13.2 三角形全等的判定
专题一 与全等三角形有关的规律探究
1. 如图，已知AB=AC，D为∠BAC的平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是________.
2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交CD、AC分别于G、E，GF∥AC交AB于F，猜想：EF与AB有怎样的位置关系，请说明理由．
3. 如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N.
（1）那么∠1与∠2有什么关系？AM，CN有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？请说明理由．
专题二 全等三角形与图形变换
4. 两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
5. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
6. 在△ABC中∠BAC是锐角，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，垂足分别为D、E，且DB=DC,AE=BE.
（1）求证：AH=2BD；
（2）若将∠BAC改为钝角，其他条件不变，上述的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
专题三 利用三角形全等解决实际问题
7. 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点），相距25 km，C、D为铁路同旁的两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产产品收购站E，使C、D两村庄到E站的距离相等，求E站应建在离A站多远处，并说明理由.
状元笔记
[知识要点]
1. 全等三角形的判定方法
SSS、SAS、ASA、AAS.
2. 全等三角形与图形变换
寻找和利用两三角形间的平移或旋转变换关系，能够给命题的证明带来方便.
[温馨提示]
1. 全等图形指形状相同，大小相等的两个图形.
2. 表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
[方法技巧]
选择哪种判定方法，要根据具体已知条件而定：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS、AAS、ASA
两角对应相等 ASA、AAS
两边对应相等 SAS、SSS
参考答案
1. 【解析】 全等三角形依次有1对，3对，6对…，第n个图形有对.
2. 解：EF⊥AB. 理由如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBG=∠FBG.
∵GF∥AC，
∴∠A=∠GFB.
∵∠A+∠ACD=∠BCG+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCG=∠GFB.
又∵BG=BG，
∴△FBG≌△CBG.
∴BF=BC.
∵EB=EB，∠CBE=∠FBE，
∴△FBE≌△CBE，
∴∠EFB=∠ECB=90°.
∴EF⊥AB.
3. 解：（1）∠1=∠2， AM=CN.理由如下：
∵AB=CD，AD=BC，AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴∠DAC=∠BCA.
又∵AO=CO，∠CON=∠AOM，
∴△AOM≌△CON.
∴∠1=∠2，AM=CN.
（2）成立，同理可证△AOM≌△CON .
4. 解：△BAE≌△CAD.
证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE =∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.
又∵AB=AC，AE=AD，
∴△BAE≌△CAD.
5. 解：BE=EC，BE⊥EC．
证明：∵AC=2AB， AD=CD，
∴AB=AD=CD．
∵∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EAB=∠EDC=135°.
∵EA=ED，
∴△EAB≌△EDC(SAS)，
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，
∴∠BEC=∠AED=90°，
∴BE=EC，BE⊥EC．
6. 解：（1）证明：如图（1），∵ AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEH=∠BEC =90°,
∴∠EAH+∠C=∠EBC+∠C=90°，
∴∠EAH =∠EBC.
又∵AE=BE，
∴△AEH≌△BEC，
∴AH=BC.
又∵DB=DC,
∴AH=2BD.
（2）成立.同理可证△AEH≌△BEC.
7. 解：E站应建在离A站10 km处.理由如下：
在线段AB上截取AE=BC=10 km，
又因为AB=25 km，
所以BE=AB-AE=25-10=15(km)，
所以AD=BE=15km.
在△ADE和△BEC中，
所以△ADE≌△BEC（SAS）.
所以DE=EC.13.4 尺规作图
专题 作图应用题
1. 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
2 .如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3. 如图，四边形ABCD是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点P的位置，现在轮到你打，你应该把在点Q位置的白球打到AB边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？
4. 如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）
5. 如图，△ABC与△关于直线MN对称，△与△关于直线EF对称.
（1）画出直线EF（尺规作图）；
（2）设直线MN与EF相交于点O，夹角为α，试探求∠与α的数量关系.
参考答案
1. D 【解析】（1）作点P关于直线的对称点；(2)连接Q，交直线于点M；沿着P—M—Q的路线铺设，即为最短.
2. 解：如图，作点P关于AB的对称点，连接交AB于点M，则
点M就是所求的点，即把在点Q位置的白球打到边AB上的点M处，
才能反弹回来撞到黑球.
3. A 【解析】 如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连结CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连结OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP.
同理可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2.
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，
∴OC=OD=CD=2.
∴△COD是等边三角形.
∴2α=60°.
∴α=30°．
故选A．
4. 解：如图所示：（1）作BC的垂直平分线b，交BC于E；（2）分别作BE、CE的垂直平分线a，c，分别交BC于D，F；（3）连接AD，AE，AF，则AD，AE，AF即为分割线.
5. 解：（1）如图，连接，作线段的垂直平分线EF，则直线EF即为所求.
（2）连接BO，,.由△ABC与△关于直线MN对称，易知∠BOM=∠.由△与△关于直线EF对称，易知∠=∠，所以∠=∠BOM+∠+∠+∠=2(∠+∠)=2α，即：∠=2α.13.3等腰三角形
专题一 与等腰三角形有关的探究题
1. 设a、b、c是三角形的三边长，且，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2. 如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 ……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线
OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=1，则△A2013B2013A2014
的边长为（ ）
A.2013 B. 2014 C. D.
3. 如图,在△AB中, ∠B＝20°,AB＝B，在B上取一点C,延长到,使得＝; 在上取一点D,延长到,使得＝;……，按此做法进行下去,求∠的度数.
4. 如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．
（1）试说明△COD是等腰直角三角形；
（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．
5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
专题二 等腰（边）三角形中的动点问题
6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.
测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；
小（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
8. 阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，
腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB r1+AC r2=AB h，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．
状元笔记
[知识要点]
1．等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；
（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）；
（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．
2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．
3．等腰三角形的判定：
（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”．
（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【方法技巧】
1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．
2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形．
3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．
参考答案
1. C 【解析】 由得：，所以，所以，所以②、③是真命题，故选C.
2. C 【解析】 ∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠1=60°.
∵∠MON=30°，
∴∠2=30°=∠MON，
∴A1B1 =OA1=1= A1A2.
同理可证：A2B2 =OA2 =2，A2A3=OA2 =2，A3A4=OA3 =4=，A4A5=OA4 =8=.
以此类推：A2013B2013A2014=22012．
故选C．
3. 解：如图，在△AB中， ∵∠B＝20°,AB＝B，
∴∠＝80°.
在△中，
∵＝，
∴∠＝＝＝＝40°.
在△中, ∵＝,
∴∠＝＝＝＝20°.
依此类推, 得∠的度数为.
故∠的度数为.
4. 解：（1）∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，
∴△COD是等腰直角三角形；
（2）△BOD为等腰三角形．
理由如下：
∵△COD是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠CDO=45°，
而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，
∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°，
∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．
∴△BOD为等腰三角形．
5. 解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE是等边三角形；
（2）BD=DE=EC，其理由是：
∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO ，
同理可证EC=EO.
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．
6. 60°，60°，60°.
证明: ∵BM=CN；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;
∴∠BQM=∠BAM +∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC =60°.
7. 解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2）当△ABD≌△DCE时,DC=AB,
∵AB=2，
∴DC=2，
∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；
（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA= （180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°.
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.
∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
8. 解：（1）证明：连结AP，BP，CP.则，
即，
∵AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）．
（2）存在；2.
O
M
N
B1
A1
B2
B3
A2
A3
A413.5 逆命题与逆定理
专题 线段垂直平分线与角平分线的综合应用
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：
①DA平分∠CDE；
②∠BAC=∠BDE；
③DE平分∠ADB；
④BE+AC=AB；
⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上.
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2. 如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm．则△OBC的面积为 ________cm2．
3. 如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．
状元笔记
【温馨提示】
1. 运用角平分线的性质时，必须满足三个条件，即：一个平分，两个垂直，然后才能得一个结论，即两条线段相等.
2. 对于角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论要正确掌握，避免错误.
3. 三角形三个角的平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等.
【方法技巧】
当题目中出现角平分线、垂线段、距离等条件时，可考虑应用角平分线的性质定理及其逆定理求解或把问题转化.
参考答案
1. C 【解析】 ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE.
又∵∠C=∠DEA=90°，DA=DA，
∴△ADC≌△ADE.
∴∠ADC=∠ADE，AC=AE.
∵BE+AE=AB，∴BE+AC=AB.
∵在直角△BDE中∠B+∠BDE=90°，在直角△ABC中∠B+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BDE.所以①②④正确.
∵△ADC≌△ADE，
∴AC=AE，DC=DE，
∴A、D两点在线段EC的垂直平分线上.
2. 20 【解析】 作CE⊥OM，垂足为E.
∵点B在OA的垂直平分线上，
∴BO=BA=10cm.
∵OP是∠MON的角平分线，CA⊥ON，CE⊥OM，
∴CE=CA=4 cm，
∴.
3. 45°【解析】 易证△AEF≌△DEF，
∴∠ADF=∠DAF.
∵AD平分∠BCA,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠FAC+∠DAC，
∴∠FAC=∠B=45°．第13章 全等三角形
13.1命题与定理
专题 定义与命题
1．下列语句中，定义的个数有 （ ）
①两点之间，线段最短；
②过点M作已知直线的平行线；
③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
④两直线平行，同位角相等；
⑤单项式和多项式统称为整式.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．下列语句中属于命题的有 （ ）
（1）两点确定一条直线；
（2）不许大声喧哗！
（3）连结线段MN；
（4）两个锐角的和一定是直角；
（5）；
（6）不相交的两条直线叫作平行线.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3. 下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是_________________________.
①相等的角是对顶角；
②内错角相等，两直线平行；
③如果是自然数，那么是有理数；
④如果，那么；
⑤如果，那么、互为相反数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 若规定“⊙”是一种运算符号，且，试计算：的值.
状元笔记：
[知识要点]
1．定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义．
2．命题：对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句（陈述句）叫作命题．
3．命题的组成：命题由条件和结论组成，如果引入的部分是条件，那么引出的部分是结论．
4. 逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
5. 真假命题：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.
6. 证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫作证明.
参考答案
1. B 【解析】③和⑤是定义.
2. C 【解析】（1）（4）（5）（6）是命题.
3. ②⑤
4. 解：∵，
∴
.
