2.2.1 二次函数的图象与性质 教案
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2.2.1 二次函数的图象与性质 教学设计
课题 2.2.1 二次函数的图象与性质 单元 第2 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好。只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节.
核心素养分析 1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验． 2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维． 3.通过从“解析式”到“作图”的学习过程，锻炼学生建立数与形之间的联系的能力，领会数形结合思想.
学习目标 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质． 2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
重点 根据图象认识和理解二次函数和的性质和异同．
难点 建立二次函数表达式与图象之间的联系．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）【复习引入】你还记得学习过哪些函数吗？一次函数、反比例函数.怎么研究这些函数？1.解析式2.图象3.性质4.应用画一个函数图象的基本步骤是什么？描点法：1.列表 2.描点 3.连线想一想，动手画一画：能否用描点法，画出二次函数y=x 的图象呢？列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.2.描点：根据表中x和y的数值，在直角坐标系中描点.3.连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x 的图象.观察图象，尝试回答以下问题：1.你能描绘图象的形状吗？二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.2.图象和x轴有交点吗？ 如果有，交点坐标是什么？有交点，交点坐标是（0，0）.3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？ 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.4.当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？当x=0时，y的最小值为0.5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请同学们找出几对对称点，并与同学交流.是轴对称图形，对称轴是y轴.顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点. 思考自议回顾函数学习时从“解析式”到“作图”的学习过程，复习“描点法”的三个步骤，帮助学生体会函数的研究过程，为接下来类比学习二次函数的图像和性质做铺垫.． 设置问题，引发学生思考并回顾学过的函数以及研究函数的方法，与结语首尾呼应，无形中强调“方法”的重要性.
讲授新课 提炼概念 归纳：1.一条抛物线2.开口向上3.关于y轴（直线x=0）对称4.有顶点（0，0）， 也是最低点.5.增减性： x＜0，y随x增大而减小；x＞0，y随x增大而增大.典例精讲 例：作出二次函数的图象：（1）列表：观察的表达式，选择适当的值，填写下表：（2）描点：在直角坐标系中描点：用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象归纳：1.形状2.开口方向3.对称轴4.顶点5.增减性归纳：1.一条抛物线2.开口向下3.关于y轴（直线x=0）对称4.有顶点（0，0）， 也是最高点.5.增减性： x＜0，y随x增大而增大； x＞0，y随x增大而减小.观察并比较二次函数y=x 的图象与y=-x 的图象，它们有什么共同点，又有什么区别？思考：在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？ (抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画) .在学习了二次函数y=x 的作图方法的基础上，引导学生类比学习二次函数y=x 的作图方法，强化学生对描点法的三个步骤的运用，积累运用描点法做出函数图象的经验. 引导学生从形状、开口方向、对称轴、顶点、增减性这五个方面，尝试自主类比归纳二次函数y=-x 的性质，经历探索知识的过程，真正让获取知识的方法内化.不仅能激发学生思考，而且提高学生自主探究和归纳总结的能力，积累数学基本活动经验.
课堂练习 四、巩固训练1．若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）A．2 B．-2 C．±2 D．1A2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，则下列结论正确的是（ ）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3A3．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1,a2,a3,a4的大小关系是（ ）A．a1＞a2＞a3＞a4 B．a2＞a1＞a4＞a3C．a2＞a1＞a3＞a4 D．a1＞a2＞a4＞a3A4．已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，则m的范围是 ___________．【答案】m＜-15．关于抛物线y=-x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当-1＜x＜2时，-4＜y＜-1；④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则m+n=0．其中正确的说法有 _____．【答案】①②④【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．6．根据下列条件分别求a的取值范围．(1)函数y=(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；(3)抛物线y=(a+2)x2与y=-1/2x2的形状相同；(4)函数y=ax2的图象是开口向上的抛物线．【答案】(1)a＜2 ；(2)a＜2/3 ；(3) a=-3/2或 5/2；(4)a＞0 ．【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
课堂小结
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课题 2.2.1 二次函数的图象与性质 单元 第2 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好。只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节.
核心素养分析 1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验． 2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维． 3.通过从“解析式”到“作图”的学习过程，锻炼学生建立数与形之间的联系的能力，领会数形结合思想.
学习目标 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质． 2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
重点 根据图象认识和理解二次函数和的性质和异同．
难点 建立二次函数表达式与图象之间的联系．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）【复习引入】你还记得学习过哪些函数吗？一次函数、反比例函数.怎么研究这些函数？1.解析式2.图象3.性质4.应用画一个函数图象的基本步骤是什么？描点法：1.列表 2.描点 3.连线想一想，动手画一画：能否用描点法，画出二次函数y=x 的图象呢？列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.2.描点：根据表中x和y的数值，在直角坐标系中描点.3.连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x 的图象.观察图象，尝试回答以下问题：1.你能描绘图象的形状吗？二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.2.图象和x轴有交点吗？ 如果有，交点坐标是什么？有交点，交点坐标是（0，0）.3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？ 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.4.当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？当x=0时，y的最小值为0.5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请同学们找出几对对称点，并与同学交流.是轴对称图形，对称轴是y轴.顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点. 思考自议回顾函数学习时从“解析式”到“作图”的学习过程，复习“描点法”的三个步骤，帮助学生体会函数的研究过程，为接下来类比学习二次函数的图像和性质做铺垫.． 设置问题，引发学生思考并回顾学过的函数以及研究函数的方法，与结语首尾呼应，无形中强调“方法”的重要性.
讲授新课 提炼概念 归纳：1.一条抛物线2.开口向上3.关于y轴（直线x=0）对称4.有顶点（0，0）， 也是最低点.5.增减性： x＜0，y随x增大而减小；x＞0，y随x增大而增大.典例精讲 例：作出二次函数的图象：（1）列表：观察的表达式，选择适当的值，填写下表：（2）描点：在直角坐标系中描点：用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象归纳：1.形状2.开口方向3.对称轴4.顶点5.增减性归纳：1.一条抛物线2.开口向下3.关于y轴（直线x=0）对称4.有顶点（0，0）， 也是最高点.5.增减性： x＜0，y随x增大而增大； x＞0，y随x增大而减小.观察并比较二次函数y=x 的图象与y=-x 的图象，它们有什么共同点，又有什么区别？思考：在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？ (抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画) .在学习了二次函数y=x 的作图方法的基础上，引导学生类比学习二次函数y=x 的作图方法，强化学生对描点法的三个步骤的运用，积累运用描点法做出函数图象的经验. 引导学生从形状、开口方向、对称轴、顶点、增减性这五个方面，尝试自主类比归纳二次函数y=-x 的性质，经历探索知识的过程，真正让获取知识的方法内化.不仅能激发学生思考，而且提高学生自主探究和归纳总结的能力，积累数学基本活动经验.
课堂练习 四、巩固训练1．若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）A．2 B．-2 C．±2 D．1A2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，则下列结论正确的是（ ）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3A3．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1,a2,a3,a4的大小关系是（ ）A．a1＞a2＞a3＞a4 B．a2＞a1＞a4＞a3C．a2＞a1＞a3＞a4 D．a1＞a2＞a4＞a3A4．已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，则m的范围是 ___________．【答案】m＜-15．关于抛物线y=-x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当-1＜x＜2时，-4＜y＜-1；④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则m+n=0．其中正确的说法有 _____．【答案】①②④【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．6．根据下列条件分别求a的取值范围．(1)函数y=(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；(3)抛物线y=(a+2)x2与y=-1/2x2的形状相同；(4)函数y=ax2的图象是开口向上的抛物线．【答案】(1)a＜2 ；(2)a＜2/3 ；(3) a=-3/2或 5/2；(4)a＞0 ．【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
课堂小结
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