【专题11】抛物线
【思维导图】
【考点梳理】
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
标准方程
图 形
几 何 性 质 范 围
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
焦点
准线方程
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
2.抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程
焦半径公式
3.直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线联立组成方程组，消去得到.
当时，直线与抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时只有一个交点，当时，设其判别式为，
（1）相交：直线与抛物线有两个交点；
（2）相切：直线与抛物线有一个交点；
（3）相离：直线与抛物线无交点；
注：
过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.
4.抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为抛物线的焦点弦，，，则：
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．且通径长为2p．
4.常用结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
如图：设α为AB的倾斜角
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3），， ＋为定值.
（4）弦长AB＝．（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
拓展：
抛物线中点弦的斜率公式
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
考法一 抛物线的定义及其应用
【典例1-1】已知动圆M过点且与直线相切.则动圆圆心M的轨迹C的方程_____________
归纳总结：抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
【变式1】已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则动点的轨迹方程为_______．
【变式2】已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
【典例1-2】设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
①点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值为________.
②点P到直线和直线的距离之和的最小值为________.
③若B（3，2），则的最小值为________.
④若B（3，4），则的最小值为________.
规律总结：
双曲线定义的应用
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，一个定点（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
(2)应用抛物线定义的两个关键点
①利用抛物线定义，可以实现抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.
②注意灵活应用抛物线上一点P到焦点F的距离.
(3)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，“看准线想焦点，看焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.
【变式3】（2021·唐山市第十一中学高三月考）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式4】（2021·梧州高级中学高二月考（理））若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2021·山西晋中市·高二期末（理））已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式6】已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为______．
【变式7】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为( )
B．1 C. D．2
考法二 抛物线的标准方程
【典例1】点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y
规律总结：
(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在已知方程的类型的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需要一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【变式1】设抛物线C: y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，，若以MF为直径的圆过点A（0,2），则抛物线C的方程为__________
考法三 抛物线的几何性质
【典例1-1】已知抛物线的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为
A．4 B．5 C． D．6
【典例1-2】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B. C．5 D．6
【典例1-3】设抛物线C：x2＝8y的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则=_________.
规律总结：
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【变式1】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点．若，，则
A．2 B．3 C．6 D．8
【变式3】过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
考法四 直线与抛物线
类型1：直线与抛物线的位置关系
【典例1】设抛物线的焦点为F，过点（-2,0）且斜率为的直线与C交于M,N两点，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
规律总结：
研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般使用方程法，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
【变式1】（2021·全国高二课时练习）已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
类型2：弦长问题
【例题1】已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为___________.
规律总结：
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式（焦点在轴上），若不过焦点，必须使用弦长公式.
【变式1】如图,已知抛物线,圆,过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于点P,M,N,Q,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【变式2】（2017 新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【例题2-1】设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为__________.
常用结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
如图：设α为AB的倾斜角
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3），， ＋为定值.
（4）弦长AB＝．（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
【例题2-2】若直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝__________.
【例题2-3】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则的最小值为
A． B． C． D．6
【变式1】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式2】已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，则的最小值为
A． B． C． D．
【变式3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，
与轴的交点为．
（1）若，求的方程；（2）若，求．【专题3】抛物线
【思维导图】
【考点梳理】
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
标准方程
图 形
几 何 性 质 范 围
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
焦点
准线方程
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
2.抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程
焦半径公式
3.直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线联立组成方程组，消去得到.
当时，直线与抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时只有一个交点，当时，设其判别式为，
（1）相交：直线与抛物线有两个交点；
（2）相切：直线与抛物线有一个交点；
（3）相离：直线与抛物线无交点；
注：
过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.
4.抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为抛物线的焦点弦，，，则：
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．且通径长为2p．
4.常用结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
如图：设α为AB的倾斜角
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3），， ＋为定值.
（4）弦长AB＝．（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
拓展：
抛物线中点弦的斜率公式
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
考法一 抛物线的定义及其应用
【典例1-1】已知动圆M过点且与直线相切.则动圆圆心M的轨迹C的方程_____________
答案：
详解：（1）由已知可得，点M到点的距离等于点M到直线的距离，所以点M的轨迹是抛物线.
点P为抛物线的焦点，直线即为抛物线的准线.
设抛物线C的方程为，所以，所以，
故动圆圆心M的轨迹C的方程为.
归纳总结：抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
【变式1】已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则动点的轨迹方程为_______．
答案： .
【变式2】已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
【解答】解：（1）因为点是抛物线的顶点，
故点的坐标为，
根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，，，
故，
因为，
则，
因为、是上的两个动点，
则有，，
故，
整理可得，解得，
由，消去可得，
则有，，
所以，解得，
故直线的方程为，
所以直线经过一个定点．
（2）线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，①
同理，线段的垂直平分线的方程为，②
由①②解得，
设点，则有，
消去，得到，
所以点的轨迹方程为．
【典例1-2】设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
①点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值为________。
②点P到直线和直线的距离之和的最小值为________。
③若B（3，2），则的最小值为________。
④若B（3，4），则的最小值为________。
答案： ①；②2；③4；④
规律总结：
双曲线定义的应用
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，一个定点（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
(2)应用抛物线定义的两个关键点
①利用抛物线定义，可以实现抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.
②注意灵活应用抛物线上一点P到焦点F的距离.
(3)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，“看准线想焦点，看焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.
【变式3】（2021·唐山市第十一中学高三月考）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
【变式4】（2021·梧州高级中学高二月考（理））若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如下图所示，过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，
抛物线的准线为，焦点为，
点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是.
故选：A.
【变式5】（2021·山西晋中市·高二期末（理））已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】
连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，
所以，
故选A.
【变式6】已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为______．
【答案】
【详解】
如图，连接交圆于M点，交抛物线于 N点，
由抛物线方程，知其焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义可知：
当三点共线时 最小，又点 M在圆上
四点共线时，最小，如图所示
此时的最小值为：，故答案为：.
【变式7】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为( )
B．1 C. D．2
【答案】
考法二 抛物线的标准方程
【典例1】点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y
【答案】
规律总结：
(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在已知方程的类型的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需要一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【变式1】设抛物线C: y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，，若以MF为直径的圆过点A（0,2），则抛物线C的方程为__________
【答案】
考法三 抛物线的几何性质
【典例1-1】已知抛物线的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为
A．4 B．5 C． D．6
【解答】解：设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，
由抛物线的定义可知，，
故的中点到的准线的距离为，
故的中点到轴的距离为4．
故选：．
【典例1-2】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B. C．5 D．6
【答案】
【典例1-3】设抛物线C：x2＝8y的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则=_________
【答案】
规律总结：
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【变式1】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点．若，，则
A．2 B．3 C．6 D．8
【解答】解：设、在准线上的射影分别为、，
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点，
由，可得：，
因为，，可得，
故选：．
【变式3】过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
考法四 直线与抛物线
类型1：直线与抛物线的位置关系
【典例1】设抛物线的焦点为F，过点（-2,0）且斜率为的直线与C交于M,N两点，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：D
解析：通解 过点（-2,0）且斜率为的直线的方程为，由得，得，解得或，所以或.不妨设，，易知，所以，，所以.故选D.
优解 过点（-2,0）且斜率为的直线的方程为，由，得.设，，则.根据根与系数的关系，得，.易知，所以，，所以.故选D.
规律总结：
研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般使用方程法，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
【变式1】（2021·全国高二课时练习）已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】：设，直线方程为，
联立，消去，得，所以，
所以，
因为、中点横坐标为3，所以，
故，又，所以的取值范围为.故选：A.
类型2：弦长问题
【例题1】已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为___________.
答案：32
解析：由题意知直线的斜率均存在且不为零，，因此可设直线的方程为，则直线的方程为.由，消去x，得.设，则，所以，将其代入直线的方程，得，故点，所以，同理可得，所以
，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为32.
规律总结：
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式（焦点在轴上），若不过焦点，必须使用弦长公式.
【变式1】如图,已知抛物线,圆,过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于点P,M,N,Q,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：B
解析：由抛物线，得焦点为.圆的标准方程为，所以圆心为，半径.设，，设直线，将直线l代入抛物线方程可得，即,,故.
【变式2】（2017 新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
答案：A
【例题2-1】设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为__________.
【答案】
常用结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
如图：设α为AB的倾斜角
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3），， ＋为定值.
（4）弦长AB＝．（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
【例题2-2】若直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝__________.
【答案】
【例题2-3】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则的最小值为
A． B． C． D．6
【解答】解：作轴于点，轴于
设，
由抛物线的方程可得，准线的方程为，
作于，于，
由抛物线的定义可得，，
所以，，
当时，
所以，，
所以，，
所以，
当时，，，
所以，
综上，的最小值为，
故选：．
【变式1】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，解：分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
则
设直线的方程为，，，，．
联立，整理得，则，．
．故选：．
【变式2】已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，则的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的焦点，则，
当直线的斜率不存在时，直线为，由，可得，，
，
；
当直线的斜率存在时，设过点作直线的方程为，不妨设，，，，
由，消可得，
，，
，，
．
．
当且仅当时取“”．故的最小值为．故选：．
【变式3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，
与轴的交点为．
（1）若，求的方程；（2）若，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．
故．
