每天学习一点点，每天进步一点点
15.3 分式方程
15.3.1 分式方程及其解法
一、分式方程的概念
定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的特征：一是方程；二是方程中含分母；三是分母中含有未知数。
二、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路：①去分母（将方程两边同乘各分式的最简公分母）；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．
（2）解分式方程的一般步骤：
（3）检验分式方程解的方法
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例：解方程
解：方程两边乘，得
解得：
检验：当时，
所以，原分式方程的解为。
例：解方程
解：方程两边乘，得
解得：
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，所以原分式方程无解。
分式方程
【题型一】 分式方程的定义
【例1】 下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
【题型二】 列分式方程
【例2】某学校八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度。若设骑车学生的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
解分式方程
【题型三】 分式方程的解法
【例3】解下列方程：
（1）； （2）
【题型四】 分式方程的解
【例4】分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【题型五】 分式方程的增根
【例5】若方程有增根，则增根可能为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．1
分式方程解的应用
【题型六】 利用特殊解确定字母的值（范围）
【例6】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A. B. C.且 D.且
【题型七】 根据方程无解确定字母的值（范围）
【例7】若关于x的方程无解，求m的值。
1、下列各式中是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
2、解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3、若分式与分式的值相等，则 。
4、若分式方程无解，则的值是（ ）
A.1 B.2 C.－1 D.－2
5、已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围。
【观察】方程的解是；的解是；
的解是；
……
【发现】根据你的观察回答问题：
方程的解为 。
关于x的方程的解为 （用含的式子表示），并用“方程的解的概念”进行检验。
【类比】（3）关于x 的方程的解为 （用含，的式子表示）
1、2、3、每天学习一点点，每天进步一点点
15.3 分式方程
15.3.1 分式方程及其解法
一、分式方程的概念
定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的特征：一是方程；二是方程中含分母；三是分母中含有未知数。
二、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路：①去分母（将方程两边同乘各分式的最简公分母）；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．
（2）解分式方程的一般步骤：
（3）检验分式方程解的方法
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例：解方程
解：方程两边乘，得
解得：
检验：当时，
所以，原分式方程的解为。
例：解方程
解：方程两边乘，得
解得：
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，所以原分式方程无解。
分式方程
【题型一】 分式方程的定义
【例1】 下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】用分式方程的定义结合选项即可求解。
【解答】解：A、B、C都是整式方程，只有D是分式方程，符合题意。 故选：D
【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键。
【题型二】 列分式方程
【例2】某学校八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度。若设骑车学生的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【分析】设骑车学生的速度为x km/h，则乘车学生的速度为2x km/h，根据时间=路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程。
【解答】设骑车学生的速度为x km/h，则乘车学生的速度为2x km/h，
依题意，得：，故选：C
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键。
解分式方程
【题型三】 分式方程的解法
【例3】解下列方程：
（1）； （2）
【分析】（1）方程两边直接乘最简公分母；（2）将第二个分式的分母分解因式，再确定最简公分母。
【解答】解：
（1）方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为。
（1）方程两边同乘，得
解得
检验：当时，，因此不是原分式方程的解
所以，原分式方程无解。
【点睛】当分母互为相反数时，改变其中一个分数的及其分母的符号，然后去分母；当分母能分解因式时，先分解因式，再确定最简公分母。
【题型四】 分式方程的解
【例4】分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【分析】按照步骤解分式方程即可
【解答】
方程两边同乘x－1
得3－（x－1）=0
解得x=4
经检验x=4是原分式方程的解
故选：D
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验。
【题型五】 分式方程的增根
【例5】若方程有增根，则增根可能为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．1
【分析】根据增根的概念即可求解，要注意应舍去不合题意的解
【解答】∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，
∴x＝0或x＝2.
去分母得3x＝a(x－2)＋4，
当x＝0时，2a＝4，a＝2；
当x＝2时，6＝4，不成立，
∴增根只能为x＝0，故选A.
【点睛】增根：（1）分式方程化成的整式方程的根。（2）使分式方程的最简公分母为0；
分式方程解的应用
【题型六】 利用特殊解确定字母的值（范围）
【例6】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A. B. C.且 D.且
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可。
【解答】去分母得：，解得：，
由方程的解为正数，得到且，
则m是取值范围为且
故选：D
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
【题型七】 根据方程无解确定字母的值（范围）
【例7】若关于x的方程无解，求m的值。
【分析】将分式方程化为的形式：①当时，时无解；②当使最简公分母为0时无解。
【解答】解：方程两边同乘，得。
整理，得。
当时，一元一次方程无解，即原分式方程无解，此时；
当时，。原分式方程无解，
∴ ，即，解得或5。
综上所述，或或5。
【点睛】分式方程无解的两种情况：（1）分式方程化为整式方程，整式方程的解使最简公分母为0；（2）整式方程无解。本题易漏掉的情况。
1、下列各式中是分式方程的是（ D ）
A. B. C. D.
2、解分式方程时，去分母变形正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
3、若分式与分式的值相等，则 7 。
4、若分式方程无解，则的值是（ B ）
A.1 B.2 C.－1 D.－2
5、已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围。
解：方程两边乘，得.
解得.
∵原方程的解为正数，
∴，即.∴.
∵，∴，即.
∴幂的取值范围为且。
【观察】方程的解是；的解是；
的解是；
……
【发现】根据你的观察回答问题：
方程的解为 。
关于x的方程的解为 （用含的式子表示），并用“方程的解的概念”进行检验。
【类比】（3）关于x 的方程的解为 （用含，的式子表示）
解：（1）；
检验：把代入方程，得
左边右边，
所以是该分式方程的解。
（3）
1、2、3、
