15.4 角的平分线
专题一 角平分线知识的应用
1.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．
2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE.
求证：AC－AB＝2BE.
专题二 作图与实际问题
3.如图，点B、C在∠SAT的两边上，且AB=AC.
（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹）
①AN⊥BC，垂足为N；
②∠SBC的平分线交AN延长线于M；
③连接CM.
（2）该图中有__________对全等三角形.
4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E满足：①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）.
专题三 角平分线中的探究题
5.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。
6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA于D，交AC于E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．
（2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？
（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？
【知识要点】
1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【温馨提示】
1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.
2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.
【方法技巧】
1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.
2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.
参考答案
1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF．
∵S△ABC=36cm2，S△ABD =BC·DF．
又∵S△ABC =S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴×18DE+×12DF=36，
∴9DE+6DF=36．
又∵DE=DF，∴9DE+6DE=36，∴DE=cm．
2.证明：延长BE交AC于点M，
∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°.
在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1.
同理，∠4＝90°－∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.
∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM.
∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C.
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，
∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C.
∴∠5＝∠C，∴CM＝BM.∴AC－AB＝BM＝2BE.
3.（1）如图;（2）3.
4.如图,坐标为(2,2).
5.（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.
（2）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF.
在Rt△OFB和Rt△OEC中，∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC.
∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC.
（3）不一定成立。
（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）.
6.（1）①BD=DI，CE=EI；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC．
证明：因BI平分∠DBC， ∴∠DBI=∠CBI，
又 ∵DE∥BC， ∴∠CBI=∠DIB， ∴∠DIB=∠DBI，故BD=DI，
同理CE=EI，即①得证．由①不难推出②、③．
（2）由（1）知△ADE周长=AB+AC=7+5=12．
（3）OF=FB；OG=GC；BF+CG=FG．
A
B
S
C
T
图2
图1
N
A
B
S
C
T
M
成立
不成立第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
专题一 轴对称性质的应用
1.如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
2.已知，如图（1），Rt△ABC ≌Rt△ADE，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明．
专题二 规律探究题
3.通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.
4.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2013次变换后所得的A点坐标是________．
专题三 操作题
5.小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是( ).
6.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.
图甲 图乙
专题四 图案设计题
7.用四块如图a的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图b、图c、图d中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.
【知识要点】
1.如果两个图形沿某条直线对折后能完全重合,则称这两个图形关于这条直线对称.如果一个图形沿某条直线对折后能和本身重合,则称这个图形是轴对称图形.
2.关于某条直线对称的两个图形是全等形,对应点的连线被对称轴垂直平分.
3.在坐标系内,点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).
【温馨提示】
1.轴对称和轴对称图形的对称轴是直线,不是线段或射线.
2.轴对称图形和两个图形成轴对称是紧密联系的,可以把一个轴对称图形沿对称轴分成轴对称的两个图形,也可以把一个成轴对称的两个图形看成是一个轴对称图形.但是两者也有区别,轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合,而轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.
【方法技巧】
1.找两个成轴对称图形的对称轴,可以先找到一对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
2.作一个图形各特殊点关于某直线的对称点,相应连接各点就可以得到这个图形关于某直线成轴对称的图形.
3.若点(x,y)关于x=m对称的点的坐标是(x,y′),则y、m和y′之间的关系是y+y′=2m,同理,点(x,y)关于y=n对称的点的坐标是(x′,y),则x、n和x′对称的点的x+x′=2n.
参考答案
1.A.
2.解:如图（2），连结DC、BE有结论DC=BE；连结BD、CE、AF则有DB∥CE、AF⊥DB、AF⊥CE.对DC=BE的证明如下：
∵Rt△ABC ≌Rt△ADE．
∴AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠BAD=∠DAE－∠BAD，即∠DAC=∠BAE
在△DAC和△BAE中，
∵AD = AB，∠DAC=∠BAE ，AC=AE，
∴△ADC≌△ABE.∴DC=BE．
3. 提示:观察图形，可发现规律：每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形，且按顺序排列，其中奇数位置上下对称，偶数位置为左右对称.
4.（a，－b） 提示:根据题意，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，经过观察图形，动手操作不难发现，每4次为一个周期变换．依次类推第2013次变换相当于2013＝503×4＋1次变换，也就是说第2013次变换时已经有503次重复还余一次，相当于第1次关于关于x轴对称后的图形，此时A坐标是（a，－b）．
5.A 提示:根据轴对称图形的定义 “如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )图形”，知图形A不是轴对称图形.
6.答案不唯一，如图所示
7.参考答案如图，有兴趣者可以再试。
B
Ａ．
D
C
C
A
B
D
F
E
（1）
y
x
O
A
B
C
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
第1次
关于x轴对称
第2次
关于y轴对称
第3次
关于x轴对称
第4次
关于y轴对称
图a
图c
图d
图b
C
A
B
D
F
E
N
M
（2）15.2 线段的垂直平分线
专题一 线段垂直平分线知识的应用
1.如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF，
求证：BE+CF＞EF．
2.△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF的中垂线，求证BF=2AD.
3.已知，如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=DF．求证：AD垂直平分EF．
合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：
学生甲：因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD垂直平分EF．
学生乙：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,所以AE=AF（全等三角形的对应边相等），所以A点在线段EF的垂直平分线上，又因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上，所以AD垂直平分EF．
分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因．
专题二 作图与实际问题
4.如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出变电站的位置（用P点表示），并说明你的理由.
5.A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P，Q的位置（保留作图痕迹）．
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M，N两村都越来越近？在哪一段上距村庄N越来越近，而离村庄M越来越远（分别用文字表述你的结果，不必证明）？
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由．
【知识要点】
1.垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线上的点与线段两端点距离相等,与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3.线段的垂直平分线可以看作到线段的两个端点距离相等的所有点的集合.
【温馨提示】
1.某条线段的垂直平分线是直线,不是线段或射线.
2.注意区分线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
【方法技巧】
1.在证明某条直线是一条线段的垂直平分线时,可证明该直线垂直且平分这条线段,即根据定义证明,也可以证明直线上有不同的两点到这条线段的两个端点距离相等.
2.解与线段的垂直平分线有关的问题时,常先利用线段垂直平分线的性质将条件转化,再结合其他知识解决问题.
参考答案
1.证明:延长ED至M点,使DM=ED，连接MC，MF，则F在线段EM的垂直平分线上,
∴EF=FM，又∵BD=CD,DE=DM,∠BDE=∠CDM,
∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE=CM，在△CFM中,
∵CF+CM>MF，∴BE+CF>EF.
2.证明:连DE，DF，作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中垂线,
∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF,∴∠1=∠2.
又∵∠A=90°,∴DA⊥AC，DG⊥BC,∴DA=DG.
又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△GDF（HL）,∴GF=AE.
又∵AE=AD,∴AD=DG=GF.∠A=90°,AB=AC,∴∠B=45°.
在△BDG中∠B=45°, ∵∠DGB=90°,∴∠BDG=45°.
∴DG=BG,∴DG=BG=GF,∴DG=BF,AD=BF,即BF=2AD.
3.学生乙的证明过程正确；学生甲的证明有错误．学生甲在解题过程中，过点D的直线有无数条，它们不都是EF的垂直平分线，所以在上述解题过程中，仅仅由D在EF的垂直平分线上就推得AD垂直平分EF是不正确的．产生错误的原因是对垂直平分线的判定定理理解不透，而实际上要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线解决问题．
4.解:连接AB、AC,作AB和AC的垂直平分线,交点即为P点.
理由:连结PA、PB、PC,
∵P点是边AB、AC的垂直平分线,
∴PA=PB,PB=PC,∴PA=PB=PC.
5.（1）存在满足条件的点C,如图所示．
（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，－2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，
把（2，－2）和（7，3）代入得：，
解得：，∴y=x－4，当y=0时，x=4，
所以交点P的坐标为（4，0）．
6.（1）作法：过点M作AB的垂线，垂足为点P，点P即为所求；过点N作AB的垂线，垂足为点Q，点Q即为所求，如图．
（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄都越来越近，在PQ上行驶时，离M越来越远，离N越来越近．
（3）如图，连结MN，作MN的垂直平分线交AB于点H，点H离村庄M，N的距离相等．
M
·A
·B
·C
P
·A
·B
·C15.3 等腰三角形
专题一 等腰三角形知识的应用
1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点.
2.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE.求证:EC=ED.
专题二 等腰三角形操作题
3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等．
4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。
现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。
（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；
（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？
专题三 等腰三角形探究题
5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:
学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”
同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．
(1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？
(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)
6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．
（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．
【知识要点】
1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.
3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【温馨提示】
1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.
2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.
3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.
【方法技巧】
1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.
2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.
4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.
参考答案
1.证明:因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点,
所以∠1＝∠ABC. 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E.
所以∠ACB＝2∠E, 即∠1＝∠E.
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M,
所以M是BE的中点.
2.证法一:延长BD到F,使DF=BC,连结EF,如图2.则BE=AE+AB=BD+DF=BF,故△BEF为等边三角形,从而可证△BCE≌△FDE,所以EC=ED.
证法二:过E作EF∥AC,交BD的延长线于F,如图2,则△BEF为等边三角形,以下同证法一.
证法三:在AE上截取EF=BC,如图3.则AF=CD,故AC∥DF,从而△BDF是等边三角形,DF=BF=AE,可证△ACE≌△FED,所以EC=ED.
证法四:过D作DF∥AC交AE于F点,如图3,以下同证法三.
证法五:作EF∥BC交CA的延长线于F,如图4.则△AEF是等边三角形,从而可证
△CEF≌△EDB,所以EC=ED.
证法六:作DF∥AB交AC的延长线于F,连结EF,如图5.则△CDF是等边三角形,故AF=AC+CF=BC+CD=BD=AE,从而∠AEF=∠AFE=30O,∠DFE=30O,即EF是等腰△CFD的顶角平分线,所以EF垂直平分CD,由此得EC=ED.
证法七:作EF⊥BD,垂足为F,如图6.则∠BEF=30O,BE=2BF,即AB+AE=2BC+2CF,从而有BC+2CF=AE=BD=BC+CD,即CD=2CF,有CF=DF,EF为CD的垂直平分线,所以有CE=ED.
3.以下答案仅供参考
4.方案一：如图1（1）所示。（虚线AM’为等腰三角形ABC底边上的高）
方案二：如图1（2）所示，（虚线为切割线，M、N为AB、AC中点，MP⊥BC）;
（2）若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形.
5.(1)该三角形的周长应该为22cm或23cm.∵当腰长为7cm时,周长=7+7+8=22(cm);当腰长为8cm时,周长=8+8+7=23(cm);
(2)考虑问题要全面.(其他符合题意的话都可以)
6.（1）∠BQM = 60°；（2）题的证明思路如下：先证△ACM ≌△BAN，得到∠M =∠N，所以∠BQM =∠N +∠QAN =∠M +∠CAM =∠ACB = 60°．
图①
图②
