【专题6】直线的距离与对称问题
【思维导图】
【考点梳理】
考点一 两条直线平行与垂直的判定
（１）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2；
②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
（２）两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
（３）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1；
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为垂直．
（４）两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
考点二 两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
考点三 三种距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝.
考点四 对称问题
（1）、点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点
.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.
（2）、点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.
【常见考法】
考法一 直线的平行与垂直
【典例1】已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
【变式1】已知直线：和：，分别就下列条件求出实数m的值.
（1）直线与垂直； （2）直线与平行.
【变式2】已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点； （2）且过点； （3）且在y轴上的截距为．
【变式3】已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小值是（ ）
B． C．8 D．24
考法二 直线方程、直线与直线的交点问题
【典例1】（1）（2020·四川遂宁市·高二期中（理））设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一期末）（多选题）三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【变式1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【变式3】若线性方程组有解，则实数的取值范围是_____________.
【典例2】（2021·全国）若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（ ）
B． C．或 D．不存在
考法三 距离公式的应用
【典例1】（1）（2021·焦作市第一中学高一期末）（多选题）已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2020·贵溪市实验中学高二月考（理））已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．1
【变式2】（2021·全国高二专题练习）直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P.
(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．
【变式4】直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是
A． B． C． D．
【典例2】（2022全国高二专题练习）设的最小值为_______.
【变式1】（2022·全国·高二课时练习）若，则的最小值为______．
考法四 直线的对称性综合问题
【题型导图】
类型一 点关于点对称问题
【典例1】过点做直线l使它被直线和直线截得的线段被点平分，则直线的方程为_________.
【规律总结】点关于点的对称问题实质就是中点问题，即点关于的对称点为：
类型二 直线关于点对称问题
【典例2】直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________
【规律总结】直线关于点对称问题（转化为点关点的对称问题）
【变式1】直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【变式2】已知直线与关于点对称，则______.
类型三 点关于直线对称问题
【典例3】（１）点关于直线对称的点的坐标为 。
（２）已知直线l：，则点到直线l的距离等于___________；直线l关于点M对称的直线方程为___________．
【规律总结】设点，则其
关于直线的对称点满足：
关于轴的对称点为，关于轴的对称点为；关于的对称点为，关于的对称点为.
关于直线的对称点为，关于直线的对称点为.
【变式1】点关于直线的对称点是
A． B． C． D．
类型四 直线关于直线对称问题
【典例4】与直线关于对称的直线的方程为__________.
【规律总结】直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
【变式1】直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为、
【变式３】直线的倾斜角为，则直线关于直线对称的直线的倾斜角不可能为
A． B． C． D．
类型五 距离最值问题
【典例5】已知直线及点，，．
（1）试在上求一点，使最小； （2）试在上求一点，使最大．
【变式1】直线分别交轴和轴于，两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是
A． B． C． D．，
【典例6】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______.
【变式１】点P在直线：上，当P到和的距离之差最大时，点P的坐标为______.
【变式2】（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点，动点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________．
考法五 光的反射问题
【典例１】一束光线从点射向轴上一点，又从点以轴为镜面反射到轴上一点，最后从点以轴为镜面反射，该光线经过点，则该光线从点运行到点的距离为
A． B．13 C． D．12
【变式1】一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为
A．16 B．12 C．8 D．6
【典例２】光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ．
【变式1】光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为
A． B． C． D．
【典例３】在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则三角形周长等于
A． B． C． D．
【变式1】如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为
A． B． C． D．【专题6】直线的距离与对称问题
【思维导图】
【考点梳理】
考点一 两条直线平行与垂直的判定
（１）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2；
②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
（２）两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
（３）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1；
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为垂直．
（４）两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
考点二 两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
考点三 三种距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝.
考点四 对称问题
（1）、点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点
.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.
（2）、点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.
【常见考法】
考法一 直线的平行与垂直
【典例1】已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
【解析】(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋.因为a2≥0，所以b≤0.又因为l1与l2不重合，所以a2＋1≠3，
所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立，因此|ab|的最小值为2.
【变式1】已知直线：和：，分别就下列条件求出实数m的值.
（1）直线与垂直； （2）直线与平行.
【答案】（1）（2）
【分析】(1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解；
(2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.
【详解】（1）：和：垂直，
解得
（2）：和：平行，
且，解得
【变式2】已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点； （2）且过点； （3）且在y轴上的截距为．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）由与相交于一点，将把点代入直线方程，列出方程组，即可求解；
（2）当时，得到与不平行，当时，列出方程组，即可求解；
（3）由且在y轴上的截距为，列出方程组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，直线和，
因为与相交于一点，故把点代入的方程，
可得，解得.
（2）当时，，不满足，
当时，由且过点，
所以，解得或
（3）由且在y轴上的截距为，可得，解得
【变式3】已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．24
【答案】A
【解析】因为直线，直线，且∥，
所以，即，
因为均为正数，所以，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：A
考法二 直线方程、直线与直线的交点问题
【典例1】（1）（2020·四川遂宁市·高二期中（理））设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出线段的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由可求得的范围．
【详解】
，∴方程为，即，
由，解得，（显然），
由解得或．故选：D．
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：
（1）求出直线方程，由直线方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；
（2）求出直线过定点，再求出定点与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．
（2）．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一期末）（多选题）三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】CD
【分析】
经分析可得三线不共点，所以只需直线与另两条直线不平行，即可求得的范围．
【详解】
由题意可得直线与都经过原点，
而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以.故选：CD
【变式1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.
【详解】
由，解得
因为所求直线与直线垂直
所以所求直线方程：2x+3y＋c＝0,
代入点可得，所以所求直线方程为，故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.
【变式2】过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【分析】本题首先可以联立方程和，得出交点坐标后对与原点的距离等于的直线的斜率是否存在依次进行讨论，利用点到直线距离公式，最后得出结果．
【详解】联立方程组，解得，即交点为，
当直线经过点且与轴垂直时，直线方程为，到原点的距离不为1，不符合题意；
当直线过点且与轴不垂直时，
设直线方程为，即，
由，解得，故符合题意的直线只有条，综上所述，故选B．
【点睛】
本题考查的是直线的相关性质，主要考查两直线交点坐标以及点到直线距离公式，考查推理能力与计算能力，考查方程思想，是中档题．在设直线方程时一定要考虑到直线斜率不存在这种情况．
【变式3】若线性方程组有解，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】
解：若方程组无解，
则直线与直线平行，
且，
故而，解得．
当时，直线与直线平行，
当时，直线与直线重合，方程组有无数解；
当时，直线与直线相交或重合，
即方程组有解，
即
故答案为：．
【痛点直击】两直线交点的个数和直线方程构成的方程组解的个数有关，方程组无解就是两直线平行，有解或一解就是不平行，根据两直线交点个数求参数可转化为两直线平行来解。
【典例2】（2021·全国）若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
联立两直线方程得：，
得，
所以两直线的交点坐标为，
因为两直线的交点在第一象限，所以得到，解得，即，
设直线的倾斜角为，则，所以，故选：D.
【变式1】设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】C
【详解】
直线方程为，即，直线方程为，
由，解得，
由，得，此时直线与线段有公共点，
所以直线与线段不相交时，或．故选：C．
考法三 距离公式的应用
【典例1】（1）（2021·焦作市第一中学高一期末）（多选题）已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
首先设直线，直线到直线和的距离分别为，根据题意得到，再解方程即可得到答案。
【详解】设直线，且，
直线到直线和的距离分别为，
由题知：，，
因为，所以，
即，解得或，
即直线为或。故选：BD
【点睛】本题主要考查平行线间的距离公式，熟记公式为解题关键，属于简单题。
（2）（2020·贵溪市实验中学高二月考（理））已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先将，转化为求得定点，然后将点到直线的距离转化为两点间的距离求解.
【详解】
，化为，
令，解得，
所以直线过定点Q，
所以点到直线的距离的最大值为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查直线系，两点间的距离公式，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
【变式1】（多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】AB
【分析】
由点到直线的距离公式可得关于的方程，进而可求出实数的值.
【详解】
解：由题意得，解得或3.
故选:AB.
【点睛】
本题考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题.
【变式2】（2021·全国高二专题练习）直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】
由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
【变式3】已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P.
(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．
【解析】(1)由得即交点P(2,1)．由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．
①由l∥AB得kl＝kAB＝＝－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
②由l过AB的中点得l的方程为x＝2.综上得x＋2y－4＝0或x＝2为所求．
由题可知直线l1的横、纵截距a，b存在，且a＞0，b＞0，则l1：＋＝1.又直线l1过点(2,1)，△ABO的面积为4，所以解得故直线l1的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
【变式4】直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是
A． B． C． D．
【解析】解：由题意可得，，间的距离最大时，和这两条直线都垂直．
由于的斜率为，故直线的斜率为，
故它的方程是，化简为，
故选：．
【典例2】（2022全国高二专题练习）设的最小值为_______.
【答案】
【详解】从几何意义看，
+表示点到点和距离的和，
其最小值为和两点间的距离.
故答案为：
【变式1】（2022·全国·高二课时练习）若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】依题意，表示定点与直线上的点间距离，
所以的最小值是点到直线的距离.
故答案为：
考法四 直线的对称性综合问题
【题型导图】
类型一 点关于点对称问题
【典例1】过点做直线l使它被直线和直线截得的线段被点平分，则直线的方程为_________.
【答案】
【规律总结】点关于点的对称问题实质就是中点问题，即点关于的对称点为：
类型二 直线关于点对称问题
【典例2】直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________
【答案】
【详解】
在直线上任取一点，
则关于点对称点一定在直线上，
故有，即．
故直线的方程为．
故答案为：．
【规律总结】直线关于点对称问题（转化为点关点的对称问题）
【变式1】直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】C
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【变式2】已知直线与关于点对称，则______.
【答案】
【详解】
在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.
点在直线上，
，解得，
.
故答案为：
类型三 点关于直线对称问题
【典例3】（１）点关于直线对称的点的坐标为 。
【答案】
【解析】设点关于直线对称的点坐标为，
可得
（２）已知直线l：，则点到直线l的距离等于___________；直线l关于点M对称的直线方程为___________．
【答案】
【分析】直接利用点到直线的距离公式求点到直线l的距离；设为对称直线上任一点，根据它关于点M的对称点为在直线l上，可得，从而可得所求直线方程．
【解析】点到直线l的距离为，
设为对称直线上任一点，则其关于点M的对称点为，因为该点在直线l上，所以，化简得，
所以所求的直线方程为，故答案为；
【规律总结】设点，则其
关于直线的对称点满足：
关于轴的对称点为，关于轴的对称点为；关于的对称点为，关于的对称点为.
关于直线的对称点为，关于直线的对称点为.
【变式1】点关于直线的对称点是
A． B． C． D．
【解答】解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是．
故选：．
类型四 直线关于直线对称问题
【典例4】与直线关于对称的直线的方程为__________.
【答案】
【详解】
联立，解得，所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：
，即.
故答案为：
【规律总结】直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
【变式1】直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：直线上的点关于直线对称的点，
直线上的点关于直线对称的点，
故直线关于直线对称的直线方程，即直线的方程，为，
即，
故选：．
【变式2】已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为、
【答案】
【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，
代入，得：，所以直线的方程为.
【变式３】直线的倾斜角为，则直线关于直线对称的直线的倾斜角不可能为
A． B． C． D．
【解答】解：设直线的倾斜角为，则，，，
直线和直线关于直线对称，则也关于对称，
故或，
当，故选项正确；
当，故选项正确；
当，故选项正确．
故选：．
类型五 距离最值问题
【典例5】已知直线及点，，．
（1）试在上求一点，使最小； （2）试在上求一点，使最大．
【解析】解：（1）设关于直线的对称点的坐标，则，解得，
则的直线方程为：，联立，
交点为，在上求一点，使最小；
（2）设关于直线的对称点的坐标，则，解得，
直线的方程为：，即，
联立，解得：，在上求一点，
由对称性知，，（当且仅当、、三点共线时取“” ，上的点，是使最大的点．
【变式1】直线分别交轴和轴于，两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是
A． B． C． D．，
【解析】解：由题意，，
设点关于直线的对称点，
则由，求得，可得，
的直线方程为：联立方程可得：，求得，点的坐标为．故选：．
【典例6】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______.
【答案】.
【分析】先求出定点,的坐标，再判断出两直线互相垂直，从而利用基本不等式 求的最大值.
【详解】
由题意知，直线过定点，
直线可化为，所以过定点,
因为，所以直线与直线互相垂直，
所以，且,
所以，
即，当且仅当时等号成立,
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
【变式１】点P在直线：上，当P到和的距离之差最大时，点P的坐标为______.
【答案】
【分析】
先判断和在直线的两侧，接着求点关于直线的对称点，再判断当、、三点共线时差值最大，最后求直线的方程并建立方程组求点P的坐标.
【详解】
解：因为和，所以和在直线的两侧，
设点是点关于直线对称的对称点，
则，解得，所以点，根据题意作图如下：
所以，由图可知，,
当、、三点共线时，差值最大，且最大值为，
因为和，所以直线的方程为：
所以，解得，所以.
所以当P到和的距离之差最大时，点P的坐标为，故答案为：
【点睛】
本题考查求关于直线对称的对称点、求直线的交点坐标、动点到定点的距离差的最值问题，是中档题.
【变式2】（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点，动点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________．
【答案】
【解析】如图所示：
定点关于函数的对称点，关于 轴的对称点，
当与直线和的交点分别为时，此时的周长取最小值，且最小值为 ．
此时点的坐标满足，
解得，即点．故答案为：
考法五 光的反射问题
【典例１】一束光线从点射向轴上一点，又从点以轴为镜面反射到轴上一点，最后从点以轴为镜面反射，该光线经过点，则该光线从点运行到点的距离为
A． B．13 C． D．12
【解答】解：如图，点关于轴对称的点为，
点关于轴对称的点为，
则该光线从点运行到点的距离为．
故选：．
【变式1】一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为
A．16 B．12 C．8 D．6
【解答】解：设直线与轴交于点，因为的方程为，所以点的坐标为，
从而反射光线所在直线的方程为，易求，
所以的面积为，
故选：．
【典例２】光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ．
【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，
则点关于反射轴的对称点在反射光线上．
，解得，，
根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：，即．
故答案为：．
【变式1】光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：根据光学性质可知点关于直线的对称点在反射光线所在直线上，
由两点式可得反射光线所在直线方程为：，化简得：．
故选：．
【典例３】在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则三角形周长等于
A． B． C． D．
【解答】解：以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知，，，
则直线 的方程为，设，，
由对称知识可得点 关于直线 的对称点 的坐标为，
点 关于 轴的对称点 的坐标为，
根据反射定理可知 就是光线 所在的直线．
由 两点坐标可得直线 的方程为，
设 的重心为，易知．
因为重心 在光线 上，
所以，
即，所以 或，
因为，所以，即．
所以，结合对称关系可知，，
所以 的周长即线段 的长度，即．
故选：．
【变式1】如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
直线方程为，直线方程为
如图，作关于的对称点，，，
再作关于的对称点，则，
连接、交与点，则直线方程为，
连接、分别交为点、，
则直线方程为，直线方程为，
，，
连接，，则，之间即为点的变动范围．
直线方程为，直线的斜率为
斜率的范围为
故选：．
