金华十校 2022—2023学年第一学期期末模拟考试
高三数学试题卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分．考试时间 120分钟．试卷总分为 150分．请考生
按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1． 已知集合 A {x Z∣ 2 x 3},B x∣y 1 lnx ，则 A B
A． 2, 1,0,1, 2 B． 1,2 C． 2,e D． 0,e
2 3 4i
2． 已知O为坐标原点， z 在复平面内所对应的点为 Z，则直线OZ的方程为
1 i
A． y 7x B． y 7x
1 1
C． y x D． y x
7 7
2π r ur ur
3． 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ，若 a e1 2e2 ，b e1 me2 ，且 a b，则实数m 3
5 4 5 4
A． B． C． D．
4 5 4 5
cos 2 1 3
4 ． 已知 ，则 sin
sin cos 3 4
2 1 2 1A． B． C． D．
6 3 6 3
5． 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集．下图是其构造过程的图
示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的
1
一段，剩下两个闭区间[0, ] [
2
和 ,1]；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各
3 3
1 2 1 2 7 8
自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：[0, ]，[ , ]，[ , ]，[ ,1]；如此不断的构造下去，
9 9 3 3 9 9
最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集．若
经历 n步构造后，所有去掉的区间长度和为（注：
(a ,b)或 (a,b]或[a,b)或[a,b]的区间长度均为
b a） 第 5题图
A．1 (
1)n 2 1 2B．1 ( )n C 1 2 ( )n． D．1 2 ( )n
3 3 3 3
十校高三数学试卷—1（共 9 页）
6．已知正方体 ABCD A1B1C1D
1
1中，P为△ACD1内一点，且 S△PB S1D 3 △ACD
，设直线 PD与
1
A1C1所成的角为 ，则 cos 的取值范围为
A． 0,
3 3 1
B
1
． ,12 2
C． 0, 2 D．
,1
2
7． 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， F1,F2 为双曲
x2 y2
线 2 1(a 0,b 0)的两个焦点，l , l 为双曲线的两条渐近线，a b2 1 2
F1A垂直 l1于 A,F1A的延长线交 l2于 B，若 OA OB 2 AB ，则
双曲线的离心率为
A． 6 B． 5
6 第 7题图B C D 5． ． ．
2 2
8 x． 设方程 ex x e 0和 lnx x e 0的根分别为 p和q，函数 f x e p q x，则
4 2 2 4
A． f f f 0 B． f3 3 3 f f 0 3
f 2 f 0 f 4 f 0 f 2 f 4 C． D．3 3 3 3
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9． 已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则
A．a0＝2 B．a5＝16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5 D．a1＋a3＋a5＝120
10．如图，点M 是正方体 ABCD A1B1C1D1中的侧面 ADD1A1上的一个
动点，则
A．点M 存在无数个位置满足CM AD1
1
B．若正方体的棱长为1，三棱锥 B C1MD的体积最大值为 3
第 10题图
C．在线段 AD1上存在点M ，使异面直线B1M与CD所成的角是30
D．点M 存在无数个位置满足到直线 AD和直线C1D1的距离相等
十校高三数学试卷—2（共 9 页）
1
11 ．已知抛物线 x2 2y，点M (t, 1), t ,1 ，过 M作抛物线的两条切线MA,MB，其中 A， 2
B为切点，直线 AB与 y轴交于点 P，则
A．点 P的坐标为(0,1)
B．OA OB
C．△MAB的面积的最大值为3 3
| PA |
D． | PB |的取值范围是 [2,2 3]
12 *．已知 an 为非常数数列且an 0， a1 ， an 1 an sin 2an , R,n N ，则
A．对任意的 ， ，数列 an 为单调递增数列
B．对任意的正数 ，存在 n *， ， 0 n0 N ，当 n n0时， an 1
C．不存在 ， ，使得数列 an 的周期为 2
D．不存在 ， ，使得 an an 2 2an 1 2
非选择题部分（共 90 分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
1
13．已知幂函数 y f (x)的图像经过点 2, ，则 y f (x)单调递减区间是 ▲ ．
2
14．在平面直角坐标系中，圆W : x2 + y2 + dx+ ey+ f = 0（其中 d，e，f为实数）的一条直
径为 AB，其中 A(20,22) , B(10,30)，则 f的值为 ▲ ．
15．现准备将 6本不同的书全部分配给 5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少 2
本，其他班级允许 1本也没有，则不同的分配方案有 ▲ 种．（用数字作答）
1 x2 2 16．斜率为 的直线 l与椭圆C： y2 1交于 A，B两点，且 P
2 4
2, 在直线 l的左上
2
方．若 APB 90 ，则△PAB的面积为 ▲ ．
十校高三数学试卷—3（共 9 页）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分 10分)
已知等差数列 an 满足a3 a6 1,a6 a9 7．
(Ⅰ)求 an 的通项公式；
(Ⅱ)求数列 an 的前 n项和Tn．
18．(本题满分 12分)
如图，在三棱锥 A BCD中，AB AD，O为BD的中点，
AO CD．
(Ⅰ)证明：平面 ABD 平面 BCD；
(Ⅱ)若 OCD是边长为 1的等边三角形，点 E在棱 AD上，
DE 2EA，且二面角 E BC D的大小为 45 ，求三棱锥
A BCD的体积．
第 18题图
十校高三数学试卷—4（共 9 页）
19．(本题满分 12分)
为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的
值．养殖场将某周的 5000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分
布直方图：
第 19题图
(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计这 5000只家禽血液样本中A指标值的中位数（结果保
留两位小数）；
(Ⅱ)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值 X 服从正态分布
N 7.4,2.632 .
( i )若其中一个养殖棚有 1000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数
量（结果保留整数）；
( ii )在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的
发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检 20只，若某天发现抽检的 20
只家禽中恰有 3只血液中A指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否
正常，并说明理由．
参考数据：①0.022753 0.00001,0.9772517 0.7；
②若 X N , 2 ，则 P X 0.6827;P 2 X 2 0.9545.
十校高三数学试卷—5（共 9 页）
20．(本题满分 12分)
a cosB sinB
记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ．
a cosC sinC
(Ⅰ)若b c，证明： a2 b c；
2
(Ⅱ)若 B 2C，证明： 2c b ．
3
21．(本题满分 12分)
x2C : y
2
已知双曲线 1上一点 P(4,3)，直线 y x b(b 0)交C 于 A， B点．
4 3
(Ⅰ)证明：直线 PA与直线 PB的斜率之和为定值；
(Ⅱ)若△PAB的外接圆经过原点O，求△PAB的面积．
22．(本题满分 12分)
已知函数 f x x3 3ax a3 3 a R 恰有一个零点 x0，且 x0 0.
(Ⅰ)求 a的取值范围；
(Ⅱ)求 x0的最大值．
十校高三数学试卷—6（共 9 页）金华十校 2022—2023学年第一学期期末模拟考试
高三数学卷评分标准与参考答案
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B C B B
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合 题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的或不选的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 ABC ABD AC BCD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13． ( , 0)
24
和 (0, ) 14．860 15．1220 16．
25
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
a a 2a 7d 1
17．(Ⅰ)设等差数列 a 3 6 1n 的公差为 d，由题意可得 a ， 6 a9 2a1 13d 7
a1 3
解得 ，故 an a1 (n 1)d n 4d 1 ． ………………4分
( ) a n(n 1)d n
2 7n
Ⅱ 设数列 n 的前 n项和为 Sn，则 Sn a1n ． ………………6分2 2 2
2
当 n 3 a n 7n时， n 0,Tn Sn ； ………………7分2 2
当n 4时， an 0，则
Tn a1 a2 a3 a4 an S3 Sn S3 Sn 2S3
n2 7n 2
2 9 21 n 7n
2 2
12．
2 2 2 2
n2 7
n,n 3,n N
*
综上，T
2 2
n n2
． ………………10分
7
n 12,n 4,n N
*
2 2
18．(Ⅰ)因为 AB AD，O是 BD中点，所以OA BD，
又OA CD，CDIBD D，所以OA 平面 BCD，
十校高三数学期末模拟卷评分标准与参考答案—1（共 5 页）
因为OA 平面 ABD，平面 ABD 平面 BCD . ………………5分
(Ⅱ)以 O为坐标原点，OA为 z轴，OD为 y轴，过 O且垂直OD的直线为 x轴，建立如图空
间直角坐标系， OCD为边长为 1的等边三角形，
C( 3 , 1则 , 0)，D(0,1, 0)，B(0, 1,0)，设 A(0,0,m)，m 0，
2 2
1 2
因为DE 2EA，所以 E(0, , m)，
3 3
4 2 3 3 nr所以 EB (0, , m)， BC ( , ,0) ，设 x, y, z 为
3 3 2 2
平面EBC的一个法向量，
4
y
2
mz 0
EB n 0 3 3
则
，即 ，令 n ( 3m,m, 2)，
EC n 0 3
x
3
y 0
2 2
2m 2
又平面 BCD的一个法向量为OA 0,0,m ，所以 cos n,OA ，
m 4m2 4 2
解得m 1，所以 OA 1， ………………9分
S 2S 2 3 3 V 1 1 3 3 BCD OCD ，所以 A BCD ，4 2 3 2 6
3
所以三棱锥 A BCD的体积为 . ………………12分
6
19．(Ⅰ)由 2 0.02 0.06 0.14 0.44, 2 0.02 0.06 0.14 0.18 0.8可得中位数在 7,9
内，
设中位数为 x，则 2 0.02 0.06 0.14 x 7 0.18 0.5，解得 x 7.33； ………4分
(Ⅱ) 2（i）由 X N 7.4,2.63 .可得 P 7.4 2.63 X 7.4 2.63 P 4.77 X 10.03 0.6827，
P 4.77 X 10.03 则 P X 10.03 0.5 0.84135 ，1000 0.84135 841.35 841只；…8分
2
（ii） P 7.4 2 2.63 X 7.4 2 2.63 P 2.14 X 12.66 0.9545，
P X 12.66 1 0.9545 0.02275，随机抽检 20只相当于进行 20次独立重复实验，
2
设恰有 3只血液中A指标的值大于12.66为事件 B，则
P(B) C320 0.02275
3 1 0.02275 17 0.00798 1% ，
所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常. ………………12分
十校高三数学期末模拟卷评分标准与参考答案—2（共 5 页）
b c sin B b
20．(Ⅰ)证明：由正弦定理可得， ，所以 ，
sin B sinC sinC c
a2 c2 b2 a2 b2 c2
由余弦定理及其推论可得， cos B ， cosC ，
2ac 2ab
a a
2 c2 b2
2ac b
所以，由已知可得， 2
a a b
2 ， c 2 c ………………3分
2ab
即 2a2 b c 2 b2 c2 2 b c b c ，
因为b c，所以 a2 b c . ………………5分
(Ⅱ)证明：由已知得， sinB sin2C 2sinCcosC，
b c
又由正弦定理 可得，b 2ccosC，
sin B sinC
因为 cosC 1，所以 b 2c . ………………7分
b c
由(Ⅰ)知， a2 b c，则 a ，
a
a b c
又由正弦定理 sin A sin B sinC 可得，
a sin B sinC sin B sinC
sin A sin B C
sin B sinC 2sinC cosC sinC
sin B cosC cos B sinC 2sinC cosC cosC 2cos2 C 1 sinC
sinC 2cosC 1 1
4cos2C 1 sinC 2cosC 1，
b 1 b
又b 2ccosC，则 c ，将 a 以及 c 代入 2 可得，
2cosC 2cosC a b c 1 2cosC
1
2
b 1 2cosC
b b ，
2cosC 1 2cosC 2cosC
2 2
整理可得，b 2cosC 1 2cosC 1 1 2cosC 2cosC 1 1 2cosC 2cosC 1
， ………………10分
因为， B 2C， A B C π，所以0 C
π 1
，则 cosC 1 .
3 2
令 t 2cosC，则1 t 2，
2
b f t t 1 t
1 t t 1 t 3 t 2
，
t 1
十校高三数学期末模拟卷评分标准与参考答案—3（共 5 页）
2
t 1 2 t
1
7
则 4 8
f t ，
2t3 t2 t 1
所以，当1 t 2， f t 0恒成立，所以 f t 在 1,2 上单调递减.
2 2
所以， f t f 2 ，即b .
3 3
2c b 2综上所述， . ………………12分
3
21．(Ⅰ)证明：设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )．
x2 y2
1, 2 2 x x 8b,联立 4 3 得 x 8bx 4(b 3) 0，故
1 2
2 ………………2分
x1x2 4(b 3). y x b,
从而
k k y1 3 y2 3 x1 b 3 x2 b 3 2x1x2 (b 1)(x1 x2 ) 8(b 3)PA PB x1 4 x2 4 x1 4 x2 4 (x1 4)(x2 4)
8(b2 3) 8b(b 1) 8(b 3)
0为定值． ………………5分
(x1 4)(x2 4)
(Ⅱ)设 AB的中点为 C，△PAB外接圆的圆心为 D，易得C(4b, 3b)．
所以 AB的中垂线方程为 y x 7b，OP的中垂线方程为8x 6y 25 0 ，
y x 7b,
D(3b 25 25联立 解得 , 4b )． ………………6分
8x 6y 25 0, 14 14
由DO2 DB2 DC 2 ( AB )2 得
2
(3b 25)2 ( 4b 25
2
)2 2(b 25 )2 (x x ) 1 2
14 14 14 2
25 (x x )22(b )2 1 2 4x1x2 2(b 25)2 64b
2 16(b2 3)
．
14 2 14 2
整理得 7b2 25b 24 24 7 0，解得b 7（舍去）或b ． ………………9分
7
P x AB E E( 45过 作 轴的平行线交直线 于点 ，则 ,3)．
7
而
| y1 y2 | | ( x1 b) ( x2 b) | | x
2 2 2
1 x2 | (x1 x2 ) 4x1x2 64b 16(b 3)
十校高三数学期末模拟卷评分标准与参考答案—4（共 5 页）
4 3 b2 1 4 1581 ．
7
S 1 1 45 4 1581 146 1581所以 △PAB |PE | | x1 x2 | (4 ) ． ………………12分2 2 7 7 49
22．(Ⅰ)由题意可知 f (x) 3x2 3a，
当 a 0时， f (x)在 R上单调递增，
因为 f (0) a3 3 0， f ( a 2) ( a 2)3 3a( a 2) a3 3 9a2 18a 5 0，
所以 f (x)在区间 ( a 2,0)必有一个零点，符合题意；
当 a 0时，令 f (x) 0，得 x a
当 x a或 x a 时， f (x) 0，当 a x a 时， f (x) 0，
所以 f (x)在 ( , a )上递增， ( a , a )上递减， ( a, ) 上递增，
故要 f (x)恰有一个负零点，由 f ( | a | 2) 0，
故只需满足 f ( a ) 0，即 2a a a3 3 0，
令 t a a (0, )，故 t2 2t 3 0，
解得0 t 1，所以 1 a 0．
综上可得 a的取值范围为 a ( 1, )． ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a的取值范围为 a ( 1, )，故存在 x 3 30 0，使得方程 x0 3ax0 a 3 0成立，
令 g(a) a3 3x0a x
3
0 3，
即等价于 g(a)在 ( 1, )上有零点，即 g(a)min g( x0 ) 0 ，
g( 1) x30 3x0 2 x
2 3
0 1 x0 2 ， g(0) x0 3，
故当 x 30 3时， g(0) 0，存在零点；
当 3 3 x0 0时， g( 1) 0，
故只需 g(a)最小值 g( x
3
0 ) 2x0 x0 x0 3 0，
令m x0 x0 0, ，故m2 2m 3 0，解得0 m 1，所以 1 x0 x0 0．
可得 x0 1．即 x0的最大值为 1． ………………12分
十校高三数学期末模拟卷评分标准与参考答案—5（共 5 页）
