【专题10】双曲方程及其简单性质
【思维导图】
【考点梳理】
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点的距离差的绝对值等于常数(小于大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合，，其中为常数且：
(1)若时，则集合为线段的中垂线； (2)若时，则集合为双曲线；
(3)若时，则集合为两条射线； (4)若时，则集合为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 () ()
图 形
范围 或，R R，或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
渐近线
离心率
实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的半实轴长，叫做双曲线的半虚轴长
的关系
常用结论：
焦点到渐近线的距离为.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线标准方程可写作：双曲线的离心率为双曲线的两条渐近线相互垂直（位置关系）.
焦半径
通径：过焦点且垂直实轴的弦，最短焦点弦
考法一 双曲线的定义及其应用
【典例1】（1）设平面内有两个定点，和一个动点，命题甲：为定值;命题乙:点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案： B
解析： 命题乙由点P的轨迹是以，为焦点的双曲线可得到动点P到两定点的距离的差的绝对值等于定值，即命题乙推得命题甲;再根据||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点P的轨迹是双曲线或射线，即命题甲不一定推出乙，从而可得到答案．
详解：命题甲：||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点M的轨迹是双曲线或以为端点的射线 ，不一定推出命题乙，故不充分
命题乙：点p的轨迹是双曲线，则可得到P到两定点的距离的差的绝对值等于一常数，即可推出命题甲，故必要；
∴命题甲是命题乙的必要不充分条件．故选B．
【点睛】
本题考查双曲线的定义，若||PF1|﹣|PF2||是定值，则动点P的轨迹：若||PF1|﹣|PF2||>,P的轨迹为双曲线；||PF1|﹣|PF2||=,P的轨迹为两条射线.
（2）若双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线上的一点，且，则 ________.
答案： 9
解析： 利用双曲线定义即可求得.
详解：双曲线,所以 因为双曲线定义为,由于,所以,或,由于,(舍).
故答案为:.
【点睛】本题考查双曲线定义,特别注意,难度一般.
【变式1】如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
答案 C
【变式2】设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
答案 B
【变式3】.已知双曲线左焦点，左右顶点分别为，为双曲线上任一点，则分别以线段为直径的两个圆的位置关系是_____________
答案 相切（内切或外切）
【变式4】已知P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
A． B. C. D.
答案 A
【典例2】(1)若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.
答案： 9.
解析： 设双曲线的右焦点，则，再利用双曲线的定义，三角形的两边之差小于第三边，即可得答案.
详解：设双曲线的右焦点，则，
∴，
等号成立当且仅当共线.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题.
(2)（2021·浙江宁波市·高二期末）设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，
当在处，，又
由，，
可得，
此时 ；当在处，，，
易知 则，此时
∴为锐角三角形，则的取值范围是，故选：D．
规律总结：
双曲线定义的应用
判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，建立的关系.
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一直，若是双曲线的一支，则需要搞清是哪一支.
【变式5】已知为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
【变式6】已知点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案： C
解析： 由已知条件可得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把的最大值转化为求即可．
详解：由双曲线的知识，不妨设的两个焦点分别是与，
且，
而这两点恰好是两圆和的圆心，且两圆的半径分别是，
所以，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了圆的方程的认识和直线与圆锥曲线的综合应用能力，合理地进行等价转化是解决问题的关键，属于基础题.
【变式7】（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在双曲线中，，，，如下图所示：
易知点为双曲线的右焦点，
由双曲线的定义可得，，
圆的圆心为，半径为，且，
所以，，
当且仅当、、、四点共线，且、分别为线段与圆和双曲线的交点时，两个等号同时成立.
因此，的最小值为.
故选：C.
考法二 双曲线的标准方程
【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2）渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10
（3）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
答案（1）（2）或（3）
规律总结：
求双曲线标准方程的步骤：
利用待定系数法求解双曲线方程时，多用到以下结论：
①与双曲线())共渐近线的双曲线方程为；
②若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可设为；
④与双曲线())共焦点的双曲线方程可设为；
⑤过两个已知点的双曲线可设为；
⑥与椭圆()有共同焦点的双曲线的方程可设为()).
【变式1】经过,的双曲线的标准方程为__________.
【答案】
【变式2】已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________________．
答案
【变式3】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________
答案
【变式4】已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B． C．（x > 0） D．
答案 B
【典例2】“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由方程表示双曲线，知：，
∴，故它的一个必要不充分条件为.
故选：A.
【变式1】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：D
【典例3】求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
答案（1）（2）（3）
考法三 双曲线的几何性质
类型1： 双曲线的焦点（焦距），实、虚轴
【典例1】我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同
A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点
【解答】解：共轭双曲线和的，设，，
可得它们的焦点为，，
渐近线方程均为，
离心率分别为和，
它们的顶点分别为，，
故选：．
有关渐近线的常用结论：
①求渐近线：将双曲线方程右边的“1”换做“0”，解出的关系，即为该双曲线的渐近线方程；
②双曲线()的渐近线是由直线围成的矩形对角线所在直线；
③与()共渐近线的双曲线方程为；
④双曲线()的渐近线的斜率与离心率的关系：
，越大，也越大，这是双曲线的开口就越大.
【变式1】对于双曲线和，给出下列四个结论：
（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是
A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）
【解答】解：由题意，双曲线，，
（1）离心率分别为，；（2）渐近线相同，为；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为10，
故选：．
【变式2】已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于 ．
【解答】解：如图，
由双曲线定义可得：，，
，
又已知，
，得．
故答案为：．
【典例2】已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设，由双曲线定义得：，，
所以，
作，△中，，可得，
△中，勾股定理得：①，
△中，勾股定理得：，
可得②，
由①②可得，整理可得，即可得．
所以渐近线的斜率为，故渐近线方程为．
故选：．
【变式1】设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
【变式2】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
答案 A
【变式3】过双曲线的左焦点做圆：的两条切线，切点分别是，双曲线的左顶点为，若,则双曲线的渐近线方程为_________.
答案
类型2： 双曲线的焦点三角形
【典例1】设、为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
答案 A
有关焦点三角形的结论：
是双曲线上不同实轴两端点的任意一点，分别为双曲线的左，右焦点，则，其中为..
【变式1】和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则 的面积是__________．
答案
【变式2】设为双曲线上的一点, F1、F2是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
答案B
【典例2】（2021·全国高二）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为轴，则，故，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
【变式1】（2021·云南高二期末（文））已知是双曲线的左焦点，双曲线的离心率为，直线与交于A，B两点，且，(O为坐标原点)，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】
设是双曲线的右焦点，连接，，
结合双曲线的对称性可知，.不妨设，，，则.
因为为的中点，所以，
所以，
所以，，解得或（舍）.
故选：D
【典例3】已知双曲线：的左、右焦点为，过点的直线与双曲线的左支交于两点，若，则的内切圆面积为
（B） （C） （D）
答案 D
【变式1】已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左，右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
【变式2】（2021·赤峰二中（文））设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设内切圆的半径为，则，，
.
过点作于点，于点，于点，
则由的内切圆圆心为知：，，，，
，解得：，
.
【典例4】已知、是双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则该双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 连接，求得，进而可求得，，求得，利用余弦定理可得，代入可求得、的值，由此可求得该双曲线的标准方程.
详解：如下图所示：
连接，则，且，，，
由于是上的一个靠近点的三等分点，
则，，
，
由余弦定理得，解得，
，解得，则，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线标准方程的求解，同时也考查了双曲线的定义以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
【变式1】（2020·全国高二）在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
【答案】D
【详解】
由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，
在△中，，而，
∴，即，
∴，而，
∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
故选：D．
考法四 离心率
1.已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
答案 A
归纳总结：求双曲线的离心率或其范围的方法
①求的值，由直接求.
②列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
双曲线()的渐近线的斜率与离心率的关系:
2.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案 C
3.如图，已知F1、F2双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案 A
4.（2017 新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
答案
5.已知双曲线左右焦点分别为、，A为双曲线右支上一点且,与左支交于点B，若,则离心率为____________.
答案
6.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
答案
7.直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）
A.e> B.1
答案 C
8.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 C【专题2】双曲方程及其简单性质
【思维导图】
【考点梳理】
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点的距离差的绝对值等于常数(小于大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合，，其中为常数且：
(1)若时，则集合为线段的中垂线； (2)若时，则集合为双曲线；
(3)若时，则集合为两条射线； (4)若时，则集合为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 () ()
图 形
范围 或，R R，或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
渐近线
离心率
实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的半实轴长，叫做双曲线的半虚轴长
的关系
常用结论：
焦点到渐近线的距离为.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线标准方程可写作：双曲线的离心率为双曲线的两条渐近线相互垂直（位置关系）.
焦半径
通径：过焦点且垂直实轴的弦，最短焦点弦
考法一 双曲线的定义及其应用
【典例1】（1）设平面内有两个定点，和一个动点，命题甲：为定值;命题乙:点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
若双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线上的一点，且，则 ________.
【变式1】如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与
关于轴对称，则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
【变式2】设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
【变式3】.已知双曲线左焦点，左右顶点分别为，为双曲线上任一点，则分别以线段为直径的两个圆的位置关系是_____________
【变式4】已知P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
A． B. C. D.
【典例2】(1)若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.
【点睛】
本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题.
(2)（2021·浙江宁波市·高二期末）设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
规律总结：
双曲线定义的应用
判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，建立的关系.
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一直，若是双曲线的一支，则需要搞清是哪一支.
【变式5】已知为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则＝________.
【变式6】已知点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式7】（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
B． C． D．
考法二 双曲线的标准方程
【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2）渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10
（3）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
规律总结：
求双曲线标准方程的步骤：
利用待定系数法求解双曲线方程时，多用到以下结论：
①与双曲线())共渐近线的双曲线方程为；
②若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可设为；
④与双曲线())共焦点的双曲线方程可设为；
⑤过两个已知点的双曲线可设为；
⑥与椭圆()有共同焦点的双曲线的方程可设为()).
【变式1】经过,的双曲线的标准方程为__________.
【变式2】已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________________．
【变式3】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________
【变式4】已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B． C．（x > 0） D．
【典例2】“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
考法三 双曲线的几何性质
类型1： 双曲线的焦点（焦距），实、虚轴
【典例1】我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同
A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点
有关渐近线的常用结论：
①求渐近线：将双曲线方程右边的“1”换做“0”，解出的关系，即为该双曲线的渐近线方程；
②双曲线()的渐近线是由直线围成的矩形对角线所在直线；
③与()共渐近线的双曲线方程为；
④双曲线()的渐近线的斜率与离心率的关系：
，越大，也越大，这是双曲线的开口就越大.
【变式1】对于双曲线和，给出下列四个结论：
（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是
A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）
【变式2】已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于 ．
【典例2】已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【变式1】设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【变式3】过双曲线的左焦点做圆：的两条切线，切点分别是，双曲线的左顶点为，若,则双曲线的渐近线方程为_________.
类型2： 双曲线的焦点三角形
【典例1】设、为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
有关焦点三角形的结论：
是双曲线上不同实轴两端点的任意一点，分别为双曲线的左，右焦点，则，其中为..
【变式1】和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则 的面积是__________．
【变式2】设为双曲线上的一点, F1、F2是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
【典例2】（2021·全国高二）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021·云南高二期末（文））已知是双曲线的左焦点，双曲线的离心率为，直线与交于A，B两点，且，(O为坐标原点)，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【典例3】已知双曲线：的左、右焦点为，过点的直线与双曲线的左支交于两点，若，则的内切圆面积为
（B） （C） （D）
【变式1】已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左，右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021·赤峰二中（文））设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】已知、是双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则该双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2020·全国高二）在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
考法四 离心率
【典例1】已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
归纳总结：求双曲线的离心率或其范围的方法
①求的值，由直接求.
②列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
双曲线()的渐近线的斜率与离心率的关系:
【变式1】若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【变式2】如图，已知F1、F2双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2017 新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
【变式4】已知双曲线左右焦点分别为、，A为双曲线右支上一点且,与左支交于点B，若,则离心率为____________.
【典例2】已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
【变式1】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）
A.e> B.1
【变式2】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
B． C． D．
