行数学思考，大大地提升了学生分析问题、提出问题和解决问题的能力.
正方形中的动点问题探究
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈！
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，现从A出发，以2cm/s的速度沿边经A-B-C-D到达点D.设运动时间为t秒.
问题1：当点P运动3秒时，你知道点P到达什么位置？
问题2：当t =3秒时，你能求出DP的长吗？
P
初步感知
问题3：当t为何值时，点P到点D的距离为5cm？
（1）当点P在AB上时（0≤t ≤2）
可求得AP=3
∴ t=1.5
（2）当点P在BC上时（2＜t ≤4）
可求得CP=3
∴ t=2.5
感受变化
4
5
3
3
问题4：连结AP、DP，设△APD的面积为S，你能求出S关于t的函数关系式吗？
（1）当点P在线段AB上时,
（即0＜X≤2）
S=4t
(2)当点P在线段BC上时,
（即2＜X≤4）
S=8
(3)当点P在线段DC上时,（即4＜X＜6）
S=24-4t
整体感知
找准界点
分类讨论
化动为静
尝试应用
问题5：现另有一动点Q，以1cm/s的速度从D出发，沿DC方向运动，连结DP、BQ. 问是否存在这样的时间t，使得四边形BQDP为平行四边形？
变式拓展
问题6：另有一动点Q，以1cm/s的速度从D出发，沿正方形的边按顺时针方向运动，点P、Q分别从点A、D同时出发，相遇后同时停止，连结AP、PQ、QA.
根据以上信息，你能设计出一个怎样的问题？
提示：同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段的关系 2.三角形形状；3.面积问题；……
结合信息 大胆提问
学生1：t为何值时，点P与点Q相遇？
问题6：另有一动点Q，以1cm/s的速度从D出发，沿正方形的边按顺时针方向运动，点P、Q分别从点A、D同时出发，相遇后同时停止，连结AP、PQ、QA.
学生2：t为何值时，△APQ是等腰三角形？
学生3：t为何值时，△APQ是直角三角形？
学生4：设△APQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
当t为何值时，S最大，最大值是多少？
......
【评析】本节课重点解决正方形中的动点问题的探究，包括单动点和双动点.上述案例片段，授课教师引导学生解决了5个较为简单基础的小问题作思维铺垫之后，设计了元问题6.旨在引导学生自主提出在正方形背景下的典型问题，包括特殊三角形形状问题，面积问题等，让学生在提出问题、分析问题和解决问题的过程中思维充分拓展，而且是向不同角度、不同背景、不同层面进行的延伸与拓展，追求思维发散点.
发展能力 指向思维教学
四
中考具有毕业与升学的双重功能，追求素养立意和能力考查，倡导教学走出“题海”．各地试卷在关键题特别是综合题和压轴题的设计上，突破传统考查方式，将知识、技能、方法与高阶思维的考查有机融合，指向数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模与数据分析等核心素养．
——摘自《2020年评价报告（数学）》
1.日常数学教学中忽视学生思维发展
2.当前数学学习过程中学生缺乏主动思维
3.急需发挥数学的育人价值
当前数学教学问题
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
建构初中数学生长型思维课堂，力图实现课堂结构和教学形态转型，让学生学有生长力的数学，促进学生的思维动力、思维能力、思维品质提升，促进学生主动学习、深度学习，助力学生的生命成长。
一种策略
发展能力 指向思维教学
数学思维：就是数学的思考问题和解决问题的思维活动形式，也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。
思维生长：是学生通过教师的“问题导学”方式，引导学生自主学习过程，在解决问题过程中不断发现新问题，不断生长新的数学知识、方法、经验，不断获得思维方式和思维品质的发展，促进数学思维逐步从低阶思维向高阶思维发展。
生长型思维课堂：是指学生围绕具有挑战性问题展开思维生长的课堂，即是以发展学生数学思维能力为核心标志，促进学生在数学上全面发展而充分成长的课堂。
三个概念
发展能力 指向思维教学
三大特征
1. 生长性
2. 结构性
3. 层次性
发展能力 指向思维教学
基本范式
褚水林老师独创
发展能力 指向思维教学
初中数学生长型核心概念课
1
初中数学生长型复习课
2
发展能力 指向思维教学
初中数学生长型核心概念课
1
数学核心概念：是数学概念的主体与核心，是进行判断推理的关键，在整个数学概念教学中占了主干地位，并起到了逻辑的连贯性与一致性作用，与其他基本数学概念一起，成为数学的重要组成部分。
发展能力 指向思维教学
生长型数学核心概念课：基于数学育人的价值，确立合理学习目标，通过创设一定情境，设计恰当学习活动，学生经历概念的形成、应用、精致过程，从而理解核心概念本质，生成概念系统，体验概念的价值，自然生长知识、方法、经验、思维，体验生命成长。生长型数学核心概念课，是学生自主学习与教师助学相融合的学习课堂，是师生共同成长的乐园。
初中数学生长型核心概念课
1
发展能力 指向思维教学
二种类型
形成型概念课
同化型概念课
初中数学生长型核心概念课
1
案例6.八下6.1反比例函数（1）
案例7.七下5.1分式方程（1）
发展能力 指向思维教学
案例6.八下6.1反比例函数（1）
3月18日-19日
金华金东
省风采展示
模拟上课
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
单元整体教学下核心概念课的设计
数学核心概念
是数学概念的主体与核心，是进行判断推理的关键，在整个数学概念教学中占了主干地位，并起到了逻辑的连贯性与一致性作用，与其他基本数学概念一起，成为数学的重要组成部分。
课题
1
发展能力 指向思维教学
准备
2
发展能力 指向思维教学
设计
3
1.新课导入
一稿
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
一稿
终稿
1.新课导入
发展能力 指向思维教学
设计
3
一稿
终稿
1.新课导入
发展能力 指向思维教学
设计
3
2.得出概念
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
2.得出概念
终稿
形成型
概念课教学
单元整体教学
发展能力 指向思维教学
设计
3
2.得出概念
终稿
同化型
概念课教学
发展能力 指向思维教学
设计
3
3.辨析概念
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
3.辨析概念
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
4.应用概念
一稿
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
6.拓展应用
终稿
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
6.拓展应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
7.课后总结
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
7.课后总结
终稿
单元整体教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
案例7.七下5.1分式方程（1）
4月6日
湖州南浔
区优质课
引导者： 湖州市南浔区和孚中学 沈陈
5.5 分式方程（1）
浙教版 七年级下册
环节一 所思
探索发现
某地电信公司调低了长途电话的话费标准，每分钟费用降低了25%，
因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分钟.
问前后两种收费标准每分钟收费各是多少？
新收费标准=原收费标准×(1-25%)；
新收费标准下通话时间-原收费标准下通话时间=5.
未知数在分母上
⑵如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程？
⑶该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
⑴主要等量关系是什么？
环节二 所得
观察下列方程
2(x－1)=x＋1； x+2y=1；x2＋x-20=0…
得出概念
方程两边都是整式的方程.
整式方程:
方程中只含分式，或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程.
分式方程：
二元一次方程
一元一次方程
拓展
一元二次方程
金语点睛
1.整式方程、分式方程的前提条件为：
是方程（含有未知数的等式）；
2.整式方程的关键为：方程两边都是整式；
3.分式方程的关键为：方程只含分式，或者整式和分式，且分母里含有未知数。
环节二 所得
辨析概念
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
分式方程
分式方程
分式方程
整式方程
整式方程
拓展
根式方程
环节二 所得
定位概念
等式
方程
一元一次方程
二元一次方程
一元二次方程
…
整式方程
分式方程
根式方程
…
研究的基本顺序
得概念
解方程
用方程
例1． 解分式方程：
环节三 所解
问题1：能否将分式方程转化为我们学过的一元一次方程来解？
问题2：转化为一元一次方程时，两边同乘什么式子比较合适？
问题3：解一元一次方程的基本步骤是什么？
7(2x-3)
金语点睛
1.步骤：分式方程 整式方程 解方程 检验，
即：一化、二解、三检验；
2.思想：转化思想（化归思想）。
例2． 解分式方程：
1.增根:使分式方程中分母为零的根叫做增根；
环节三 所解
金语点睛
解：方程的两边同乘(x-3)，得2-x=-1-2(x-3).
化简，得 x=3.
把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，
所以x=3不是原方程的根，原方程无解.
2.成因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根；
3.做法:解分式方程要书写验证过程，增根要舍去。
一元一次方程
变式 将分式方程： 去分母，求出所得整式
方程，该方程是否是一元一次方程？
拓展
一元二次方程
环节三 所解
后续可以解决
拓展1．当m为何值时，去分母解方程 会产生增根？
环节四 所拓
问题1：方程的增根是怎么产生的？
问题2：当x为何值时，原方程有增根？
去分母时，最简公分母可能为0.
解：方程的两边同乘(x-2)，
得 1-x=-m+x-2.
当x=2时，1-2=-m+2-2，
解得 m=1.
所以当m=1时，原方程有增根.
x=2
拓展2．合作学习：构造分式方程，且分式方程会产生增根x=2.
环节四 所拓
步骤：
1.构造整式方程（如一元一次方程），使得含有根x=2;
2.将整式方程转化为分式方程，如：两边都除以（x-2）等。
策略：逆向思维。
环节五 所悟
不等式
一元一次方程
二元一次方程
一元二次方程
…
一元一次不等式
…
整式方程
分式方程
根式方程
等式
方程
研究的基本顺序
得概念
解方程
用方程
回首展望
一化
二解
三检验
后续学习重点
发展能力 指向思维教学
初中数学生长型复习课
2
生长型数学复习课，由生长源（元问题）出发，基于基础与经验，在问题解决的过程中不断发现新问题，不断生长新的数学知识、方法、思维、经验链，形成核心知识间的结构关系，揭示方法规律，领悟数学思想，积累数学活动经验，提升数学思维品质，为学生生命成长助力，是学生自主学习与教师助学相融合的学习课堂。
发展能力 指向思维教学
二种类型
基础复习课
专题复习课
初中数学生长型复习课
2
案例8.再探三角形中位线
发展能力 指向思维教学
4月29日
湖州长兴
市优质课
案例8.再探三角形中位线
引导者： 湖州市南浔区和孚中学 沈陈
再探三角形中位线
浙教版 八年级下册
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
指向“思维生长”的教学策略
发展能力 指向思维教学
1.问题逆行寻源，从问题情境生长
发展能力 指向思维教学
2.大单元设计，从知识发展生长
发展能力 指向思维教学
3.图形“加减”，从改变条件生长
发展能力 指向思维教学
4.分析思维路径，从问题解法生长
数学教学方法的核心是学生的“再创造” 。
教师的任务就是为学生的发现、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。
结 束 语
——弗赖登塔尔
延时符
感谢您的倾听！
THE END
延迟符
延迟符
近年中考导向下的教学案例分析
深度研究中考 指向精准教学
重视教材 落实常规教学
一
细研试题 注重变式教学
二
注重探究 关注过程教学
三
发展能力 指向思维教学
四
目录总览
重视教材 落实常规教学
一
用好素材，精准课堂教学
1
挖掘素材，落实拓展教学
2
重视教材 落实常规教学
教材是《课程标准》的载体，是课程目标和课程内容的具体化．回归教材，以教材为依据设计试题，是确保考题“对标”，合理把握《课程标准》对课程内容的具体要求．2021年各地市的许多试题都是由学生所用的教材或省编作业本上的题目和内容改编而成.
——摘自《2020年省评价报告（数学）》
用好素材，精准课堂教学
1
来源
1.教材：教材例题、习题（作业题）、
探究活动、阅读材料。
2.省编作业本（1）（2）
例1（2021湖州卷第6题）
【评析】本题由九上课本第91页作业题第2题而来，考查的知识点是三角形外心的概念，圆周角定理等．试题将原题的外接圆隐藏，考查学生对基本概念的掌握情况．
6.如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是
A.60° B.70° C.80° D.90°
（第6题）
（九上课本第91页作业题2）
重视教材 落实常规教学
例2（2021湖州卷第21题）
【评析】本题由九上课本第93页作业题第6题改编而来，考查的知识点主要有：圆周角定理及其推论、直角三角形性质、垂径定理和三角函数等．知识点基础，综合性强，源于教材，较好地起到了试题的导向功能。
（第21题）
（九上课本第93页作业题6）
重视教材 落实常规教学
【评析】本题改编自九下教材53页目标与评定第4题，图形几乎一样，改编角度侧重题设和结论互换，并增加第（2）问计算，与三角形相似、勾股定理等知识无缝融合，增大考查范围，提升考查要求..对教材试题的合理改编，再度利用，以期引领教学的方向.
例3（2021衢州卷第21题）
21.（本题8分）
如图，在△ABC中，CA=CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF.
（1）求证：BF是⊙A的切线.
（2）若BE=5，AC=20，求EF的长.
（第21题）
F
E
D
C
B
A
（九下教材53页目标与评定第4题）
例4（2020湖州卷第9题）
重视教材 落实常规教学
例4（2021衢州卷第10题）
10.已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（ ▲）
A．15km B．16km C．44km D．45km
x(h)
O
y(km)
(第10题)
（八上课本第166页作业题2）
【评析】本题改编自八上教材166页作业题2，试题通过改编考查行程问题用一次函数表征，解读图象的意义，关注数和形，图和表的契合.本题解法多，入口宽，既可用函数表达式解决，也可用行程线段图解决，还可用几何中全等法解决.可以照顾到各类各层学生的能力水平和思考方式.
重视教材 落实常规教学
例5（2019宁波卷第24题）
重视教材 落实常规教学
24．（本题10分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【评析】课本例题是最基础的函数图象实际问题,例5则是对课本例题的一个延伸与拓展，多了些变化让问题更赋层次感和思维性。充分彰显了在常规教学中应重视教材的教学导向。
【评析】本题改编自人教版八上数学教材62页练习1，以尺规作图为背景，考查有关等腰三角形的知识．要求学生正确理解隐藏在所作图形背后的信息，并发现图形对称性的本质特征．本题考查内容比较丰富，涉及等腰三角形、垂直平分线、圆等知识，以及转化思想和整体思想等，可以有效考查学生综合运用数学知识解决问题的能力．
例6（2021台州卷第15题）
重视教材 落实常规教学
（八上课本第62页练习1）
例7（2021台州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
（九上课本第49页问题）
例7（2021台州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
【评析】本题改编自人教版九上数学教材49页问题，本题以学生常见的抛弹性小球为背景，假定两次运动过程中，小球离地的高度具有2倍关系时，探究两次运动时间之间的关系．这个问题的背景学生非常熟悉，但设置的问题十分巧妙，不同思维层次的学生解决方法不同．
例7（2021台州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
例8（2016绍兴卷第21题）
重视教材 落实常规教学
【评析】本试题改编自九上课本第24页《1.4二次函数的应用》例1。该试题巧妙地选取了大家所熟知的课本例题作为背景，进行了适当的改编，将原题的图形“半圆形+矩形”改编为“双正方形+矩形”，保持了原题中解决问题的知识和原理，减小了计算的难度和繁易度，体现了命题者高度重视教材，源于教材又拓于教材的理念。
例9（2019湖州卷第21题）
【评析】本试题改编自八下第124页《探究活动》,重点考查了平行四边形、菱形和特殊三角形等核心几何知识，试题考查基础。课本中的素材揭示的是一种通性，例9将通性具体化呈现，形成了一个新的试题。
重视教材 落实常规教学
21.（本小题8分）
如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB,BC,AC的中点，连结DF，EF，BF.
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长.
（第21题）
例10（2017湖州卷第22题）
【评析】本试题改编自八下第132页作业题11题,重点考查了正方形、全等三角形、相似三角形等核心知识，试题让学生感到熟悉而又在原题基础上进行了进一步研究。试题渗透转化思想和方程思想，问题设计有梯度，让不同程度的学生都有收获。
重视教材 落实常规教学
例11（2019湖州卷第9题）
【评析】本试题改编自八下课本第131页《阅读材料-有趣的拼图》以及作业本八下（2）第22页第7题。该试题巧妙地选取了素材一的问题背景及素材二的知识背景，立意却又高于这两个素材，不仅要求学生会找分割线，还需计算出剪痕的长度.命题者将实践操作与推理证明运算相融合，较好地贯彻了源于教材并适当高于教材的命题原则，充分体现了高于寻常的多元化素养立意.
重视教材 落实常规教学
9.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条 直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是
（第9题）
（九上课本第72页例2）
【评析】此题以探究形式，通过学生观察、发现、证明，综合考查学生的所学知识和几何证明方法。第（1）小题要求学生观察基本图形，运用相似三角形知识简单解决问题，第（2）小题通过转化，运用全等三角形解决或等腰三角形知识解决，第（3）小题对学生要求较高，首先会猜想和提出问题，此题引导学生数学学习，从直观地操作活动到多层次地思维活动，从感性认识上升到理性认识。
例12（2021嘉兴、舟山卷第24题）
重视教材 落实常规教学
例13（2019嘉兴卷第23题）
重视教材 落实常规教学
【评析】本试题改编自九上课本第149页《4.5相似三角形的性质及其应用（3）》的作业题B组第5题。试题在原题的基础之上做了一次探究，给出了探究问题的一种基本套路：温故（缘起）—操作（猜想）—推理（类比）—拓展（延伸）。让学生在阅读理解之后完成所给的三个问题，这三个问题由易到难、由浅入深、层层递进。引导学生去发现问题的本质并最终利用本质来解决拓展延伸的问题。此乃研究问题的基本套路，试题的立意极高。
教学建议
教学中要充分挖掘课本例习题的潜在教学价值，科学地使用教材，合理整合教学内容，引导学生通过对课本例习题的深度剖析，以求分析概括出例习题中共同关注的、本质的数学原理、思想方法等。
重视教材 落实常规教学
用好素材，精准课堂教学
1
案例1.九上3.3垂径定理（1）教学片断
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
O
A
B
C
图1
先解决课本中的例2.一条排水管的截面如图1所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．
图2
抽象出模型
教师：图2中，是否有可能，只知道其中的两条线段（所有的半径或直径算一条），也能像我们刚才那样，就能求出其他所有线段吗？
接下来，就请同学们自己来编题，编好后让全班同学做！
图2
题目1：已知：OC=3，OE=5，求其他所有线段.
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
题目2：已知：OC=3，OB=5，求其他所有线段.
教师点评：我们可以把这两种归成一类：
已知半径和弦心距，能求其余线段.
题目3：已知：OC=6，AC=8，求其他所有线段.
题目4：已知：OC=6，BC=8，求其他所有线段.
题目5：已知：OC=6，AB=16，求其他所有线段.
教师引导学生点评：知道弦心距和弦的一半（或弦），能求其余线段.
题目6：已知OE=5，AC=3，求其他所有线段.
图2
题目7：已知ED=10，AB=6，求其他所有线段.
继续引导学生点评：知道了半径（或直径）
和弦（或弦的一半），能求其余线段.
题目8：已知OB=10，CD=6，求其他所有线段.
教师点评：知道半径和CD，能求其余所有线段.
题目9：已知BC=5，CD=3，求其他所有线段.
方程思想
教师总结提炼：……
评析：整个案例，通过教师课前的精心准备，设计了如此别具匠心的编题环节，不仅让学生在编题的过程中弄清了本题图中线段之间关系的本质变化，从而达到了“会一类”的效果，而且以课本例2作为一个示范，教会了学生思考问题就应该从问题的本源出发，大大地提升了学生分析问题、提出问题、解决问题的能力.
案例1
浙教版九上3.3垂径定理（1）片段：
挖掘素材，落实拓展教学
2
重视教材 落实常规教学
——摘自《2020年评价报告（数学）》
“数学史在今天已成为一门具有无可否认重要性学科，无论从数学的角度还是从教学的角度看，其作用变得更为明显，因此，在公众教育中给予其恰当的位置仍是不可或缺的事．”近年来，各地在数学学业水平考试中积极依托数学发展史编制试题，体现了数学的育人价值．
例1（2017湖州卷第9题）
【评析】七巧板是我们祖先的一项卓越创造，也是学生较为熟悉的玩具之一。以此为背景设计试题，能让每个学生动手参与数学化的过程，即渗透了爱国主义教育，又考查学生利用数学知识解决问题的能力，通过七个板块的边长尺寸，即可解决问题，体现“几何直观”的核心理念，是一道优秀的PISA题。
重视教材 落实常规教学
关注教材 用好素材
重视过程 提炼本质
注重能力 提升思维
试题导向分析
图1
（第16题）
图2
核心素养视角下的特色解读
题材背景熟悉，立足数学文化
活用基本图形，培养创新意识
聚焦数学思想，凸显核心素养
重视教材 落实常规教学
例2（2019湖州卷第16题）
图1
（第16题）
图2
解法赏析
△EMP∽△GNP
解法1
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法2
△EMK≌△GNK
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法3
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法4
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
图1
（第16题）
图2
解法赏析
解法5
EM=4，FM=8
——摘自2019年第11期《中学数学教学参考》（中旬）的文章《渗透数学文化 活用基本图形》，作者：李清强（浙江省湖州市第十二中学）
提炼图形
形成思路
运算推理
例2（2019湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
立足教材 渗透数学文化
鼓励操作 积累活动经验
注重思维 回归问题本质
试题特色
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路一：利用图形变换
向右平移①②③④⑤
图4-1
向右平移①②③④
图4-2
平移⑦
平移⑥
图5-1
平移⑤⑥
图5-2
旋转①
旋转⑦
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路二：确定最大板块
图6-1 图6-2 图6-3
图7-1 图7-2 图7-3
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路二：确定最大板块
图8-1 图8-2 图8-3
图8-4
图9-1 图9-2
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路三：借助网格图形
图10-1 图10-2
图11-1 图11-2 图11-3
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
解法赏析
中国七巧板 日本七巧板
图3
思路三：借助网格图形
图10-1 图10-2
图12-1 图12-2 图12-3
——摘自2020年第9期《中学数学教学参考》（中旬）的文章《积累活动经验 提升数学素养》，作者：吴志权（浙江省长兴县华盛达睿达实验学校）
例3（2020湖州卷第16题）
重视教材 落实常规教学
例4（2018金华丽水卷第15题）
【评析】本题编制的素材来自于浙教版教材七上6.1几何图形（第143页）中的探究活动和八下131页阅读材料，以七巧板这一常用的构图，设计了一个需要深入思考、分析的问题. 从图1与图2的对比中，分析各个三角形边长之间的关系，通过设元、消元等转化、化归方法，求得所求之值. 图1的出现，降低了试题的难度，便于考生将图1中的有关量的联系，转化到图2中的有关量. 本题考查了学生的图形几何直观、化归思想、探究能力，同时，突出对教材内容的理解，引导对教材问题进行深入探究.
重视教材 落实常规教学
例5（2018湖州卷第9题）
【评析】本题在传说故事中以尺规作图为载体，考查学生作图能力和圆的内接正多边形、勾股定理等数学知识，试题情景丰富，形式新颖活泼，难度适中，既让学生感受到“尺规作图”的历史与特有魅力，又别出心裁地考查了尺规作图，领会作图过程中所蕴含的问题本质.
1
重视教材 落实常规教学
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a=3，b=4 ，则该矩形的面积为（ ）
A. 20 B. 24 C. D.
例6（2018温州卷第10题）
a
b
（第10题）
【评析】该题用一位对中国古代数学发展产生了深远影响的数学家刘徽的一项研究为背景，展示了一个数学问题.该题的考查，不但是数学文化的一种展示，数学魅力的一种感受，更是数学素养的一种演绎.
m
m
重视教材 落实常规教学
例7（2018嘉兴舟山卷第7题）
∴AD就是方程的一个正根.
重视教材 落实常规教学
【评析】浙教版教材八年级下册“一元二次方程”这章中，有一个题为“一元二次方程的发展小记”的阅读材料，材料中介绍了方程 的图解法. 本题以此材料为素材，改编成试题.解答该题，需要应用数形结合的数学思想，理解方程的含意，运用勾股定理，来解决该问题。通过这个小综合问题的解决，即达到考查数学知识、方法综合运用的能力，又具有宣传数学文化、重视教材典故的功能.
我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么索长____尺，竿子长为____尺.
例8（2018绍兴卷第12题）
【评析】以上两题用我国古代数学读本作为问题背景，展示了一个数学问题.本质为二元一次方程组的考查，整题原文叙述，无现代文翻译，对学生的数学文化阅读理解能力提出了更高的要求.
重视教材 落实常规教学
例17（2019嘉兴卷第8题）
重视教材 落实常规教学
例9（2019金华丽水卷第15题）
元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ▲ .
【评析】该试题同样用我国古代数学读本作为问题背景，展示了一个数学问题.本质为一次函数图象的考查，整体原文叙述，无现代文翻译，对学生的数学文化阅读理解能力提出了更高的要求.
挖掘素材，落实拓展教学
2
重视教材 落实常规教学
教学建议
在教学中，我们要有数学文化意识，可以渗透数学文化和知识，多编制或多整理数学知识与数学文化之间的融合类的题目，让数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、融入教学。
案例2.九年级数学拓展性课程20讲
挖掘素材，落实拓展教学
2
案例2 九年级数学拓展性课程20讲
2020年度浙江省微课程开发
如何借助拓展性课程的开发来培养学生的数学核心素养？
重视教材 落实常规教学
《九年级数学拓展性课程20讲》微课程内容解读
重视教材 落实常规教学
（一）微课程简介
本微课程基于学生的学情和核心素养发展的要求，按知识方法和学生认知规律，选择浙教版数学九年级教材中的重要拓展性课程内容和知识点，开发系列拓展性微课程，通过学生自主学习微课，激发学生学习数学兴趣，促进学生对数学数学思考和理解，提升数学学习力。
本微课程针对浙教版数学九年级教材中的数学与文化，知识与拓展，数学与生活的拓展性系列微课，为学生制作了拓展思维方法的微课，突出学习重点，突破学习难点，挖掘内在思想，体现“趣味性、层次性、启发性”特征，着力为学生打造精品拓展性课程，满足学生的不同需求，让每个学生都能学好数学，会学数学，是我们努力实现的目标。
重视教材 落实常规教学
（二）微课程内容
数学与文化01 6节
知识与拓展02 7节
数学与生活03 7节
重视教材 落实常规教学
单元编号 知识（技能）点编号 知识（技能）点名称 知识（技能）点描述 目标类型
数学与文化01 0101 会徽中的数学 了解国际数学教育大会的会徽图案，掌握会徽中蕴含的数学知识 了解掌握
0102 哥特式建筑上的圆弧 了解圆弧在哥特式建筑中的应用 理解运用
0103 拿破仑的四等分圆 理解圆的四等分，理解并掌握只用圆规将圆四等分的方法 理解掌握
0104 美妙的黄金分割 了解黄金分割比，拓展黄金矩形，三角形 掌握
0105 泰勒斯测量金字塔 利用相似测量物体高度：陈子测日，视差法测距 理解运用
0106 “割圆术”与圆周率 了解“割圆术”与圆周率的关系，初步掌握利用“割圆术”近似求圆周率的方法 了解掌握
数学与文化01 6节
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0101 会徽中的数学 》
主要目标：了解国际数学教育大会的会徽图案，掌握会徽中蕴含的数学知识.
参考资料：浙教版九下第27页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0102 哥特式建筑上的圆弧 》
主要目标：了解圆弧在哥特式建筑中的应用.
参考资料：浙教版九上第94页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0103 拿破仑的四等分圆 》
主要目标：理解圆的四等分，理解并掌握只用圆规将圆四等分的方法.
参考资料：浙教版九上第100页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0104 美妙的黄金分割》
主要目标：了解黄金分割比，拓展黄金矩形，三角形.
参考资料：浙教版九上第122页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0105 泰勒斯测金字塔》
主要目标：利用相似测量物体高度：陈子测日，视差法测距.
参考资料：浙教版九上第147、164页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与文化01 6节
《 0106 “割圆术”与圆周率》
主要目标：了解“割圆术”与圆周率的关系，初步掌握利用“割圆术”近似求圆周率的方法.
参考资料：浙教版九下第17页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
单元编号 知识（技能）点编号 知识（技能）点名称 知识（技能）点描述 目标类型
知识与拓展02 0201 二次函数的系数a，b，c与图象的关系 理解并掌握二次函数解析式中系数与图象的关系，能根据系数了解图象位置，并能根据图象判断系数的正负性 理解掌握运用
0202 用函数图象估计方程的解 理解函数解析式与方程的关系，掌握用函数图象估计方程的解的方法 理解掌握
0203 正多边形的对称性 理解正多边形的中心对称性或轴对称性，掌握对称性与边数的关系，并掌握正多边形的对称轴条数与边数的关系 理解掌握
0204 蝴蝶定理 了解蝴蝶定理，能用圆和相似三角形的知识证明蝴蝶定理 了解理解
0205 精彩的分形 掌握正多边形不断分形后的周长计算方法，并理解无限分形后的图形特性 理解掌握
0206 探究锐角三角函数的其它关系 掌握锐角三角函数的概念和关系，并能以此探究锐角三角函数的其它关系 掌握运用
0207 圆内接正多边形的边长与半径的关系 探究圆内接正方形、正十边形的边长与变径的关系，并发现规律 掌握运用
知识与拓展02 7节
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0201 二次函数系数与图象的关系》
主要目标：借助几何画板理解二次函数解析式中系数与图象的关系，能根据系数了解图象位置，并能根据图象判断系数的正负性.
参考资料：浙教版九上第18、19页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0202 用函数图象估计方程的解》
主要目标：理解函数解析式与方程的关系，掌握用函数图象估计方程的解的方法.
参考资料：浙教版九上第31页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0203 正多边形的对称性》
主要目标：理解正多边形的中心对称性或轴对称性，掌握对称性与边数的关系，并掌握正多边形的对称轴条数与边数的关系.
参考资料：浙教版九上第100页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0204 蝴蝶定理》
主要目标：了解蝴蝶定理，能用圆和相似三角形的知识证明蝴蝶定理.
参考资料：浙教版九上第133页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0205 精彩的分形》
主要目标：掌握正多边形不断分形后的周长计算方法，并理解无限分形后的图形特性.
参考资料：浙教版九上第159页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0206 探究锐角三角函数的其它关系》
主要目标：掌握锐角三角函数的概念和关系，并能以此探究锐角三角函数的其它关系.
参考资料：浙教版九下第13页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
知识与拓展02 7节
《 0207 圆内接正多边形的边长与半径的关系》
主要目标：探究圆内接正方形、正十边形的边长与变径的关系，并发现规律.
参考资料：浙教版九下第22页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
单元编号 知识（技能）点编号 知识（技能）点名称 知识（技能）点描述 目标类型
数学与生活03 0301 巧建坐标系解决抛物线型拱桥问题 能通过建立平面直角坐标系，利用二次函数解决抛物线型拱桥问题 掌握运用
0302 用丁字尺找圆心 理解外心的概念，能借助丁字尺用不同的方法找到圆心 理解运用
0303 隧道的限高问题 能利用垂径定理、勾股定理等知识解决货车过隧道的问题 掌握运用
0304 美妙的镶嵌 理解镶嵌的基本原理，掌握多边形镶嵌的基本原则 理解掌握
0305 正多边形的折纸问题 了解用正方形折出正三角形的折法，理解这种折法的正确性，并尝试其它的折纸操作 了解理解
0306 放缩尺的数学原理 了解放缩尺，理解放缩尺的数学原理，并能进行简单说理 了解理解
0307 最短的爬行路径 理解“两点之间线段最短”在立体图形中的适用性，掌握在圆柱侧面寻找并计算最短的爬行路径 理解掌握
数学与生活03 7节
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0301 巧建坐标系解决抛物线型拱桥问题》
主要目标：能通过建立平面直角坐标系，利用二次函数解决抛物线型拱桥问题.
参考资料：浙教版九上第17页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0302 用丁字尺找圆心》
主要目标：理解外心的概念，能借助丁字尺用不同的方法找到圆心.
参考资料：浙教版九上第70页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0303 隧道的限高问题》
主要目标：能利用垂径定理、勾股定理等知识解决货车过隧道的问题.
参考资料：浙教版九上第80页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0304 美妙的镶嵌》
主要目标：理解镶嵌的基本原理，掌握正多边形镶嵌的条件和组合.
参考资料：浙教版九上第101页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0305 正多边形的折纸问题》
主要目标：了解用正方形折出正三角形的折法，理解这种折法的正确性，并尝试其它的折纸操作.
参考资料：浙教版九上第108页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0306 放缩尺的数学原理》
主要目标：了解放缩尺，理解放缩尺的数学原理，并能进行简单说理.
参考资料：浙教版九上第154页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
数学与生活03 7节
《 0307 最短爬行路径》
主要目标：理解“两点之间线段最短”在立体图形中的适用性，掌握在圆柱侧面寻找并计算最短的爬行路径.
参考资料：浙教版九下第84页
（二）微课程内容
重视教材 落实常规教学
挖掘素材，落实拓展教学
2
充分利用与挖掘数学教材中的素材，我们的初中数学拓展性课程教学将会真正落地生根并开花。
重视教材 落实常规教学
课例欣赏：
《 0101 会徽中的数学 》
沈莹琪 省教坛新秀
省优质课一等奖 省教学竞赛一等奖
细研试题 注重变式教学
二
近年来，浙江省各地市中考试题中涌现了一大批注重几何推理的创新试题。由此可见，在平时的教学中，注重一题多变，一题多解显得尤为重要。
细研试题 注重变式教学
例1（2021衢州卷第24题）
细研试题 注重变式教学
例2（2021嘉兴卷第24题）
细研试题 注重变式教学
例3（2019绍兴卷第23题）
细研试题 注重变式教学
例4（2020绍兴卷第22题）
细研试题 注重变式教学
例5（2019绍兴卷第24题）
细研试题 注重变式教学
例6（2021绍兴卷第23题）
细研试题 注重变式教学
例7（2019宁波卷第26题）
明确课标要求的前提下，精心设计课堂教学，突出例题的典型性和示范性，并以例题为基点纵、横向深入拓展，重视知识的生成和思维规律的揭示，突出数学的本质属性。
教学建议
做一题 会一类 通一片
细研试题 注重变式教学
案例3.问题变式之否定属性策略
案例3.问题变式之否定属性策略
图1
图2
例题 如图1，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB边上的中点，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
案例3.问题变式之否定属性策略
列出问题中的各个属性：
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性4的新属性：直角顶点E是AB边上的任意一点
案例3.问题变式之否定属性策略
变式1 如图3，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB边上的任意一点，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图3
变式“问题串1”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性4的新属性：直角顶点E是AB延长线上的任意一点
案例3.问题变式之否定属性策略
变式2 如图4，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB延长线上的任意一点，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图4
图5
变式“问题串1”
案例3.问题变式之否定属性策略
图1
利用属性4的新属性：直角顶点E
是AB反向延长线上的任意一点
利用属性5的新属性：另一条直角边与∠CBM的平分线的反向延长线相交于点F
图6
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
案例3.问题变式之否定属性策略
变式3 如图6，四边形ABCD是正方形，点M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E是AB反向延长线上的任意一点，另一条直角边与∠CBM的平分线的反向延长线相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图6
图7
变式“问题串1”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性1的新属性：△ABD是正
三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
图8
案例3.问题变式之否定属性策略
变式4 如图8，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB边上的中点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图8
图9
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是正三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
利用属性4的新属性：60°角顶点E
是AB边上的任意一点
图10
图8
案例3.问题变式之否定属性策略
变式5 如图10，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB边上的任意一点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图10
图11
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是正三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
利用属性4的新属性：60°角顶点E
是AB延长线上的任意一点
图12
图8
案例3.问题变式之否定属性策略
变式6 如图12，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB延长线上的任意一点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图12
图13
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是正三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=60°
利用属性4的新属性：60°角顶点E
是AB反向延长线上的任意一点
属性5的新属性：另一条边与∠DBM的平分线
的反向延长线相交于点F
图8
图14
案例3.问题变式之否定属性策略
变式7 如图14，△ABD是正三角形，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的60°角一条边经过点D，且60°角顶点E是AB反向延长线上的任意一点，另一条边与∠DBM的平分线的反向延长线相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图14
图15
变式“问题串2”
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图1
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
变式8 如图16，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB边上的中点，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图16
图17
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
利用属性4的新属性：45°角顶点E
是AB边上的一点，并满足AE=
图18
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
图18
图19
变式9 如图18，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB边上的一点，并满足AE= ，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
利用属性4的新属性：45°角顶点E
是AB延长线上的一点，并满足BE=
图20
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
变式10 如图20，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB延长线上的一点，并满足BE= ，另一条边与∠DBM的平分线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图20
图21
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
利用属性1的新属性：△ABD是等
腰直角三角形
利用属性6的新属性：∠DEF=45°
属性4的新属性：45°角顶点E是AB
反向延长线上的一点，并满足AE=
属性5的新属性：另一条边与∠DBM的平分线
的反向延长线相交于点F
图22
图16
案例3.问题变式之否定属性策略
变式“问题串3”
变式11 如图22，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，点M是AB延长线上一点. 直角三角尺的45°角一条边经过点D，且45°角顶点E是AB反向延长线上的一点，并满足AE= ，另一条边与∠DBM的平分线的反向延长线BF相交于点F.猜想DE与EF满足的数量关系并加以证明.
图22
图23
案例3.问题变式之否定属性策略
属性1：四边形ABCD是正方形；
属性2：点M是AB延长线上一点；
属性3：直角三角尺的一条直角边经过点D；
属性4：直角顶点E是AB边上的中点；
属性5：另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F；
属性6：∠DEF是直角.
图24
图25
图26
图27
变式“问题串4”
图1
案例3.问题变式之否定属性策略
只要我们教师平时能积极利用否定属性策略来研究问题，那既能编出精彩的试题，也能在课堂上设计出更加精彩的问题变式或变式串.这样不仅能提高教师自身的专业素养，也能提高学生的提出问题和解决问题的能力，相信这一定能成为教师职业生涯的一笔宝贵的“财富”.
案例3启示
探究变化
层层递进
方程思想
操作探究型
1
注重探究 关注过程教学
三
例1（2013湖州卷第23题）
学为中心
层层递进
过程学习
注重探究 关注过程教学
例2（2015湖州卷第23题）
操作探究型
1
探究旋转
层层递进
构造相似
注重探究 关注过程教学
例3（2016湖州卷第24题）
操作探究型
1
注重探究 关注过程教学
例4（2021台州卷第10题）
操作探究型
1
折纸是学生都有过的经历，一张纸条折两次，变成一个含有3个直角的五边形，考查学生有关轴对称，特殊角三角函数，直角三角形等知识，解题方法多样，能让不同层次的学生有不同水平的解法，增强学生对数学学习的信心，体现了试题的人文关怀．
阅读提炼
数学抽象
现学现用
新定义阅读型
2
注重探究 关注过程教学
例5（2015湖州卷第15题）
阅读提炼
数学抽象
直观想象
注重探究 关注过程教学
例6（2016湖州卷第9题）
新定义阅读型
2
例7（2018湖州卷第16题）
在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为 ，此时正方形EFGH的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 ▲ ．(不包括5)
（第16题）
图1
备用图
【评析】本题作为客观题的压轴题，以网格图为素材，定义了格点弦图这一新图形，运用正方形、直角三角形和全等三角形等知识，考查数形结合、分析问题和解决问题的能力，以及学生的应用、设计能力，在能力层面上提出了更高的要求．
注重探究 关注过程教学
新定义阅读型
2
（第16题）
图1
备用图
注重探究 关注过程教学
新定义阅读型
2
49或13或9.
注重探究 关注过程教学
例8（2014嘉兴卷第23题）
新定义阅读型
2
等对角四边形（14年）
注重探究 关注过程教学
例9（2015嘉兴卷第24题）
新定义阅读型
2
等对角四边形（14年）
等邻边四边形（15年）
注重探究 关注过程教学
例10（2016嘉兴卷第23题）
新定义阅读型
2
嘉兴新定义姊妹题
等对角四边形（14年）
等邻边四边形（15年）
等邻角四边形（16年）
注重探究 关注过程教学
例11（2018嘉兴卷第24题）
新定义阅读型
2
【评析】这类试题的解答,学生无法直接套用书本的知识或现成的模式,只有在有效阅读给定材料的基础上，经过发现与提炼，才能有效地解决问题。因此，这类试题在考查学生数学阅读能力、理解能力、问题的分析与解决能力等具有独特的功能.
等高底三角形
注重探究 关注过程教学
例12（2021宁波卷第15题）
新定义阅读型
2
倒数点
注重探究 关注过程教学
例13（2021金华卷第23题）
新定义阅读型
2
Z函数
注重探究 关注过程教学
例14（2020宁波卷第24题）
新定义阅读型
2
遥望角
注重探究 关注过程教学
新定义阅读型
2
倍半四边形
例15（2021南浔区一模第24题）
注重探究 关注过程教学
例16（2019宁波卷第25题）
新定义阅读型
2
邻余四边形
分层评价类
3
注重探究 关注过程教学
例17（2018绍兴卷第23题）
Solo分层评价法是由澳大利亚心理学家比格斯教授提出的，是根据学生在学习过程中对于不同学习任务的表现，将学生具体分成前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平这五个水平。
注重探究 关注过程教学
例18（2019绍兴卷第21题）
分层评价类
3
注重探究 关注过程教学
例19（2019嘉兴卷第21题）
（3）从平均数、中位数、众数、方差等方面，选择合适的统计量进行分析，例如：
①从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同．
②从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
③从方差看，B小区居民对垃圾分类知识的掌握情况比A小区稳定．
分三个层次评价：
A层次：能从1个统计量进行分析；
B层次：能从2个统计量进行分析；
C层次：能从3个及以上统计量进行分析．
（符合A层次给1分，B层次给2分，C层次给4分）．
分层评价类
3
注重探究 关注过程教学
例20（2021温州卷第19题）
分层评价类
3
本题改编自七上教材第 6 章第 1 节课内练习第 2题，八下教材第 3 章目标与评定第 11 题。
一道学生乐于阅读且喜于参与的 SOLO 评价试题．在评分标准上，体现 SOLO 分类评价的基本理念，让不同层次的学生都能展示自己的能力水平，进一步体现分类评价与分层赋分的公平性与有效性，为今后的课堂教学起到良好的导向．
注重探究 关注过程教学
4
项目化学习
例21（2021台州卷第23题）
数学是其它学科研究中必不可少的工具，但长期以来，考查往往局限于数学学科知识，很少涉及。这与社会的发展与要求严重脱节．本题进行了大胆尝试，引入跨学科的情境，进行学科间的融合，考查学生学科综合实践素养．
教师应结合具体问题大力开展数学问题解决、数学建模活动，开展数学研究性学习，为学生运用所学知识解决实际问题创造条件和机会. 切切实实关注学生学习的体验过程，重视知识的发生过程，在学习中只有亲自动手操作实验、在探究中发现规律才会真正理解。
教学建议
注重探究 关注过程教学
案例4.九年级二次函数复习课课例
【案例4】九年级二次函数复习课课例.
图1
师：（问题1）如图1，你能说出哪些结论？
【评析】教师用一个开放型问题作为引入，不仅预热了学生的发散性思维，同时，也为后面的递进深入式探究做好了有效的思维铺垫.
1.呈现问题 开放提问
注重探究 关注过程教学
图1
2.追问跟进 层层递进
师（追问）：你能求出该二次函数的解析式吗？
生（稍作思考）：不能.
师：（问题2）那么请你自己添加一个条件，使得该二次函数解析式能求？
生：点B的坐标为（0，3）等.
生：我添加的条件是：△ABC的面积是6，也能求出二次函数的解析式.
【评析】学生平时习惯了对于给定条件求函数解析式的训练，这里的元问题（问题2）创设非常之巧妙，即能激发学生的开放型思维，又引导了学生带着逆向的思维来考虑问题，如此双向思维考虑问题便于快速地寻找到问题的本质.
图2
3.增设条件 探究深入
师：二次函数解析式就用刚才同学们求的最多的：
，连结线段BC，作出抛物线的对称轴，交x轴于点H，交BC于点K.如图2所示.
师：（问题3）能求出图中各点的坐标吗？
【评析】教师通过增设条件创设了问题3，进一步激发学生的探究欲.此问题起点较低，基础稍差的学生也都能积极思考并求出.可见，教师的设计面向全体学生，全体参与的理念落实到位.同时，也为接下来的进一步深入探究做好知识和思维的双重铺垫.
4.精准引导 自主提问
师：（问题4）根据以上信息，你能设计一个怎样的问题，来考考大家呢？请大家通过思考把自己所设计的问题记录下来，以便稍后的交流与互相解答.
图2
师：温馨提示一下，同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段长度；2.特殊角；3.三角形形状；4.图形的面积；……
【评析】教师通过问题1至问题3的创设，以及相关知识和思维的双重铺垫，顺理成章地引出了这样一个能激发学生自主探究欲的元问题（问题4），让课堂在生生互解问题的节奏中进行着，此刻的课堂完全交予学生.教师摆正了自己组织者和引导者的身份，充分保证了学生的全体参与和高效参与.相信，如此课堂设计定能有效提升学生提出问题和解决问题的能力.
图3
5.引导深入 经历变化
师：接下来，我们继续探究该函数图象在动态情况下的数形关系吧！（问题5）在x轴上取一动点P(m,0)，-3＜m＜-1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，根据以上条件，图3中哪些点的坐标、线段长度可以用m来表示？
【评析】让学生在探究中经历了“点动→线动→形动”的动态过程，也深刻体会到了“变中有变”和“变中有不变”，如：学生能发现除去几个定点之外，随着点P的运动，点Q、F、E也随之运动，因此这几个点的坐标都在发生变化.同理，跟这几个点相关的线段长度也都在改变，但是EF和EP的长度始终保持相等关系.有了这些重要结论的发现，为接下来的终极探究（相对于本节课）搭建好了思维的“脚手架”.
6.自主变式 探究生成
师：（问题6）根据以上信息，你能设计出怎样的问题来考考大家呢？
图3
师：同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段与线段长度或位置关系；2.三角形形状；3.面积问题；4.最值问题；……
生成问题1：设△CEF的面积为S，求S关于m的函数解析式.
（说明：同类问题不再一一赘述，如：△CEP、△BEF、△CBF等面积问题.下同）
生成问题2：当m为何值时，△CEF的面积最大？
生成问题3：当m为何值时，BF与x轴平行？
生成问题4：判断EF与EP的长度关系，并说明理由.
6.自主变式 探究生成
师：（问题6）根据以上信息，你能设计出怎样的问题来考考大家呢？
图3
师：同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段与线段长度或位置关系；2.三角形形状；3.面积问题；4.最值问题；……
生成问题5：在运动过程中，是否会存在QF=EF的情况，如存在，求出m的值，不存在，请说明理由？
生成问题6：当m为何值时，△BEF为等腰三角形？
生成问题7：当m为何值时，△BEF为直角三角形？
生成问题8：当m为何值时，△CEF与△CFB相似？
生成问题9：连结QC、QD，当m为何值时，△CDQ的面积最大？
……
师：（问题7）如果将点P的运动范围扩大，可以自由连线，你还能设计出怎样的问题呢？和同伴一起解决.
图3
课外拓展探究问题
【评析】有了之前一系列的知识储备和思维酝酿，教师所设计的元问题（问题6）终于引发了学生的一场探究大风暴和思维大碰撞.学生通过独立探究与合作探究，自主变式出了诸多新生成的问题，且水准较高，有几个问题甚至已涉及到分类思想，试想一下，能设计出如此问题的学生，还用担心同类知识点的掌握情况吗？纵观整个案例，教师通过别具匠心的元问题设计，不仅让学生在自主变式探究的过程中弄清了问题中各个量之间的本质联系，还通过解决同学设计的多种类型的新问题，从而达到了“做一题，会一类，通一片”的效果，同时，也教会了学生如何进行数学思考，大大地提升了学生分析问题、提出问题和解决问题的能力.
正方形中的动点问题探究
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈！
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，现从A出发，以2cm/s的速度沿边经A-B-C-D到达点D.设运动时间为t秒.
问题1：当点P运动3秒时，你知道点P到达什么位置？
问题2：当t =3秒时，你能求出DP的长吗？
P
初步感知
问题3：当t为何值时，点P到点D的距离为5cm？
（1）当点P在AB上时（0≤t ≤2）
可求得AP=3
∴ t=1.5
（2）当点P在BC上时（2＜t ≤4）
可求得CP=3
∴ t=2.5
感受变化
4
5
3
3
问题4：连结AP、DP，设△APD的面积为S，你能求出S关于t的函数关系式吗？
（1）当点P在线段AB上时,
（即0＜X≤2）
S=4t
(2)当点P在线段BC上时,
（即2＜X≤4）
S=8
(3)当点P在线段DC上时,（即4＜X＜6）
S=24-4t
整体感知
找准界点
分类讨论
化动为静
尝试应用
问题5：现另有一动点Q，以1cm/s的速度从D出发，沿DC方向运动，连结DP、BQ. 问是否存在这样的时间t，使得四边形BQDP为平行四边形？
变式拓展
问题6：另有一动点Q，以1cm/s的速度从D出发，沿正方形的边按顺时针方向运动，点P、Q分别从点A、D同时出发，相遇后同时停止，连结AP、PQ、QA.
根据以上信息，你能设计出一个怎样的问题？
提示：同学们可以从以下几个方面去思考：1.线段的关系 2.三角形形状；3.面积问题；……
结合信息 大胆提问
学生1：t为何值时，点P与点Q相遇？
问题6：另有一动点Q，以1cm/s的速度从D出发，沿正方形的边按顺时针方向运动，点P、Q分别从点A、D同时出发，相遇后同时停止，连结AP、PQ、QA.
学生2：t为何值时，△APQ是等腰三角形？
学生3：t为何值时，△APQ是直角三角形？
学生4：设△APQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
当t为何值时，S最大，最大值是多少？
......
【评析】本节课重点解决正方形中的动点问题的探究，包括单动点和双动点.上述案例片段，授课教师引导学生解决了5个较为简单基础的小问题作思维铺垫之后，设计了元问题6.旨在引导学生自主提出在正方形背景下的典型问题，包括特殊三角形形状问题，面积问题等，让学生在提出问题、分析问题和解决问题的过程中思维充分拓展，而且是向不同角度、不同背景、不同层面进行的延伸与拓展，追求思维发散点.
发展能力 指向思维教学
四
中考具有毕业与升学的双重功能，追求素养立意和能力考查，倡导教学走出“题海”．各地试卷在关键题特别是综合题和压轴题的设计上，突破传统考查方式，将知识、技能、方法与高阶思维的考查有机融合，指向数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模与数据分析等核心素养．
——摘自《2020年评价报告（数学）》
1.日常数学教学中忽视学生思维发展
2.当前数学学习过程中学生缺乏主动思维
3.急需发挥数学的育人价值
当前数学教学问题
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
建构初中数学生长型思维课堂，力图实现课堂结构和教学形态转型，让学生学有生长力的数学，促进学生的思维动力、思维能力、思维品质提升，促进学生主动学习、深度学习，助力学生的生命成长。
一种策略
发展能力 指向思维教学
数学思维：就是数学的思考问题和解决问题的思维活动形式，也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。
思维生长：是学生通过教师的“问题导学”方式，引导学生自主学习过程，在解决问题过程中不断发现新问题，不断生长新的数学知识、方法、经验，不断获得思维方式和思维品质的发展，促进数学思维逐步从低阶思维向高阶思维发展。
生长型思维课堂：是指学生围绕具有挑战性问题展开思维生长的课堂，即是以发展学生数学思维能力为核心标志，促进学生在数学上全面发展而充分成长的课堂。
三个概念
发展能力 指向思维教学
三大特征
1. 生长性
2. 结构性
3. 层次性
发展能力 指向思维教学
基本范式
褚水林老师独创
发展能力 指向思维教学
初中数学生长型核心概念课
1
初中数学生长型复习课
2
发展能力 指向思维教学
初中数学生长型核心概念课
1
数学核心概念：是数学概念的主体与核心，是进行判断推理的关键，在整个数学概念教学中占了主干地位，并起到了逻辑的连贯性与一致性作用，与其他基本数学概念一起，成为数学的重要组成部分。
发展能力 指向思维教学
生长型数学核心概念课：基于数学育人的价值，确立合理学习目标，通过创设一定情境，设计恰当学习活动，学生经历概念的形成、应用、精致过程，从而理解核心概念本质，生成概念系统，体验概念的价值，自然生长知识、方法、经验、思维，体验生命成长。生长型数学核心概念课，是学生自主学习与教师助学相融合的学习课堂，是师生共同成长的乐园。
初中数学生长型核心概念课
1
发展能力 指向思维教学
二种类型
形成型概念课
同化型概念课
初中数学生长型核心概念课
1
案例6.八下6.1反比例函数（1）
案例7.七下5.1分式方程（1）
发展能力 指向思维教学
案例6.八下6.1反比例函数（1）
3月18日-19日
金华金东
省风采展示
模拟上课
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
单元整体教学下核心概念课的设计
数学核心概念
是数学概念的主体与核心，是进行判断推理的关键，在整个数学概念教学中占了主干地位，并起到了逻辑的连贯性与一致性作用，与其他基本数学概念一起，成为数学的重要组成部分。
课题
1
发展能力 指向思维教学
准备
2
发展能力 指向思维教学
设计
3
1.新课导入
一稿
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
一稿
终稿
1.新课导入
发展能力 指向思维教学
设计
3
一稿
终稿
1.新课导入
发展能力 指向思维教学
设计
3
2.得出概念
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
2.得出概念
终稿
形成型
概念课教学
单元整体教学
发展能力 指向思维教学
设计
3
2.得出概念
终稿
同化型
概念课教学
发展能力 指向思维教学
设计
3
3.辨析概念
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
3.辨析概念
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
4.应用概念
一稿
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
5.实际应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
6.拓展应用
终稿
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
6.拓展应用
终稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
7.课后总结
一稿
发展能力 指向思维教学
设计
3
7.课后总结
终稿
单元整体教学
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
案例7.七下5.1分式方程（1）
4月6日
湖州南浔
区优质课
引导者： 湖州市南浔区和孚中学 沈陈
5.5 分式方程（1）
浙教版 七年级下册
环节一 所思
探索发现
某地电信公司调低了长途电话的话费标准，每分钟费用降低了25%，
因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分钟.
问前后两种收费标准每分钟收费各是多少？
新收费标准=原收费标准×(1-25%)；
新收费标准下通话时间-原收费标准下通话时间=5.
未知数在分母上
⑵如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程？
⑶该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
⑴主要等量关系是什么？
环节二 所得
观察下列方程
2(x－1)=x＋1； x+2y=1；x2＋x-20=0…
得出概念
方程两边都是整式的方程.
整式方程:
方程中只含分式，或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程.
分式方程：
二元一次方程
一元一次方程
拓展
一元二次方程
金语点睛
1.整式方程、分式方程的前提条件为：
是方程（含有未知数的等式）；
2.整式方程的关键为：方程两边都是整式；
3.分式方程的关键为：方程只含分式，或者整式和分式，且分母里含有未知数。
环节二 所得
辨析概念
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
分式方程
分式方程
分式方程
整式方程
整式方程
拓展
根式方程
环节二 所得
定位概念
等式
方程
一元一次方程
二元一次方程
一元二次方程
…
整式方程
分式方程
根式方程
…
研究的基本顺序
得概念
解方程
用方程
例1． 解分式方程：
环节三 所解
问题1：能否将分式方程转化为我们学过的一元一次方程来解？
问题2：转化为一元一次方程时，两边同乘什么式子比较合适？
问题3：解一元一次方程的基本步骤是什么？
7(2x-3)
金语点睛
1.步骤：分式方程 整式方程 解方程 检验，
即：一化、二解、三检验；
2.思想：转化思想（化归思想）。
例2． 解分式方程：
1.增根:使分式方程中分母为零的根叫做增根；
环节三 所解
金语点睛
解：方程的两边同乘(x-3)，得2-x=-1-2(x-3).
化简，得 x=3.
把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，
所以x=3不是原方程的根，原方程无解.
2.成因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根；
3.做法:解分式方程要书写验证过程，增根要舍去。
一元一次方程
变式 将分式方程： 去分母，求出所得整式
方程，该方程是否是一元一次方程？
拓展
一元二次方程
环节三 所解
后续可以解决
拓展1．当m为何值时，去分母解方程 会产生增根？
环节四 所拓
问题1：方程的增根是怎么产生的？
问题2：当x为何值时，原方程有增根？
去分母时，最简公分母可能为0.
解：方程的两边同乘(x-2)，
得 1-x=-m+x-2.
当x=2时，1-2=-m+2-2，
解得 m=1.
所以当m=1时，原方程有增根.
x=2
拓展2．合作学习：构造分式方程，且分式方程会产生增根x=2.
环节四 所拓
步骤：
1.构造整式方程（如一元一次方程），使得含有根x=2;
2.将整式方程转化为分式方程，如：两边都除以（x-2）等。
策略：逆向思维。
环节五 所悟
不等式
一元一次方程
二元一次方程
一元二次方程
…
一元一次不等式
…
整式方程
分式方程
根式方程
等式
方程
研究的基本顺序
得概念
解方程
用方程
回首展望
一化
二解
三检验
后续学习重点
发展能力 指向思维教学
初中数学生长型复习课
2
生长型数学复习课，由生长源（元问题）出发，基于基础与经验，在问题解决的过程中不断发现新问题，不断生长新的数学知识、方法、思维、经验链，形成核心知识间的结构关系，揭示方法规律，领悟数学思想，积累数学活动经验，提升数学思维品质，为学生生命成长助力，是学生自主学习与教师助学相融合的学习课堂。
发展能力 指向思维教学
二种类型
基础复习课
专题复习课
初中数学生长型复习课
2
案例8.再探三角形中位线
发展能力 指向思维教学
4月29日
湖州长兴
市优质课
案例8.再探三角形中位线
引导者： 湖州市南浔区和孚中学 沈陈
再探三角形中位线
浙教版 八年级下册
发展能力 指向思维教学
发展能力 指向思维教学
指向“思维生长”的教学策略
发展能力 指向思维教学
1.问题逆行寻源，从问题情境生长
发展能力 指向思维教学
2.大单元设计，从知识发展生长
发展能力 指向思维教学
3.图形“加减”，从改变条件生长
发展能力 指向思维教学
4.分析思维路径，从问题解法生长
数学教学方法的核心是学生的“再创造” 。
教师的任务就是为学生的发现、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。
结 束 语
——弗赖登塔尔
延时符
感谢您的倾听！
THE END
延迟符
同课章节目录