【专题8】 指数运算、指数函数及其性质
知识点1：指数运算
题型一 根式运算
【例1-1】计算下列各式的值．
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）10；（3）；（4）
【例1-2】＝________.
【答案】
【解析】
.
变式1 化简下列各式
（1） （2）（x≥1）
【答案】（1）；（2）当时为，当时为.
【解析】（1）=；
（2）当时，=；
当时，．
题型二 分数指数幂
【例2-1】（2018·浙江镇海中学高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，故A错，故B错，故D错
所以选C
【例2-2】（1）
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）（2）100（3）－（4）ab
【解析】(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＋－2＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.
(4)原式＝2a÷4(ab)·(3b)＝a－·b－·(3b)＝ab.
变式1 化简(为正数)的结果是（ ）
A． B．ab C． D．a2b
【答案】C
【解析】原式=故选：C
变式3 （2019·湖南衡阳市八中高二期中（文））
【答案】
【解析】
题型三 条件等式求值
【例3】14．已知，求下列各式的值：
(1)； (2)； (3）. (3）.
【答案】（1）3 （2）7 （3）±3
【解析】(1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，
所以y＝±3，即a2－a－2＝±3.
【变式练习】
1．已知，则；．
【答案】7
【解析】∵x+x-1=3，∴x2+x-2=（x+x-1）2-2=32-2=7，
∵（）2=x+x-1+2=5∴=，故答案为：7；
2．（2018·全国高一期末）若,则
【答案】
【解析】因为，所以平方得
再平方得而，
因此
知识点2：指数函数
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
二．．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0
图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0考向一 指数函数辨析
【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学）函数是指数函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】函数是指数函数，且，，
由解得或，，故选．
【举一反三】
1．（2021·定远县育才学校）函数是指数函数，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为是指数函数,所以,解得: 或
即a的取值范围是.故答案为:
2．（2020·上海市松江二中）已知指数函数是严格增函数，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】因为指数函数是严格增函数，所以，解得：，故答案为：.
3．（2020·全国高三专题练习）若函数是指数函数，则实数的值为_________．
【答案】2
【解析】因为函数是指数函数,所以且,
解得.故答案为2
考向二 指数函数定义域值域
【例2】（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）定义域，值域为且；
定义域，值域；
（3）定义域，值域
【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.
（2）要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.
（3）函数的定义域为.因为，所以.
又，所以函数的值域为.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）函数的定义域为___，值域为____.
【答案】
【解析】∵，
∴x2﹣1≠0，即x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}．
∴x2﹣1
∴
∴函数的值域为故答案为
2．（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）或.
∴定义域为.
由于，即，∴值域为.
（2），∴定义域为.
由于，且，
即且，∴值域为.
考向三 指数式比较大小
【知识点讲解】
利用指数函数的单调性比较指数式的大小基本步骤
确定所要考察的指数函数；
根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；
比较指数的大小，然后利用指数的单调性得出同底数幂的大小关系
【例题精讲】
例题1 比较下列各组数的大小：
（1）和；
【解析】因为，所以在上单调递增，所以；
【答案】；
（2）和；
【解析】
因为，所以在上单调递减，所以，即
【答案】；
（3）和.
【解析】，，所以；
【答案】.
变式1 将按照从小到大的顺序排列；
【解题思路】
（1）先分类：
小于0： ；
大于0：，，
因为在上单调递增，所以，即
，因为在上单调递增，
所以，即，且；
因为，且；所以；
变式2将下列各数从小到大排列起来：
，，，，，，，
【解析】；，因为在上单调递减，所以，
又因为，所以，即；
因为在上单调递增，所以，
又因为，所以；；
，因为在上单调递增，所以，
所以，即；
因为在上单调递增，所以；
综上，所以；
【答案】；
【例2】（2021·江苏南通市·海门市第一中学）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
因为在单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，，所以，即，
所以，即
故选：D.
【举一反三】
1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，，，则，又，所以，故选：D.
2．（2021·四川高三月考（文））设.则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由指数函数的单调性知：，，
由幂函数的单调性知：，，
又，∴综上有：.故选：A
考向四 指数函数过定点
【例4】（2020·浙江）函数恒过定点_______．
【答案】.
【解析】因为函数过定点，而函数是将函数的图像向左平移个单位，向上平移个单位得到，所以函数恒过定点.故答案为：.
【举一反三】
1．（2021·上海市大同中学）已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.
【答案】
【解析】过定点（0,1），而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数的图像恒过定点即A故答案为：
2．（2021·上海市建平中学）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．
【答案】
【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，
所以函数（且）的图像经过定点.
故答案为：
知识点3：指数型函数
【知识点讲解】
基本解题思路：解决形如的函数单调性问题时，一定要根据的值分清和.
的单调性见如下表格：
时， 在上 若： 在上在上 在上在上
时， 在上 若： 在上在上 在上在上
特别地，（1）对于形如的复合函数的单调性，转化为指数函数及函数的单调性处理。
（2）对于形如的复合函数，可令，由内层函数及外层函数的单调性处理。
考向一 指数型函数的单调性与最值
【例题精讲】
例题1 求下列函数的单调区间与值域
（1）； （2）.
【解析】（1）【解析】
设，则
因为，所以在上单调递增；
又因为在上单调递减，在上单调递增；
当时，即，；
当时，即，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
因为在上单调递减，在上单调递增；
所以，无最大值，所以；
所以的值域是；
【答案】函数的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为.
（2）因为在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增；
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以，又因为，
所以的值域为
【答案】函数在上单调递增，在上单调递减，它的值域为.
变式1 如果函数在上的最大值是，求的值；
【解析】；
设，则；
（1）当时，；
因为在上的最大值是，
所以或，结合解得；
（2）当时，；
因为在上的最大值是，
所以或，结合解得；
综上所述：或；
考向二 指数型函数的奇偶性
例题1 已知,且, ，则是 ( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
【解析】一般方法：
（1）定义域：
（2）
所以是奇函数；
特殊法：
，
【技巧】与指数函数、对数函数相关的函数通常情况下是奇函数；
【答案】A；
变式1 若是奇函数，则_______；
【解析】一般方法：根据，即来求值；
所以
【解析】特殊值法：由题意知
所以
所以
解得
【答案】；
考向三 指数型函数的图像
特殊点发判断函数图像的方法与步骤
此方法适用于由一些函数图像上存在特殊点的基本初等函数经过初步变换得到的图像识别问题。步骤如下：
第一步：找特殊点 根据已知函数的解析式，找出函数图像所经过的特殊点；
第二步：研究变换 将题设条件所给出的函数解析式通过适当化简或变形，再与基本初等函数相对应，得出此函数是由哪个初等函数通过怎样的图像变换而得到的；
第三步：定选项 顺着图像变换展开，将得到的变换图像与四个选项进行对照，确定正确的选项。
【例题精讲】
例题1 函数的图像的大致形状是（ ）（填序号）
【答案】：②
变式1 如图，函数的图像大致是
【答案】：C
考向四 指数型函数的综合应用
【例题精讲】
例题1 已知函数，且的定义域为；
（1）求的解析式；
（2）求的单调区间，确定其增减性并定义证明；
（3）求的值域；
【答案】（1）；
（2）任取，且
因为，且在上单调递增，所以，即
因为，所以，，所以
所以，即，所以
所以在上为减函数；
（3）由（2）得:在上为减函数，所以，
所以的值域为；
例题2 已知函数,
（1）求的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）证明；
【答案】（1）定义域：；
（2）设，，则
所以是奇函数
因为是奇函数，根据函数奇偶性的判定方法得为偶函数；
（3）当时，，，，
即当时，
因为为偶函数，根据偶函数的性质知：当时，
所以；
变式1 已知函数；
判断的奇偶性；（2）若是上的增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）由题意知的定义域为；
所以是奇函数；
（2）令，所以，所以；
令，所以，所以；
设
因为在上单调递增
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增
所以由函数增减性规律得：
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增
综上所述，所以满足题意的的取值范围是；
【题型优化测训】
1．（2021·全国高一课时练习）若指数函数是R上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数函数的单调性可知，所以.故选C.
2．（2021·四川雅安市）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，解得．故选：A．
3．（2021·浙江丽水市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又函数单调递增，故，即，故选：D.
4．（2021·长沙市·湖南师大附中）函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A．-8 B．-9 C． D．
【答案】A
【解析】∵，令，得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：A
5．（2021·湖南长沙市）函数的值域为_________．
【答案】
【解析】设，则，
因为，在定义域内为减函数，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
6．求下列函数的定义域、值域和单调区间．
（1） ； （2）； （3） ； （4）
【答案】（1）定义域为；值域为；单调减区间为和
（2）定义域为；值域为；单调增区间为，单调减区间为
（3）定义域为；值域为；单调增区间为，单调减区间为
（4）定义域为；值域为；单调增区间为，单调减区间为【专题8】 指数运算、指数函数及其性质
知识点1：指数运算
题型一 根式运算
【例1-1】计算下列各式的值．
（1）；（2）；（3）；（4）.
【例1-2】＝________.
变式1 化简下列各式
（1） （2）（x≥1）
题型二 分数指数幂
【例2-1】（2018·浙江镇海中学高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【例2-2】（1） (2)
(3) (4)
变式1 化简(为正数)的结果是（ ）
A． B．ab C． D．a2b
变式3 （2019·湖南衡阳市八中高二期中（文））
题型三 条件等式求值
【例3】14．已知，求下列各式的值：
(1)； (2)； (3）. (3）.
【变式练习】
1．已知，则；．
2．（2018·全国高一期末）若,则
知识点2：指数函数
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
二．．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0考向一 指数函数辨析
【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学）函数是指数函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【举一反三】
1．（2021·定远县育才学校）函数是指数函数，则a的取值范围是________．
2．（2020·上海市松江二中）已知指数函数是严格增函数，则实数a的取值范围是____.
3．（2020·全国高三专题练习）若函数是指数函数，则实数的值为_________．
考向二 指数函数定义域值域
【例2】（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）； （3）.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）函数的定义域为___，值域为____.
2．（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）.
考向三 指数式比较大小
【知识点讲解】
利用指数函数的单调性比较指数式的大小基本步骤
确定所要考察的指数函数；
根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；
比较指数的大小，然后利用指数的单调性得出同底数幂的大小关系
【例题精讲】
例题1 比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和； （3）和.
变式1 将按照从小到大的顺序排列；
变式2将下列各数从小到大排列起来：
，，，，，，，
【例2】（2021·江苏南通市·海门市第一中学）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川高三月考（文））设.则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考向四 指数函数过定点
【例4】（2020·浙江）函数恒过定点_______．
【举一反三】
1．（2021·上海市大同中学）已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.
2．（2021·上海市建平中学）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．
知识点3：指数型函数
【知识点讲解】
基本解题思路：解决形如的函数单调性问题时，一定要根据的值分清和.
的单调性见如下表格：
时， 在上 若： 在上在上 在上在上
时， 在上 若： 在上在上 在上在上
特别地，（1）对于形如的复合函数的单调性，转化为指数函数及函数的单调性处理。
（2）对于形如的复合函数，可令，由内层函数及外层函数的单调性处理。
考向一 指数型函数的单调性与最值
【例题精讲】
例题1 求下列函数的单调区间与值域
（1）； （2）.
变式1 如果函数在上的最大值是，求的值；
考向二 指数型函数的奇偶性
例题1 已知,且, ，则是 ( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
变式1 若是奇函数，则_______；
考向三 指数型函数的图像
特殊点发判断函数图像的方法与步骤
此方法适用于由一些函数图像上存在特殊点的基本初等函数经过初步变换得到的图像识别问题。步骤如下：
第一步：找特殊点 根据已知函数的解析式，找出函数图像所经过的特殊点；
第二步：研究变换 将题设条件所给出的函数解析式通过适当化简或变形，再与基本初等函数相对应，得出此函数是由哪个初等函数通过怎样的图像变换而得到的；
第三步：定选项 顺着图像变换展开，将得到的变换图像与四个选项进行对照，确定正确的选项。
【例题精讲】
例题1 函数的图像的大致形状是（ ）（填序号）
变式1 如图，函数的图像大致是
考向四 指数型函数的综合应用
【例题精讲】
例题1 已知函数，且的定义域为；
（1）求的解析式； （2）求的单调区间，确定其增减性并定义证明； （3）求的值域；
例题2 已知函数,
（1）求的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）证明；
变式1 已知函数；
判断的奇偶性；（2）若是上的增函数，求实数的取值范围；
【题型优化测训】
1．（2021·全国高一课时练习）若指数函数是R上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川雅安市）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江丽水市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·长沙市·湖南师大附中）函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A．-8 B．-9 C． D．
（2021·湖南长沙市）函数的值域为_________．
6．求下列函数的定义域、值域和单调区间．
（1） ； （2）； （3） ； （4）