苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册 6.1.2空间向量的数量积运算练习（含答案）

6.1.2空间向量的数量积运算
一、单选题
1．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（ ）．
A．15 B．3 C． D．5
2．如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则 的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
3．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
6．在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
A． B． C． D．
8．在棱长为1的正四面体中， （ ）
A． B．0 C． D．1
二、多选题
9．棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A． B．
C．一定不与垂直 D．
11．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
三、解答题
13．在三棱锥中，已知侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，求证：底面是锐角三角形．
14．如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
（1）用向量，，表示；
（2）求.
15．如图，在三棱锥中，平面，，，．
（1）确定在平面上的投影向量，并求；
（2）确定在上的投影向量，并求．
16．在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点.
（1）求AM的长；
（2）求的余弦值.
6.1.2空间向量的数量积运算答案
一、单选题
1．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（ ）．
A．15 B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】
利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量，，是两两垂直的单位向量，且，，
.
故选：B
2．如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则 的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】
建立适当的空间直角坐标系，求得两向量的坐标，利用空间向量的数量积的坐标运算公式计算即得所求．
【详解】
解：建立如图所示坐标系,则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
故（1，0，0），
（-1，-1，1），则 1，
故选：B．
3．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
转化为空间向量的数量积计算可求出结果.
【详解】
.
故选：B
4．已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【答案】D
【分析】
设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案
【详解】
设与的夹角为θ，由，得，两边平方，得，因为，所以，解得，故选：D.
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】B
【分析】
由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】
由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
6．在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以分别为轴，轴，
轴建立空间直角坐标系，求得，结合向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】
如图所示，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
则，
当时，的最小值为.
故选：D.
7．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以||2=()2
=||2+||2+||2)
．
故A1C的长为．
故选A．
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点．
8．在棱长为1的正四面体ABCD中， （ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】
由向量的减法法则有，则，由向量的数据的定义可得答案.
【详解】
由．
故选：B
二、多选题
9．棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据正方体的几何特征，利用空间向量的运算求解判断.
【详解】
如图所示：
由图形知：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为平面，所以，所以，故C正确；
因为四边形是矩形，所以与不垂直，则，故D错误.
故选：BC
10．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是(　　)
A．
B．
C．一定不与垂直
D．
【答案】BD
【分析】根据数量积的性质判断，根据三角形的性质判断，根据向量的垂直判断，根据向量的运算满足平方差公式判断．
【详解】
是表示与向量共线的向量，而
是表示与向量共线的向量，错误，
，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确，
可能成立，错误，
向量的运算满足平方差公式，，正确，
故选：．
11．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立；
由数量积的运算律有，，与不一定相等，B不成立；
向量数乘法则，C一定成立；只有共线且时，才存在，使得，D这成立．
故选：ABD．
12．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
由向量数量积的运算律及数量积的定义逐个判断即可.
【详解】
由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而运算后是实数，没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算律，属于基础题.
三、解答题
13．在三棱锥中，已知侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，求证：底面是锐角三角形．
【答案】证明见解析
【分析】
通过计算大于零得到角为锐角，同理均为锐角，则可证明是锐角三角形．
【详解】
如图，由已知得
则，
即，即，
，为锐角
同理均为锐角
所以底面是锐角三角形
14．如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
（1）用向量，，表示；
（2）求.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算，再开方即可求解.
（1）
解：，
所以；
（2）
解：因为
.
又因为四面体是正四面体，
则，
，
，
所以.
15．如图，在三棱锥中，平面，，，．
（1）确定在平面上的投影向量，并求；
（2）确定在上的投影向量，并求．
【答案】
（1）在平面上的投影向量为，；
（2）在上的投影向量为，.
【分析】
（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
（1）
因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）
由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
16．在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点.
（1）求AM的长；
（2）求的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据几何体，应用空间向量加减、数乘的几何意义可得，进而对两边平方，由空间向量数量积的运算律及已知条件，求模长即可；
（2）根据空间向量加减、数乘的几何意义可得，结合已知求数量积，由（1）及求的余弦值.
【详解】
（1），
∴，
∴.
（2），，
，
.
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