【专题4】立体几何中的存在性问题
【解题思路】
立体几何中比较简单的探索问题可以先猜后证，利用传统方法解决，也可以用向量法处理，利用向量法可以避免繁杂的作图、论证、推理过程，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”问题．
【常见考法】
考法一 与平行有关的存在性问题
【典例1】1．如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．
【解答】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系，
则，，0，，，1，，所以，，
设平面的一个法向量为以，
所以二面角的余弦值为；
（2）棱（包含端点）上不存在点，使平面．
证明如下：设的坐标为，1，，
因为的坐标为，1，，所以，
若在棱（包含端点）上存在点，使平面，
则，所以，即，这与矛盾，
所以棱（包含端点）上不存在点，使平面．
【变式1】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（1）若平面，求二面角的大小； （2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1）连接，，设交点为，连接，
为正方形，
点为与的中点，
由题意可知，，故，同理，，且，
平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，
，
，
平面，所以平面的一个法向量为，
平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的平面角为锐角，则，则，
二面角的大小为；
（2），设，故，
于是，
平面的一个法向量为，且平面，
，解得，即点为线段的三等分点且靠近点．
【变式2】如图：平面，四边形为直角梯形，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以四边形为正方形，，因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
于是平面平面．
（Ⅱ）解：因为平面，所以、，
又因为，所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，1，，，，，
设平面的法向量为，，，
，令，，1，，
平面的法向量为，0，，
所以二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：不存在，理由如下：
假设在棱上存在点，使得平面，
令，则，0，，
，0，，由（Ⅱ）知平面的法向量为，1，，
因为平面，所以，解得，与，矛盾，
所以在棱上不存在点，使得平面．
【变式3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形为菱形，所以，
又因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以．
（Ⅱ）连结．因为，为的中点，所以．
由（Ⅰ）可知平面，所以，．
设，则．如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
则．
所以，．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，，，
则，所以令，则，，得，
所以．
由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面．理由如下：
因为点平面，所以在线段上存在点，使得平面，等价于．
假设线段上存在点使得平面．
设，则．
所以．
由，解得．
所以当点是线段的中点时，平面，且．
考法二 与垂直有关的存在性问题
【典例1】如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．
（1）求二面角的正弦值； （2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在图1中，设，，
，，是的中点，则四边形为正方形，
，
在图2中，设中点为，，平面平面，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，，，，，，
则有，0，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，1，，
，则二面角的正弦值为．
（2）假设在直线上是存在点，使平面，且，
则，，，0，，，，
平面的法向量，1，，
，，方程无解，
假设不成立，
在直线上不存在点，使平面．
【变式1】如图，在直三棱柱中、．，是中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
是的中点，又是的中点，
，又平面，平面，
平面．
（Ⅱ）解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，2，，，1，，
，0，，，，，
，，即，，故，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
又，1，为平面的一个法向量，
，，
平面与平面夹角的余弦值为．
【变式2】如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，．
（1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，1，，，0，，，2，，
，1，，，2，，
，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，1，，
又，0，是平面的一个法向量，
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
（3）解：假设线段上是否存在点，使得平面，则，
不妨设，则，，，又，0，，，，，
，故存在实数使得，，方程组无解，
故线段上不存在点，使得平面．
考法三 与距离有关的存在性问题
【典例1】如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？
【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，
假设在线段上存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为．
可设，则，，，
，0，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则由，得，即有①
，得，即有②
由①②可取，，，
则，由于点到平面的距离可看作在上投影的绝对值，
则为，
解得，，成立．
则在线段上存在一点（不与端点重合），且，
使得点到平面的距离为．
【变式1】15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．
【解答】解：（1）取的中点，连接，，则，，
平面，平面，
，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，2，，，2，，，2，，，0，，
，2，，，2，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设平面和平面的夹角为，由图知为锐角，
则，
平面和平面夹角的余弦值为．
（2）假设在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为，
设，，，，则，，，
点到平面的距离为，，
解得（舍或，
在线段上存在点（端点处），使点到平面的距离为．
考法四 与角度有关的存在性问题
【典例1】(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】解析：(1)因为，为的中点，所以，且．
连接．因为，所以为等腰直角三角形，
且，．
由知．
由，知平面．
(2)如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，，．
取平面的法向量为．
设，则．设平面的法向量为，
由，得，可取，
所以，由已知可得．
所以，解得(舍去)，．
所以．又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
【变式1】如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，．
（1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
；
（2）由（1）可知，平面，且，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，，4，，
，，
设是平面的法向量，
则，令，则，
设，
，，
，
设是平面的法向量，
则，
令，则，，
二面角的平面角余弦值为，
，
，，
故在线段上是否存在点，且．
【变式2】(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：；
(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】解析：(1)因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF
则为二面角E-BC-D的平面角,
因为,为正三角形,所以为直角三角形
因为,
从而EF=FM=
平面BCD,所以
【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第20题
【典例2】已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD
于点M，N，且BD∥平面AMHN．
(1)证明：MN⊥PC；
(2)当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
解析 (1)连接AC，BD且AC∩BD＝O，连接PO．
因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC．因为PD＝PB，所以PO⊥BD．
因为AC∩PO＝O，且AC，PO 平面PAC，所以BD⊥平面PAC．
因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC．因为BD∥平面AMHN，
且平面AMHN∩平面PBD＝MN，所以BD∥MN，MN⊥平面PAC，所以MN⊥PC．
(2)由(1)知BD⊥AC且PO⊥BD．因为PA＝PC，且O为AC的中点，
所以PO⊥AC，所以PO⊥平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为∠PAO，
所以∠PAO＝60°，所以AO＝PA，PO＝PA．因为PA＝AB，所以BO＝PA．
以O为原点，OA，OD，OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
设PA＝2，所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，B，C(－1，0，0)，D，P(0，0，)，H，
所以＝，＝，＝．
设平面AMHN的法向量为n＝(x，y，z)，所以即
令x＝2，则y＝0，z＝2，所以n＝(2，0，2)为平面AMHN的一个法向量．
设AD与平面AMHN所成角为θ，所以sin θ＝|cos|＝＝．
所以AD与平面AMHN所成角的正弦值为．
【变式2】．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明略；(2)
【基本解法1】
(1)证明：取中点为，连接、
因为，所以
因为是的中点，所以，所以
所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面
所以直线平面
(2)取中点为，连接
因为△为等边三角形，所以
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，所以四边形为平行四边形，所以
所以
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图
设，则，所以
设，则，
因为点在棱上，所以，即
所以，所以
平面的法向量为
因为直线与底面所成角为，
所以
解得，所以
设平面的法向量为，则
令，则
所以，所以求二面角的余弦值
【基本解法2】
(1)证明：取中点为，连接
因为，所以，即
所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面
所以直线平面
因为是的中点，所以
因为平面，平面
所以直线平面
因为，所以平面平面
因为平面，所以直线平面
(2)同上
【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解
【知识拓展】
线面平行的证明一般有两个方向，线面平行的判定或面面平行的性质。
角的求解多借助空间直角坐标系，需要注意两个问题：(1)题中没有现成的三条线两两垂直，需要先证明后建系；(2)是指两个法向量的夹角，与二面角相等或互补，需要观察所求二面角是锐二面角还是钝二面角．
【题目栏目】立体几何\空间角\二面角
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题【专题4】立体几何中的存在性问题
【解题思路】
立体几何中比较简单的探索问题可以先猜后证，利用传统方法解决，也可以用向量法处理，利用向量法可以避免繁杂的作图、论证、推理过程，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”问题．
【常见考法】
考法一 与平行有关的存在性问题
【典例1】1．如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．
【变式1】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（1）若平面，求二面角的大小； （2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．
【变式2】如图：平面，四边形为直角梯形，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【变式3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
考法二 与垂直有关的存在性问题
【典例1】如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．
（1）求二面角的正弦值； （2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在直三棱柱中、．，是中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．
【变式2】如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，．
（1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
考法三 与距离有关的存在性问题
【典例1】如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？
【变式1】15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．
考法四 与角度有关的存在性问题
【典例1】(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【变式1】如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，．
（1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式2】(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：； (2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【典例2】已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN．
(1)证明：MN⊥PC； (2)当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
【变式2】(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．
(1)证明：直线 平面 ； (2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．
