【专题9】椭圆方程及其简单几何性质
【思维导图】
【考点梳理】
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
图 形
性质 范 围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶 点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦 距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则a－c≤|PF1|≤a＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c.
考法一 椭圆定义
类型1： 判断直线与椭圆的位置关系
【典例1】（1）已知椭圆，、是其左右焦点
①过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长为
②已知椭圆过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为
（2）已知为坐标原点,椭圆上的点到左焦点的距离为,为的中点,则的值等于
归纳总结：
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
【变式1】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为 ；
（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 ；
（3）若，则点P到焦点F1的距离为 ．
【答案】（1）3；（2）8；（3）．
【解析】由椭圆的标准方程可知：，，
故，，．
（1）由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．
（2）的周长
．
（3）在中，由余弦定理可得，
即，
由椭圆的定义可得，两式联立解得．
【变式2】设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
答案： D
解析： 详解：当时，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.
当时，点的轨迹表示线段,
当时，点的轨迹表示以为焦点的椭圆,
本题选择D选项.
点睛：椭圆定义中的常数必须大于，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.
【变式3】Q是椭圆上一点，为左、右焦点，过F1作外角平分线的垂线交的延长线于点，当点在椭圆上运动时，点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
答案： B
解析： 设从引的外角平分线的垂线，垂足为，中，是的平分线，，可得，根据椭圆的定义，可得，即动点到点的距离为定值，因此,点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选B.
【变式4】已知点，椭圆与直线交于点A，B，则的周长为（ ）
A． B．8 C．4 D．
答案： B
解析： 根据椭圆的性质确定与是椭圆的焦点，再由椭圆的定义得出的周长.
详解：设椭圆的左焦点为F，由题意得与是椭圆的焦点，则直线过椭圆的左焦点，且
的周长等于.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了椭圆的基本性质以及定义的应用，属于中档题.
【典例2】（2021·全国高二）已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【答案】D
【详解】
解：如图，
由椭圆=1，得
得，则椭圆右焦点为，
则
.
当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,的最大值为21. 故选：D.
归纳总结：
椭圆定义的应用求最值通常定义和三角形边长关系结合使用，利用两边和与两边差的关系求解最值．
【变式1】点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________．
答案：
解析： 首先将椭圆方程变形为标准式，利用椭圆定义将求的最大值转化为求的最大值问题即可.
详解：将变形为，设为椭圆的右焦点，则,由椭圆定义知,当且仅当为的延长线与椭圆的交点时取等号.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，利用转化思想将动点到两定点的距离之和的最大值转化为动点到两定点的距离之差的最大值，属于基础题.
【变式2】（2021·全国高二）已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，点在圆：上，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【详解】
易知圆心为椭圆的右焦点，且，
由椭圆的定义知：，所以，
所以，
要求的最小值，只需求的最大值，显然三点共线时取最大值，且最大值为，所以的最小值为.
故选：B.
【变式3】(选做)早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
记椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义可得，，
所以，
因为，当且仅当三点共线时，，即；
由题意可得，求的值，即是求最短路径，即求的最小值，
所以的最小值为，
因此.
故选：B.
【痛点直击】有关椭圆上的点到焦点的距离最值时，要运用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点的距离和为定值进行转化。
考法二 轨迹方程和椭圆的标准方程
1、对椭圆的两种标准方程的理解：对于方程，
①表示焦点在x轴上的椭圆；
②表示焦点在y轴上的椭圆；
③表示椭圆且．
2、（1）椭圆经过两个点一般方程可设为
（2）共焦点的椭圆系方程
与椭圆共焦点的椭圆可设为；
与椭圆共焦点的椭圆可设为；
（3）相同离心率的椭圆系方程
与椭圆共离心率的椭圆可设为
【典例1】“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A．“” B．“”
C．“” D．“”且“”
答案： C
解析： 由椭圆的定义可列出满足的不等式组，从而求出的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．
详解：因为方程的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知：，解得：且，
所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“且”，
“”推不出“且”，反之可推出，
所以“”是方程“的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“”．
故选：C．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
【变式1】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要“既不充分也不必要”）
答案： 必要不充分
解析： 根据充分条件和必要条件定义，即可求得答案.
详解：当时，表示的是圆，
“”不能推出方程表示椭圆
故“”是“方程表示椭圆”的不充分条件；
方程表示椭圆，则，
“”是“方程表示椭圆”的必要条件
综上所述，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分
故答案为：必要不充分.
【点睛】
解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义，及其椭圆定义，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.
【变式2】方程（，且）与方程表示的椭圆，那么它们（ ）
A．有相同的离心率 B．有共同的焦点
C．有等长的短轴、长轴 D．有相同的顶点
答案： A
解析： 求出两椭圆的离心率、焦点和顶点坐标以及短轴、长轴长，由此可得出合适的选项.
详解：对于椭圆（，且），，，，
则椭圆的离心率为，焦点坐标为，短轴长为，长轴长为，顶点坐标为和；
对于椭圆，离心率为，焦点坐标为，
短轴长为，长轴长为，顶点坐标为和.
因此，两椭圆有相同的离心率.
故选：A.
【点睛】
本题考查两椭圆离心率、焦点坐标、长轴长、短轴长以及顶点坐标的异同，考查计算能力，属于基础题.
【变式3】已知焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，随着a的增大，该椭圆的形状( )
A．越接近于圆 B．越扁
C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆
答案： A
【变式4】设椭圆长轴两端点为、，为椭圆上与、不重合的点，则与斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 求出点坐标，设出点坐标，直接计算，化简即得．
详解：由题意，设，则，，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．
铺垫：（1）曲线方程的化简结果为
设定点，，平面内满足的动点的轨迹是
若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是
【典例1】（1）.点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是
（2）动点在圆上移动，过点作轴的垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程是
（3）已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为
【变式1】已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________.
答案：
解析： 设点，利用斜率公式结合题中条件得出等式，化简即可.
详解：设点，由直线、的斜率之积为，
整理得，即，
因此，点的轨迹方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解，在涉及几何要素的关系时，一般设动点坐标为，根据题中条件列等式，化简计算即可得解，但同时要注意变量范围的求解，考查计算能力，属于基础题.
【变式2】一动圆过定点，且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________．
答案： ．
解析： 由两圆内切得出圆心距为半径之差，结合动圆过点，从而得，知轨迹为椭圆，根据椭圆的标准方程可得结论．
详解：圆的方程化为标准形式为，圆心，其半径为6.
设动圆圆心的坐标为， 半径为，
由题意，又，所以，即，所以由椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，线段的中点为中心的椭圆．设椭圆的方程为，则，所以所求圆心的轨迹方程是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求动点轨迹方程，解题关键是掌握椭圆的定义，根据两圆内切得出动圆圆心轨迹是椭圆，由椭圆标准方程得出结论．
【变式3】已知圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为 ，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是 .
例5（1）经过两点，的椭圆的标准方程为
（2）与椭圆共焦点，且过点M（3，-2）的椭圆方程为
（3）经过点，且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为
归纳总结：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
【变式1】过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 ∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【变式2】椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，
又椭圆经过点(2，0)，
则若焦点在x轴上，则a =2，b=1，椭圆方程为;
若焦点在y轴上，则a=4，b=2，椭圆方程为，故选C．
考法三 椭圆的几何性质
命题点1：椭圆的焦点三角形
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，
（1）椭圆的定义|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|（2）是正弦或者余弦定理
2.过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为
3.已知椭圆方程为为椭圆上一点，两焦点分别为
设焦点三角形中则.
类型1： 椭圆中的焦点三角形的周长问题
【典例1】（2021·永昌县第一高级中学高二期中（理））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【详解】
椭圆，则，
由题意可得的周长为.
故选：B
【变式1】（2021·全国高二）点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由椭圆：，得：，
当点在椭圆上时，周长最大，为，
当点在轴上时，去最小值，为，
又因点为椭圆内部的动点，
所以周长的取值范围为.
故选：C.
【变式2】（2021·全国高二）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，
由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
【变式3】（2021·江门市第二中学）设椭圆的一个焦点为，则对于椭圆上两动点，，周长的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】D
【详解】
设为椭圆的另外一个焦点
则由椭圆的定义可得
当三点共线时，
当三点不共线时，
所以当三点共线时，的周长取得最大值8
故选：D
【痛点直击】解决焦点三角形周长有关的问题，注意椭圆定义的运用。
类型2： 椭圆中的焦点三角形的面积问题
铺垫：设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且,,则面积的最大值为
【典例2】（1）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为
（2）椭圆的左右焦点分别为,过的一条直线与椭圆交于两点,若的内切圆面积为,且,则
【变式1】设M为椭圆上的一个点，为焦点，，则的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】
因为椭圆的方程为，
所以，
因为M为椭圆上的一个点，
设，则，
又，又余弦定理得：
，即，
又，
所以，
即，
所以.
故选：D
【痛点直击】解决椭圆的焦点三角形面积有关问题，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
【变式2】（2021·全国高二）椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】
如下图示：
由定义知，，，即，
由PF1⊥F1F2，设P的坐标为，代入，得，即|PF1|＝，
∴.
故选：A
【变式3】（2021·江西赣州市·高二期中（文））已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，
此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为
故选：B.
类型3： 椭圆中的焦点三角形的其他问题
【例题1】（2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考（理））设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，
则，
当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，
则的最大值大于或等于，即点位于短轴端点时，大于或等于，
则，解得．
故选：D.
【变式1】（2021·沙坪坝·重庆八中）已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
【变式2】（2021·全国高二）已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
【变式3】（2021·南昌市八一中学高二期末（文））已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
【痛点直击】解决椭圆焦点三角形有关的问题，要注意椭圆定义的运用，还要注意三角形的有关知识以及椭圆的有关知识的运用。
考法四 离心率问题
类型2： 求值问题
(1)求椭圆离心率取值的3种方法
①已知a，c的值，利用离心率e＝；已知a，b，则使用e＝求解；
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
③数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
【典例1】（1）若过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________.
（2）设，分别为椭圆的左、右焦点.椭圆上存在一点使得，.则该椭圆的离心率为
（3）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线y＝－x与椭圆C交于A，B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．
（4）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为
（5）焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为_________.
（6）(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为
【变式1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，整理可得，
即，即，从而，
则椭圆的离心率，
故选：．
【变式2】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：因为且，所以三角形为等边三角形，
所以可得在轴上，设为，可得，①
又因为②，由①②可得：，
故选：．
【变式3】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得，
即，
椭圆的离心率，
故选：．
类型2： 范围问题
(2)离心率的取值范围．在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些隐藏关系
①－a≤x≤a，－b≤y≤b,0③两边之和大于第三边 ④直角三角形中的直角边小于斜边
⑤表示点P在以为直径的圆上
⑥已知A、B为椭圆的左右顶点，P在椭圆上，则
【典例1】例8（1）已知椭圆的两个焦点分别为，
①若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是
②满足的点M总在椭圆内，则椭圆的离心率为
③正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是
④若P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是
⑤若椭圆C上的点P满足|PF1|=|F1F2|，则椭圆的离心率的取值范围是
⑥若在：上存在点，使线段的垂直平分线经过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是
【变式1】（1）过椭圆中心的直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆焦点，若四边形面积为ab，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
（2）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为_________
命题点1 ：参数和最值问题
【典例1-1】点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 ．
【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，
所以，
，
则的取值范围是，
故答案为：，．
【典例1-2】设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，
则0过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1，可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，
结合0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.
方法二 当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
归纳总结：与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系
【变式1】点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为
A． B．， C． D．，
【解答】解：设椭圆的半焦距为，
椭圆，
，，
，即，
△周长为，
当在之间时，最小值为2，但此时构不成三角形，故，
当在椭圆上时，，△周长取得最大值，但点为椭圆内部的动点．
故，
△周长的取值范围为．
故选：．
【变式2】已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，则△的内切圆的半径的最大值是
A．1 B． C． D．
【解答】解：由椭圆，得，，，则，
如图，
，
，则，
要使△内切圆半径最大，则需最大，
，
△内切圆半径的最大值为．
故选：．
【变式3】【练习5-1】已知椭圆＋＝1(0答案
解析 由椭圆的方程可知a＝2，
由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，
由椭圆的性质可知＝3.
所以b2＝3，即b＝.【专题9】椭圆方程及其简单几何性质
【思维导图】
【考点梳理】
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
图 形
性质 范 围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶 点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦 距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则a－c≤|PF1|≤a＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c.
考法一 椭圆定义
类型1： 判断直线与椭圆的位置关系
【典例1】（1）已知椭圆，、是其左右焦点.
①过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长为
②已知椭圆过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为
已知为坐标原点,椭圆上的点到左焦点的距离为,为的中点,则的值等于
归纳总结：
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
【变式1】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为 ；
（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 ；
（3）若，则点P到焦点F1的距离为 ．
【变式2】设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【变式3】Q是椭圆上一点，为左、右焦点，过F1作外角平分线的垂线交的延长线于点，当点在椭圆上运动时，点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【变式4】已知点，椭圆与直线交于点A，B，则的周长为（ ）
A． B．8 C．4 D．
【典例2】（2021·全国高二）已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
归纳总结：
椭圆定义的应用求最值通常定义和三角形边长关系结合使用，利用两边和与两边差的关系求解最值．
【变式1】点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________．
【变式2】（2021·全国高二）已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，点在圆：上，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【变式3】(选做)早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（ ）
A． B． C． D．
【痛点直击】有关椭圆上的点到焦点的距离最值时，要运用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点的距离和为定值进行转化。
考法二 轨迹方程和椭圆的标准方程
1、对椭圆的两种标准方程的理解：对于方程，
①表示焦点在x轴上的椭圆；
②表示焦点在y轴上的椭圆；
③表示椭圆且．
2、（1）椭圆经过两个点一般方程可设为
（2）共焦点的椭圆系方程
与椭圆共焦点的椭圆可设为；
与椭圆共焦点的椭圆可设为；
（3）相同离心率的椭圆系方程
与椭圆共离心率的椭圆可设为
【典例1】“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A．“” B．“”
C．“” D．“”且“”
【变式1】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要“既不充分也不必要”）
【变式2】方程（，且）与方程表示的椭圆，那么它们（ ）
A．有相同的离心率 B．有共同的焦点
C．有等长的短轴、长轴 D．有相同的顶点
【变式3】已知焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，随着a的增大，该椭圆的形状( )
A．越接近于圆 B．越扁
C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆
【变式4】设椭圆长轴两端点为、，为椭圆上与、不重合的点，则与斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
铺垫：（1）曲线方程的化简结果为
设定点，，平面内满足的动点的轨迹是
若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是
【典例1】（1）.点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是
动点在圆上移动，过点作轴的垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程是
（3）已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为
【变式1】已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________.
【变式2】一动圆过定点，且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________．
【变式3】已知圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为 ，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是 .
例5（1）经过两点，的椭圆的标准方程为
（2）与椭圆共焦点，且过点M（3，-2）的椭圆方程为
（3）经过点，且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为
归纳总结：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
【变式1】过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
【变式2】椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为
A． B．
C．或 D．或
考法三 椭圆的几何性质
命题点1：椭圆的焦点三角形
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，
（1）椭圆的定义|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|（2）是正弦或者余弦定理
2.过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为
3.已知椭圆方程为为椭圆上一点，两焦点分别为
设焦点三角形中则.
类型1： 椭圆中的焦点三角形的周长问题
【典例1】（2021·永昌县第一高级中学高二期中（理））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B． C．4 D．6
【变式1】（2021·全国高二）点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021·全国高二）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2021·江门市第二中学）设椭圆的一个焦点为，则对于椭圆上两动点，，周长的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
类型2： 椭圆中的焦点三角形的面积问题
铺垫：设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且,,则面积的最大值为
【典例2】（1）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为
（2）椭圆的左右焦点分别为,过的一条直线与椭圆交于两点,若的内切圆面积为,且,则
【变式1】设M为椭圆上的一个点，为焦点，，则的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【痛点直击】解决椭圆的焦点三角形面积有关问题，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
【变式2】（2021·全国高二）椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于（ ）
A． B． C． D．4
【变式3】（2021·江西赣州市·高二期中（文））已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
类型3： 椭圆中的焦点三角形的其他问题
【例题1】（2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考（理））设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021·沙坪坝·重庆八中）已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（2021·全国高二）已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2021·南昌市八一中学高二期末（文））已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【痛点直击】解决椭圆焦点三角形有关的问题，要注意椭圆定义的运用，还要注意三角形的有关知识以及椭圆的有关知识的运用。
考法四 离心率问题
类型2： 求值问题
(1)求椭圆离心率取值的3种方法
①已知a，c的值，利用离心率e＝；已知a，b，则使用e＝求解；
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
③数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
【典例1】（1）若过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________.
设，分别为椭圆的左、右焦点.椭圆上存在一点使得，.则该椭圆的离心率为
（3）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线y＝－x与椭圆C交于A，B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．
（4）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为
（5）焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为_________.
（6）(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为
【变式1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
【变式2】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【变式3】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
类型2： 范围问题
(2)离心率的取值范围．在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些隐藏关系
①－a≤x≤a，－b≤y≤b,0③两边之和大于第三边 ④直角三角形中的直角边小于斜边
⑤表示点P在以为直径的圆上
⑥已知A、B为椭圆的左右顶点，P在椭圆上，则
【典例1】例8（1）已知椭圆的两个焦点分别为，
①若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是
②满足的点M总在椭圆内，则椭圆的离心率为
③正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是
④若P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是
⑤若椭圆C上的点P满足|PF1|=|F1F2|，则椭圆的离心率的取值范围是
⑥若在：上存在点，使线段的垂直平分线经过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是
【变式1】（1）过椭圆中心的直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆焦点，若四边形面积为ab，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
（2）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为_________
