【专题13】 两角和与差公式
重要知识点讲解
知识点：两角和与差的余弦、正弦、正切公式
【概念讲解】
1．两角和与差的余弦公式
2．两角和与差的正弦公式
3．两角和与差的正切公式
． ．
【题型铺垫】
角度不等式的运算
（1）若，请判断下列运算的对错；
①（ ） ②（ ）
③（ ） ④（ ）
⑤（ ） ⑥（ ）
（2）若，则的范围是__________________；
【例题精讲】
题型1：公式正用（给值求值）
例题1 已知，，均为锐角，求；
变式1 已知，，求的值；
变式2 若，，求的值；
例题2 若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
变式1 在平面直角坐标系中，角（）的顶点为，始边为轴的非负半轴，若点是角终边上一点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式2 已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型2：公式逆用（和差公式+诱导公式）
例题1 （1）计算的结果等于（ ）．
A． B． C． D．
（2）可以化为（ ），
A． B． C． D．
（3）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）等于（ ）
A． B． C． D．
变式1 （1）的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）的结果等于（ ）
A． B． C． D．
例题2 求值：
① ；
② ；
例题3 ＝（ ）
A．－ B．－ C． D．
变式2（1）求值； （2）求的值； （3）求的值．
题型4：公式的灵活运用
【解题指导】
与相加减可得含与的式子，相比即得；
与相加减可得含与的式子，相比即得．
【例题精讲】
例题1 （1）已知，，则的值为_______．
（2）已知，，则的值为_______．
例题2 已知，则= ．
变式1 已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型5：公式在三角形中的应用
【解题指导】
1．在隐含条件：，即，．
常用等式：，．
2．在，与是等价的．
【例题精讲】
例题1 （1）在中，，，则的值为_________．
（2）已知在中，，，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
例题2 （1）在中，若，则这个三角形是（ ）
．等腰直角三角形 ．等腰三角形 ．锐角三角形 ．钝角三角形
（2）在中，已知，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
（3）在中，若，则这个三角形是（ ）
．等边三角形 ．等腰三角形 ．锐角三角形 ．钝角三角形
变式1 已知在中，角为其内角，若，判断三角形的形状；
题型6：三角恒等变换的综合运用
【例题精讲】
例题1 已知函数，且；
（1）求的值；
（2）设，，，求的值；
变式1 已知函数；
（1）求的值；
（2）设，，求的值；
【题型优化测训】
1.(2010年新课标全国卷)若，是第三象限的角，则= ( )
A.- B. C. D.
2.(2014年新课标全国卷II14)函数的最大值为 。
3.(高考题)中，已知则一定是 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.正三角形
4.(2018年新课标全国卷II15)已知，则________。
5.(2020年新课标全国卷III9)已知，则= ( )
A.–2 B.–1 C.1 D.2
6.(高考题)设是方程的两个根，则的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
7.(2015年新课标全国卷I2)= ( )
A. B. C. D.
8.(高考题) ( )
A. B. C. D.
9.(高考题)= 。
10.(高考题)已知函数其中，。
（1）若求的值；
（2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；
并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数。【专题13】 两角和与差公式
重要知识点讲解
知识点1：两角和与差的余弦、正弦、正切公式
【概念讲解】
1．两角和与差的余弦公式
2．两角和与差的正弦公式
3．两角和与差的正切公式
．
．
【题型铺垫】
角度不等式的运算
（1）若，请判断下列运算的对错；
①（√） ②（× ）
③（√ ） ④（√ ）
⑤（× ） ⑥（√ ）
（2）若，则的范围是__________________；
【解析】方法一：因为，所以，因为，所以；所以，即；
方法二：因为，所以；因为，所以，所以，即；
【例题精讲】
题型1：公式正用（给值求值）
例题1 已知，，均为锐角，求；
【答案】第1步：用已知角表示所求的角；
；
第2步：确定角度范围（缩小到具体的某一象限），避免多解；
因为，，所以，
又因为，所以，所以；
因为，所以；
又因为，所以，所以
；
第3步：代入数值计算；
所以；
变式1 已知，，求的值；
【答案】
因为，所以
因为，所以
所以
所以
变式2 若，，求的值；
【答案】
因为，所以，
又因为，所以，
所以；
因为，所以，，
所以；
；
例题2 若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，是第三象限的角，所以，则，
．
变式1 在平面直角坐标系中，角（）的顶点为，始边为轴的非负半轴，若点是角终边上一点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据任意角的定义，由终边上一点的坐标，得到，再由两角和的正切公式，即可求出结果.
【详解】
，
因为，所以.
故选：.
变式2 已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果.
【详解】
因为，，
则
.故选：A.
题型2：公式逆用（和差公式+诱导公式）
例题1 （1）计算的结果等于（ ）．
A． B． C． D．
（2）可以化为（ ），
A． B． C． D．
（3）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）等于（ ）
A． B． C． D．
（1） A
．
（2）B
．
（3） .故选：A
变式1 （1）的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）的结果等于（ ）
A． B． C． D．
（1） A
．
（2）D；
．
例题2 求值：
① ；
② ；
【解析】① ；
，所以
则
② ；
而
所以原式值为
例题3 ＝（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】D
【分析】先由诱导公式化为锐角的三角函数，然后利用结合两角差的正弦公式可求解．
【详解】原式＝
＝
＝.故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值．
三角函数求值问题，可先利用诱导公式把角转化为锐角三角函数，对于非特殊角，可以与特殊角联系，转化为式子中只有一个非特殊角，然后应用公式化简变形求值．
变式2（1）求值； （2）求的值； （3）求的值．
【答案】（1）；
原式
．
（2）；
原式
．
（3）；
原式
=．
题型4：公式的灵活运用
【解题指导】
与相加减可得含与的式子，相比即得；
与相加减可得含与的式子，相比即得．
【例题精讲】
例题1 （1）已知，，则的值为_______．
（2）已知，，则的值为_______．
【解析】（1）；
依题意有，所以．．
（2）；
依题意有，
所以，．
例题2 已知，则= ．
【解析】；．即，
得到，从而．
变式1 已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】D；
题型5：公式在三角形中的应用
【解题指导】
1．在隐含条件：，即，．
常用等式：，．
2．在，与是等价的．
【例题精讲】
例题1 （1）在中，，，则的值为_________．
（2）已知在中，，，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【解析】（1）
∵、、为的内角，
∴、、，．∴，
∵， ∴，．
∴
．
（2）D
在中，，，．
因为，所以．
又，所以，所以，
所以为锐角，故．
从而．
例题2 （1）在中，若，则这个三角形是（ ）
．等腰直角三角形 ．等腰三角形 ．锐角三角形 ．钝角三角形
（2）在中，已知，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
（3）在中，若，则这个三角形是（ ）
．等边三角形 ．等腰三角形 ．锐角三角形 ．钝角三角形
【解析】（1）C；
由知，且（如果同负会出现两个钝角，不可能），故均为锐角．
，，即，即，
为锐角，从而三角形的三个内角都是锐角，所以为锐角三角形．
（2）C；
将展开整理得：，，，为直角三角形
（3）B；
即，即
所以为等腰三角形
变式1 已知在中，角为其内角，若，判断三角形的形状；
【提示】；
【答案】因为
所以
即
因为，所以，即
所以，，即是等腰三角形；
题型6：三角恒等变换的综合运用
【例题精讲】
例题1 已知函数，且；
（1）求的值；
（2）设，，，求的值；
【答案】（1）；
（2）
；
因为，所以；
；
因为，所以；
；
变式1 已知函数；
（1）求的值；
（2）设，，求的值；
【答案】（1）；
（2），即；
，即；
∵，∴，；
∴；
【题型优化测训】
1.(2010年新课标全国卷)若，是第三象限的角，则= ( )
A.- B. C. D.
【解析】：由知一求二得，展开代入得，选A。
2.(2014年新课标全国卷II14)函数的最大值为 。
【解析】：
==，最大值为1。
3.(高考题)中，已知则一定是 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.正三角形
【解析】：,，选C。
4.(2018年新课标全国卷II15)已知，则________。
【解析】：展开得。
5.(2020年新课标全国卷III9)已知，则= ( )
A.–2 B.–1 C.1 D.2
【解析】：展开得，，选D。
6.(高考题)设是方程的两个根，则的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】：，，则，选A。
②当时，
。
7.(2015年新课标全国卷I2)= ( )
A. B. C. D.
【解析】：原式==，选D。
8.(高考题) ( )
A. B. C. D.
【解析】：，选B。
9.(高考题)= 。
【解析】：原式=。
10.(高考题)已知函数其中，。
（1）若求的值；
（2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；
并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数。
【解析】：（1）原式=，而，所以。
可知，即，向左平移个单位可得，
是偶函数，即，，，即取最小的正实数为。
