【专题16】数列前n项和常见方法
【知识点回顾】
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
等差数列的前项和公式：
等比数列的前项和公式：
常用几个数列的求和公式：
(1)、
(2)、
(3)、
类型一 ：公式法、分组求和法
【典例1】（2020·全国）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，
∴数列的通项公式为，∴.
又，∴，
∵数列是公比为2的等比数列，
∴，∴；
（2）由题意得，
.
分组转化法求和的常见类型:(1)若,且数列,为等差或等比数列,则可采用分组转化法求的前项和;(2)通项公式为的数列,其中数列,是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.
【变式1】（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）设是公比为正数的等比数列， ，.
（1）求的通项公式； （2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意设等比数列的公比为q，，
，，
，即，
的通项公式.
（2）是首项为1，公差为2的等差数列，
，
数列的前n项和.
【变式2】（2020·江苏连云港市）已知等比数列中，且是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足求的前n项和
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等比数列的公比为，又则
由于是和的等差中项，
得，即，解得
所以，
（2）
类型二：倒序相加法
【知识点讲解】
这是推导等差数列前项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.
【典例2】（2020·全国高三专题练习）定义在上的函数,,,求.
【答案】
【分析】
由已知条件推导出，因此，由此能求出结果.
【详解】
函数，
，
可得，
即有：
，
又，
可得：
，
，
即有.
故答案为：.
感悟升华（核心秘籍） 倒序相加法特点：距首末两项“等距离”的两项之和都相等，多考选择填空题，与函数，数列向结合。
【变式1】（2020·包头市第九中学）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B．33 C． D．34
【答案】A
【解析】函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.
故选：A.
【变式2】（2020·内蒙古包头市·高三二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
【变式3】（2020·宁都中学高三月考）已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足
即2020故选：D
类型三： 裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
等差型：或
类型①
特别注意
类型②（尤其要注意不能丢前边的）
理论上来讲像形如都可以裂项的
像也是这种类型。
类型③（尤其要注意不能丢前边的）
无理型：
类型④
指数型：
特别地，类型⑤
对数型：
特别地，类型⑥
【例题1】（2021·甘肃高三开学考试（文））已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由题意可得，结合等差数列定义得证；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）证明：由，
得，
即，且，
所以是首项为，公差为的等差数列；
（2）解：由（1）知，
所以，
则，
所以.
感悟升华（核心秘籍） 本例是裂项相消法的简单应用，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了。
【例题2】（2020·山西高三期中（文））已知是等差数列，，且.若.
（1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先根据题意得到，再利用裂项法求和即可.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得.
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得
.
因此，.
感悟升华（核心秘籍） 本例是含有根式型裂项，注意分母有理化计算。
【例题3】（2021·广州市·广东实验中学高三月考）已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）应用累加法求数列通项即可.
（2）利用裂项相消法求.
（3）应用放缩法：、，进而求和即可证结论.
【详解】
（1）由题设，当时， ，
又满足上式，所以
（2）由（1），，
∴.
（3）由，则，
又，则，
综上，得证.
感悟升华（核心秘籍） 本例通项比较复杂，裂项时不能完全记忆类型⑤的公式，建议裂项完后通分检验是否正确。
1．（2021·全国高三专题练习）已知，设，数列的前项和______.
【答案】
【解析】由，，
所以数列{}前项和为
.故答案为：.
例题2 数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为____________.
答案 (＋－－1)
解析 ∵an＝＝(－)，
∴Sn＝(－1＋－＋－＋－＋…＋－＋－＋－)＝(－1－＋＋)＝(＋－－1).
（2021·山东济南·高三月考）数列的前项和为，.
（1）求，；
（2）设，数列的前项和为.证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）转化为递推求解；（2）利用裂项相消即可求解.
【详解】
（1）
①②得：
令时，
满足上式
数列是为首项，为公比的等比数列.
（2）证明：由①得：
又为递增数列
类型三：错位相减法（等差×等比）
【知识点讲解】
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
用途： 1、推导等比数列前项和公式；
2、求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。
通项特征：一次函数*指数型函数（等差×等比）
解题思路
【例题精讲】
例题1 已知数列的通项为，求数列的前项和。
【解析】由题意得：
变式1 求数列（为常数）的前项和。
【解析】 Ⅰ、若，则
Ⅱ、若，则
Ⅲ、若，则
①
②
①式减②式：
综上所述：
例题2 （2021·石嘴山市第三中学高三期末）设数列 的前项和分别为 ，且，，
（1）求数列 的通项公式； （2）令，求的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
综上所述：，.
（2），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
变式2 （2020·黑龙江高三月考）设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，①得，②
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）得，，
所以，③
，④
③④得，，所以.
类型四:分组、并项求和法
有一类数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列拆开（或者再并项组合），可分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例题6 若数列满足：，，则数列的前项和是______
例题7 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.
答案 6
解析 由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，
∴an＋2＝an，
则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，
∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)
＝1＋10×＝6.
变式3 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.
答案 100
解析 由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
变式4 已知数列{an} 的前n 项和Sn＝，n∈N* .
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)设bn＝=＋(－1)nan ，求数列{bn} 的前2n 项和．
解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．【专题16】数列前n项和常见方法
【知识点回顾】
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
等差数列的前项和公式：
等比数列的前项和公式：
常用几个数列的求和公式：
(1)、
(2)、
(3)、
类型一 ：公式法、分组求和法
【典例1】（2020·全国）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和.
分组转化法求和的常见类型:(1)若,且数列,为等差或等比数列,则可采用分组转化法求的前项和;(2)通项公式为的数列,其中数列,是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.
【变式1】（2020拉萨那曲第二高级中学）设是公比为正数的等比数列， ，.
（1）求的通项公式； （2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【变式2】（2020·江苏连云港市）已知等比数列中，且是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足求的前n项和
类型二：倒序相加法
【知识点讲解】
这是推导等差数列前项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.
【典例2】（2020·全国高三专题练习）定义在上的函数,,,求.
感悟升华（核心秘籍） 倒序相加法特点：距首末两项“等距离”的两项之和都相等，多考选择填空题，与函数，数列向结合。
【变式1】（2020·包头市第九中学）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B．33 C． D．34
【变式2】（2020·内蒙古包头市·高三二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【变式3】（2020·宁都中学高三月考）已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
类型三： 裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
等差型：或
类型①
特别注意
类型②（尤其要注意不能丢前边的）
理论上来讲像形如都可以裂项的
像也是这种类型。
类型③（尤其要注意不能丢前边的）
【例题1-1】（2021·甘肃高三开学考试（文））已知数列满足，．
证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和．
感悟升华（核心秘籍） 本例是裂项相消法的简单应用，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了。
【例题1-2】（上海市金山中学高三期中）已知数列满足，则数列的前n项和为______．
无理型：
类型④
【例题2】（2020·山西高三期中（文））已知是等差数列，，且.若.
求数列通项公式； （2）求数列的前项和.
感悟升华（核心秘籍） 本例是含有根式型裂项，注意分母有理化计算。
指数型：
特别地，类型⑤
【例题3】（2021·广州市·广东实验中学高三月考）已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前n项和．
求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：．
感悟升华（核心秘籍） 本例通项比较复杂，裂项时不能完全记忆类型⑤的公式，建议裂项完后通分检验是否正确。
对数型：
特别地，类型⑥
【变式1-1】（2021·全国高三专题练习）已知，设，数列的前项和______.
【变式1-2】（2020·静宁县第一中学高三月考）已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.
【变式2】数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为____________.
【变式3】（2021·山东济南·高三月考）数列的前项和为，.
（1）求，； （2）设，数列的前项和为.证明：.
类型三：错位相减法（等差×等比）
【知识点讲解】
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
用途： 1、推导等比数列前项和公式；
2、求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。
通项特征：一次函数*指数型函数（等差×等比）
解题思路
【例题精讲】
【例题1】 已知数列的通项为，求数列的前项和。
【变式1】求数列（为常数）的前项和。
【例题2】（2021·石嘴山市第三中学高三期末）设数列 的前项和分别为 ，且，，
（1）求数列 的通项公式； （2）令，求的前项和.
【变式2】（2020·黑龙江高三月考）设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
类型四:分组、并项求和法
有一类数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列拆开（或者再并项组合），可分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。
【例题1】若数列满足：，，则数列的前项和是______
【变式1】 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.
【变式2】 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.
【变式3】 已知数列{an} 的前n 项和Sn＝，n∈N* .
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)设bn＝=＋(－1)nan ，求数列{bn} 的前2n 项和．
解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．
