【专题10】 函数零点与方程根
重要知识点讲解
知识点1：函数零点存在性定理
【知识点讲解】
1．如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根；
2．连续函数在区间上满足，则函数在区间上存在零点，零点的个数大
于或等于个，如果在区间上单调，则零点个数只有个；
3．解决零点问题常用的两种方法：
（1）图像法：根据两个函数图像的交点横坐标的位置来确定零点所在的范围；
（2）代入法：常用于选择题，即将两端点的值代入函数解析式，若出现一正一负，则零点必在其间；
重要题型讲解
【例题精讲】
题型1：函数零点所在的区间
例题1 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
变式1 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
例题2 若函数在区间上的图像是连续的，且方程在上仅有一个实根，则的值（ ）
A． 大于 B． 小于 C． 等于 D． 无法判断
题型2：函数零点的个数
【例题精讲】
例题1 函数的零点个数是________；
变式1 函数的零点个数为___________；
变式2 函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
变式3 函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
例题2 函数在区间内的零点个数是__________；
题型3：求参数取值范围
【例题精讲】
例题1 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______；
变式1 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
变式2 试讨论直线与曲线的交点个数，并求出对应的的取值范围；
变式3 (2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是
B． C． D．
知识点2：二次函数零点的综合运用
【知识点讲解】
二次函数零点的分布与区间端点的关系（为的零点）
零点的分布
图象
需要满足的条件
【教师备课】
如果班里学生对上边零点分布掌握的比较好，那可以再继续问一下学生“若在内有且仅有一根”
这时需要满足什么条件？下面我们就对“在内有且仅有一根”的所有情况进行详细说明：
零点的分布 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根
图象
需要满足的条件 且
【例题精讲】
例题1 已知关于的方程：，
（1）若方程有两个不等实根，求实数的范围；
（2）若方程有两个不等实根，且两根都在区间内，求实数的范围；
（3）设函数，，记此函数的最大值为，最小值为，求
、的解析式．
变式1 关于的方程有两实根，且一个大于，一个小于，求的取值范围．
变式2 已知关于的方程的两实根一个小于，另一个大于，求实数的取值范围．
变式3 函数在上不存在零点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
变式4 已知函数，时至少有一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型4：复合函数零点问题
例题1 已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1 已知函数，则时，关于的方程的根的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
变式2 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是_______.
变式3 已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型5：综合运用
例题1 设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是 （ ）
B． C． D．
变式2已知函数若当方程有四个不等实根
（）时，则取值范围是________________.
例题2 已知函数若当方程有四个不等实根
（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
变式3 已知函数对任意都有，且函数是奇函数，当时，，则方程在区间内所有实数根之和为__________.
变式4（2021·广东茂名市·高一期末）已知函数
（1）判断函数的奇偶性（2）设函数，若函数只有一个零点，求实数m的取值范围.
【题型优化测训】
1、方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2、知函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
3、 已知函数在区间单调，且函数的图象是连续不断的一条曲线，又，则函数在区间上（ ）
A．可能只有一个零点,也可能有多个零点 B．可能只有一个零点,也可能没有零点
C．一定没有零点 D．必有唯一零点
4．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
6、如图，已知定义在上的函数的图象，若方程有三个不相等的实数根，求的取值范围；
7、已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围．
8、已知函数．
（1）若函数的定义域和值域为，求实数的值；
（2）若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数
的取值范围；
（3）若在上有零点，求实数的取值范围．【专题10】 函数零点与方程根
重要知识点讲解
知识点1：函数零点存在性定理
【知识点讲解】
1．如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根；
2．连续函数在区间上满足，则函数在区间上存在零点，零点的个数大
于或等于个，如果在区间上单调，则零点个数只有个；
3．解决零点问题常用的两种方法：
（1）图像法：根据两个函数图像的交点横坐标的位置来确定零点所在的范围；
（2）代入法：常用于选择题，即将两端点的值代入函数解析式，若出现一正一负，则零点必在其间；
重要题型讲解
【例题精讲】
题型1：函数零点所在的区间
例题1 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
变式1 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
例题2 若函数在区间上的图像是连续的，且方程在上仅有一个实根，则的值（ ）
A． 大于 B． 小于 C． 等于 D． 无法判断
【答案】D
题型2：函数零点的个数
【例题精讲】
例题1 函数的零点个数是________；
【解析】令，即；【答案】；
变式1 函数的零点个数为___________；
【答案】；
变式2 函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B；
变式3 函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
例题2 函数在区间内的零点个数是__________；
【答案】；
题型3：求参数取值范围
【例题精讲】
例题1 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______；
【答案】；
变式1 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
变式2 试讨论直线与曲线的交点个数，并求出对应的的取值范围；
【答案】令，则，分别在同一个坐标系中作出和的图像；
当时，；
当，即时，两图像没有交点；
当或时，即或时，两图像有两个交点；
当时，即时两图像有三个交点；
当时，即时，两图像有四个交点；
变式3 (2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是
B． C． D．
C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，
由图可知，，解得，故选C．
知识点2：二次函数零点的综合运用
【知识点讲解】
二次函数零点的分布与区间端点的关系（为的零点）
零点的分布
图象
需要满足的条件
【教师备课】
如果班里学生对上边零点分布掌握的比较好，那可以再继续问一下学生“若在内有且仅有一根”
这时需要满足什么条件？下面我们就对“在内有且仅有一根”的所有情况进行详细说明：
零点的分布 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根 在内 有且仅有一根
图象
需要满足的条件 且
【例题精讲】
例题1 已知关于的方程：，
（1）若方程有两个不等实根，求实数的范围；
（2）若方程有两个不等实根，且两根都在区间内，求实数的范围；
（3）设函数，，记此函数的最大值为，最小值为，求
、的解析式．
【答案】⑴ 或； ⑵ 实数的取值范围为．
⑶ ，．
变式1 关于的方程有两实根，且一个大于，一个小于，求的取值范围． 【答案】
变式2 已知关于的方程的两实根一个小于，另一个大于，求实数的取值范围．
【答案】
变式3 函数在上不存在零点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若函数在上不存在零点，，
当时，或，或，解得：，
当时，或，解得：，
若时， ，解得：，
综上可知，函数在区间上不存在零点的的取值区间是，
所以函数在区间上不存在零点的充分不必要条件是的真子集，只有B选项是真子集.故选：B
变式4 已知函数，时至少有一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数，时至少有一个零点，所以关于x的方程在上有根，相当于求函数在的值域.
因为在上单减，在上单增，所以函数的最小值为2，无最大值，
即值域为.所以a的取值范围是.故选：C
题型4：复合函数零点问题
例题1 已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C 【解析】（1）中可得，，，进而有2个对应的，有2个，有2个，总计6个，（1）正确；
（2）中可得，，进而有1个对应的，有3个，总计4个，
（2）错误；
（3）中可得，，，进而有1个对应的，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；
（4）中可得：，，进而有2个对应的，有2个，共计4个，（4）正确，则综上所述，正确的命题共有3个．
变式1 已知函数，则时，关于的方程的根的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】先画出函数的图像，然后换元，设，则，由于，所以由图像可得方程有3个根，其中，再结合图像分别求解方程，，的根的个数即可得答案
【详解】
解：的图像如图所示，设，则，
因为，所以方程有3个根，其中，
所以由函数的图像可得方程有一个根，方程有三个根，方程有一个根，
所以关于的方程的根的个数为5，
故选：B
【点睛】
此题考查函数与方程，利用了换元法和数形结合的方法，解题的关键是准确的画出函数的图像，将方程的根的个数转化为两函数图像的交点个数
变式2 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是_______.
【答案】
【分析】
先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．
【详解】
解：令t＝f（x），则原函数等价为y＝2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，
图象可知
当t＜0时，函数t＝f（x）有一个零点．
当t＝0时，函数t＝f（x）有三个零点．
当0＜t＜1时，函数t＝f（x）有四个零点．
当t＝1时，函数t＝f（x）有三个零点．
当t＞1时，函数t＝f（x）有两个零点．
要使关于x的函数y＝2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，
则函数y＝2t2+3mt+1有两个根t1，t2，
且0＜t1＜1，t2＞1或t1＝0，t2＝1，
令g（t）＝2t2+3mt+1，则由根的分布可得，
将t＝1，代入得：m＝﹣1，
此时g（t）＝2t2﹣3t+1的另一个根为t＝，不满足t1＝0，t2＝1，
若0＜t1＜1，t2＞1，则，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点睛】
方法点睛:本题考查已知零点个数求参数范围,属于中档题.
常见的解题方法为:
(1)换元,转化为一元二次函数问题;
(2)画出函数的图像,找到各个范围内的根的个数;
(3)结合图像和根的个数,利用根的分布求出参数的范围.
变式3 已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考虑通过图像变换作出的图像（如图），
因为最多只能解出2个，
若要出七个根，则，，
所以，解得：．
题型5：综合运用
例题1 设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是 （ ）
B． C． D．
【答案】A
变式2已知函数若当方程有四个不等实根
（）时，则取值范围是________________.
【答案】
例题2 已知函数若当方程有四个不等实根
（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
变式3 已知函数对任意都有，且函数是奇函数，当时，，则方程在区间内所有实数根之和为__________.
【答案】
变式4（2021·广东茂名市·高一期末）已知函数
（1）判断函数的奇偶性（2）设函数，若函数只有一个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）为偶函数；（2）或者.
【详解】
解（1）∵ ∴，∴定义域为R
由
，∴为偶函数
（2）
只有一个零点，∴方程只有一个实根
即只有一个解，
∴，即只有一个解
令，则方程可转化为关于t的方程，
故方程，有且只有一个正实数根，
当，，显然不成立，
故，方程的解有两种情况
（1）有且只有一个实数根且为正根，则
，解得或者（舍去）
（2）有一正根一负根，则
，解得.
综上所述：或者.
【题型优化测训】
1、方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】；令，因为，
2、知函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C；
3、 已知函数在区间单调，且函数的图象是连续不断的一条曲线，又，则函数在区间上（ ）
A．可能只有一个零点,也可能有多个零点 B．可能只有一个零点,也可能没有零点
C．一定没有零点 D．必有唯一零点
【答案】D；
4．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令，当时，解得或.
在同一直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，观察可知，与有1个交点，与有2个交点，则的零点个数为3.故选：C.
5、已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】；
6、如图，已知定义在上的函数的图象，若方程有三个不相等的实数根，求的取值范围；
【答案】
7、已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围．
【答案】的范围是．
8、已知函数．
（1）若函数的定义域和值域为，求实数的值；
（2）若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数
的取值范围；
（3）若在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】⑴ ； ⑵ ． ⑶ ．
