2.2.1 二次函数的图象与性质 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
2.2.1 二次函数的图象与性质
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1.会用描点法画二次函数y=x 与y=-x 的图象．
2.通过对二次函数y=x 与y=-x 图象的探究，理解并掌握y=x
与y=-x 的性质．
3.积累利用图象研究函数性质的经验，体会函数图象在研究函
数性质中的作用，感受数形结合的思想.
教学重点:通过对二次函数y=x 与y=-x 图象的探究，理解并掌握y=x
与y=-x 的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
你还记得学习过哪些函数吗？
怎么研究这些函数？
一次函数、反比例函数
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
【复习引入】
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
画一个函数图象的基本步骤是什么？
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
2）描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
3）连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
你能通过这种方法画出二次函数的图象吗？
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
观察思考
x … …
y=x … 　 　 　 　 　 　 …
1.列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
2.描点：根据表中x和y的数值，在直角坐标系中描点.
(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0), (1,1),(2,4),(3,9).
3.连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x 的图象.
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
观察图象，尝试回答以下问题：
1.你能描绘图象的形状吗？
二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；
x＜0
x＞0
当x＞0时，y随x的增大而增大.
4.当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？
5.图象是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
当x=0时，
是轴对称图形，对称轴是y轴.
请同学们找出几对对称点，并与同学交流.
(-,)
(,)
(-,)
(,)
顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
提炼概念
归纳：
1.一条抛物线
2.开口向上
3.关于y轴（直线x=0）对称
4.有顶点（0，0），
也是最低点.
5.增减性：
x＜0，y随x增大而减小；
x＞0，y随x增大而增大.
典例精讲
例：画出函数y=－x2的图象，并仿照y=x2的性质说
出y=－x2有哪些性质？
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
（1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
抛物线关于y轴对称.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
图象是一条开口向下的抛物线.
当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
归纳概念
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
课堂练习
1．若抛物线 的开口向上，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线 的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，则下列结论正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，确定对称轴为y轴，看(1,y1),(2,y2),(-3,y3)到对称轴的距离，当二次函数图像开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，比较各点到对称轴的距离即可确定函数值大小．
3．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1,a2,a3,a4的大小关系是（ ）
A．a1＞a2＞a3＞a4 B．a2＞a1＞a4＞a3
C．a2＞a1＞a3＞a4 D．a1＞a2＞a4＞a3
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
4．已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，则m的范围是 ___________．
【答案】m＜-1
【详解】解：∵y=(m+1)x2，
∴抛物线顶点坐标为(0,0)，
当m+1＜0时，抛物线有最高点，
∴m＜-1，
故答案为：m＜-1．
5．关于抛物线y=-x2，给出下列说法：
①物线开口向下，顶点是原点；
②当x＞1时，y随x的增大而减小；
③当-1＜x＜2时，-4＜y＜-1；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则m+n=0．
其中正确的说法有 _____．
【答案】①②④
【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵y=-x2，
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x＞1时，y随x的增大而减小，故该项正确；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数y=(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
(3)抛物线y=(a+2)x2与y=-的形状相同；
(4)函数y=ax2的图象是开口向上的抛物线．
【答案】(1)a＜2 ；(2)a＜ ；(3) a=-或 ；(4)a＞0 ．
【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
课堂总结
二次函数y=x2和y=－x2图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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