第十三讲-同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识点一、同角基本关系式
1、商数关系：
2、平方关系
3、特殊角的三角函数值
角度制
弧度制
正弦值
余弦值
正切值 /
角度制
弧度制
正弦值
余弦值
正切值 /
考点一、同角基本关系式
【典型例题】
1、（多选题）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若为第一象限角，则
【答案】ABD
【解析】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，∵范围不确定，∴的符号不确定，故D不正确；
对D，∵为第一象限角，∴原式，故E正确．
故选：ABD．
2、若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，且为第四象限角，
所以，
.
故选：D
3、（多选题）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】①
即
，
②
①加②得
①减②得
综上可得，正确的有
故选：
4、《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即，解得或.
因为，则，故.
故选：A
5、已知，则___________.
【答案】
【解析】，
将原式分子与分母同除以，则
故答案为：．
6、已知为第二象限角，且．
(1)求与的值；
(2)的值．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)∵
∴，
∴，
∵为第二象限角，
故，
故；
(2).
7、已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【解析】由题：.
故选：C
【变式练习】
1、已知为第二象限角，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2、已知和是关于的方程的两根，则（ ）
A. B. C.或 D.以上均不对
【答案】B
3、已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，
因为，所以，，
因此，.
故选：C.
4、已知，.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）∵，
∴，即，则，
∴，
而，故，，
∴，则.
（2）.
5、已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：.
(2)解：
6、若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
＝＝＝1.
故选：D
7、若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
由同角三角函数基本关系可得，
解得：，
所以，
故选：B．
知识点二、诱导公式
本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时把看成是锐角）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
考点二、诱导公式
【典型例题】
1、已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
故选:B．
2、已知 ，，则cos()=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，
故选：A
3、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4、已知，则的值为______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为：.
5、的值为__________．
【答案】1
【解析】原式＝．
故答案为：1．
6、化简：.
【答案】1
【解析】，
，
.
7、已知是第四象限角，且，则___________.
【答案】
【解析】由题设，，
.
故答案为：
8、已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【解析】(1)，则，得
而
(2)由诱导公式化简得：
【变式练习】
1、的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B
2、黒洞原指非常奇怪的天体,它体积小.密度大,吸引力强，任何物体到了它那里都別想再出来,数字中也有类似的“黒洞”，任意取一个数字串,长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串；重夏以上工作,最后会得到一个反夏出現的数字.我们称它为“数字黒洞”，如果把这个数字设为，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
3、若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4、已知，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，．
故选：C.
5、已知，则的值是___________.
【答案】
【解析】因为，
故，
故答案为：
6、化简．
【答案】
【解析】原式
．
7、化简下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)解：.
(2)解：为第二象限角，则，，
则.
8、已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：∵角的终边经过点，
∴，，
∴.
(2)解：由（1）知：，，
∴，
∴
.
9、已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由三角函数的定义可得.
(2)解：.
【模拟训练】
1、（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若角是第三象限角，则可能在第三象限
B．
C．若且，则为第二象限角
D．锐角终边上一点坐标为，则
【答案】ACD
【解析】对于,角是第三象限角,即,所以,当时, 为第一象限角; 当时, 为第三象限角; 当时, 为第四象限角,故可能在第三象限正确,故选项正确.
对于,运用诱导公式化简,故选项不正确.
对于,若,则为第二象限角或者第四象限角,若,则为第一象限角或者第二象限角,同时满足且,则为第二象限角,故选项正确.
对于,因为锐角终边上一点坐标为,由三角函数定义可得,又因为，所以,故选项正确.
综上选项正确.
故选
2、《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ C ）
A． B． C． D．
【答案】C
3、（多选题）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【解析】由诱导公式易知A正确；
B正确，；
C错误，
；
D正确，
，
原式
∵，∴，
∴，
∴.
故选：ABD.
4、（多选题）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
【答案】CD
【解析】由诱导公式二，知时，，所以A错误．
当（）时，，此时，
当（）时，，此时，所以B错误．
若（），则，所以C正确．
将等式两边平方，得，所以或．
若，则，此时；
若，则，此时，
故，所以D正确．
故选CD
5、（多选题）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】∵，∴，
若，则.
A中，，
故A符合条件；
B中，，
故B不符合条件；
C中，，即，
又，所以，
故C符合条件；
D中，，即，
又，所以，
故D不符合条件.
6、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，
所以，
因此.
故选:B
7、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
故选：A
8、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故选：A.
9、若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B.
10、若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C
11、计算：___________.
【答案】0
【解析】
故答案为：0
12、当时，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，
∴．
故答案为：
13、已知， ，计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）；
（2）
.
14、在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.
若，且___________，求的值.
【答案】或2
【解析】若选条件①，
由两边平方得，
∴，即，
可得，即，
得，解得或.
若选条件②，
∵，
∴，
即，化简得，
∴，即，
得，解得或.
15、已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）∵函数（且）的定点M的坐标为，
∴角的终边经过点，
∴（O为坐标原点），
根据三角函数的定义可知，，
∴.
（2）.
16、已知，且函数．
(1)化简；
(2)若，求和的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】(1)
．
(2)由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
17、已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，是角α终边上一点，且.
(1)求m的值；
(2)求的值.
【答案】(1)1；(2)
【解析】(1),解得
(2),
=
=第十三讲-同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识点一、同角基本关系式
1、商数关系：
2、平方关系
3、特殊角的三角函数值
角度制
弧度制
正弦值
余弦值
正切值 /
角度制
弧度制
正弦值
余弦值
正切值 /
考点一、同角基本关系式
【典型例题】
1、（多选题）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若为第一象限角，则
2、若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3、（多选题）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知，则___________.
6、已知为第二象限角，且．
(1)求与的值；
(2)的值．
7、已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【变式练习】
1、已知为第二象限角，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2、已知和是关于的方程的两根，则（ ）
A. B. C.或 D.以上均不对
3、已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4、已知，.求：
(1)；
(2).
5、已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
6、若，则（ ）
A． B． C． D．
7、若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
知识点二、诱导公式
本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时把看成是锐角）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
考点二、诱导公式
【典型例题】
1、已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知 ，，则cos()=（ ）
A． B． C． D．
3、已知，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知，则的值为______．
5、的值为__________．
6、化简：.
7、已知是第四象限角，且，则___________.
8、已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
【变式练习】
1、的值为（ ）
A． B． C． D．
2、黒洞原指非常奇怪的天体,它体积小.密度大,吸引力强，任何物体到了它那里都別想再出来,数字中也有类似的“黒洞”，任意取一个数字串,长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串；重夏以上工作,最后会得到一个反夏出現的数字.我们称它为“数字黒洞”，如果把这个数字设为，则( )
A. B. C. D.
3、若，则=（ ）
A． B． C． D．
4、已知，（ ）
A． B． C． D．
5、已知，则的值是___________.
6、化简．
7、化简下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
8、已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
9、已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【模拟训练】
1、（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若角是第三象限角，则可能在第三象限
B．
C．若且，则为第二象限角
D．锐角终边上一点坐标为，则
2、《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ C ）
A． B． C． D．
3、（多选题）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
4、（多选题）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
5、（多选题）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）
A． B． C． D．
6、已知，则（ ）
A． B． C． D．
7、已知，则（ ）
A． B． C． D．
8、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9、若则（ ）
A． B． C． D．
10、若，则（ ）
A． B． C． D．
11、计算：___________.
12、当时，若，则的值为_________．
13、已知， ，计算：
（1）
（2）
14、在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.
若，且___________，求的值.
15、已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.
(1)求的值；
(2)求的值.
16、已知，且函数．
(1)化简；
(2)若，求和的值．
17、已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，是角α终边上一点，且.
(1)求m的值；
(2)求的值.
