【专题12】中点弦相关结论
椭圆有关的经典结论
结论一：①AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，若AB、OM的斜率存在，则AB所在直线的斜率为，且；
②AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，若AB、OM的斜率存在，则AB所在直线的斜率为，且
结论二：椭圆的弦AB过原点，P为椭圆上异于A、B的一点，若PA、PB的斜率存在，则.
双曲线有关的经典结论
结论：（1）AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
(2)双曲线的方程为（），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有
(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有
(4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有
抛物线中点弦的斜率公式
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。
若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
类型1： 利用点差法确定直线方程
【典例1】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．
【答案】.
【解析】
由P的坐标，可得，可得P在椭圆内，设，，
则，，
由中点坐标公式可得，，
由可得，，
将代入，可得，
则所求直线的方程为，即为．
规律总结：
中点弦问题的常见类型及解决策略
常见类型 解决策略
①过定点，定点为弦中点 ②平行弦中点的轨迹 ③过定点的弦的中点轨迹 联立消元法：将直线与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数的关系表示中点坐标
点差法（结果注意检验）：利用弦的两端点适合椭圆方程，做差构造中点、斜率的关系
注：“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有、、三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式既可以求出斜率.
【变式1】已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.
【答案】
【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．
又22，①22，②
①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），
又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k，
所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝（x﹣2），即．故答案为：．
【变式2】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．
【答案】.
【解析】
由P的坐标，可得，可得P在椭圆内，设，，
则，，
由中点坐标公式可得，，
由可得，，
将代入，可得，
则所求直线的方程为，即为．
【变式3】已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
【答案】3x＋4y－5＝0.
【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.
解法二： 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴两式相减，得＝y－y，∴＝.
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
【变式4】已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
【答案】3x－y－11＝0
【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ·＝.
类型二：利用点差法求曲线方程
【典例1】平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，求的方程
答案：
解析：设，
则，，，
由此可得.
因为，
所以
又由题意知，的右焦点为，故.
因此
所以的方程为.
【变式1】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：设，则
①
②
① - ②，得
即
又∵
∴，即
又，即有，得
故椭圆的方程为
【变式2】椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点、在椭圆上，且，求椭圆的方程及直线的斜率。
答案: ，
解析：由，及点在椭圆上，可得，椭圆方程为设，由得=，即，，又，相减得
【变式3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 。
【答案】
【解析】由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；
类型三：利用点差法解决曲线的几何性质问题
【典例1】已知斜率为的直线交椭圆于两点，若点是的中点，则的离心率等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，由，得
∴.∴.
【变式1】直线与椭圆相交于两点，且恰好为中点，则椭圆的离心率为_______；
答案：
解析：设，
则，，，
由此可得.
所以
所以的方程为.
【变式1】椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：设中点
则，，
由此可得
因为，
所以，∴.
【变式3】椭圆与直线交于两点，若原点与线段的中点连线的斜率为，则的值是________．
答案：
解析：设，则
相减化简得
设，则，
因为
，即
.
【典例2】椭圆的左、右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是( )
A B. C. D.
答案：
【变式1】（2018秋 东莞市期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＝ ．
答案：
类型四：对称问题
【典例1】已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称，求实数的取值范围 ．
【答案】
规律总结：
解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点关于直线l对称，则l垂直于直线且的中点在直线l上”的应用.
【变式1】已知椭圆的左焦点为,为坐标原点，设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围.
【答案】
【附加知识点】
1．点与椭圆的位置关系
点与椭圆的位置关系：
点在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部．
2．直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系，判断方法：
联立消（或消）得一元二次方程．
当时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当时，方程无解，直线与椭圆相离．
3．直线与椭圆相交的弦长公式
(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
(2)求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为，则弦长公式为：
或
2.三角形ABC的面积
（1）弦底高法（以弦长为底，点到直线的距离为高）：
（2）分割法：水平宽*铅垂高
（3）利用两边及其夹角：
3.四边形的面积
（1）特殊四边形：平行四边形，菱形，矩形，...
（2）对角线互相垂直的四边形：
（3）对角线角度为的四边形：
（4）分割法：特殊图形的面积或者三角形的面积等
考法一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】（1）直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
（2）若直线y=kx+1与椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
B． C． D．
已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点为,
①求椭圆C的方程； ②若直线与椭圆C交于不同的两点,且线段的中点在圆上，求的值.
【答案】（1）B；（2）D；（3）①；②
规律总结：
研究直线与椭圆的位置关系的方法
研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数；
对于过定点的直线，也可以判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线与椭圆的交点.
【变式1】若圆与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
答案：
【变式2】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去），得到关于的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以在恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出即可
解：，整理可得：
即
思路二：从所给含参直线入手可知直线过定点，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入后，即，因为是椭圆，所以，故的取值范围是
答案：C
小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键
（2）本题还要注意细节，椭圆方程中的系数不同，所以
【变式3】已知椭圆，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
思路：设椭圆上两点，中点坐标为，则有，由中点问题想到点差法，则有，变形可得： ①由对称关系和对称轴方程可得，直线的斜率，所以方程①转化为： ，由对称性可知中点在对称轴上，所以有，所以解得：，依题意可得：点必在椭圆内，所以有，代入可得： ，解得：
答案：D
【变式4】斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________.
答案：
【变式5】椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3 B． C． D．
答案：
考法二 弦长问题（设而不求）
【典例1】设经过点F（1,0）的直线l与椭圆交于A，B两点
若F恰好为AB的中点，求直线l的方程；
若弦长，求直线l的方程；
若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
若点M恰好在椭圆上，使得，求直线l的方程；
若，求直线l的方程；
求面积的最大值；
求的最值范围；
若为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.
若，求证：
【变式1】已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C;
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.
答案： （1）；（2）
【变式2】已知椭圆（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．
（1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）求的最小值．
答案： （1）；（2）【专题12】中点弦相关结论
椭圆有关的经典结论
结论一：①AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，若AB、OM的斜率存在，则AB所在直线的斜率为，且；
②AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，若AB、OM的斜率存在，则AB所在直线的斜率为，且
结论二：椭圆的弦AB过原点，P为椭圆上异于A、B的一点，若PA、PB的斜率存在，则.
双曲线有关的经典结论
结论：（1）AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
(2)双曲线的方程为（），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有
(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有
(4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有
抛物线中点弦的斜率公式
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则；
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。
若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
类型1： 利用点差法确定直线方程
【典例1】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．
规律总结：
中点弦问题的常见类型及解决策略
常见类型 解决策略
①过定点，定点为弦中点 ②平行弦中点的轨迹 ③过定点的弦的中点轨迹 联立消元法：将直线与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数的关系表示中点坐标
点差法（结果注意检验）：利用弦的两端点适合椭圆方程，做差构造中点、斜率的关系
注：“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有、、三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式既可以求出斜率.
【变式1】已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.
【变式2】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．
【变式3】已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
【变式4】已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
类型二：利用点差法求曲线方程
【典例1】平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，求的方程
【变式1】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点、在椭圆上，且，求椭圆的方程及直线的斜率。
【变式3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 .
类型三：利用点差法解决曲线的几何性质问题
【典例1】已知斜率为的直线交椭圆于两点，若点是的中点，则的离心率等于( )
A. B. C. D.
【变式1】直线与椭圆相交于两点，且恰好为中点，则椭圆的离心率为_______；
【变式1】椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【变式3】椭圆与直线交于两点，若原点与线段的中点连线的斜率为，则的值是________．
【典例2】椭圆的左、右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是( )
A B. C. D.
【变式1】（2018秋 东莞市期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＝ ．
类型四：对称问题
【典例1】已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称，求实数的取值范围 ．
规律总结：
解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点关于直线l对称，则l垂直于直线且的中点在直线l上”的应用.
【变式1】已知椭圆的左焦点为,为坐标原点，设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围.
【附加知识点】
1．点与椭圆的位置关系
点与椭圆的位置关系：
点在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部．
2．直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系，判断方法：
联立消（或消）得一元二次方程．
当时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当时，方程无解，直线与椭圆相离．
3．直线与椭圆相交的弦长公式
(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
(2)求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为，则弦长公式为：
或
2.三角形ABC的面积
（1）弦底高法（以弦长为底，点到直线的距离为高）：
（2）分割法：水平宽*铅垂高
（3）利用两边及其夹角：
3.四边形的面积
（1）特殊四边形：平行四边形，菱形，矩形，...
（2）对角线互相垂直的四边形：
（3）对角线角度为的四边形：
（4）分割法：特殊图形的面积或者三角形的面积等
考法一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】（1）直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
相切 B．相交 C．相离 D．不确定
（2）若直线y=kx+1与椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
B． C． D．
已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点为,
①求椭圆C的方程； ②若直线与椭圆C交于不同的两点,且线段的中点在圆上，求的值.
规律总结：
研究直线与椭圆的位置关系的方法
研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数；
对于过定点的直线，也可以判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线与椭圆的交点.
【变式1】若圆与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
【变式2】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键
（2）本题还要注意细节，椭圆方程中的系数不同，所以
【变式3】已知椭圆，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【变式4】斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________.
【变式5】椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3 B． C． D．
考法二 弦长问题（设而不求）
【典例1】设经过点F（1,0）的直线l与椭圆交于A，B两点
若F恰好为AB的中点，求直线l的方程；
若弦长，求直线l的方程；
若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
若点M恰好在椭圆上，使得，求直线l的方程；
若，求直线l的方程；
求面积的最大值；
求的最值范围；
若为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.
若，求证：
【变式1】已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C;
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.
【变式2】已知椭圆（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．
（1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）求的最小值．
