第11章 数的开方
11.1平方根与立方根
专题一 算数平方根与绝对值的综合运用
1. 如果，则=______.
2. 已知、满足，求的平方根.
3. 如果与互为相反数，求的算术平方根.
专题二 被开方数中字母的取值问题
4. 已知△ABC的三边长分别为，且满足，求的取值范围.
5.在学习平方根知识时，老师提出一个问题：与中的的取值范围相同吗？小明说相同，小刚说不同，你同意谁的说法？说出你的理由.
专题三 （算术）平方根与立方根的规律探究
6. 观察下列各式：；；，…，请你将猜想到的规律用含自然数的代数式表示出来.
7. 观察下列一组等式：；；.
（1）你能用含有（为整数，且）的等式来表示你发现的规律吗？
（2）用你发现的规律说明与的关系.
状元笔记：
[知识要点]
1. 平方根与立方根
（1）一般地，如果，那么就叫做的平方根.
（2）一个正数的正的平方根叫做的算术平方根.
（3）一般地，如果，那么就叫做的立方根.
2. 性质
（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.
（2）算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性：
①被开方数非负，即；
②非负，即.
（3）立方根的性质：
①一个正数有一个正的立方根；
②一个负数有一个负的立方根；
③0的立方根是0.
[温馨提示]
1. 负数没有平方根，但是它有立方根.
2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解.
[方法技巧]
体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.
参考答案
1. 【解析】 根据题意得，，即，.
∴=.
2. 解：根据算术平方根的意义，得，
∴，，
∴.
故 的平方根是.
3. 解：根据题意得，即，解得.
∴，
∴的算术平方根是3.
4. 解：∵，，且，
∴，，
∴，.由三角形三边关系得，
∴.
5. 解：同意小刚的说法.理由：在中，，得；
在中，，或，得，或.
∴在和中的的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.
6. 解：规律是：.
7. 解：（1）.
（2）.11.2实数与数轴
专题一 与实数分类有关的问题
1. 要使为有理数，则的值是（ ）
A.0 B.3 C. 3 D.不存在
2. 已知，，则的值为______.
3. 请写出满足条件的的整数解.
4. 设，的整数部分为，小数部分为，求的值.
专题二 数形结合思想在实数中的应用
5. 如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（ ）
A. B. C. D.
6.实数、在数轴上的对应点A、B的位置如图所示，则化简=______.
7. 已知实数、、在数轴上的对应的点位置如图所示，化简：
.
专题三 相反数、倒数、绝对值的综合应用
8. 已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，求的值.
9. 已知、是实数，且；解关于的方程.
状元笔记
[知识要点]
1. 无理数
无限不循环小数叫做无理数.
2. 实数的有关概念及分类
（1）实数的概念：有理数和无理数统称实数.
（2）有理数的相反数、绝对值、倒数的概念在实数范围内仍适用.
（3）实数的分类：
[温馨提示]
1. 实数与数轴上的点一一对应..
2. 有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序.
[方法技巧]
利用数形结合的数学思想，可使化简变得方便.
参考答案
1. C 【解析】 ∵，又，∴，∴.
2. 1000000 【解析】根号内向左移动六位小数，根号外就向左移动两位.
3. 解：∵，∴，即.
∵，∴，即，
∴满足条件的的整数解是-1，0，1，2.
4. 解：∵，∴的整数部分是1，小数部分是.，
∴的整数部分是3，小数部分是，即. ，
∴=.
5. D 【解析】 点B表示的数比点A表示的数大，点C表示的数比点A表示的数小，即点C表示的数为.
6. 【解析】 由数轴可知.原式==.
7. 解：根据、、在数轴上对应点的位置可知，，，∴，.
原式====.
8. 解：由题意得：，，，即，
∴.
9. 解：∵且
∴，.
∴，.
代入方程得，即，
∴.
