2022-2023学年河南省洛阳市伊川县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市伊川县九年级（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
函数中自变量的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
计算结果为( )
A. B. C. D.
点的位置如图所示，则关于点的位置下列说法中正确的是( )
A. 距点处 B. 北偏东方向上处
C. 在点北偏东方向上处 D. 在点北偏东方向上处
定义运算：例如：则方程的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为，则棋子丙的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，：：，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，点是平行四边形边上的一点，且，连接并延长交的延长线点，若，，则平行四边形的周长为( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如果，那么______．
如图，直线，，，，则的长是______．
已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为______．
如图所示，与是位似图形，点是位似中心，若，，则______．
如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：．
本小题分
先化简再求值：，其中．
本小题分
用配方法解一元二次方程：．
本小题分
已知关于的一元二次方程
若该方程有两个实数根，求的取值范围．
若方程的两个实数根为，，且，求的值．
本小题分
如图，在矩形中，是的中点，，垂足为，若，，求的长．
本小题分
某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到个．
求口罩日产量的月平均增长率；
按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
本小题分
如图，等边中，边长为，点是边上的动点，点、分别在边、上，且始终满足．
求证：∽；
当，时，求的长．
本小题分
如图， 中，点是延长线上一点，交于点，．
求证：∽
若的面积为，求 的面积．
若、分别为、的中点，、交于点，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：方程化为一般式为，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：．
先把方程化为一般式为，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项．
本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3.【答案】
【解析】解：原式，
故选：．
根据二次根式的乘除法法则，被开方数相乘除，根指数不变，进行计算，最后化成最简根式即可．
本题主要考查对二次根式的乘除法，二次根式的性质，最简二次根式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算和化简是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了有序数对确定位置，注意方向角的确定方法．
根据点的位置确定应该有参照物，方向以及距离，进而利用图象得出即可．
【解答】
解：，
点在点北偏东方向上处．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
根据新运算得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6.【答案】
【解析】解：、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出∽，故此选项符合题意；
D、当时，即，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系：
棋子丙的坐标是．
故选：．
先利用棋子甲的坐标为画出直角坐标系，然后可写出棋子丙的坐标．
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
为上一点，
，
∽，
，
，
，
故选：．
在平行四边形中，，则，得∽；再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出等式，即可求出：的值，再转化为：的值．
此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据平行四边形的性质和平行于三角形一边的直线交其它两边或两边的延长线，所得三角形与原三角形相似证明∽．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长，
故选：．
根据平行四边形的性质可得，，，从而证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设，则，
当∽时，，即，
解得，，
当∽时，，即，
解得，或，
可得：满足条件的点的个数有个．
故选：．
设，则，分∽和∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查了相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
11.【答案】
【解析】解：，
，
即．
故答案为：．
利用合比性质进行计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：线，
，
，，，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：实数、满足，
，，
解得：，，
，
一元二次方程的两个实数根分别为、，
，，
．
故答案为：．
根据非负性求得、的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得、，代入求解即可．
本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
14.【答案】
【解析】解：与是位似图形，
∽，
点是位似中心，
，而，
．
故答案为：．
由位似图形的性质可得，从而可得答案．
本题考查的是位似图形的性质，掌握“相似三角形的面积之比是相似比的平方”是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式．设这个黄金矩形较长的边长是，根据长方形的周长公式列出算式求出的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长．
【解答】
解：设这个黄金矩形较长的边长是，根据题意得：
，
解得：，
则这个黄金矩形较短的边长是．
故答案为：．
16.【答案】解：原式，
，
．
【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【解析】方程整理后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19.【答案】解：由题意可知：，
，
；
由题意可知：，，
，
，
，
解得：．
【解析】根据根的判别式即可求出的取值范围；
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于中等题型．
20.【答案】解：四边形是矩形，，
，，
，，
，
又，
∽，
，
是的中点，，
，
，
，
解得：．
【解析】直接利用矩形的性质结合相似三角形的判定方法得出∽，再利用相似三角形的性质得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出相似三角形是解题关键．
21.【答案】解：设口罩日产量的月平均增长率为，则二月份平均日产量为个，三月份平均日产量为个，
依题意得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：口罩日产量的月平均增长率为．
个，
答：预计四月份平均日产量为个．
【解析】设口罩日产量的月平均增长率为，则二月份平均日产量为个，三月份平均日产量为个，根据三月份平均日产量达到个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
利用四月份平均日产量三月份平均日产量增长率，即可预计出四月份平均日产量．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】证明：是等边三角形，
，
．
，
，
∽；
解：∽，
，
等边中，边长为，，，
，
，
解得：．
【解析】根据等边三角形的性质证明，进而可得结论；
由∽，可得，代入值即可求出的长．
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，证明∽是解题的关键．
23.【答案】证明： ，
，，
，
又是平行四边形，
，
∽
解：，，
∽，
，
∽，
，
，
，
的面积为，
，，
，
解：、为中点，
，，
：：：．
【解析】由平行四边形的性质即可推出，，即可求出结论；
根据平行四边形的性质很容易推出相互平行的边和相等的角，即可推出∽，∽，由，求出，然后即可推出相似三角形的面积之比，根据的面积为，继而求出，，再根据图形求出，最后计算出；
根据题意可知为的中位线，推出，即可推出．
本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等知识点，关键在于根据题意求证相关的三角形全等，运用数形结合的思想推出相关图形之间的关系．
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