二倍角的正弦、余弦、正切（一）
●教学目标
(一)知识目标
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
(1)sin2 ＝2sin cos ( 为任意角)
(2)cos2 ＝cos2 -sin2 ( 为任意角)
＝2cos2 -1＝1-2sin2
(3)tan2 ＝( ≠＋k ，且 ≠＋，k∈Z)
(二)能力目标
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2．能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明．
(三)德育目标
1．引导学生发现数学规律；
2．让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3．培养学生的创新意识．
●教学重点
1．二倍角公式的推导；
2．二倍角公式的简单应用．
●教学难点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数．
●教学方法
让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力．(启发诱导式)
●教具准备
二倍角公式： sin2 ＝2sin cos ( 为任意角) cos2 ＝cos2 -sin2 ( 为任意角) tan2 ＝(k∈Z) ≠＋k 且 ≠＋) 利用sin2 ＋cos2 ＝1，公式C2 还可变形为： cos2 ＝2cos2 -1或cos2 ＝1-2sin2
练习题：
1．已知cos ＝m， 在第二象限，求sin2 ，cos2 ，tan2 的值． 2．化简cos2( ＋15°)＋cos2( -15°)-cos2
Ⅰ．课题导入
［师］前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式．我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢 请同学们试推．
［生］先回忆和角公式
sin( ＋ )＝sin cos ＋cos sin
当 ＝ 时，sin( ＋ )＝sin2 ＝2sin cos
即：sin2 ＝2sin cos (S2 )
cos( ＋ )＝cos cos -sin sin
当 ＝ 时cos( ＋ )＝cos2 ＝cos2 -sin2
即：cos2 ＝cos2 -sin2 (C2 )
tan( ＋ )＝
当 ＝ 时，tan2 ＝
(打出幻灯片§4．7．1 A，让学生对照)．
Ⅱ．讲授新课
［师］同学们推证所得结果是否与此结果相同呢 其中由于sin2 ＋cos2 ＝1，公式C2 还可以变形为：cos2 ＝2cos2 -1或：cos2 ＝1-2sin2 同学们是否也考虑到了呢
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式S2 、C2 中，角 可以是任意角；但公式T2 只有当 ≠＋k 及 ≠＋(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当 ＝＋k ，k∈Z时，tan 的值不存在；当 ＝＋，k∈Z时tan2 的值不存在)．
当 ＝＋k (k∈Z)时，虽然tan 的值不存在，但tan2 的值是存在的，这时求tan2 的值可利用诱导公式：
即：tan2 ＝tan2(＋k )＝tan( ＋2k )
＝tan ＝0
(2)在一般情况下，sin2 ≠2sin
例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当 ＝k (k∈Z)时，sin2 ＝2sin ＝0成立］．
同样在一般情况下cos2 ≠2cos ；tan2 ≠2tan
(3)倍角公式不仅可运用于将2 作为 的2倍的情况，还可以运用于诸如将4 作为 2 的2倍，将 作为的2倍，将作为的2倍，将3 作为的2倍等等．
下面，来看一些例子：
［例1］已知sin ＝， ∈(， )，求sin2 ，cos2 ，tan2 的值．
解：∵ sin ＝， ∈(， )
∴ cos ＝-
＝-
＝-
∴ sin2 ＝2sin cos
＝2××(-)
＝-，
cos2 ＝1-2sin2
＝1-2×()2
＝，
tan2 ＝．
(打出幻灯片§4．7．1 B，师生共同完成)．
［师］1．题中cos ＝m，由此虽不能确定sin 的值，但由于已知 所在象限，所以也可确定其符号，从而求解．
［生］解：∵ cos ＝m， 在第二象限．
∴ sin ＝
∴ sin2 ＝2sin cos ＝2·m
＝2m
cos2 ＝2cos2 -1＝2m2-1
tan2 ＝
或由tan ＝
tan2 ＝
［师］2．分析：由于观察到此式中的角出现了 ＋15°、 -15°与2 ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的．
［生］解：cos2( ＋15°)＋cos2( -15°)-cos2
＝cos2
＝1＋［cos(2 ＋30°)＋cos(2 -30°)］-cos2
＝1＋［cos2 cos30°-sin2 sin30°＋cos2 cos30°＋sin2 sin30°］-cos2
＝1＋×2cos2 cos30°-cos2
＝1＋cos2 -cos2 ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
sin2 ＝，cos2 ＝，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化．
Ⅲ．课堂练习
［生］(板演练习)课本P44 1、3、4．
解：1．(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝
(2)cos2-sin2＝cos＝
(3)2cos2-1＝cos＝
(4)1-2sin275°＝cos150°＝-
(5)＝tan45°＝1
(6)sin15°cos15°＝sin30°＝
(7)1-2sin2750°＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝
(8)＝tan300°＝-
3．解：∵ sin ＝0.8 ( ∈(0，))
∴ cos ＝0.6
∴ sin2 ＝2sin cos ＝0.96
cos2 ＝1-2sin2 ＝-0.28
4．解：∵ tan ＝
∴ tan2 ＝
Ⅳ．课时小结要
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律．
Ⅴ．课后作业
●备课资料
1．若270°＜ ＜360°，则等于( )
A．sin B．cos
C．-sin D．-cos
解：∵ cos2 ＝2cos2 -1 cos ＝2cos2-1
∴ ＝
＝
又∵ 270°＜ ＜360° 135°＜＜180°
∴ 原式＝
＝
＝＝-cos
答案：D
2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20°
∴ 原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×
＝×
＝×
＝
3．求证：8cos4 ＝cos4 ＋4cos2 ＋3
证明：8cos4 ＝8(cos2 )2
＝8()2
＝2(cos22 ＋2cos2 ＋1)
＝2()＋4cos2 ＋2
＝cos4 ＋4cos2 ＋3
4．若sin cos ＞0，则 在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
解法一：定性分析法
由sin cos ＞0，知sin 与cos 同号(同正或同负)．
故选B．
解法二：定量分析法
由sin cos ＝sin2 ＞0，得2k ＜2 ＜2k ＋ ，k∈Z，即k ＜ ＜k ＋，k∈Z．
当k为偶数时， 在第一象限；
当k为奇数时， 在第三象限．
故选B
解法三：特殊值法
取 ＝、、，知应排除A、C、D．
答案：B
5．(2003年高考理2)已知x∈(-，0)，cosx＝，则tan2x等于( )
A． B．-
C． D．-
基本解法：∵ x∈(-，0)
又∵ cosx＝ ∴ sinx＝-
∴ tanx＝- ∴ tan2x＝．
故选D．
巧思妙解：解法一：由题设得sinx＝-
则sin2x＝2×(-)×＝-
cos2x＝2×()2-1＝
故tan2x＝．
解法二：由题设得cos2x＝2×()2-1＝
又∵ - ＜2x＜0
∴ -＜2x＜0
∴ tan2x＜0
又tan22x＝sec22x-1＝
∴ tan2x＝-．二倍角的正弦、余弦、正切（2）
教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
教学重点：二倍角公式的应用
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
教学过程：
一、复习引入：
二倍角公式:
； ；
；
二、讲解新课：
1．积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos
sincos =[sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin
cossin =[sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos
coscos =[cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin
sinsin = [cos( + ) cos( )]
2．和差化积公式的推导
若令 + = ， = φ，则， 代入得：
∴
3．半角公式
证：1在 中，以代2，代 即得：
∴
2在 中，以代2，代 即得：
∴
3以上结果相除得：
4
4．万能公式
证：1
2
3
三、讲解范例：
例1已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值
解：∵ ∴cos 0 (否则 2 = 5 )
∴ 解之得：tan = 2
∴原式
例2已知，，tan =，tan =，求2 +
解： ∴
又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴，
∴ ∴2 + =
例3已知sin cos = ，，求和tan的值
解：∵sin cos = ∴
化简得：
∴
∵ ∴ ∴
即
例4已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
例5求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 +cos2sin2 +cos4cos2 +cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边 ∴原式得证
四、课堂练习：
1已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0
求证：α＋2β＝
证法1：由已知得3sin2α＝cos2β ①
3sin2α＝2sin2β ②
①÷②得tanα＝
∵α、β为锐角
∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，
∴－＜－2β＜
∴α＝－2β，α＋2β＝
证法2：由已知可得：
3sin2α＝cos2β
3sin2α＝2sin2β
∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈（0，）
∴α＋2β＝
证法3：由已知可得
∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α
＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴sinα＝，即sin（α＋2β）＝1
又0＜α＋2β＜
∴α＋2β＝
评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切
2在△ABC中，sinA是cos（B＋C）与cos（B－C）的等差中项，
试求(1)tanB＋tanC的值?(2)证明tanB＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）
(1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）
∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C）
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1
（2）证明：又由上：tanβ＝1－tanC＝（1＋tanC）·
＝（1＋tanC）·tan（45°－C）＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）
3求值：
解：原式＝
五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用
六、课后作业：
1如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于( )
2设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于( )
3已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )
4tan－cot的值等于
5已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝
6已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝
7设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan
8已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值
9求证
参考答案：1C 2D 3A 4－2 52－ 6－2
7 8
9
①
②1. 选择题:
１．以下推导过程中,有误的是( )
A.．
B．
C．
D．
２．利用积化和差公式化简的结果为( )
A． B．
Ｃ． Ｄ．
３．设，则化简的结果为（ ）
A． B． Ｃ． D．
4．已知，那么的值为（ ）
A．2 B．－2 Ｃ． D．2或
5．在中，若，则的取值范围是（ ）
A．[－1，1] B． Ｃ． D．
二．填空题：
6．已知，则.
7．如果，则的值为________________.
8．根据及，若，计算
9．函数的最大值为_________.
三．解答题：
10．根据你所掌握的知识，试求出的值.
11．已知，试求出的值.
12．（1）试用万能公式证明：.
（2）已知，当为第二象限角时，利用（1）的结论求的值.
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2第五、六课时 两角和与差的正切
学习目标：
1、会用正、余弦的和差公式推导正切和差角公式。
2、会用正、余弦的和差角公式推导正、余切的函数的诱导公式。
3、推导、理解并熟记公式。
4、运用公式进行求值、化简及证明三角恒等式
5、理解、常握三角恒等式的证明思路及方法。
重点和难点：
重点：推导、理解并熟记正切的和差角公式，并能用公式解决相关问题。
难点：灵活运用正切的和差角公式进行求值呀化简和证明三角函数恒等式。
一、教与学过程设计
(一)复习引入
师：前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式，请大家回忆有关公式．
(学生回答，教师板书公式)
sin(α±β)与cos(α±β)是讨论复角 α±β与单角 α、β的正、余弦函数之间的关系，且此关系对于任意角α，β均成立．
今天我们要讨论 tg(α±β)与 tgα、tgβ之间的关系．我们希望 tg(α±β)也能用tgα和tgβ来表示．
(二)两角和与差的正切公式及推导
师：问题摆出来了，我们该怎么办．大家一起回忆一下，上节课是我们是如何得到 sin(α+β)的？
师：对了．我们今天是否也可以把tg(α+β)转化成 sin(α+β) 和cos(α+β)呢？
师：很好，我们刚才提出的想法是用 tgα和 tgβ 表示 tg(α+β)，那么接下去该怎么办呢？
生：(板书〕
(这是要提示学生如何用tgα、tgβ表示)
师：这样我们终于实现了愿望得到公式
师：可以看出，以上推导是把两角和(或差)的正切转化为两角和(或差)的正、余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转化”的思想方法，这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法．
在上面的推导过程中，有一个地方要引起我们的反思，那就是分子分母同除以coα·cosβ是有条件的．要求 cosα≠0，cosβ≠0．还
在公式Tα+β中，必须注意 α、β 的取值范围，应该使tgαtgβ 及
(三)应用举例
(1)求ctg(α-β)；
(2)求α+β的值(其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°)．
分析：(1)我们没有关于 ctg(α±β)的公式，那么要计算 ctg(α-β)怎么办？(生：转化为tg(α-α))．
(2)求α+β，我们可先求它的正切值即tg(α+β)，然后利用它的值来确定角，请同学们阅读课本P． 211的解答．
(待学生阅读完毕后教师说明．)
师：利用tg(α+β)=-1来确定角α+β时要注意讨论α+β的范围，因此对这类问题可以总结如下： 1°先求出角α的某一个三角函数的值；2°确定角α的取值范围；3°确定角α．
师分析：本题可以考虑把75°表示成30°+45°，然后利用公式Tα+β计算；若注意到1=tg45°则解题更为简单，但是要运用公式：
大家在解题过程中要注意灵活运用tg45°=1这个事实．
补充例题：不查表求值：tg15°+tg30°+tg15°·tg30°．
(让学生思考和讨论，教师给必要的启发诱导．)
生：可以先求出tg15°然后再代入计算．
师：这个想法可以解决问题，大家想想有没有更好的方法．
生： tg15°+tg30°=tg45°( 1-tg15°· tg30°)= 1-tg15°·tg30°．
∴ 原式=1．
例10 设 tgα，tgβ是一元二次方程ax2+bx+c=0(b≠0，a≠c)的两根，求 ctg(α+β)的值．
师：本题要求ctg(α+β)，我们可先求给tg(α+β)，而tg(α+β)=
(待学生阅读完毕后由教师总结如下．)
这道题的解答告诉我们，使用公式Tα±β时要有整体的意识，如把tgα+tgβ和 tgα· tgβ看作一个整体，这种整体的思想也是数学中一种重要的思想，希望大家能好好地体会．
后利用公式并整理得到公式Tα+β，进而又得到公式Tα-β，大家要注意这两个公式与前面的公式不同，它们受到条件的限制即 α、β、α±β
和变用．
(五)练习：课本P．213中练习1、2、3、4．
二、作业第一、二课时 两角和与差的余弦
学习目标：
1、理解两角差的余弦公式的推导过程和方法。
2、会用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式。
3、会用两角和与差的余弦公式推导正、余弦的有关诱导公式。
4、在理解、熟记这些公式的基础上，会应用这些公式进行三角变换，即能化简三角函数式，求值。证明三角恒等式。
重点与难点：
重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式
难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换。
(一)引入
师：上一章我们介绍的是同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，如cos(α+β)，sin(α+β)，tg(α+β)等等的各种关系和计算公式．
现在请大家考虑，如果已知cosα，cosβ，怎样求cos(α+β)？
有人认为cos(α+β)=cosα+cosβ，对不对？
师：很好．把cos(α+β)写成cosα+cosβ是想应用乘法对加法的分配解．可是cosα是角α的余弦值，并不是“cos”乘以α，不能应用分配律．
一个反例已经足够否定上述等式．当然我们还可以举出更多的例子．现在我说如果α、β都是锐角，那么总有
cos(α+β)≠cosα+cosβ．
这是为什么？
所以cos(α+β)＜cosα，cos(α+β)＜cosβ当然有cos(α+β)＜cosα+cosβ；如果α+β是钝角，那么式子左边是负数，右边是正数，当然也不相等．
师：分析的很有条理，完全正确．现在退一步提个问题：如果cosα，cosβ已给定，cos(α+β)是否能确定？
师：(板书)考虑两组数据
师：从这组数字中，你能得到什么结论？
生：我们不能从cosα和cosβ直接求出cos(α+β)．
师：如果我们再算出sinα和sinβ，试试看能否找到什么关系．
由(1)可以得到cos(α+β)cosα·cosβ-sinα·sinβ，并且这个关系式对(2)也适合．
师：刚才我们用具体的例子得到一个关系式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．但是我们还是不能认可它，只有通过严格的证明才行．下面请同学们看图3-1，其中，O是单位圆．
(二)推导两角和的余弦公式
问题1，请同学们把坐标系中P1、P2、P3、P4各点的坐标用三角函数表示出来．
生：P1(1，0)，P2(cosα,sinα)，P3(cos(α+β)，sin(α+β))P4(cos(-β)，sin(-β))．
问题2，线段|P1P3|与|P2P4|有什么关系？为什么？
生：因为△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|．
师：请学生用两点间的距离公式把|P1P3|=|P2P4|表示出来并加以整理．
生：(板书)
cos2(α+β)-2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β-2sinα·cosβ+cos2α+sin2β-2sinαsinβ+sin2α．
2-2cos(α+β)=2-2(cosα·cosβ-sinα·sinβ)．
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．(记为Cα+β)
师：刚才的整个过程，我们已经证明了公式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，它对任意的α，β均成立．如果我们把公式中的β都换成-β又会得到什么？
生：(板书)
cos[α+(-β)]=cosα·cos(-β)-sinα·sin(-β)
即：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ．
师：通过刚才的讨论我们又得到两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ．(记为Cα-β)
(三)应用举例
例1 不查表．求cos105°及cos15°的值．
师：因为题目要求不能查表，所以要想办法用特殊角计算．为此把105°变为45°+60°，把15°变为45°-30°．请同学们利用公式进行计算．
求cos(α-β)的值．
思考题：根据公式Cα-β分析，要算cos(α-β)应先求什么？
生：cosα及sinβ．
师：请同学们自行计算．
例3 证明：公式
证明：利用公式Cα-β，可得：
=0·cosα+1·sinα
=sinα．
师：利用例3的结论我们很快又得到
若将α换成-α(由于α是任意角，可以这样换)，我们又得到以下四个公式：
(四)练习
课本P．207中练习：1-6．
(五)总结
这节课我们从cos(α+β)等什么出发通过猜测，特例分析得到cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．然后在直角坐标系中，利用两点间
觉中角的变换在今天这节课中唱了主角，在今天的作业中大家要灵活地应用这种方法．
五、作业两角和与差的三角函数复习
1． 知识要点。
1． 两角和与差的正弦、余弦、正切
2． 化特殊式子：为一个角的一个三角函数形式，如：
2． 方法点拨。
1． 角的代换。要学会灵活拆角，如：等等。
2． 公式的逆用和变用。如：
3． 典型例题。
4． 巩固练习。几个三角恒等式
一．选择题：
1．若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．若，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
4．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
二．填空题：
6．的值为_______________.
7．若，则_________；＝___________.
8．化简的结果为____________.
三．解答题：
9．已知，求①的值；②.
10．已知为第四象限角，求的值.
11．设.
（1）求证： ；
（2）当时，利用以上结果求的值.
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2二倍角公式的应用
教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
教学重点:
运用二倍公式进行化简、求值及证明
教学难点：
公式的综合应用
学法指导：
培养学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力及综合能力
教学过程设计：
1、 复习公式：
1、（板演或提问）化简下列各式：
1． 2．
3．2sin2157.5 1 =
4．
5．cos20cos40cos80 =
2、求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1sin)+cos(1cos)] = sin2
证：左边 = (sin+sin2+cos+cos2)×(sinsin2+coscos2)
= (sin+ cos+1)×(sin+cos 1)
= (sin+ cos)2 1 = 2sincos = sin2 = 右边
∴原式得证
二、关于“升幂”“降次”的应用
注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。（以下四个例题可视情况酌情选用）
3、求函数的值域。
解： ——降次
∵ ∴
4、求证：的值是与无关的定值。
证： ——降次
∴的值与无关
5、化简： ——升幂
解：
6、、求证：
证：原式等价于：
左边
右边
三、三角公式的综合运用
7、利用三角公式化简：
解：原式
8、已知：sin22a+sin2a cosa-cos2a=1,a
求sina,及tana的值
四、课堂小结：
1、 三角函数的求值、化简和证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数，应注意的问题是确定符号
2、 要注意角的范围对三角函数值的影响，在求值时，要注意对角的范围的讨论
3、 要注意灵活运用基础知识解决问题的能力，要重视公式的正向使用，同时应注意公式的逆用和各种变形。
五、作业、课时训练
第 1 页 共 3 页第三、四课时 两角和与差的正弦
学习目标：
1、会用余弦和角公式推导正弦的和差角公式
2、会用正、余弦的和差角公式推导余弦的诱导公式。
3、理解辅助角公式。
4、推导、理解并熟记公式。
5、运用公式进行计算、化简及证明三角恒等式。
6、常握一些常规的三角恒等式证明的思路及方法。
重点与难点：
重点：推导、理解并熟记正弦的和差角公式，并能运用公式解决相关问题。
难点：辅助角公式的引入与应用及灵活运用学过的公式进行三角函数的计算，化简及证明。
一、教与学过程设计
(一)复习引入
师：上一节课我们学习了两角和与差的余弦，推导了公式Cα+β、Cα-β，请同学们回忆这两个公式(请一位同学来回答)．
生： cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα·sinβ，
cos(α-β)＝cosα·cosβ+sinα·sinβ．
师：今天我们要继续学习两角和与差的正弦公式．
(二)两角和与差的正弦公式
师：请同学们想一想我们能不能把sin(α+β)改成用余弦函数来表示？
师：请同学们注意上式的右边能否用sinα·cosα，sinβ·cosβ来表示？
生：(板书)
＝sinα·cosβ+cosα·sinβ．
师：这样我们就得到公式sin(α+β)＝sinα·cosβ+cosα·sinβ， 记为Sα+β．再请同学们考虑sin(α-β)＝？
生：把公式Sα+β中的β换成-β，可得：
(学生口述，教师板书)
sin(α-β)= sin[α+(-β)]
=sinα·cos(-β)+cosα·sin(-β)
=sinα·cosβ-cosα·sinβ
师：这样我们又得到公式sin(α-β)＝sinα·cosβ-cosα·sinβ，记为Sα-β．下面我们一起分析两个公式的结构特点．1°公式是用单角的正余弦来表示两角和、差的正弦；2°右边积中两个函数的名称不同(Cα+β和Cα-β中积是同名函数之积)；3°两积之间的运算符号和前面括号中角的运算符号一致(而Cα+β、Cα-β中则相反)．
(三)应用举例
例4 不查表，求sin75°的值．
生：(板书)
解：sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°·cos30°+cos45°·sin30°
(待学生完成后，布置以下思考题)
种情况，所以此时答案有二个(学生回答有困难时由教师给出解答)．
分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角(即两角和与差)右边全是单角，所以思路很明确，就是要把复角变单角．
∴ 原式成立．
师：本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正、余切函数．故可考虑把正、余切化为正、余弦．
生：(板书)
∴ 原式成立．
师：恒等式证明的方法很多，但是也很有规律，我们可以考虑角的表示形式，也可以考虑函数的名称．大家要注意这些方法的掌握．
师：本题我们可以从角的形式来分析：左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用公式)；如果从左边证右边则
证明一
=左边．
∴ 原式成立．
观察证法一就不难发现了．
证明二(生板书)：
=右边．
∴ 原式成立．
β)]将两角和的正弦问题，化归为两角差的余弦问题，得到了两角和的正弦公式，还是作变换β换成-β又得到两角差的正弦公式．因为公式Cα+β、Cα-β、Sα+β、Sα-β都是把复角用单角的三角函数来表示，所以利用公式计算时要先求出各单角的三角函数；恒等式的证明，要善于分析式子的结构特点，两道例题告诉我们可以从角的表示形式去考虑也可以从函数的形式去考虑．
(五)练习：课本P．210中练习1-6．
二、作业三角恒等变换复习教案
学习目标:
(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.
(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.
(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性.
重点:熟练、灵活的应用三角公式.
难点:变换中的技巧.
复习与巩固
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：
三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:
①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；
②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.
一、关于和角与差三角公式
特别注意公式的结构,用活公式.
二、习题复习与巩固
三、综合训练题
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