【高一数学D版】第4讲：平面向量综合
【知识点讲解】
重难点1 奔驰定理
证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
【解答】如图，延长与边相交于点则
推论:是平面内的一点，且，则
②
例题1 已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
【解析】（法1）：由得，，即，由结论推广得
（法2）：由得，，即，化简得，由，得，设AB中点为D，则，所以点P在的中位线上，所以
例2 已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______
【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以
（法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以
变式1 点M在△ABC内部，满足，则____________．
【答案】
变式2 设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则
的面积为___________．
【答案】14
【解析】法一：共线系数和＋分点恒等式+等积变形
，设H为线段AC上一点，且，
则，∵PD∥AB，∴
法二：奔驰定理推论：是平面内的一点，且，则
① ； ②
∵，
∴
【知识点讲解】
重难点2：向量与三角形的四心
1、四心的概念
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
2、四心之重心：若O为△ABC重心
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心
（4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
（5）重心坐标为：.
例1 已知是所在平面上的一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】A 重心的性质
变式1 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满，，则的轨迹一定通过的( ).
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】
变式2 O是△ABC所在平面内一点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
内心 B．重心 C．外心 D．垂心
【解析】，h为BC边上的高
∴.
3、四心之垂心：若O为△ABC垂心
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心；
（4）；
（5）.
例2 若为所在平面内一点，且，则点是的( )
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】
得,即，同理可得
变式3 是所在平面上一点，若，则是的( )
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】，其它同理.
变式4 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】原式为
等式两边同时乘，得
，∴
4、四心之内心：若O为△ABC内心
（1）
（2）
（3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）
例3 已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B 构造菱形
变式5 若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件,则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C 奔驰定理
变式6 若O在△ABC所在的平面内,且满足以下条件
,则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C 构造菱形
5、四心之外心：若O为△ABC外心
；
动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；
（3）若，则是的外心；
（4）；
（5）.
例4 已知是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】外心的性质
变式7 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )。
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】取BC中点M, 则，
,移项后同乘
，即
变式8 是所在平面上一点，若，则是的( )．
重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】记AB中点为D，，其它同理
【练习】
1．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【详解】
选项A，平面向量、、满足，
且，
，，
即，
，
，的夹角为，同理、的夹角也为，
是等边三角形，故A正确；
选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，
设为和，则它们的差是向量，
则当，即时，点在的平分线上，
同理由，知点在的平分线上，
故为的内心而不一定是垂心，故B错误；
选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，
而是该平行四边形的另一条对角线，
表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，
同理有，于是为的外心，故C正确；
选项D，由得，
，即，，
同理可证，，
，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．
故选：AC．
2.在中，，，为的重心，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】
由的，而，由余弦定理得.由于是的重心，故，由于，所以.故选A.
3．点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】
点是所在平面上一点，满足，
则，可得，即，
等式两边平方并化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B
4．已知在中，，，是的外心，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【详解】
．
故选：B
已知点是的重心，，若则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
点是的重心，设D为BC边上的中点，则，
因为设，则，即，故，即，
当且仅当时等号成立，故的最小值是.
故选：D.
【奔驰定理与三角形四心向量式】
1、是的重心
2、是的内心
3、是的外心
4、是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
四心的相互关系:
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用:
设的外心为O ，则点H为的垂心的充要条件是
2.三角形外心与重心的向量关系及应用:
设的外心为O ，则点G为的重心的充要条件是
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用：
设的外心、重心、垂心分别为O、G、H ，则O、G、H三点共线，且
例1（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，垂心为H，重心为G，且AB＝2,AC＝3，则下列说法正确的是( )
B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】常规法&特殊化处理
对于A选项，显然正确，
对于B选项，，也可结合图像排除，显然夹角为锐角
对于C选项，结合投影，，
对于D选项，
，故D正确
【重心恒等式补充】P为平面内任意一点，有
变式1 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D
【解答】解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，
∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，
又∵M为BC中点，∴＝
∵M为BC中点，∴＝＝＝＝=．故选：D．
变式2 （多选）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.过点G的直线l交AB、AC于E、F,若，，则
D. 与共线
【答案】ACD
【解析】显然A正确，B错误，O是垂心
对于C选项：
所以，得，故C正确；
D选项：【高一数学D版】第4讲：平面向量综合
【知识点讲解】
重难点1 奔驰定理
证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
【解答】如图，延长与边相交于点则
推论:是平面内的一点，且，则
②
例题1 已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
例2 已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______
变式1 点M在△ABC内部，满足，则____________．
变式2 设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________．
【知识点讲解】
重难点2：向量与三角形的四心
1、四心的概念
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
2、四心之重心：若O为△ABC重心
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心
（4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
（5）重心坐标为：.
例1 已知是所在平面上的一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式1 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满，，则的轨迹一定通过的( ).
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式2 O是△ABC所在平面内一点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
3、四心之垂心：若O为△ABC垂心
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心；
（4）；
（5）.
例2 若为所在平面内一点，且，则点是的( )
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式3 是所在平面上一点，若，则是的( )
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式4 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
4、四心之内心：若O为△ABC内心
（1）
（2）
（3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）
例3 已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心
变式5 若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件,则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
变式6 若O在△ABC所在的平面内,且满足以下条件
,则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
5、四心之外心：若O为△ABC外心
；
（2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；
（3）若，则是的外心；
（4）；
（5）.
例4 已知是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式7 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )。
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式8 是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【练习】
1．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
2.在中，，，为的重心，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．已知在中，，，是的外心，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
5．已知点是的重心，，若则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【奔驰定理与三角形四心向量式】
1、是的重心
2、是的内心
3、是的外心
4、是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
四心的相互关系:
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用:
设的外心为O ，则点H为的垂心的充要条件是
2.三角形外心与重心的向量关系及应用:
设的外心为O ，则点G为的重心的充要条件是
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用：
设的外心、重心、垂心分别为O、G、H ，则O、G、H三点共线，且
例1（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，垂心为H，重心为G，且AB＝2,AC＝3，则下列说法正确的是( )
A． B．
C． D．
变式1 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
变式2 （多选）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.过点G的直线l交AB、AC于E、F,若，，则
D. 与共线
