【专题5】直线倾斜角与斜率、方程
【思维导图】
【考点梳理】
考点一 直线的倾斜角
（１）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（２）范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
考点二 直线的斜率
（１）定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.
（２）计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率（倾斜角是90°的直线没有斜率）；
（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。
考点三、 倾斜角与斜率的关系
（1）当直线的倾斜角时，斜率，直线与x轴 平行 ；
（2）当时，斜率，且k值增大，倾斜角随着 增大 ；
（3）当时，斜率k 垂直 (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；
（4）当时，斜率，且k值增大，倾斜角也随着 增大 .
考点四 直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
考点五 直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 1，那么它们互相 ，即.
考点六 直线方程的五种形式
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
【常见题型】
题型一 概念梳理（多选题）
【典例1】下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【变式1】下列叙述正确的是
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【变式2】三条直线，，构成三角形，则的取值可以是
A． B．1 C．2 D．5
【变式３】如果，，那么直线经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例２】下列说法正确的是
A．不能表示过点，且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过两点，，的直线方程为
【变式1】下面说法中错误的是
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
题型二 求值问题
【典例1】已知直线，则该直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【典例２】直线绕点逆时针旋转至直线，则直线的斜率为
A． B．3 C． D．
【变式1】直线l：的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式2】直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的直线方程
A． B． C． D．
【变式3】若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为 ， ．
题型三 直线与倾斜角的变化关系
【典例1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. ∪ D. ∪
【变式2】（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【变式3】直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
【变式4】已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
题型四 直线与线段相交求取值范围
【典例1】．已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·江苏·高二）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
【变式2】（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．以上都不对
【典例３】已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是
．
【变式1】直线与相交于第二象限，则的斜率的取值范围是 ．
【变式２】直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值为
A．0 B．1 C． D．2
【变式3】设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
题型五 直线的定点问题
【典例1】已知直线为实数）过定点，则点的坐标为 ．
【变式1】设直线的方程为，则直线经过定点 ；若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ．
【变式2】已知直线：
（1）求证：不论为任何实数，直线恒过一定点，并求出定点坐标；
（2）过点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程.
【变式3】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
题型六 直线中的参数与最值问题
【典例1】一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线的方程：
（1）它的倾斜角的正弦值为；
（2）与、轴的正半轴交于、两点，且的面积最小为坐标原点）．
【变式1】已知，直线与互相垂直，则的最小值为 ．
斜率公式的几何意义的应用
【典例２】在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
【变式1】（2022·江苏·高二）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
【变式2】（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例３】已知直线．
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【变式1】已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为，当时，的最小值是 ．
【变式２】直线过点且斜率为，将直线绕点按逆时针方向旋转得直线，若直线和分别与轴交于，两点．
（1）用表示直线的斜率；
（2）当为何值时，的面积最小？并求出面积最小时直线的方程．【专题5】直线倾斜角与斜率、方程
【思维导图】
【考点梳理】
考点一 直线的倾斜角
（１）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（２）范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
考点二 直线的斜率
（１）定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.
（２）计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率（倾斜角是90°的直线没有斜率）；
（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。
考点三、 倾斜角与斜率的关系
（1）当直线的倾斜角时，斜率，直线与x轴 平行 ；
（2）当时，斜率，且k值增大，倾斜角随着 增大 ；
（3）当时，斜率k 垂直 (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；
（4）当时，斜率，且k值增大，倾斜角也随着 增大 .
考点四 直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
考点五 直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 1，那么它们互相 ，即.
考点六 直线方程的五种形式
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
【常见题型】
题型一 概念梳理（多选题）
【典例1】下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确；
但由于和轴垂直的直线倾斜角等于，故它的斜率不存在，故错误；
若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为不一定是，如时，此时，直线的倾斜角为．
若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故正确，
故选：．
【变式1】下列叙述正确的是
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【解答】解：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故错误．
由于直线倾斜角的取值范围是，故正确．
若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为，故正确．
与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，故正确，
故选：．
【变式2】三条直线，，构成三角形，则的取值可以是
A． B．1 C．2 D．5
【解答】解：三条直线，，构成三角形，
故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．
而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以，，
故选：．
【变式３】如果，，那么直线经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：如果，，
所以、、都不等于0，
所以整理得，
所以该直线经过第一，二，三象限，
故选：．
【典例２】下列说法正确的是
A．不能表示过点，且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过两点，，的直线方程为
【解答】解： 表示过点，且斜率为的两条射线（以为端点，不含点方程，故正确；
在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为，但当或时，不能用此方程，故错误；
直线与轴的交点到原点的距离为，故错误；
过两点，，的直线方程为（不含、两点），
转化为，故正确，
故选：．
【变式1】下面说法中错误的是
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点，的直线方程为，不能写成的形式，故错误．
当直线的斜率等于零时，经过定点，的直线方程为，不能写成 的形式，故错误．
当直线的斜率不存在时，经过定点的直线都方程为，不能用方程表示，故错误．
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为的形式，故错误．
经过任意两个不同的点，，，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，
能用方程表示；
当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故正确，
故选：．
题型二 求值问题
【典例1】已知直线，则该直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【解答】解：直线，即，
则该直线的斜率为，故直线的倾斜角为，
故选：．
【典例２】直线绕点逆时针旋转至直线，则直线的斜率为
A． B．3 C． D．
【解答】解：如图示：
，
设直线的倾斜角是，则，
设直线的倾斜角是，则，
故，解得：，
故选：．
【变式1】直线l：的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知，然后利用两角差的正切公式即得.
【详解】由题可知，
所以.
故选：D.
【变式2】直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的直线方程
A． B． C． D．
【解答】解：直线直线的斜率等于，设倾斜角等于，即，
绕它与轴的交点，逆时针旋转，
所得到的直线的倾斜角等于，故所求直线的斜率为，，
故所求的直线方程为，即，
故选：．
【变式3】若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为 ， ．
【解答】解：正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为、，且，
则，解得，，
故答案为：．
题型三 直线与倾斜角的变化关系
【典例1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
【变式1】直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. ∪ D. ∪
【答案】 B
【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为k＝－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.
【变式2】（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可.
【详解】由题意得，即，所以，
故选：BCD．
【变式3】直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据两点间斜率公式可得斜率，再结合参数范围可得斜率取值范围，进而可得倾斜角范围.
【详解】直线经过点，，
，
，
，
设直线的倾斜角为，则，
得，
故答案为：.
【变式4】已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
【答案】
【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.
【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，
则的斜率，
则有．
故答案为：.
题型四 直线与线段相交求取值范围
【典例1】．已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.
【详解】直线过点，
画出图象如下图所示，
，，
由于直线与线段AB没有公共点，
当时，直线与线段有公共点，不符合题意，
当时，直线的斜率为，
根据图象可知的取值范围是，
所以的取值范围是.故选：A
【变式1】（2022·江苏·高二）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围；
【详解】
解：设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．故答案为：．
【变式2】（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【详解】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或，故选：A
【典例３】已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是 ， ．
【解答】解：直线与坐标轴的交点为、，
的斜率为，的斜率为，
过点的直线与直线的交点位于第一象限，
故直线的斜率的取值范围是，，故答案为：，．
【变式1】直线与相交于第二象限，则的斜率的取值范围是 ．
【解答】解：直线与相交于第二象限，
由，可得，，求得，故答案为：．
【变式２】直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值为
A．0 B．1 C． D．2
【解答】解：直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值．故选：．
【变式3】设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）分截距都为，与截距都不为两种情况讨论可得；
（2）直线不经过第三象限则斜率小于等于，纵截距大于等于，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
（1）当截距都不为，则斜率时，即，符合题意；
当截距都为，即纵截距时，即，符合题意；
故或
（2）因为，即，
若不经过第三象限，则，解得，
故实数的取值范围为.
题型五 直线的定点问题
【典例1】已知直线为实数）过定点，则点的坐标为 ．
【解答】解：直线为实数），即，
该直线经过 和的交点，
故答案为：．
【变式1】设直线的方程为，则直线经过定点 ；若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ．
【解答】解：直线的方程为，即，
令，求得，，可得该直线经过定点．
由于直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，方程为，即．
若直线不过原点，设它的方程为，再把点代入，求得，
故直线的方程为．
综上可得，直线的方程为，或．
【变式2】已知直线：
（1）求证：不论为任何实数，直线恒过一定点，并求出定点坐标；
（2）过点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析，定点坐标为；（2）直线.
【分析】
（1）将直线方程整理为，据此可求定点坐标.
（2）求出的截距后可求直线的方程.
【详解】
（1）直线： 即为，
由可得，故直线过定点且定点坐标为.
（2）由题设可得直线的横截距和纵截距均存在且不为零，
设直线，则该直线与轴交点的坐标为，
与轴交点的坐标为，故即，
故直线.
【变式3】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】
先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】
已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
题型六 直线中的参数与最值问题
【典例1】一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线的方程：
（1）它的倾斜角的正弦值为；
（2）与、轴的正半轴交于、两点，且的面积最小为坐标原点）．
【解答】解：（1）设直线的倾斜角为，，，
由，得，
，
即，
直线方程为，即或，
（2）设直线在，轴上的截距为，，可设直线方程为，
由题意得，
，当且仅当时，即，取等号，
，
的面积．
直线方程为，即．
【变式1】已知，直线与互相垂直，则的最小值为 4 ．
【解答】解：由题意，，即
当时，的最小值为4．
斜率公式的几何意义的应用
【典例２】在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可
【详解】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：
【变式1】（2022·江苏·高二）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，再由的几何意义，即线段上的动点与定点连线的斜率的倍求解；
【详解】
解：如图，
函数，表示线段其中，，
的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍，
，，
的取值范围是；
故答案为：
【变式2】（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，
可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，
当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为
故选：B.
【典例３】已知直线．
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【解答】解：（1）直线，即，
它不经过第四象限，
，求得，即的取值范围为，．
（2）直线交轴的负半轴于点，，交轴的正半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，则，
当且仅当时，即时，取等号，故的最小值为16，此时，，直线．
【变式1】已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为，当时，的最小值是 8 ．
【解答】解：直线中，令，得，
令，得，
所以直线与坐标轴的交点为，，其中，
所以的面积为，
当且仅当，即时取等号．
所以的最小值是8．
故答案为：8．
【变式２】直线过点且斜率为，将直线绕点按逆时针方向旋转得直线，若直线和分别与轴交于，两点．
（1）用表示直线的斜率；
（2）当为何值时，的面积最小？并求出面积最小时直线的方程．
【解答】解：（1）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
，
直线的方程为，
（2）直线的方程为
令，得，
，
由得舍去），
当时，
的面积最小，最小值为，
此时直线的方程是．
