2022-2023学年北京市平谷区高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市平谷区高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
设，向量，若，则( )
A. B. C. D.
圆的圆心坐标和半径分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于( )
A. B.
C. D.
经过两点，的直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
过两直线，的交点，且与直线平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
已知圆：与直线切于点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
“”是“直线：与：互相垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则下列结论中正确的个数是( )
点到平面的距离为
异面直线与所成角的余弦值为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
已知点、，则直线的一个方向向量为______，线段的长度为______．
如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是______．
平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，则等于 ．
已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______．
如图，棱长为的正方体中，是棱的中点，点在正方体的表面及其内部运动，且，那么：
所有满足条件的点构成的图形的面积为______；
的最小值为______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，，线段的中点；
求过点和直线平行的直线方程；
求边的高线所在直线方程．
本小题分
已知直线经过两点，，圆：．
Ⅰ求直线的方程；
Ⅱ设直线与圆交于，两点，求的值．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点．．
求证：；
当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于，所以，解得．
故选：．
根据向量平行列方程，化简求得的值．
本题考查的知识要点：向量的共线和坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的坐标运算，主要考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．
利用向量垂直的坐标表示，列式求解即可．
【解答】
解：因为向量，且，
则有，解得．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：由得，，
所以圆心的坐标是，半径．
故选：．
利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，再求出圆心坐标和半径．
本题考查由圆的一般方程求圆心、半径，可利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，也可利用公式直接求解．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题．
利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．
【解答】
解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，
可知：，，
，
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型．
首先根据斜率公式求直线的斜率，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出的值．
【解答】
解：因为直线经过两点，，
所以直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为，
所以，
所以．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：联立方程，解得：，
直线，的交点坐标为，
设所求直线方程为，
代入点得，，
，
所求直线方程为，即，
故选：．
先联立两直线方程，求出两直线的交点坐标，依题意可设所求直线方程为，代入交点坐标，即可求出的值，从而得到直线方程．
本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线平行的位置关系，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标，
所以，由题意与直线垂直的斜率为：，所以切线的斜率为：，
所以切线方程为：，即；
故选：．
由圆的方程求出圆心坐标，再由题意可得与直线的斜率垂直的直线的斜率，再求出切线方程的斜率，再由点斜式求出切线的方程．
本题考查求圆上一点的切线的方程的方法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得直线：与：，
即直线：与：，它们的斜率分别为、，
满足斜率之积等于，故，故充分性成立．
若，则有，求得，不一定是，故必要性不成立．
综上可得，
“”是直线：与：互相垂直”的充分不必要条件，
故选：．
由题意利用充分条件、不要条件，充要条件的定义，得出结论．
本题主要考查充分条件、不要条件，充要条件的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：过点在平面内作，再过点在平面内作，如图，
则或其补角即为与所成的角，
因为是正方体，不妨设，
则，，
所以在中，．
故选：．
通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解．
本题考查的知识要点：异面直线的夹角，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于：反证法：假设，
因为为菱形，且为边的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又平面，
所以，又，
所以平面，
所以，
因为为菱形，所以，且，
所以与矛盾，故假设不成立，
所以C错误，即错误；
对于：因为，，两两垂直，以为原点，，分别为，，轴正方向建系，如图所示：
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则法向量可取，
所以点到平面的距离，故正确；
对于：，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故正确．
故选：．
利用反证法，假设，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即，与菱形矛盾，假设不成立，故错误；如图建系，求得各点坐标，进而可得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，计算求值，即可判断的正误；根据异面直线夹角的向量求法，即可判断的正误，即可得答案．
本题考查直线与直线的位置关系的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，点即可得到，
，
故线段的长度为，
故答案为：，．
由题意中，的坐标即可求出直线的方向向量，由向量的模的定义即可求出的长度．
本题考查直线的方向向量与模，属于容易题．
12.【答案】
【解析】解：的坐标为，
，，，
．
故答案为：．
由的坐标为，分别求出和的坐标，由此能求出结果．
本题考查空间向量的坐标的求法，是基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
由平行六面体可得：，两边平方可得即可得出．
【解答】
解：由平行六面体可得：，
，
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】解：在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，
设点，点关于直线：对称的点为
则点与点的中点在直线上
且直线一定垂直于直线，
，解得，，点坐标为
根据对称原理，的周长的最小值为：
，即的最小值，
设点关于轴的对称为点，
直线与轴交于一点，当点处在这个点时，取得最小值
此时，
的周长的最小值为．
故答案为：．
设点，点关于直线：对称的点为，则点与点的中点在直线上，且直线一定垂直于直线，列方程组求出根据对称原理，的周长的最小值为：，即的最小值，设点关于轴的对称为点，直线与轴交于一点，当点处在这个点时，取得最小值此时，由此能求出的周长的最小值．
本题考查三角形周长的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式、对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：取中点，中点，连接、E、、、、，如图所示：
因为平面，
所以即为在平面内的射影，
因为 、 分别为，中点，
所以，，
所以≌，则，
所以，
根据射影定理可得，
同理为在平面内的射影，且，
所以，
又 、 分别为 、 中点，
所以，
所以，，，四点共面，
所以平面，
因为，则平面，
所以点的轨迹即为平面，
在等腰梯形中，，，
不妨将等腰梯形取出画成平面图，过 、 分别作 、 垂直，如图所示：
所以，，
所以，
所以等腰梯形的面积，
所以所有满足条件的点构成的图形的面积为；
由题意可得，当平面时，有最小值，即求点到平面的距离，
分别以，，为 ， ， 轴正方向建系，如图所示
则，，，
所以，，
因为平面，
所以即为平面的法向量，
所以点到平面的距离，
所以的最小值为．
取中点，中点，连接、E、、、、，根据射影定理，可证E、，进而可证平面，即可得点的运动轨迹，分别求得等腰梯形各个边长，代入公式，即可得答案；如图建系，求得各点坐标，即可得，坐标，根据点到面距离的向量求法，代入公式，计算即可得答案．
本题主要考查点到平面的距离，属于中档题．
16.【答案】解：因为，，，
所以，，
所以过点和直线平行的直线方程为，
即；
因为，
所以边的高线的斜率为，
所以边的高线所在直线方程，
即．
【解析】根据，，，求得点的坐标，和直线直线的斜率，写出直线方程；
根据，得到边的高线的斜率，写出直线方程．
本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ直线经过两点，，
直线的方程为：，即；
Ⅱ由圆的方程得到圆心，半径，
圆心到直线的距离，
弦长．
【解析】Ⅰ由直线过和两点，根据和的坐标，表示出直线的两点式方程，整理可得直线的方程；
Ⅱ由圆的标准方程找出圆心的坐标及半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理，即可求出的长．
此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线的两点式方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
18.【答案】解：取中点为，连接，，
，，
又，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，在中，，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图
则，，，，
则，，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则，故，
设与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值；
由可得点到平面的距离．
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
利用空间向量点到平面的距离公式进行求解即可
本题考查线面角的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．
19.【答案】证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，，
，即．
解：由知：平面，
平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
，
，
，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．
【解析】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
连接，易知，，由，再利用勾股定理求得和的长，从而证明，然后以为原点建立空间直角坐标系，证得，即可；
易知平面的一个法向量为，求得平面的法向量，再由空间向量的数量积可得，从而知当时，得解．
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