14.2 勾股定理的应用
专题 最短路径的探究
1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…则每一根这样的竹条的长度最少是______________
2. 请阅读下列材料：
问题：如图（2），一圆柱的底面半径为5 dm，高为BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：
设路线1的长度为，则
路线2：高线AB + 底面直径BC.如上图（1）所示：
设路线2的长度为，则.
∴
∴.
所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件
改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”
继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成
下面的计算：
路线1：___________________；
路线2：__________.
∵ ，
∴( 填>或<).
所以应选择路线____________(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
3. 探究活动有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）
（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）
参考答案
1. 【解析】 底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，如图每一根这样的竹条的长度最少是.
2. 解：（1）路线1：l12=AC2=25+π2；路线2：l22=（AB+BC）2=49．
∵l12＜l22，∴l1＜l2，
∴选择路线1较短．
（2）l12=AC2=AB2+2=h2+（πr）2，l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
当r=时，l12=l22；
当r＞时，l12＞l22；
当r＜时，l12＜l22．
3. 解：（1）如图，AC=π ÷2=9（cm），BC=4 cm，则蚂蚁走过的最短路径为：AB==cm，所用时间为÷2=（秒）．
（2）作B关于EF的对称点D，连结AD，蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，
由图可知，AC=9 cm，CD=8+4=12（cm）．AD==15（cm）．15÷2=7.5（s）.
从A到C所用时间为7.5秒．
比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
专题一 勾股定理与方程
1. 如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3， AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角
∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.
专题二 构造直角三角形
3. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
4. 如图所示，在△ABC中，已知AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线AD=6 cm，求BC.
5. 如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.
专题三 勾股定理中的分类讨论思想
6. 在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ．
7. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.
8. 在△ABC中， AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
状元笔记
【知识要点】
1. 勾股定理：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.
2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形.
【温馨提示】
在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边.
【方法技巧】
1. 当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形.
2. 判定一个三角形是直角三角形有两种方法：①借助三角形内角和求出一个角是直角；②利用勾股定理的逆定理.
参考答案
1. C 【解析】 由折叠可知BD=BA=6，DE=AE.∵BC=3，∴CD=BC=3，∴BE=DE=AE，由勾股定理可得AC=，设DE=AE=BE=x，在Rt△BCE中，32＋=x2，解得x=，即DE的长度为.
2. 【解析】 因∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米，所以AC＝12米.设当AE为 x时，所以EC＝12－x，由DC＝AE＋BC.及DC2＝DE2＋EC2，所以有22＋（12－x）2＝x2＋36，解得：x＝.
3. 解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°.
∴CD＝BD.
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝.
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋.
答：AB的长是3＋．
4. 解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.在△ADC与△EDB中.
∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB，∴EB=AC=5cm.
在△AEB中，
∵AB=13cm，EB=5 cm，AE=2AD=12 cm，
∴，
∴∠E=90°.
在Rt△BED中，由勾股定理得，
∴BC=2BD=2cm.
5. 解：连结AC.设AB、BC、CD、DA分别为2x，2x，3x，x，则，
∴，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=90°+45°=135°.
6. 或4或4 【解析】 （1）如图①，当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=AC=×8=4；
（2）如图②，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=，
∴CD==4；
（3）如图③，当AC=BC时，则AD=4.
设CD=x，则AC=2x. 则，解得x=.
故答案为或4或4．
7. 42或32 【解析】 当△ABC是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时当△ABC的周长为15+13+14=42.
当△ABC是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时当△ABC的周长为15+13+4=32.
8. 解：∵AC=4，BC=2，AB=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
易证△ACB≌△BED，易求CD=2
如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求CD=2．
如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
易证△AFD≌△DEB，易求CD=3.
∴CD的长为2或2或3.
