苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册 6.1.1空间向量的线性练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册 6.1.1空间向量的线性练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 09:14:55 | ||
图片预览
文档简介
6.1.1空间向量的线性运算
一、单选题
1．平行六面体中，若则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
7．在四面体OABC中，，，，点M为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列等式错误的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
11．(多选)下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
12．下列命题中正确的是（ ）.
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若、、、四点不共线，四边形是平行四边形的充要条件是
D．模为是一个向量方向不确定的充要条件
三、填空题
13．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
14．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
15．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹤雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________.
16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________.
四、解答题
17．如图，已知，分别是空间四边形的对角线和的中点，求证：．
18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
19．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
20．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
6.1.1空间向量的线性运算答案
一、单选题
1．平行六面体中，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，求解即可.
【详解】
因为，又因为且等式右边的三个向量不共面，
故可得，解得，
故可得.
故选：B.
2．在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．
【详解】
解：连接，可得，又，
所以．
故选：A
3．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】
．
故选：C．
4．在长方体中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】
如图，可得，，所以.
故选：B
5．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据几何体线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义将用表示即可.
【详解】
.
故选：C.
6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用空间向量的加法运算即可求解.
【详解】
由空间向量的线性运算可得
.
故选：B
7．在四面体OABC中，，，，点M为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
如图所示，交于，则是中点，根据重心的性质有，利用向量的运算法则得到答案.
【详解】
如图所示：交于，则是中点，根据重心的性质：，
.
故选：A.
8．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意，得；
故选：A
二、多选题
9．已知向量，，，则下列等式错误的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
以正方体为载体，结合向量的加法与减法运算，逐一验证即可求解
【详解】
在正方体中，不妨令，
对于A：，，故A正确 ；
对于B：，
，故B正确；
对于C：，
，
，故C错误；
对于D：，
，，故D错误；
故选：CD
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】AD
【分析】
直接利用平面向量的定义，相等向量，相反向量的定义，空间向量的定义判定A、B、C、D的真假性．
【详解】
对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题．
对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B为假命题．
对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为假命题．
对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题．
故选：AD
11．(多选)下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】ABC
【分析】
根据向量的概念逐一判断即可.
【详解】
共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
故选：ABC
12．下列命题中正确的是（ ）.
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若、、、四点不共线，四边形是平行四边形的充要条件是
D．模为是一个向量方向不确定的充要条件
【答案】CD
【分析】
利用空间向量的概念可判断A选项的正误；取零向量可判断B选项的正误；利用相等向量的概念与充要条件的定义可判断C选项的正误；利用零向量的概念可判断D选项的正误.
【详解】
A不正确，单位向量的模均相等且为，但方向并不一定相同；
B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的；
C正确，充分性：若四边形是平行四边形，则且，；
必要性：若，且、、、四点不共线，则且，所以，四边形是平行四边形.
所以，四边形是平行四边形的充要条件是；
D正确，若一个向量的模为，则该向量为零向量，该向量的方向不确定.
故选：CD.
【点睛】
本题考查与空间向量有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.
三、填空题
13．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
【答案】
【分析】
利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.
【详解】
，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
14．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
【答案】
【分析】
作图，连接连接，，构造三角形中位线解题﹒
【详解】
如图，连接，，
则点E在上，点F在上，
易知，且，
∴，即，∴．
故答案为：
15．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹤雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________.
【答案】
【分析】
延长相交于一点，根据题设比例关系及空间向量数乘的几何意义有，，再由空间向量加法的几何意义，结合几何体即可求得目标式所表示的空间向量.
【详解】
延长相交于一点，则且，
故答案为：
16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________.
【答案】.
【分析】
先证明成立，设正四棱锥的体积为，，应用结论可得，从而可解得，进而可得.
【详解】
先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，
则四面体体积之比.
事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而
.
设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得
，则，
，则，
所以；
同理可得.
所以，解得，即，从而.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面体体积之比.
四、解答题
17．如图，已知，分别是空间四边形的对角线和的中点，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】
取的中点，连接，，由，，即可求证.
【详解】
取的中点，连接，，
在中，，在中，，
所以.
18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证；
（2）由题意，，又，运算即得证
【详解】
证明：（1）
∴.
（2）.
19．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得，由此可得证.
【详解】
解：（1）因为， ，
所以，
所以；
（2）
，
又与相交于B，所以E，F，B三点共线.
20．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意证明和平行且不相等即可.
【详解】
解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴，
则，
∴且.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
1 / 19
一、单选题
1．平行六面体中，若则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
7．在四面体OABC中，，，，点M为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列等式错误的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
11．(多选)下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
12．下列命题中正确的是（ ）.
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若、、、四点不共线，四边形是平行四边形的充要条件是
D．模为是一个向量方向不确定的充要条件
三、填空题
13．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
14．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
15．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹤雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________.
16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________.
四、解答题
17．如图，已知，分别是空间四边形的对角线和的中点，求证：．
18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
19．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
20．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
6.1.1空间向量的线性运算答案
一、单选题
1．平行六面体中，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，求解即可.
【详解】
因为，又因为且等式右边的三个向量不共面，
故可得，解得，
故可得.
故选：B.
2．在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．
【详解】
解：连接，可得，又，
所以．
故选：A
3．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】
．
故选：C．
4．在长方体中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】
如图，可得，，所以.
故选：B
5．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据几何体线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义将用表示即可.
【详解】
.
故选：C.
6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用空间向量的加法运算即可求解.
【详解】
由空间向量的线性运算可得
.
故选：B
7．在四面体OABC中，，，，点M为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
如图所示，交于，则是中点，根据重心的性质有，利用向量的运算法则得到答案.
【详解】
如图所示：交于，则是中点，根据重心的性质：，
.
故选：A.
8．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意，得；
故选：A
二、多选题
9．已知向量，，，则下列等式错误的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
以正方体为载体，结合向量的加法与减法运算，逐一验证即可求解
【详解】
在正方体中，不妨令，
对于A：，，故A正确 ；
对于B：，
，故B正确；
对于C：，
，
，故C错误；
对于D：，
，，故D错误；
故选：CD
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】AD
【分析】
直接利用平面向量的定义，相等向量，相反向量的定义，空间向量的定义判定A、B、C、D的真假性．
【详解】
对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题．
对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B为假命题．
对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为假命题．
对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题．
故选：AD
11．(多选)下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】ABC
【分析】
根据向量的概念逐一判断即可.
【详解】
共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
故选：ABC
12．下列命题中正确的是（ ）.
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若、、、四点不共线，四边形是平行四边形的充要条件是
D．模为是一个向量方向不确定的充要条件
【答案】CD
【分析】
利用空间向量的概念可判断A选项的正误；取零向量可判断B选项的正误；利用相等向量的概念与充要条件的定义可判断C选项的正误；利用零向量的概念可判断D选项的正误.
【详解】
A不正确，单位向量的模均相等且为，但方向并不一定相同；
B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的；
C正确，充分性：若四边形是平行四边形，则且，；
必要性：若，且、、、四点不共线，则且，所以，四边形是平行四边形.
所以，四边形是平行四边形的充要条件是；
D正确，若一个向量的模为，则该向量为零向量，该向量的方向不确定.
故选：CD.
【点睛】
本题考查与空间向量有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.
三、填空题
13．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
【答案】
【分析】
利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.
【详解】
，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
14．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
【答案】
【分析】
作图，连接连接，，构造三角形中位线解题﹒
【详解】
如图，连接，，
则点E在上，点F在上，
易知，且，
∴，即，∴．
故答案为：
15．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹤雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________.
【答案】
【分析】
延长相交于一点，根据题设比例关系及空间向量数乘的几何意义有，，再由空间向量加法的几何意义，结合几何体即可求得目标式所表示的空间向量.
【详解】
延长相交于一点，则且，
故答案为：
16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________.
【答案】.
【分析】
先证明成立，设正四棱锥的体积为，，应用结论可得，从而可解得，进而可得.
【详解】
先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，
则四面体体积之比.
事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而
.
设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得
，则，
，则，
所以；
同理可得.
所以，解得，即，从而.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面体体积之比.
四、解答题
17．如图，已知，分别是空间四边形的对角线和的中点，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】
取的中点，连接，，由，，即可求证.
【详解】
取的中点，连接，，
在中，，在中，，
所以.
18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证；
（2）由题意，，又，运算即得证
【详解】
证明：（1）
∴.
（2）.
19．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得，由此可得证.
【详解】
解：（1）因为， ，
所以，
所以；
（2）
，
又与相交于B，所以E，F，B三点共线.
20．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意证明和平行且不相等即可.
【详解】
解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴，
则，
∴且.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
1 / 19