【专题 6】
重要知识点讲解
知识点 1：函数的单调性
一．单调性
（一）增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数．
f（x1）－f（x2）
数学符号：： x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]
x1－x2
上是增函数
2.减函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1f(x2)，
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数．
f（x）－f（x ）
数学符号：(x1－x
1 2
2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
x1－x2
（二）判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
一次函数y kx b k 0 , k 0
k
反比例函数y= k 0 , k 0
x
指数函数y=ax a 1 ,0 a 1
对数函数y=logax a 1 ,0 a 1
幂函数y=xa (第一象限） 0 , 0
二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 开口和对称轴
(三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
二．单调性的应用
（一）最值
1
1.定义：设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M 或 f(x)≥M．
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值或最小值．
（二）解不等式
（三）比较大小
【例题精讲】
考向一 无参数函数的单调性
【例 1】（1）函数 f x x2 2x 3的单调递减区间为
1
（2）（2020·荆州市沙市第四中学）函数 y 的单调减区间为______.
x 2
（3）（2020·甘肃省民乐县第一中学）已知函数 f x x x 2x，则单调递增区间是
1
（4）（2020·江苏）函数 y 2 的单调增区间为___________.x 2x 4
【答案】（1） ,1 （2） ( , 2) 、 (2, ) （3） 0, （4） ( , 1]
2
【解析】（1） 函数 f x x 2x 3的二次项的系数大于零， 抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是 x 1， 函数的单调递减区间是 ,1 ．
1 1 1
（2）由 y 知 x 2，即 y 的定义域为 , 2 2, ，作出 y 的图像如图所示：
x 2 x 2 x 2
1
由图可知： y 的单调递减区间为 ( , 2) 和 (2, ) .故答案为： ( , 2) 、 (2, ) .
x 2
（3）函数 f x x x 2x的定义域为 R，
因为 f x x x 2( x) x x 2x f (x) ，所以函数 f x x x 2x 是奇函数；
x2 2x, x 0
又 f x x x 2x ，当 x 0 时， f x x2 2x2 ，函数 f (x) 在 0,1 上单调递减，在
x 2x, x 0
2
1, 上单调递增；
当 x 0 时， f x x2 2x，函数 f (x) 在 1,0 上单调递减，在 , 1 上单调递增；
又函数 f x 连续，所以函数 f x 的单调递减区间为 1,1 ，单调递增区间为 , 1 ， 1, .
2
（4）【解析】由 x2 2x 4 x 1 3 0 得，函数的定义域是 R，
设u x2 2x 4，则u在 ( , 1]上是减函数，在 ( 1, )上是增函数，
y 1 y 1∵ 在定义域上减函数，∴函数 2 的单调增区间是 ( ,1]故答案为： ( , 1]u x 2x 4
【方法总结】
1.增(减)函数定义中的 x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可
2.单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示
3.有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”
连接
【举一反三】
1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
1
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
x
【答案】B
1
【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－ +2 在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1 在区
x
间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选 B.
1
2．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数 f x 的单调区间为__________.
x 1
【答案】减区间为 ( , 1),( 1, )
【解析】 f (x) 的定义域是 ( , 1) ( 1, ) ， y x 1 1是增函数， y 在 ( ,0)和 (0, )上都是减函
x
数，∴ f (x) 的单调减区间是 ( , 1)和 ( 1, )．故答案为：减区间 ( , 1)和 ( 1, )．
3．（2021·邗江区赤岸中学）函数 y x x 3 的单调减区间为______.
3
3
【答案】 ,3
2
3
【解析】当 x 3时， y x 3 x x2 3x 由二次函数图象可知，此时函数在 ,3 上单调递减
2
当 x 3时， y x x 3 x2 3x由二次函数图象可知，此时函数单调递增
综上所述， y x x
3 3
3 的单调减区间为 ,3 本题正确结果： ,3
2 2
4. 2判断函数 y 3 的单调性．
1
2
x
1
【解析】定义域的求法： 2 1 2x 0 x 1 2x 0 x x 0 12x 1 0 ， ．x x 2
【答案】在定义域 0
1
， 上单调递减；
2
考向二 含参函数的单调性
【例 2】（1）（2020·云南省镇雄县第四中学）若函数 y 2k 1 x b在 ( ﹐ ) 上单减，则 k 的取值
范围为__________.
（2）（2020·陕西西安市·西安一中）如果函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间 , 4 上单调递减，那
么实数 a的取值范围是
a
, x 1
（3）（2020·江苏课时练习）若 f（x）＝ x 是 R上的单调减函数，则实数 a 的取值范围为____.
x 3a, x 1
例题 3 已知函数 f (x) 3 ax在区间 (0,1) 上是减函数，则 a的取值范围是_________；
【答案】 0 a 3；
【解析】因为 f (x) 3 ax在区间 (0,1) 上是减函数，所以说明 y 3 ax在 (0,1) 是减函数，故 a 0，
根据 f x 有3 ax 0 a 3 。因为 x (0,1) ，故 a 3。综上所述： a的取值范围是 0 a 3
x
【举一反三】
1．（2021·陕西省黄陵县中学）设函数 f x 1 2a x b是 R 上的增函数，则有（ ）
4
a 1 a 1 a 1 1A． B． C． D． a
2 2 2 2
【答案】A
【解析】函数 f x 1 2a x b是 R 上的增函数,则1 2a 1 0，即 a 故选：A
2
2．（2021·广西钦州市）函数 y x2 2mx 1在[2, ) 单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[ 2, ) B．[2, ) C． ( , 2) D． ( , 2]
【答案】A
【解析】函数 y x2 2mx 1为开口向上的抛物线，对称轴为 x m
函数 y x2 2mx 1在[2, ) 单调递增，则 m 2，解得m 2 .故选：A.
2
3. x 1, x 1（17-18 东莞市高一学年期末测试卷） 若函数 f x 在 R上单调递增，则实数 a的取值范围
ax 1, x 1
是_____________；
a 0
【解析】 0,3 0 a 3
a 1 2
2b 1 x b 1, x 04. 若函数 f x 在 R上单调递增，则实数 b 的取值范围是_____________；
x2 2 b x, x 0
2b 1 0
2 b
【解析】 1,2 0 1 b 2
2
b 1 0
5. 如果函数 y ax 2 在 1， 上单调递增，求 a的取值范围．
【答案】 a的取值范围为 (0，2]．
考向三 单调性的证明
【知识点讲解】
1．单调性在直观上：单调递增——图象上升、单调递减——图象下降；
2．逐渐进行抽象：单调递增—— x增加， f (x) 也增加；单调递减—— x增加， f (x) 减小．
3．数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：
在区间内任取 x1 ，x2 ，比较 f (x1)，f (x2 ) 的大小．（注意是任取）
4．函数单调性定义中的 x1 ， x2 有三个特征：一是任意性，即“任意取 x1 ， x2 ”，证明单调性时不可随意以两
个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可．
5
5．用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较 f (x1)，f (x2 ) 的大小，这可以通过作差变形来实现．
【解题步骤】
1．取值：即设 x1 ， x2 是该区间内的任意两个值，且 x1 x2 ；
2．作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
3．定号：确定差 f (x1) f (x2 )（或 f (x2 ) f (x1)）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论；
4．下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间；
【例题精讲】
1
例题 1 f (x) x ， x 0，讨论 f (x) 的单调性．
x
【答案】任取 0 x1 x2 ，
f x1
f x2 x
1 x 1 1 11 2 x1 x2 x
x2 x1
x x x 1
x2
1 2 1 x2 x1x2
1 x1 x x x 1x1 x
2 1
2 1 2 ，
x1x2 x1x2
x1 x2 0， x1x2 0，
注意 x1 ，x2 A (0， ) ，要使得 x1 ，x2 在同一区间，且 x1x2 1（或 x1x2 1）恒成立，需要将
(0， ) 划分为： (0，1)与 (1， ) ．
当 x1 ，x2 1， 时， x1x2 1 0 ， f x1 f x2 ， f x 在 (1， ) 上单调递增；
当 x1 ，x2 0，1 时， x1x2 1 0 ， f x1 f x2 ， f x 在 (0，1)上单调递减．
k
例题 2 证明函数 f (x) x (k 0) 在 ( k , ) 上是增函数；
x
k k k(x x )
【答案】任取 k x1 x2 ，所以 f (x1) f (x2 ) (x1 ) (x2 ) (x1 x2 ) 1 2x1 x2 x1x2
k k
(x1 x2 ) 1 ；因为 k x1 x2 ，所以 x1 x2 0 ，1 0，所以 f (x1) f (x2 ) 0，
x1x2 x1x2
k
所以 f (x) x (k 0) 在 ( k , ) 上是增函数；
x
f (x) ax变式 1 讨论函数 2 （ 1 x 1，a 0 ）的单调性．x 1
【答案】设 1 x1 x2 1，
a(x x )(x x
则 f (x ) f (x ) 2 1 1 2
1)
1 2 ，(x1 1)(x1 1)(x2 1)(x2 1)
∵ 1 x1 x2 1，
6
(x x )(x x 1)
∴ x1 1 0，x1 1 0，x2 1 0 ，x2 1 0 ，x1x2 1 0 ，∴
2 1 1 2 0 ，
(x1 1)(x1 1)(x2 1)(x2 1)
故 a 0时， f (x1) f (x2 ) ， f (x) 为减函数； a 0时， f (x1) f (x2 ) ， f (x) 为增函数．
考向四 函数单调性的应用
【知识点讲解】
1．如果 f (x) 在某定义域内单调递增，且在该定义域内有 f (m) f (n) ，则m n；
如果 f (x) 在某定义域内单调递减，且在该定义域内有 f (m) f (n) ，则m n；
例题 1（19-20 青岛市新高考高一学年期末测试卷） 已知 f x 是定义在[ 1，1]上的增函数，且
f x 1 f 1 3x ，则 x的取值范围是（ ）
0, 1 0, 1 1 A． B． C． ,1 D． 1, 2 2 2
1 x 1 1
1
【答案】 A 1 1 3x 1 0 x
2
x 1 1 3x
变式 1 已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)，则实数 x的取值范围为________．
【答案】∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即 x<1. ∴实数 x的取值范围为(－∞，1)．]
变式 2 (探究：变条件) 若本例的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x的范围．
2x－3>0， 3
3 ，＋∞
【答案】由题意可知， 5x－6>0， 解得 x> . ∴ x的取值范围为 22
2x－3<5x－6，
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单
调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
提醒：研究函数要注意定义域优先的原则，解题时要注意条件中的前提范围。
变式 3（18-19 东华高一学年期中测试卷）已知函数 f (x) 的图像关于直线 x 1对称，当 x2 x1 1时，
f (x2 ) f (x1)
1
(x2 x1) 0 ，设 a f ( ),b f (2),c f (3)，则 a,b,c的大小关系___________.2
【解析】b a c f x x 1 1 5 在 时，单调递减，又 a f f ，所以b a c
2 2
7
考向五 函数的最值
【知识点讲解】
函数最大值与最小值的定义
最大值 最小值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：对于任意的 x∈I，都有
条件 f(x)≤M f(x)≥M
存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M是函数 y＝f(x)的最大值 M是函数 y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数 f(x)≤M，则 M一定是函数的最大值吗？
[提示] 不一定，只有定义域内存在一点 x0，使 f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
推论：
1．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递增，则 f x fmin a ， f x f bmax
2．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递减，则 f x f bmin ， f x f amax
3．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递增，在 b,c 上单调递减，则 f x f bmax ， f x min f a , f c min
4．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递减，在 b,c 上单调递增，则 f x fmin b ， f x min f a , f c min
【解题指导】
求函数最值的方法
1．观察法：对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
2．配方法：对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
3．图像法：对于图像较为容易画出来的函数，可借助图像直观求出最值；
4．单调性法：对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值；
（1）如果函数 y f (x) 在区间 (a,b] 上是增函数，在区间 [b,c) 上是减函数，则函数 f (x) x (a,c) 在 x b
处有最大值 f (b) ；
（2）如果函数在区间 (a,b] 上是减函数，在区间 [b,c) 上是增函数，则函数 f (x) x (a,c) 在 x b处有最
小值 f (b) ；
（3）若果连续函数 y f (x) 在 [a,b]上是单调递增函数，则 y f (x) 的最大值是 f (b) ，最小值是 f (a)；
（4）若果连续函数 y f (x) 在 [a,b]上是单调递减函数，则 y f (x) 的最大值是 f (a) ，最小值是 f (b) ；
8
含参函数在定区间的最值问题
例题 1 已知二次函数 f x ax2 2ax 1在区间 2,3 上的最大值为 6 ，则实数 a的值为________；
1
【解析】解：对称轴为 x 1， a 0时，开口向上， f x max f 3 15a 1 6 a ，3
a 1 0 时，开口向下， f x max f 1 a 1 6 a 5，所以实数 a的值为 或 53
1 1
变式 1 函数 f(x)＝ 在区间[a，b]上的最大值是 1，最小值是 ，则 a＋b＝________．
x－1 3
【解析】：易知 f(x)在[a，b]上为减函数，
1
f（a）＝1， ＝1，a－1 a＝2，
所以 f（b 1 即 ，所以 所以 a＋b＝6. 答案：6）＝ ， 1 1
3 ＝ ， b＝4.b－1 3
函数在不定区间的最值问题
例题 2 设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值．
【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0 时，如图(1)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；
当 t<1当 t≥1 时，如图(3)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，最小值为 f(t)＝t2－2t＋2.
t2＋1，t≤0，
综上可知，f(x)min＝ 1，0t2－2t＋2，t≥1.
变式 1 若函数 g(x)＝x2＋2mx－m2 在[1，2)上存在最小值 2，求实数 m的值．
【解析】g(x)＝x2＋2mx－m2＝(x＋m)2－2m2，此二次函数图象的对称轴为直线 x＝－m.
(ⅰ)当－m≥2，即 m≤－2 时，如图①g(x)在[1，2)上单调递减，不存在最小值；
(ⅱ)当 1<－m<2，即－2此时 g(x)min＝g(－m)＝－2m2≠2；
(ⅲ)当－m≤1，即 m≥－1 时，如图③g(x)在[1，2)上单调递增，此时 g(x)min＝g(1)＝1＋2m－m2，
9
令 1＋2m－m2＝2，解得 m＝1. 综上，m＝1.
重难点讲解
重难点 1：带参数的单调性问题
【例题精讲】
根据函数单调性求参数的取值范围
例题 1 已知函数 f (x) 3 ax在区间 (0,1) 上是减函数，则 a的取值范围是_________；
【答案】 a 0 a 3 ；
变式 1 已知 f (x) 3 ax (a 1) ；（1）若 a 0 ，则 f (x) 的定义域为 ；
a 1
（2）若 f (x) 在区间 (0,1] 上是减函数，则实数 a的取值范围是 ；
3
【答案】（1） ( , ] ；（2） ( , 0) (1,3]；
a
例题 2 若函数 f x ax2 3a 1 x a2 在[1, ) 上是增函数，求实数 a的取值范围；
a 0
【解析】 0,1 a 0时， f x x ，符合题意， a 0时， 3a 1 1 0 a 1
2a
a
变式 2 若函数 y x (x 0) 在 (2, )上是单调递增函数，则 a的取值范围是_________；
x
【答案】 a a 4 ； a 0 时，为对勾函数，有0 a 4 ；
a 0时符合， a 0 时，增函数+增函数=增函数，符合
重难点 2：抽象函数的单调性问题
【例题精讲】
例题 1 已知函数 f (x) 的定义域为 0, ，满足 f (x) f ( y) f (x y) ，且当 x 1时， f (x) 0 .
（1）求 f (1)；
（2）证明： f (x) 在定义域上为增函数；
f (1（3）如果 ) 1，求满足不等式 f (x) f (x 2) 2 的 x的取值范围；
3
变式 1 2已知函数 f (x) 对任意 x, y R，总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当 x 0 时， f (x) 0 ， f (1) ；
3
（1）求证： f (x) 在 R上是减函数；（2） f (x) 在 [ 3,3] 上的最值；
【答案】（1）任取 x1 x2 ，
因为 f (x y) f (y) f x ，所以 f x2 f x1 f x2 x1
因为 x1 x2 ，所以 x2 x1 0 ，因为当 x 0 时， f (x) 0，
10
所以 f x2 x1 0，即 f x2 f x1 ，所以 f (x) 在 R上是减函数；
(2) f (3) f (2) f (1) 3 f (1) 2，
因为 f (0) f (0) f (0 0) ，所以 f 0 0
因为 f ( 3) f (3) f (3 3) f 0 0 ，所以 f ( 3) f (3) 2
因为 f (x) 在 R上是减函数，所以 f (x) 在 [ 3,3] 上是减函数，所以 f (x)min f (3) 2 f (x)max f ( 3) 2 ；
重难点 3：最值问题
例题 1 已知函数 f (x) x2 2ax 2, x [ 5,5] ；
（1）当 a 1时，求函数 f (x) 的最大值和最小值；
（2）求使 y f (x) 在区间[ 5,5]上是单调函数的实数 a的范围；
【答案】（1）当 a 1时， f (x) x2 2x 2 (x 1)2 1, x [ 5,5] ；
因为 f (x) 的对称轴为 x 1，所以 x 1时，
f (x) 的最小值取1， x 5 时， f (x) 的最大值取 37 ；
（2） f (x) x2 2ax 2 (x a)2 2 a2 的对称轴为 x a，
又因为 f (x) 在 [ 5,5]上是单调函数，
所以 a 5 或 a 5 ，解得 a 5 或 a 5 ，所以 a的范围是 a a 5或a 5 ；
2
变式 1 x 2x a已知函数 y f (x) , x [1, ) ；
x
1
（1）当 a 时，求函数 f (x) 的最小值；
2
（2）若对任意 x [1, ) ， f (x) 0 恒成立，试求实数 a的取值范围；
1 1
【答案】（1）当 a 时， f (x) x 2 ，
2 2x
2
由题意可知，该函数在 [ , ) 上为增函数，
2
2
又因为 [1, ) [ , ) ，所以 f (x) 在 [1, ) 上是增函数，
2
7
所以 f (x) 在 [1, ) 上的最小值是 f (1) ；
2
2
（2 x 2x a）在区间 [1, ) 上， f (x) 0 恒成立，即 a x2 2x恒成立，
x
转化为求 g(x) x2 2x在 [1, ) 上的最大值，
由 g(x) x 2 2x (x 1)2 1 在 [ 1, ) 上为减函数，且 [1, ) [ 1, ) ，
所以 g (x) 在 [1, ) 上为减函数，所以 g (x)max g (1) 3，所以 a 3 ；
11
重难点 4：存在问题与恒成立问题
【知识点讲解】
a f (x) a f (x)
min 存在问题（有解）
a f (x) a f (x)max
概念解析
a f (x) a f (x)max
恒成立问题（解集为全体实数）
a f (x) a f (x)min
2 1
分离参数法：a x x(max) a
x
2 x a 0 有解 存在问题 4 1
函数图像法： 0 a 4典型例子
1
分离参数法：a x
2 x(max) a
x
2 x a 0解集为R 恒成立问题 4
1
函数图像法： 0 a
4
【例题精讲】
例题 1 不等式 x 2 2x 5 a2 3a 对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． [ 1,4] B. ( , 2] [5, ) C． ( , 1] [4, ) D． [ 2,5]
【解析】由题意知 x 2 2x 5 a2 3a 4 a2 3a a 1 a 4 0 1 a 4
min
【答案】 A
变式 1 已知关于 x的不等式 x 2 4x m 对任意 x (0,1]恒成立，则有（ ）
A． m 3 B． m 3 C． 3 m 0 D． m 4
【解析】由题意知 x 2 4x m 3 m；
min
【答案】A
例题 2 不等式 2 2 + 5 ≤ 2 3 有解，则实数 的取值范围是( )
A. 1,4 B.( ∞, 2 ∪ 5, + ∞) C. ( ∞, 1 ∪ 4, + ∞) D. 2,5
【解析】由题意得：( 2 2 + 5) ≤ 2 3 ，即 4 ≤ 2 3 ，解得： ≤ 1或 ≥ 4
【答案】C
变式 2 若不等式 －2 2 + 2 －2 4 < 0 有解，则实数 a的取值范围是( )
A. －∞, + ∞ B. 2, + ∞ C. －2,2 D. 2, + ∞
【解析】当 2 = 0，即 = 2 时，不等式为－4 <0 成立，满足题意.
当 2 ≠ 0，即 ≠ 2时，则有
2 > 0 2 > 0
① > 0 ，即 2 > 4 ，解得 > 2.
② 2 < 0，解得 < 2，∴实数 a的取值范围是 R，【答案】A
12
【题型优化测训】
(2 a)x 4a, x 11．（2020 秋 威远县校级期中）已知函数 f (x) ，若函数 f (x) 在 R上单调递增，则实数 a
ax, x 1
的取值范围是 ( )
A ( 1,0) B ( 1,2) C (0, 1． ． ． ) D．[1 ,2)
3 3
【解答】解： f (x) 在 R上单调递增，
2 a 0
1
a 0 ，解得 a 2 ，
3
a 2 a 4a
a 1的取值范围是 [ , 2) ．
3
故选： D．
2．（2021 春 赤峰期末）定义在 (0, ) 上的函数 f (x) 满足：对于定义域上的任意 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，恒
x2 f (x1) x1 f (x2 )有 0，则称函数 f (x) 为“理想函数”．给出下列四个函数：
x1 x2
① f (x) 1；② f (x) x2 ； ③ f (x) x ；④ f (x) x2 x
能被称为“理想函数”的有 ( )个．
A．0 B．1 C．2 D．3
x2 f (x1) x1 f (x )【解答】解：由 2 0， (0, ) 内，设 x
x x 1
x2 ，可得 x2 f (x1) x1 f (x2 ) 0 ，
1 2
x2 f (x1) x1 f (x2 ) ，
f (x1) f (x2 ) f x ，函数 y 在 0, 上单调递增．
x1 x2 x
f (x) 1 f x
①中 y ，而这个函数在 (0, ) 为减函数，与函数 y 在 0, 上单调递增矛盾，所以①不
x x x
正确；
f (x) f x
②中 y x ，所以函数 y 在 0, 上单调递增，符合“理想函数”的定义，所以②正确；
x x
y f (x) 1③中 ，在 (0, ) 为减函数，与题意矛盾，所以③不正确；
x x
y f (x)④中 x 1，在 (0, ) 为增函数，符合题意，所以④正确；
x
易知②④符合条件，
13
故选：C．
(2 a)x 3a, x 1
3 2020 f (x) 4．（ 秋 郑州期中）若函数 ,1 x 4 是 R 上的单调函数，则实数 a的取值范围为
x
x
2 2ax, x 4
(2,17] ．
8
(2 a)x 3a, x 1
【解答】解：根据题意函数 f (x) 4 ,1 x 4 是 R上的单调减函数，
x
x2 2ax, x 4
则要求每一段都是减的，而且每一段分段点处的函数值满足左端点函数值 右端点函数值，
2 a 0
2 a 3a 4
a
，
4
1 8a 16
解得 2 17 a ，
8
17
故答案为： (2, ] ．
8
4．（2020 春 浦东新区校级月考）函数 f (x) (x 1)(1 | x |) 的递减区间是 ( , 1)， (0, ) ．
1 x2 , x 0
【解答】解： f (x) (x 1)(1 | x |) ，
(x 1)
2 , x 0
其图象如图所示，结合图象可知，
函数的单调递减区间 ( , 1)， (0, )
故答案为： ( , 1)， (0, ) ．
14
5．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）函数 y x2 4x 的单调递增区间是________.
【答案】 0,2
【解析】由 x2 4x 0解得0 x 4，即函数的定义域为 0,4 ，
y x2 4x 的对称轴为 x 2，开口向下， y x2 4x在 0,2 单调递增，
则 y x2 4x 的单调递增区间是 0,2 .故答案为： 0,2 .
f x a 16．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学）函数 在区间 1, 上单调递减，则实数 a的取值范围
x 1
为______.
【答案】 1,
a 1
【解析】因为函数 f x 在区间 1, 上单调递减，所以 a 1 0，即 a 1，
x 1
则实数 a的取值范围为 1, ；故答案为： 1, .
2x 1, x 2
7．（2013 秋 土默特右旗校级期中）已知函数 f (x) 2 2 ，则满足不等式 f (x 4) f (3x) 的 x的取 x , x 2
值范围是 [ 1， 4] ．（用区间表示）
【解答】解： 由函数的解析式可得，函数 f (x) 在 R上是增函数，
由不等式 f (x2 4) f (3x) ，可得 x2 4 3x，解得 1 x 4 ，
故答案为： [ 1， 4]．
8．（2020 ax秋 思明区校级期中）已知函数 f (x) (a 0)．
x 1
（1）判断函数 f (x) 在 ( 1,1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若 a 1，求函数 f (x) [ 1 , 1在 ] 上的值域．
2 2
ax
【解答】解：（1）根据题意，函数 f (x) (a 0)，
x 1
1 x x 1 f (x ) f (x ) ax1 ax2 ax1 (x2 1) ax2 (x1 1) a(x x )设 1 2 12 ，则 1 2 ；x1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
当 a 0时， x1 1 0 ， x2 1 0 ， a(x2 x1) 0
a(x
则 2
x1) 0，得 f (x ) f (x )，
(x1 1)(x
1 2
2 1)
函数 f (x) 在 ( 1,1) 上是减函数；
15
同理可得，当 a 0 时，函数 f (x) 在 ( 1,1)上是增函数；
x
（2）当 a 1时，由（1）得 f (x) 在 ( 1,1) 上是减函数
x 1
函数 f (x) 在 [ 1 1 1 1 1 ， ]上也是减函数，其最小值为 f ( ) 1，最大值为 f ( ) ，
2 2 2 2 3
1 1 1
由此可得，函数 f (x) 在 [ ， ]上的值域为 [ 1， ]．
2 2 3
9．已知函数 f (x) 对任意 x， y R，总有 f (x) f (y) f (x y) ，且当 x 0 时， f (x) 2 0， f （1） ．
3
（1）求 f (0) ；
（2）求证： f (x) 在 R上是减函数；
（3）求 f (x) 在 [ 3， 3] 上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）令 x y 0 ，则 f (0) 0；
（2）令 y x，则 f ( x) f (x) ，
在 R上任意取 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，则△ x x2 x1 0 ，△ y f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f ( x1) f (x2 x1)
x2 x1，
x2 x1 0，
又 x 0时， f (x) 0，
f (x2 x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1) 0，
由定义可知函数 f (x) 在 R上为单调递减函数．
（3） f (x)在 R上是减函数，
f (x)在 [ 3，3] 上也是减函数．
f 2又 （3） f （2） f （1） f （1） f （1） f （1） 3 ( ) 2，
3
由 f ( x) f (x) 可得 f ( 3) f （3） 2，
故 f (x) 在 [ 3，3] 上最大值为 2，最小值为 2 ．
16【专题6】 函数的单调性题型探究
重要知识点讲解
知识点1：函数的单调性
单调性
增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1数学符号：： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数
2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
(三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
单调性的应用
（一）最值
1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
（二）解不等式
（三）比较大小
【例题精讲】
考向一 无参数函数的单调性
【例1】（1）函数的单调递减区间为
（2）（2020·荆州市沙市第四中学）函数的单调减区间为______.
（3）（2020·甘肃省民乐县第一中学）已知函数，则单调递增区间是
（4）（2020·江苏）函数的单调增区间为___________.
【举一反三】
1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
2．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数的单调区间为__________.
（2021·邗江区赤岸中学）函数的单调减区间为______.
判断函数的单调性．
考向二 含参函数的单调性
【例2】（1）（2020·云南省镇雄县第四中学）若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
（2）（2020·陕西西安市·西安一中）如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是
（3）（2020·江苏课时练习）若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.
例题3 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________；
【举一反三】
1．（2021·陕西省黄陵县中学）设函数是R上的增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广西钦州市）函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（17-18东莞市高一学年期末测试卷） 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________；
4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________；
如果函数在上单调递增，求的取值范围．
考向三 单调性的证明
【知识点讲解】
1．单调性在直观上：单调递增——图象上升、单调递减——图象下降；
2．逐渐进行抽象：单调递增——增加，也增加；单调递减——增加，减小．
3．数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：
在区间内任取，比较的大小．（注意是任取）
4．函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性，即“任意取，”，证明单调性时不可随意以两个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可．
5．用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较的大小，这可以通过作差变形来实现．
【解题步骤】
1．取值：即设，是该区间内的任意两个值，且；
2．作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
3．定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论；
4．下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间；
【例题精讲】
例题1 证明函数在上是增函数；
变式1 讨论函数（）的单调性．
考向四 函数单调性的应用
【知识点讲解】
1．如果在某定义域内单调递增，且在该定义域内有，则；
如果在某定义域内单调递减，且在该定义域内有，则；
例题1（19-20青岛市新高考高一学年期末测试卷） 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1 已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
变式2 (探究：变条件) 若本例的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
提醒：研究函数要注意定义域优先的原则，解题时要注意条件中的前提范围。
变式3（18-19东华高一学年期中测试卷）已知函数的图像关于直线对称，当时，，设，则的大小关系___________.
考向五 函数的最值
【知识点讲解】
函数最大值与最小值的定义
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示] 不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
推论：
1．若函数在上单调递增，则，
2．若函数在上单调递减，则，
3．若函数在上单调递增，在上单调递减，则，
4．若函数在上单调递减，在上单调递增，则，
【解题指导】
求函数最值的方法
1．观察法：对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
2．配方法：对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
3．图像法：对于图像较为容易画出来的函数，可借助图像直观求出最值；
4．单调性法：对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值；
（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数 在
处有最大值；
（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数 在处有最
小值；
（3）若果连续函数在上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是；
（4）若果连续函数在上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是；
含参函数在定区间的最值问题
例题1 已知二次函数在区间上的最大值为，则实数的值为________；
变式1 函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．
函数在不定区间的最值问题
例题2 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
变式1 若函数g(x)＝x2＋2mx－m2在[1，2)上存在最小值2，求实数m的值．
重难点讲解
重难点1：带参数的单调性问题
【例题精讲】
根据函数单调性求参数的取值范围
例题1 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________；
变式1 已知；（1）若，则的定义域为 ；
（2）若在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ；
例题2 若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
变式2 若函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_________；
重难点2：抽象函数的单调性问题
【例题精讲】
例题1 已知函数的定义域为，满足，且当时，.
求； （2）证明：在定义域上为增函数；
（3）如果，求满足不等式的的取值范围；
变式1 已知函数对任意，总有，且当时，，；（1）求证：在上是减函数；（2）在上的最值；
重难点3：最值问题
例题1 已知函数；
当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求使在区间上是单调函数的实数的范围；
变式1 已知函数；
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围；
重难点4：存在问题与恒成立问题
【知识点讲解】
【例题精讲】
例题1 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B. C． D．
变式1 已知关于x的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
例题2 不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式2 若不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【题型优化测训】
1．（2020秋 威远县校级期中）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2021春 赤峰期末）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：
①；②； ③；④
能被称为“理想函数”的有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（2020秋 郑州期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为 ．
4.（2020春 浦东新区校级月考）函数的递减区间是 ， ．
5．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）函数的单调递增区间是________.
6．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______.
7.（2013秋 土默特右旗校级期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 ．（用区间表示）
8．（2020秋 思明区校级期中）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求函数在上的值域．
9．已知函数对任意，，总有，且当时，，（1）．
（1）求；
（2）求证：在上是减函数；
（3）求在，上的最大值和最小值．【专题 6】
重要知识点讲解
知识点 1：函数的单调性
一．单调性
（一）增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数．
f（x1）－f（x2）
数学符号：： x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]
x1－x2
上是增函数
2.减函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1f(x2)，
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数．
f（x）－f（x ）
数学符号：(x1－x
1 2
2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
x1－x2
（二）判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
一次函数y kx b k 0 , k 0
k
反比例函数y= k 0 , k 0
x
指数函数y=ax a 1 ,0 a 1
对数函数y=logax a 1 ,0 a 1
幂函数y=xa (第一象限） 0 , 0
二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 开口和对称轴
(三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
二．单调性的应用
（一）最值
1
1.定义：设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M 或 f(x)≥M．
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值或最小值．
（二）解不等式
（三）比较大小
【例题精讲】
考向一 无参数函数的单调性
【例 1】（1）函数 f x x2 2x 3的单调递减区间为
（2）（2020·荆州市沙市第四中学）函数 y 1 的单调减区间为______.
x 2
（3）（2020·甘肃省民乐县第一中学）已知函数 f x x x 2x，则单调递增区间是
1
（4）（2020·江苏）函数 y 2 的单调增区间为___________.x 2x 4
【方法总结】
1.增(减)函数定义中的 x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可
2.单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示
3.有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”
连接
2
【举一反三】
1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
1
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
x
1
2．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数 f x 的单调区间为__________.
x 1
3．（2021·邗江区赤岸中学）函数 y x x 3 的单调减区间为______.
4. 2判断函数 y 3 的单调性．
1
2
x
考向二 含参函数的单调性
【例 2】（1）（2020·云南省镇雄县第四中学）若函数 y 2k 1 x b在 ( ﹐ ) 上单减，则 k 的取值
范围为__________.
（2）（2020·陕西西安市·西安一中）如果函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间 , 4 上单调递减，那
么实数 a的取值范围是
a
, x 1
（3）（2020·江苏课时练习）若 f（x）＝ x 是 R上的单调减函数，则实数 a 的取值范围为____.
x 3a, x 1
例题 3 已知函数 f (x) 3 ax在区间 (0,1) 上是减函数，则 a的取值范围是_________；
3
【举一反三】
1．（2021·陕西省黄陵县中学）设函数 f x 1 2a x b是 R 上的增函数，则有（ ）
a 1A． B．a 1 1 1 C． a D． a
2 2 2 2
2．（2021·广西钦州市）函数 y x2 2mx 1在[2, ) 单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[ 2, ) B．[2, ) C． ( , 2) D． ( , 2]
2
3. x 1, x 1（17-18 东莞市高一学年期末测试卷） 若函数 f x 在 R上单调递增，则实数 a的取值范围
ax 1, x 1
是_____________；
2b 1 x b 1, x 04. 若函数 f x 在 R上单调递增，则实数 b 的取值范围是_____________；
x2 2 b x, x 0
5. 如果函数 y ax 2 在 1， 上单调递增，求 a的取值范围．
考向三 单调性的证明
【知识点讲解】
1．单调性在直观上：单调递增——图象上升、单调递减——图象下降；
2．逐渐进行抽象：单调递增—— x增加， f (x) 也增加；单调递减—— x增加， f (x) 减小．
3．数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：
在区间内任取 x1 ，x2 ，比较 f (x1)，f (x2 ) 的大小．（注意是任取）
4．函数单调性定义中的 x1 ， x2 有三个特征：一是任意性，即“任意取 x1 ， x2 ”，证明单调性时不可随意以两
个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可．
5．用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较 f (x1)，f (x2 ) 的大小，这可以通过作差变形来实现．
4
【解题步骤】
1．取值：即设 x1 ， x2 是该区间内的任意两个值，且 x1 x2 ；
2．作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
3．定号：确定差 f (x1) f (x2 )（或 f (x2 ) f (x1)）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论；
4．下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间；
【例题精讲】
例题 1 k证明函数 f (x) x (k 0) 在 ( k , ) 上是增函数；
x
ax
变式 1 讨论函数 f (x) 2 （ 1 x 1，a 0 ）的单调性．x 1
考向四 函数单调性的应用
【知识点讲解】
1．如果 f (x) 在某定义域内单调递增，且在该定义域内有 f (m) f (n) ，则m n；
如果 f (x) 在某定义域内单调递减，且在该定义域内有 f (m) f (n) ，则m n；
例题 1（19-20 青岛市新高考高一学年期末测试卷） 已知 f x 是定义在[ 1，1]上的增函数，且
f x 1 f 1 3x ，则 x的取值范围是（ ）
0, 1 A． B． 0,
1 1
C． ,1
D． 1,
2 2 2
5
变式 1 已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)，则实数 x的取值范围为________．
变式 2 (探究：变条件) 若本例的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x的范围．
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单
调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
提醒：研究函数要注意定义域优先的原则，解题时要注意条件中的前提范围。
变式 3（18-19 东华高一学年期中测试卷）已知函数 f (x) 的图像关于直线 x 1对称，当 x2 x1 1时，
f (x2 ) f (x1) (x2 x1) 0 ，设 a f (
1
),b f (2),c f (3)，则 a,b,c的大小关系___________.
2
考向五 函数的最值
【知识点讲解】
函数最大值与最小值的定义
最大值 最小值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：对于任意的 x∈I，都有
条件 f(x)≤M f(x)≥M
存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M是函数 y＝f(x)的最大值 M是函数 y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
6
思考：若函数 f(x)≤M，则 M一定是函数的最大值吗？
[提示] 不一定，只有定义域内存在一点 x0，使 f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
推论：
1．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递增，则 f x f amin ， f x f bmax
2．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递减，则 f x fmin b ， f x f amax
3．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递增，在 b,c 上单调递减，则 f x fmax b ， f x min f a , f c min
4．若函数 f (x) 在 a,b 上单调递减，在 b,c 上单调递增，则 f x f bmin ， f x min f a , f cmin
【解题指导】
求函数最值的方法
1．观察法：对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
2．配方法：对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
3．图像法：对于图像较为容易画出来的函数，可借助图像直观求出最值；
4．单调性法：对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值；
（1）如果函数 y f (x) 在区间 (a,b] 上是增函数，在区间 [b,c) 上是减函数，则函数 f (x) x (a,c) 在 x b
处有最大值 f (b) ；
（2）如果函数在区间 (a,b] 上是减函数，在区间 [b,c) 上是增函数，则函数 f (x) x (a,c) 在 x b处有最
小值 f (b) ；
（3）若果连续函数 y f (x) 在 [a,b]上是单调递增函数，则 y f (x) 的最大值是 f (b) ，最小值是 f (a)；
（4）若果连续函数 y f (x) 在 [a,b]上是单调递减函数，则 y f (x) 的最大值是 f (a) ，最小值是 f (b) ；
含参函数在定区间的最值问题
例题 1 已知二次函数 f x ax2 2ax 1在区间 2,3 上的最大值为 6 ，则实数 a的值为________；
f(x) 1变式 1 函数 ＝ 在区间[a，b] 1上的最大值是 1，最小值是 ，则 a＋b＝________．
x－1 3
7
函数在不定区间的最值问题
例题 2 设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值．
变式 1 若函数 g(x)＝x2＋2mx－m2 在[1，2)上存在最小值 2，求实数 m的值．
重难点讲解
重难点 1：带参数的单调性问题
【例题精讲】
根据函数单调性求参数的取值范围
例题 1 已知函数 f (x) 3 ax在区间 (0,1) 上是减函数，则 a的取值范围是_________；
8
变式 1 已知 f (x) 3 ax (a 1) ；（1）若 a 0 ，则 f (x) 的定义域为 ；
a 1
（2）若 f (x) 在区间 (0,1] 上是减函数，则实数 a的取值范围是 ；
例题 2 若函数 f x ax2 3a 1 x a2 在[1, ) 上是增函数，求实数 a的取值范围；
变式 2 若函数 y x a (x 0) 在 (2, )上是单调递增函数，则 a的取值范围是_________；
x
9
重难点 2：抽象函数的单调性问题
【例题精讲】
例题 1 已知函数 f (x) 的定义域为 0, ，满足 f (x) f ( y) f (x y) ，且当 x 1时， f (x) 0 .
（1）求 f (1)； （2）证明： f (x) 在定义域上为增函数；
1
（3）如果 f ( ) 1，求满足不等式 f (x) f (x 2) 2 的 x的取值范围；
3
2
变式 1 已知函数 f (x) 对任意 x, y R，总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当 x 0 时， f (x) 0 ， f (1) ；
3
（1）求证： f (x) 在 R上是减函数；（2） f (x) 在 [ 3,3] 上的最值；
10
重难点 3：最值问题
例题 1 已知函数 f (x) x2 2ax 2, x [ 5,5] ；
（1）当 a 1时，求函数 f (x) 的最大值和最小值；
（2）求使 y f (x) 在区间[ 5,5]上是单调函数的实数 a的范围；
1 y f (x) x
2 2x a
变式 已知函数 , x [1, ) ；
x
（1 1）当 a 时，求函数 f (x) 的最小值；
2
（2）若对任意 x [1, ) ， f (x) 0 恒成立，试求实数 a的取值范围；
11
重难点 4：存在问题与恒成立问题
【知识点讲解】
a f (x) a f (x)
min 存在问题（有解）
a f (x) a f (x)max
概念解析
a f (x) a f (x)max恒成立问题（解集为全体实数）
a f (x) a f (x) min
1
分离参数法：a x
2 x(max) a
2
x x a 0
有解 存在问题 4
1
函数图像法： 0 a 4典型例子
1 分离参数法：a x
2 x(max) a
x2 x a 0解集为R 恒成立问题 4
1
函数图像法： 0 a
4
【例题精讲】
例题 1 不等式 x 2 2x 5 a2 3a 对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． [ 1,4] B. ( , 2] [5, ) C． ( , 1] [4, ) D． [ 2,5]
变式 1 已知关于 x的不等式 x 2 4x m 对任意 x (0,1]恒成立，则有（ ）
A． m 3 B． m 3 C． 3 m 0 D． m 4
例题 2 不等式 2 2 + 5 ≤ 2 3 有解，则实数 的取值范围是( )
A. 1,4 B.( ∞, 2 ∪ 5, + ∞) C. ( ∞, 1 ∪ 4, + ∞) D. 2,5
变式 2 若不等式 －2 2 + 2 －2 4 < 0 有解，则实数 a的取值范围是( )
A. －∞, + ∞ B. 2, + ∞ C. －2,2 D. 2, + ∞
12
【题型优化测训】
(2 a)x 4a, x 1
1．（2020 秋 威远县校级期中）已知函数 f (x) ，若函数 f (x) 在 R上单调递增，则实数 a ax, x 1
的取值范围是 ( )
A． ( 1,0) B 1 1． ( 1,2) C． (0, ) D．[ , 2)
3 3
2．（2021 春 赤峰期末）定义在 (0, ) 上的函数 f (x) 满足：对于定义域上的任意 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，恒
x
有 2
f (x1) x1 f (x2 ) 0，则称函数 f (x) 为“理想函数”．给出下列四个函数：
x1 x2
① f (x) 1；② f (x) x2 ； ③ f (x) x ；④ f (x) x2 x
能被称为“理想函数”的有 ( )个．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2 a)x 3a, x 1
3. 4（2020 秋 郑州期中）若函数 f (x) ,1 x 4 是 R上的单调函数，则实数 a的取值范围为 ．
x
x2 2ax, x 4
4.（2020 春 浦东新区校级月考）函数 f (x) (x 1)(1 | x |) 的递减区间是 ( , 1)， (0, ) ．
5．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）函数 y x2 4x 的单调递增区间是________.
6．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学）函数 f x a 1 在区间 1, 上单调递减，则实数 a的取值范围
x 1
为______.
13
2x 1, x 27.（2013 秋 土默特右旗校级期中）已知函数 f (x) 2 ，则满足不等式 f (x
2 4) f (3x) 的 x的取
x , x 2
值范围是 ．（用区间表示）
8．（2020 ax秋 思明区校级期中）已知函数 f (x) (a 0)．
x 1
（1）判断函数 f (x) 在 ( 1,1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
1 1
（2）若 a 1，求函数 f (x) 在[ , ] 上的值域．
2 2
9．已知函数 f (x) 对任意 x， y R，总有 f (x) f (y) f (x y) 2，且当 x 0 时， f (x) 0， f （1） ．
3
（1）求 f (0) ；
（2）求证： f (x) 在 R上是减函数；
（3）求 f (x) 在 [ 3， 3] 上的最大值和最小值．
14【专题6】 函数的单调性题型探究
重要知识点讲解
知识点1：函数的单调性
单调性
增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1数学符号：： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数
2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
(三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
单调性的应用
（一）最值
1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
（二）解不等式
（三）比较大小
【例题精讲】
考向一 无参数函数的单调性
【例1】（1）函数的单调递减区间为
（2）（2020·荆州市沙市第四中学）函数的单调减区间为______.
（3）（2020·甘肃省民乐县第一中学）已知函数，则单调递增区间是
（4）（2020·江苏）函数的单调增区间为___________.
【答案】（1）（2）、（3）（4）
【解析】（1）函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 ．
（2）由知，即的定义域为，作出的图像如图所示：
由图可知： 的单调递减区间为和.故答案为：、.
（3）函数的定义域为R，
因为，所以函数是奇函数；
又，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；
又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（4）【解析】由得，函数的定义域是R，
设，则在上是减函数，在上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是故答案为：
【举一反三】
1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
【答案】B
【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.
2．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数的单调区间为__________.
【答案】减区间为
【解析】的定义域是，是增函数，在和上都是减函数，∴的单调减区间是和．故答案为：减区间和．
3．（2021·邗江区赤岸中学）函数的单调减区间为______.
【答案】
【解析】当时，由二次函数图象可知，此时函数在上单调递减
当时，由二次函数图象可知，此时函数单调递增
综上所述，的单调减区间为本题正确结果：
判断函数的单调性．
【解析】定义域的求法：．
【答案】在定义域上单调递减；
考向二 含参函数的单调性
【例2】（1）（2020·云南省镇雄县第四中学）若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
（2）（2020·陕西西安市·西安一中）如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是
（3）（2020·江苏课时练习）若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.
例题3 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________；
【答案】；
【解析】因为在区间上是减函数，所以说明在是减函数，故，
根据有。因为，故。综上所述：的取值范围是
【举一反三】
1．（2021·陕西省黄陵县中学）设函数是R上的增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数是R上的增函数,则，即 故选：A
2．（2021·广西钦州市）函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为
函数在单调递增，则，解得.故选：A.
3.（17-18东莞市高一学年期末测试卷） 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________；
【解析】
4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________；
【解析】
如果函数在上单调递增，求的取值范围．
【答案】的取值范围为．
考向三 单调性的证明
【知识点讲解】
1．单调性在直观上：单调递增——图象上升、单调递减——图象下降；
2．逐渐进行抽象：单调递增——增加，也增加；单调递减——增加，减小．
3．数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：
在区间内任取，比较的大小．（注意是任取）
4．函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性，即“任意取，”，证明单调性时不可随意以两个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可．
5．用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较的大小，这可以通过作差变形来实现．
【解题步骤】
1．取值：即设，是该区间内的任意两个值，且；
2．作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
3．定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论；
4．下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间；
【例题精讲】
例题1 ，，讨论的单调性．
【答案】任取，
，
，，
注意，要使得在同一区间，且（或）恒成立，需要将划分为：与．
当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减．
例题2 证明函数在上是增函数；
【答案】任取，所以
；因为，所以，，所以，
所以在上是增函数；
变式1 讨论函数（）的单调性．
【答案】设，
则，
∵，
∴，∴，
故时，，为减函数；时，，为增函数．
考向四 函数单调性的应用
【知识点讲解】
1．如果在某定义域内单调递增，且在该定义域内有，则；
如果在某定义域内单调递减，且在该定义域内有，则；
例题1（19-20青岛市新高考高一学年期末测试卷） 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
变式1 已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
【答案】∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
变式2 (探究：变条件) 若本例的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
【答案】由题意可知，解得x>. ∴ x的取值范围为
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
提醒：研究函数要注意定义域优先的原则，解题时要注意条件中的前提范围。
变式3（18-19东华高一学年期中测试卷）已知函数的图像关于直线对称，当时，，设，则的大小关系___________.
【解析】 在时，单调递减，又，所以
考向五 函数的最值
【知识点讲解】
函数最大值与最小值的定义
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示] 不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
推论：
1．若函数在上单调递增，则，
2．若函数在上单调递减，则，
3．若函数在上单调递增，在上单调递减，则，
4．若函数在上单调递减，在上单调递增，则，
【解题指导】
求函数最值的方法
1．观察法：对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
2．配方法：对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
3．图像法：对于图像较为容易画出来的函数，可借助图像直观求出最值；
4．单调性法：对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值；
（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数 在
处有最大值；
（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数 在处有最
小值；
（3）若果连续函数在上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是；
（4）若果连续函数在上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是；
含参函数在定区间的最值问题
例题1 已知二次函数在区间上的最大值为，则实数的值为________；
【解析】解：对称轴为，时，开口向上，，
时，开口向下，，所以实数的值为或
变式1 函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．
【解析】：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
所以即，所以所以a＋b＝6. 答案：6
函数在不定区间的最值问题
例题2 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1当t≥1时，如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝
变式1 若函数g(x)＝x2＋2mx－m2在[1，2)上存在最小值2，求实数m的值．
【解析】g(x)＝x2＋2mx－m2＝(x＋m)2－2m2，此二次函数图象的对称轴为直线x＝－m.
(ⅰ)当－m≥2，即m≤－2时，如图①g(x)在[1，2)上单调递减，不存在最小值；
(ⅱ)当1<－m<2，即－2此时g(x)min＝g(－m)＝－2m2≠2；
(ⅲ)当－m≤1，即m≥－1时，如图③g(x)在[1，2)上单调递增，此时g(x)min＝g(1)＝1＋2m－m2，
令1＋2m－m2＝2，解得m＝1. 综上，m＝1.
重难点讲解
重难点1：带参数的单调性问题
【例题精讲】
根据函数单调性求参数的取值范围
例题1 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________；
【答案】；
变式1 已知；（1）若，则的定义域为 ；
（2）若在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ；
【答案】（1）；（2）；
例题2 若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
【解析】 时，，符合题意，时，
变式2 若函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_________；
【答案】； 时，为对勾函数，有；
时符合，时，增函数+增函数=增函数，符合
重难点2：抽象函数的单调性问题
【例题精讲】
例题1 已知函数的定义域为，满足，且当时，.
求；
证明：在定义域上为增函数；
（3）如果，求满足不等式的的取值范围；
变式1 已知函数对任意，总有，且当时，，；（1）求证：在上是减函数；（2）在上的最值；
【答案】（1）任取，
因为，所以
因为，所以，因为当时，，
所以，即，所以在上是减函数；
(2)，
因为，所以
因为，所以
因为在上是减函数，所以在上是减函数，所以；
重难点3：最值问题
例题1 已知函数；
当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求使在区间上是单调函数的实数的范围；
【答案】（1）当时，；
因为的对称轴为，所以时，
的最小值取，时，的最大值取；
（2）的对称轴为，
又因为在上是单调函数，
所以或，解得或，所以的范围是；
变式1 已知函数；
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围；
【答案】（1）当时，，
由题意可知，该函数在上为增函数，
又因为，所以在上是增函数，
所以在上的最小值是；
（2）在区间上，恒成立，即恒成立，
转化为求在上的最大值，
由在上为减函数，且，
所以在上为减函数，所以，所以；
重难点4：存在问题与恒成立问题
【知识点讲解】
【例题精讲】
例题1 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B. C． D．
【解析】由题意知
【答案】 A
变式1 已知关于x的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知；
【答案】A
例题2 不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】由题意得：，即，解得：或
【答案】C
变式2 若不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】当，即时，不等式为0成立，满足题意.
当，即时，则有
①，即，解得.
②，解得，∴实数a的取值范围是R，【答案】A
【题型优化测训】
1．（2020秋 威远县校级期中）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：在上单调递增，
，解得，
的取值范围是．
故选：．
2．（2021春 赤峰期末）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：
①；②； ③；④
能被称为“理想函数”的有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由，内，设，可得，
，
，函数上单调递增．
①中，而这个函数在为减函数，与函数上单调递增矛盾，所以①不正确；
②中，所以函数上单调递增，符合“理想函数”的定义，所以②正确；
③中，在为减函数，与题意矛盾，所以③不正确；
④中，在为增函数，符合题意，所以④正确；
易知②④符合条件，
故选：．
3．（2020秋 郑州期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：根据题意函数是上的单调减函数，
则要求每一段都是减的，而且每一段分段点处的函数值满足左端点函数值右端点函数值，
，
解得，
故答案为：．
4．（2020春 浦东新区校级月考）函数的递减区间是 ， ．
【解答】解：，
其图象如图所示，结合图象可知，
函数的单调递减区间，
故答案为：，．
5．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）函数的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】由解得，即函数的定义域为，
的对称轴为，开口向下，在单调递增，
则的单调递增区间是.故答案为：.
6．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为函数在区间上单调递减，所以，即，
则实数的取值范围为；故答案为：.
7．（2013秋 土默特右旗校级期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 ， ．（用区间表示）
【解答】解：由函数的解析式可得，函数在上是增函数，
由不等式，可得，解得，
故答案为：，．
8．（2020秋 思明区校级期中）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求函数在上的值域．
【解答】解：（1）根据题意，函数，
设，则；
当时，，，
则，得，
函数在上是减函数；
同理可得，当时，函数在上是增函数；
（2）当时，由（1）得在上是减函数
函数在，上也是减函数，其最小值为，最大值为，
由此可得，函数在，上的值域为，．
9．已知函数对任意，，总有，且当时，，（1）．
（1）求；
（2）求证：在上是减函数；
（3）求在，上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）令，则；
（2）令，则，
在上任意取，，且，则△，△
，
，
又时，，
，即，
由定义可知函数在上为单调递减函数．
（3）在上是减函数，
在，上也是减函数．
又（3）（2）（1）（1）（1）（1），
由可得（3），
故在，上最大值为2，最小值为．
