【专题9】 对数运算、对数函数及其性质
知识点1：对数的性质及运算性质
【知识点讲解】
（1）对数性质：
①； ②； ③； ④.
（2）对数运算性质：
如果，且，那么：
①；
推广：
②; ③.
（2）对数换底公式：
； 例如；
推广①：； ②； ③； ④
【例题精讲】
例1计算下列各式的值
计算（1） （2）
解题技巧：（对数运算性质的应用）
1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
变式1计算下列各式的值计算：（1）．
（2）若，求．
例2 计算下列各式的值:
(1); (2)
解题技巧：（换底公式的应用）
1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式2化简:
(1) (2)
例题3 (1)若，求的值; (2)已知,求证:.
解题技巧：（对数的综合应用）
对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.
变式3.已知,且,求的值
解对数方程
【例题精讲】
例题4 解下列对数方程
； （2）； （3）；
变式4 已知和是关于的方程的两个根，而关于的方程有两个相等的实数根，求实数和的值.
解对数不等式
【知识点讲解】
解对数不等式前要先化为同底指数，然后再根据对数函数单调性来解答；要注意底数和真数的取值范围；
（1）；（2）；
【例题精讲】
例题1 解下列对数不等式
（1）； （2）； （3）；
变式1 解下列对数不等式
（1）； （2）； （3）；
重要题型讲解
题型1：比较大小
【知识点讲解】
1．指数函数与指数函数的比较、对数函数与对数函数的比较可以根据单调性直接比较；
2．对数和对数大小的比较常借助“参考量”来进行间接比较，如：
（1）参考量0；指数的结果大于0，而对数：当或时，否则；
（2）参考量1；，
（3）其它参考量：如；
【例题精讲】
对数大小的比较
例题1 已知，则的大小关系为____________；
变式1 已知，则的大小关系为____________；
例题2 已知，则之间的大小关系是________；
变式2 如果，那么（ ）
A． B． C． D．
变式3 设，则的大小关系是__________；
变式4 已知，则的大小关系是__________；
指数、对数比较大小综合
例题3 已知，则的大小关系是：______________；
变式5 设，则的大小关系是__________；
例题4 已知，则的大小关系是__________；
例题5 已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式6 已知，则下列关系式中正确的是（ ）
B．
C． D．
其它综合比较
例题5 若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式6 设，，，，将按大小顺序排列起来；
知识点2：与对数函数有关的定义域
【知识点讲解】
定义域是研究函数的基础，求与对数有关的函数定义域时，除了需遵守前面求函数的定义域的方法外，对数函数还需要注意如下要求：
真数大于0；
底数大于0且不等于1；
（3）根据底数的取值确定单调性.
【例题精讲】
【例1】（1）（2020·云南省保山第九中学高三开学考试（理））函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·湖北鄂州市·高一期末）已知的定义域为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1 若，则的定义域为____________________；
变式2 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
知识点3：与对数函数有关复合函数的单调性
【知识点讲解】
1．的单调性分两种情况：
（1）时单调递增；
（2）时单调递减；
这两种情况也是对数函数的分类依据；
2．在求对数函数的单调性时，应先求对数函数的定义域，单调区间是定义域的子区间；
【例题精讲】
【例3-1】（2021·四川高一开学考试）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2021·吴县中学）函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】 已知是上的减函数，那么的取值范围是_______；
变式1 （2021·重庆北碚区·西南大学附中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
变式2 （2021·全国）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围
为 ；
知识点4：对数型函数的值域与最值
【知识点讲解】
充分利用函数的单调性和图像是求函数值域的常用方法；
求对数函数的最大值、最小值问题，一般转化伟求二次函数的最值问题，求二次函数最值常用配方法，配方时注意自变量的取值范围；
若对数函数的底是含字母的代数式（或单独一个字母），要考察其单调性，就必须对底数进行分类讨论。
规律总结
求对数函数与对数函数相关复合函数的值域（最值）时，关键是根据单调性进行讲解，若需换元，需考虑新元的取值范围。
对于形如的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成两个函数；
②求的定义域；
③的取值范围；
④利用的单调性求解.
例题1 函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
变式1 函数的值域是( )
A． B． C． D．
例题2 函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
变式1 已知函数，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例3-1】（2021·广西玉林市）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2021·贵州毕节市）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2021·重庆）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点6：对数函数的定点
【例1】（2021·四川开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1．（2020·平罗中学）函数的图像一定经过点（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·平罗中学）函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·河南信阳市）函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
知识点7：对数型函数的图像
【知识点讲解】
1．指数函数与对数函数的图像分两种情况：
时图像递增，时图像递减；
2．与图像的区别：是偶函数，图像是关于轴对称的两部分，
而只是图像右边的部分；
3．、分别与、图像关于轴对称；
4．、分别与、图像关于轴对称；
5．函数图像的判断方法
【例题精讲】
例题1 已知，函数与的图像只能是图中的（ ）
变式1 当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A B C D
变式2 已知，函数与的图像只能是图中的（ ）
A B C D
变式3 当时，函数和的图像只可能是（ ）
例题2 函数的大致图像为（ ）
例题3 若函数的大致图像如下图，其中为常数，则函数的大致图像是（ ）
A B C D
例题4 作出函数的图像并写出其单调区间；
变式4 下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题5 已知函数的图像如图所示，则满足的关系是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
【题型优化测训】
1．（2021·全国课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A． B． C．或 D．不确定
2．（2021·全国课时练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2020·全国高一课时练习）函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．
（2020·河南高二月考（文））函数在单调递减，则的范围是___________.
7．（2021·寿县第一中学高一开学考试）不等式的解集为_________.【专题9】 对数运算、对数函数及其性质
知识点1：对数的性质及运算性质
【知识点讲解】
（1）对数性质：
①； ②； ③； ④.
（2）对数运算性质：
如果，且，那么：
①；
推广：
②;
③.
（2）对数换底公式：
； 例如；
推广①：； ②； ③； ④
【例题精讲】
例1计算下列各式的值
计算（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据对数运算法则与指数运算法则求解即可；
（2）根据指数幂运算法则与对数运算法则，换底公式求解即可.
（1）；
（2）、
.
解题技巧：（对数运算性质的应用）
1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
变式1计算下列各式的值计算：（1）．
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）根据对数的运算法则及性质计算可得；
（2）根据对数的运算法则求出，再根据乘法公式计算可得；
【详解】
解：（1）原式=
，
（2）
即，=
例2 计算下列各式的值:
(1); (2)
【答案】(1) (2)
【解析】(1)原式.
(2)原式
解题技巧：（换底公式的应用）
1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式2化简:
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【解析】(1)原式.
(2)原式
例题3 (1)若，求的值; (2)已知,求证:.
【答案】(1) (2)
【解析】(1),
,
(2)设,则.
所以
故
.
解题技巧：（对数的综合应用）
对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.
变式3.已知,且,求的值
【答案】3
【解析】因为,所以,
所以
所以,因为,所以.
解对数方程
【例题精讲】
例题4 解下列对数方程
（1）；
【答案】
（2）；
【答案】
设，则，解得或，所以或；
（3）；
变式4 已知和是关于的方程的两个根，而关于的方程有两个相等的实数根，求实数和的值.
【答案】由韦达定理得：【答案】，，.
解对数不等式
【知识点讲解】
解对数不等式前要先化为同底指数，然后再根据对数函数单调性来解答；要注意底数和真数的取值范围；
（1）；
（2）；
【例题精讲】
例题1 解下列对数不等式
（1）；
【答案】；
（2）；
【答案】；
（3）；
【答案】
；
变式1 解下列对数不等式
（1）；
【答案】；
（2）；
【答案】；
；
重要题型讲解
题型1：比较大小
【知识点讲解】
1．指数函数与指数函数的比较、对数函数与对数函数的比较可以根据单调性直接比较；
2．对数和对数大小的比较常借助“参考量”来进行间接比较，如：
（1）参考量0；指数的结果大于0，而对数：当或时，否则；
（2）参考量1；，
（3）其它参考量：如；
【例题精讲】
对数大小的比较
例题1 已知，则的大小关系为____________；
【解析】，所以，，所以；
【答案】；
变式1 已知，则的大小关系为____________；
【解析】，且在定义域上单调递增，所以；
【答案】；
例题2 已知，则之间的大小关系是________；
【解析】；
【答案】；
变式2 如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【答案】D；
变式3 设，则的大小关系是__________；
【解析】
【答案】；
变式4 已知，则的大小关系是__________；
【解析】
【答案】；
指数、对数比较大小综合
例题3 已知，则的大小关系是：______________；
【解题思路】由于对应的形式和底数都不相同，所以只能用中间量的方法比较；
【解析】
【答案】；
变式5 设，则的大小关系是__________；
【解析】
【答案】；
例题4 已知，则的大小关系是__________；
【解析】（1）先化为同底指数：；
（2）比较指数大小：
（3）根据指数函数单调性比较：因为在上单调递增，所以；
【答案】；
例题5 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】；
变式6 已知，则下列关系式中正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】；
其它综合比较
例题5 若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）换元：设，
（2）比较大小【答案】C；
变式6 设，，，，将按大小顺序排列起来；
【解析】（1）换元：设，
（2）比较大小：取
【答案】；
知识点2：与对数函数有关的定义域
【知识点讲解】
定义域是研究函数的基础，求与对数有关的函数定义域时，除了需遵守前面求函数的定义域的方法外，对数函数还需要注意如下要求：
真数大于0；
底数大于0且不等于1；
（3）根据底数的取值确定单调性.
【例题精讲】
【例1】（1）（2020·云南省保山第九中学高三开学考试（理））函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·湖北鄂州市·高一期末）已知的定义域为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）A
【解析】对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
（2）由条件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范围是.故选：A
变式1 若，则的定义域为____________________；
【解析】由题意得：
【答案】；
变式2 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B；
知识点3：与对数函数有关复合函数的单调性
【知识点讲解】
1．的单调性分两种情况：
（1）时单调递增；
（2）时单调递减；
这两种情况也是对数函数的分类依据；
2．在求对数函数的单调性时，应先求对数函数的定义域，单调区间是定义域的子区间；
【例题精讲】
【例3-1】（2021·四川高一开学考试）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数应满足：，解得：；
而在上单增，在上单减；
∵是减函数，
∴的单调递增区间为故选：D
【例3-2】（2021·吴县中学）函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则要使在上单调递增，
则满足，即，得，
即实数的取值范围是，故选：．
【例3-3】 已知是上的减函数，那么的取值范围是_______；
【解析】
【答案】；
变式1 （2021·重庆北碚区·西南大学附中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为.
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，
因此，函数的单调递增区间为.
故选：D.
变式2 （2021·全国）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：
在上是单调增函数，且，所以，所以，故选:C．
变式3 已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围
为 ；
【解析】由题意知； 【答案】；
知识点4：对数型函数的值域与最值
【知识点讲解】
充分利用函数的单调性和图像是求函数值域的常用方法；
求对数函数的最大值、最小值问题，一般转化伟求二次函数的最值问题，求二次函数最值常用配方法，配方时注意自变量的取值范围；
若对数函数的底是含字母的代数式（或单独一个字母），要考察其单调性，就必须对底数进行分类讨论。
规律总结
求对数函数与对数函数相关复合函数的值域（最值）时，关键是根据单调性进行讲解，若需换元，需考虑新元的取值范围。
对于形如的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成两个函数； ②求的定义域；
③的取值范围； ④利用的单调性求解.
例题1 函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
变式1 函数的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】C
例题2 函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
变式1 已知函数，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例3-1】（2021·广西玉林市）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．故选：A.
【例3-2】（2021·贵州毕节市）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.故选：B
变式1. （2021·重庆）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.故选：D.
知识点6：对数函数的定点
【例1】（2021·四川开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．
【举一反三】
1．（2020·平罗中学）函数的图像一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，即时，，即函数的图象一定经过点.
故选：B.
2．（2020·平罗中学）函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对数函数且过定点，
函数可以由数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
故函数的图象过定点 ，故选：D.
3．（2020·河南信阳市）函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由可得当时，，，
设，则，解得， 于是，∴.故选：D.
知识点7：对数型函数的图像
【知识点讲解】
1．指数函数与对数函数的图像分两种情况：
时图像递增，时图像递减；
2．与图像的区别：是偶函数，图像是关于轴对称的两部分，
而只是图像右边的部分；
3．、分别与、图像关于轴对称；
4．、分别与、图像关于轴对称；
5．函数图像的判断方法
【例题精讲】
例题1 已知，函数与的图像只能是图中的（ ）
【解析】方法1：判断法（排除法）
（1）的定义域为，排除A，C；
（2）因为和单调性相同，和单调性相反，
所以和单调性相反，排除B；
方法2：作图法 【答案】B；
变式1 当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A B C D
【答案】D；
变式2 已知，函数与的图像只能是图中的（ ）
A B C D
【答案】A；
变式3 当时，函数和的图像只可能是（ ）
【答案】B；
例题2 函数的大致图像为（ ）
【解析】（1）根据定义域，排除A，C；
（2）观察B，D图像特征，可取，代入解析式得，排除B；
【答案】D；
例题3 若函数的大致图像如下图，其中为常数，则函数的大致图像是（ ）
A B C D
【解析】（1）
（2）
【答案】B；
例题4 作出函数的图像并写出其单调区间；
【解析】图像变换顺序：
【答案】单调递增区间，单调递减区间为；
变式4 下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【答案】D；
例题5 已知函数的图像如图所示，则满足的关系是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
【解析】
【答案】A；
【题型优化测训】
1．（2021·全国课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A． B．
C．或 D．不确定
【答案】A
【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选：A．
2．（2021·全国课时练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．故选：C．
3．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，所以．故选：A．
4．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，故选：B.
5．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．
【答案】
【解析】由，解得，所以函数的定义域为；
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递减，
所以函数的减区间是，增区间为；
因为，所以，
以为在上是减函数，且，
所以函数的值域为；
故答案为：①；②；③；④.
6．（2020·河南高二月考（文））函数在单调递减，则的范围是___________.
【答案】
【解析】令，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
由于函数在区间上为减函数，
外层函数为增函数，则内层函数在区间上为减函数，
所以，，且有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（2021·寿县第一中学高一开学考试）不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】因为，所以，即，因为，所以恒成立，所以，即，所以，所以，所以原不等式的解集为
故答案为：
