苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角 【同步教案】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角 【同步教案】(解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 647.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 08:55:38 | ||
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文档简介
直线的斜率
1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2.斜率与直线倾斜程度的关系
(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜.
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜.
(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合
直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3.直线的斜率与倾斜角之间的关系
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足
当>0，为锐角，当<0时，为锐角，当=0时，=0°
当直线与x轴垂直时，-90°，直线的斜率不存在
例题1
若直线经过，两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
训练1
下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
训练2
已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
直线的倾斜角
例题1
已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
例题2
若直线的倾斜角为，则
A．等于 B．等于 C．等于 D．等于
训练1
若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
训练2
已知直线l经过点和点，则
A．斜率为定值，但倾斜角不确定 B．倾斜角为定值，但斜率不确定
C．斜率与倾斜角都不确定 D．斜率为，倾斜角为
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ）
A．0°≤α<180° B．15°<α<180°
C．15°≤α<180° D．15°≤α<195°
6．已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线的斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为
A． B． C．或 D．以上均不正确
二、多选题
8．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是，
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为2
三、填空题
11．直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为______________.
12．直线的倾斜角为_________________.
四、解答题
13．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1），；
（2），．
14．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
15．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
直线的斜率
1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2.斜率与直线倾斜程度的关系
(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜.
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜.
(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合
直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3.直线的斜率与倾斜角之间的关系
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足
当>0，为锐角，当<0时，为锐角，当=0时，=0°
当直线与x轴垂直时，-90°，直线的斜率不存在
例题1
若直线经过，两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两点求出直线的斜率，由，根据三角函数的性质即可求解.
【详解】
直线经过，两点，
，
，
，
.
故选：B
【点睛】考查了两点求直线的斜率、直线的倾斜角与斜率之间的关系
例题2
已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．
【详解】
易求得线段的方程为，得，
由直线的方程得
，
当时，，此时，；
当时，，此时，．
因此，实数的取值范围是或，故选A．
【点睛】考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围
训练1
下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
【答案】C
【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.
【详解】
倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.
故选：C.
【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：
（1）当直线倾斜角为时，直线的斜率不存在；
（2）倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；
（3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数分析定义域与值域的关系.
训练2
已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意表示出，再根据的取值范围及斜率与倾斜角的关系计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
设倾斜角为，，则，
所以.
故选：B
【点睛】考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性
直线的倾斜角
例题1
已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角的正弦值，由倾斜角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出倾斜角的余弦函数值，然后求出倾斜角的正切值即为此直线的斜率．
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
所以
所以，所以此直线的斜率是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系．
例题2
若直线的倾斜角为，则
A．等于 B．等于 C．等于 D．等于
【答案】C
【分析】根据直线方程判断该直线与轴的位置关系，即可求出该直线的倾斜角.
【详解】
因为直线与轴垂直，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，解题时要求出直线的斜率，并理解斜率与倾斜角之间的关系
训练1
若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【分析】根据直线倾斜角的定义及直线的图象可知，与轴的正方向所成交可能为或.
【详解】
如图所示，直线有两种情况，故的倾斜角为或.
【点睛】考查了直线倾斜角的概念
训练2
已知直线l经过点和点，则
A．斜率为定值，但倾斜角不确定 B．倾斜角为定值，但斜率不确定
C．斜率与倾斜角都不确定 D．斜率为，倾斜角为
【答案】D
【分析】先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.
【详解】
由已知，直线的斜率，所以直线的倾斜角为．选D.
【点睛】考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率后可得倾斜角．
【详解】
经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为 ，则，
又，所以.
故选：B
2．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可得出结论.
【详解】
解:由可得,
所以.
故选:B
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由斜率即可求出倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则，，.
故选：C.
4．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
5．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ）
A．0°≤α<180° B．15°<α<180°
C．15°≤α<180° D．15°≤α<195°
【答案】D
【分析】由直线的倾斜角的取值范围求解即可.
【详解】
设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°.
6．已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线方程可知，直线与x轴垂直，所以其倾斜角为.
【详解】
根据题意，直线l：x，是与x轴垂直的直线，其倾斜角为．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线的倾斜角
7．已知直线的斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为
A． B． C．或 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】由题意知，根据即可求解.
【详解】
设直线的倾斜角为，则由题意知，又，
所以当 时，；
当时，.
故选：C.
【点睛】考查了直线倾斜角与斜率的定义，考查了基本知识.
二、多选题
8．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【答案】AD
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；
【详解】
平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；
若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错；
若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错；
若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确；
故选：AD.
【点睛】考查斜率与倾斜角的相关概念.
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
【答案】CD
【分析】根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，错误；
对于，直线的倾斜角的范围为，，错误；
对于，直线的倾斜角的范围为，，则有，正确；
对于，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，正确；
故选：．
【点睛】考查直线的倾斜角、斜率，注意倾斜角、斜率的关系．
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是，
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D．直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为2
【答案】BCD
【分析】由倾斜角和斜率的定义及关系进行判断即可.
【详解】
解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以A正确；
对于B，直线的倾斜角的取值范围中不含180度，所以B不正确；
对于C，当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以C不正确；
对于D，直线y=3x﹣2 在y轴上的截距应为-2，所以D不正确
故选：BCD
【点睛】考查了倾斜角和斜率之间的关系
三、填空题
11．直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.
【答案】90°
【分析】由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．
【详解】
解：因为l1的斜率k1=，所以倾斜角为60°.
又l1的倾斜角为l1的，所以l2的倾斜角为30°，
所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.
故答案为：90°．
12．直线的倾斜角为_____.
【答案】
【分析】把直线方程化作斜截式，得到斜率，进而可求出倾斜角.
【详解】
由可得.
设斜率为，倾斜角为，则.
又，所以.
故答案为：.
【点睛】考查直线的倾斜角.
四、解答题
13．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1），；
（2），．
【答案】（1），锐角；（2），钝角.
【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.
【详解】
设倾斜角为，
（1）因为，所以，所以为锐角；
（2）因为，所以，所以为钝角.
14．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.
【分析】
（1）（2）过两点的斜率存在，直接利用斜率公式求解即可，当斜率为正时，其倾斜角是锐角，当斜率为负时，其倾斜角是钝角；（3）由于两点的横坐标相同，所以其斜率不存在，则倾斜角为90°.
【详解】
解：（1）kAB=，
因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.
（2）kPQ=，
因为kPQ<0，
所以直线PQ的倾斜角是钝角.
（3）因为xM=xN=3，
所以直线MN的斜率不存在，
其倾斜角为90°.
15．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
根据倾斜角与斜率的关系：进行逐个求解即可.
【详解】
设直线的斜率为，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
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1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2.斜率与直线倾斜程度的关系
(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜.
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜.
(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合
直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3.直线的斜率与倾斜角之间的关系
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足
当>0，为锐角，当<0时，为锐角，当=0时，=0°
当直线与x轴垂直时，-90°，直线的斜率不存在
例题1
若直线经过，两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
训练1
下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
训练2
已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
直线的倾斜角
例题1
已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
例题2
若直线的倾斜角为，则
A．等于 B．等于 C．等于 D．等于
训练1
若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
训练2
已知直线l经过点和点，则
A．斜率为定值，但倾斜角不确定 B．倾斜角为定值，但斜率不确定
C．斜率与倾斜角都不确定 D．斜率为，倾斜角为
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ）
A．0°≤α<180° B．15°<α<180°
C．15°≤α<180° D．15°≤α<195°
6．已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线的斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为
A． B． C．或 D．以上均不正确
二、多选题
8．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是，
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为2
三、填空题
11．直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为______________.
12．直线的倾斜角为_________________.
四、解答题
13．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1），；
（2），．
14．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
15．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
直线的斜率
1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2.斜率与直线倾斜程度的关系
(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜.
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜.
(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合
直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3.直线的斜率与倾斜角之间的关系
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足
当>0，为锐角，当<0时，为锐角，当=0时，=0°
当直线与x轴垂直时，-90°，直线的斜率不存在
例题1
若直线经过，两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两点求出直线的斜率，由，根据三角函数的性质即可求解.
【详解】
直线经过，两点，
，
，
，
.
故选：B
【点睛】考查了两点求直线的斜率、直线的倾斜角与斜率之间的关系
例题2
已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．
【详解】
易求得线段的方程为，得，
由直线的方程得
，
当时，，此时，；
当时，，此时，．
因此，实数的取值范围是或，故选A．
【点睛】考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围
训练1
下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
【答案】C
【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.
【详解】
倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.
故选：C.
【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：
（1）当直线倾斜角为时，直线的斜率不存在；
（2）倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；
（3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数分析定义域与值域的关系.
训练2
已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意表示出，再根据的取值范围及斜率与倾斜角的关系计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
设倾斜角为，，则，
所以.
故选：B
【点睛】考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性
直线的倾斜角
例题1
已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角的正弦值，由倾斜角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出倾斜角的余弦函数值，然后求出倾斜角的正切值即为此直线的斜率．
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
所以
所以，所以此直线的斜率是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系．
例题2
若直线的倾斜角为，则
A．等于 B．等于 C．等于 D．等于
【答案】C
【分析】根据直线方程判断该直线与轴的位置关系，即可求出该直线的倾斜角.
【详解】
因为直线与轴垂直，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，解题时要求出直线的斜率，并理解斜率与倾斜角之间的关系
训练1
若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【分析】根据直线倾斜角的定义及直线的图象可知，与轴的正方向所成交可能为或.
【详解】
如图所示，直线有两种情况，故的倾斜角为或.
【点睛】考查了直线倾斜角的概念
训练2
已知直线l经过点和点，则
A．斜率为定值，但倾斜角不确定 B．倾斜角为定值，但斜率不确定
C．斜率与倾斜角都不确定 D．斜率为，倾斜角为
【答案】D
【分析】先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.
【详解】
由已知，直线的斜率，所以直线的倾斜角为．选D.
【点睛】考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率后可得倾斜角．
【详解】
经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为 ，则，
又，所以.
故选：B
2．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可得出结论.
【详解】
解:由可得,
所以.
故选:B
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由斜率即可求出倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则，，.
故选：C.
4．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
5．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ）
A．0°≤α<180° B．15°<α<180°
C．15°≤α<180° D．15°≤α<195°
【答案】D
【分析】由直线的倾斜角的取值范围求解即可.
【详解】
设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°.
6．已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线方程可知，直线与x轴垂直，所以其倾斜角为.
【详解】
根据题意，直线l：x，是与x轴垂直的直线，其倾斜角为．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线的倾斜角
7．已知直线的斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为
A． B． C．或 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】由题意知，根据即可求解.
【详解】
设直线的倾斜角为，则由题意知，又，
所以当 时，；
当时，.
故选：C.
【点睛】考查了直线倾斜角与斜率的定义，考查了基本知识.
二、多选题
8．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【答案】AD
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；
【详解】
平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；
若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错；
若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错；
若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确；
故选：AD.
【点睛】考查斜率与倾斜角的相关概念.
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
【答案】CD
【分析】根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，错误；
对于，直线的倾斜角的范围为，，错误；
对于，直线的倾斜角的范围为，，则有，正确；
对于，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，正确；
故选：．
【点睛】考查直线的倾斜角、斜率，注意倾斜角、斜率的关系．
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是，
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D．直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为2
【答案】BCD
【分析】由倾斜角和斜率的定义及关系进行判断即可.
【详解】
解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以A正确；
对于B，直线的倾斜角的取值范围中不含180度，所以B不正确；
对于C，当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以C不正确；
对于D，直线y=3x﹣2 在y轴上的截距应为-2，所以D不正确
故选：BCD
【点睛】考查了倾斜角和斜率之间的关系
三、填空题
11．直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.
【答案】90°
【分析】由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．
【详解】
解：因为l1的斜率k1=，所以倾斜角为60°.
又l1的倾斜角为l1的，所以l2的倾斜角为30°，
所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.
故答案为：90°．
12．直线的倾斜角为_____.
【答案】
【分析】把直线方程化作斜截式，得到斜率，进而可求出倾斜角.
【详解】
由可得.
设斜率为，倾斜角为，则.
又，所以.
故答案为：.
【点睛】考查直线的倾斜角.
四、解答题
13．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1），；
（2），．
【答案】（1），锐角；（2），钝角.
【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.
【详解】
设倾斜角为，
（1）因为，所以，所以为锐角；
（2）因为，所以，所以为钝角.
14．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.
【分析】
（1）（2）过两点的斜率存在，直接利用斜率公式求解即可，当斜率为正时，其倾斜角是锐角，当斜率为负时，其倾斜角是钝角；（3）由于两点的横坐标相同，所以其斜率不存在，则倾斜角为90°.
【详解】
解：（1）kAB=，
因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.
（2）kPQ=，
因为kPQ<0，
所以直线PQ的倾斜角是钝角.
（3）因为xM=xN=3，
所以直线MN的斜率不存在，
其倾斜角为90°.
15．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
根据倾斜角与斜率的关系：进行逐个求解即可.
【详解】
设直线的斜率为，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
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