【专题15】数列通项公式求法
类型一 公式法：对于给出与关系式，求数列通项公式
【典例2】（1）（2020·广西民族高中）数列的前n项和，则它的通项公式是__________.
（2）（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．
(3)（2020·榆林市第十中学高三月考）已知数列满足，则________，________．
【答案】（1）（2）(3)3
【解析】（1）时，；
且时，，易见，也适合该式.故.故答案为：.
（2）当时，
当时，，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：.
(3）当时，，
当时，由题意可得：
，
，
两式作差可得：，
故，
因为，不满足，所以.
故答案为：3；.
(4)在数列{}中，已知，，（＞0），求和.
【解析】由题意知
当时，，
当时，，
，
数列是公差为，首项为1的等差数列。
又，，
【答案】，
数列的通项与前项和的关系是当时,若适合,则的情况可并入时的通项;当时,若不适合,则要用分段函数的形式表示.
【变式1】（2020·全国高三专题练习）数列的前项和为，则_________________.
【答案】
【解析】当时，;
而不适合上式，.故答案为：.
【变式2】（2020·全国高三专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是________．
【答案】
【解析】当时，，，
当时，，，
∴，是首项为，公比为的等比数列，．故答案为：
【变式3】（2020·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______．
【答案】
【解析】数列是正项数列，且所以，即
时
两式相减得，
所以（ ）当时，适合上式，所以
一、递推数列：
类型一 累加法：形如型的递推式
【典例3】已知数列{}中，.
【解析】由题意知，再由递推得：
，
，
由上式相加得：，
又，.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累加法（叠加法）”的方法求解通项公式.
【变式1】（2020·全国高三专题练习）已知在数列的前项之和为，若，则_______．
【答案】
【解析】 .
.
【变式2】（2020·通榆县第一中学校高三期中）已知数列满足，，则 。
【答案】
【解析】由，可得，
所以
，
类型二 累乘法：形如型的递推式
【典例4】（2020·江西九江市）设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.
【答案】
【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴.
∴当n≥2时，an＝，a1＝2也符合上式，则an＝.
故答案为：.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累乘法（叠乘法）”的方法求解通项公式.
【变式1】在数列{}中，已知，，求.
【解析】由题意知，再由递推得：
由上式相乘得：，
又，.
【变式2】（2020·安徽省泗县第一中学）已知，，则数列的通项公式是
【答案】
【解析】由得：，即，
则，，，……..，，
由累乘法可得，又因为，所以.
铺垫：由递推关系式求通项：转化为……等形式的等差、等比数列再求
【典例1】在数列{}中，已知.
（1）若则= .
（2）若，则= .
（3）若，则= .
【解析】（1）由条件知再由递推式得：
由上式相加得
又，，
，
把代入得，
由条件知再由递推式得：
由上式相加得
又，，
，
由条件知，
，再由递推式得：
，
，
，
由上式相加得，
又，
【答案】(1) (2) (3)
【变式1】 数列满足.
①证明是等差数列；②求数列{}的通项公式.
【解析】证明：①∵，
所以．
∴，
∴是首项为，公差为的等差数列． ∴， 所以．
类型三 构造法：形如的递推式
通用方法：
方法一：迭代法。即利用递推公式逐次将用表示，直到用表示，求和即得通项公式.
方法二：待定系数法
形如型的递推
【典例5】已知数列{}中，，，求.
【解析】由题意知，在等式两边同加1得，
是一个以首项为，公比为2的等比数列.
.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“构造法”的方法构造一个的等比数列，（其中），新的等比数列公比为，首项为，通过新数列可以把的通项公式求解出来.
【变式1】（2020·静宁县第一中学高三月考）已知数列中，，（且），则数列通项公式为
【答案】
【解析】由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
形如型递推
【典例6】已知数列中，，求.
解法：待定系数法：转化为
【解析】由题意知，在左右同加一个得：
，
是以为首项，公比为2得等比数列，
，
化简得：.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“待定系数法转化为，（其中），再令，是一个以为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.
【变式1】已知数列，且，求通项公式.
【答案】
形如型递推
构造等比数列，再用待定系数法求解即可.
【典例7】已知在数列中，,且，求通项公式.
【答案】
设；
对比系数得，解得
故是以2为公比，首项为6的等比数列.
故
形如型递推
构造等比数列，再用待定系数法求解即可.
【典例8】已知在数列中，有，求通项公式.
【答案】
设；
对比系数得，解得
故是以2为公比，首项为2的等比数列.
故
形如型递推
相除法构造等差数列
【典例8】已知在数列中，有，求通项公式.
【答案】
两边同除得：
是以首项为1，公差为1的等差数列.
形如型递推
【典例8】 已知数列中，，求.
【解析】
方法一、
由题意知，在等式两边同除得，
令，则，由递推式得：
，
，
.
上式相加得：，
又，，
再由.
方法二：
由题意知，在等式两边同除得，
化简得
令，则，由上题的构造法得：
是一个以为首项，公比为的等比数列，
由等比数列的通项公式得：，
化简得：；
再由.
方法三：待定系数法，构造为等比数列.
对比系数求得，进而求得
当数列的通项满足形如型的递推式时，方法一：可采用“构造法”的方法在两边同除，构造一个的新数列，再令，得，利用叠加法得方法先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.方法二：可采用“构造法”的方法在两边同除，变成，再令，得，转化为前面例题的构造法，从而把的通项公式。
【变式1】已知数列中，，，求通项公式 ．
【解答】解：数列中，，，
，
数列是等比数列，首项为7，公比为3．
，
，
故答案为：，
形如型递推式
【典例9】（1）已知数列中，，且当时，，求通项公式.
【解析】将两边取倒数得：
即是首项为1，公差为2的等差数列，
（也符合）
【答案】
（2）已知数列中，，且当时，，求通项公式.
【解析】将两边取倒数得：
即是首项为4，公比为2的等比数列，
（也符合）
【答案】
【变式1】（2020·湖南娄底市）在数列中，已知，，，则等于
【答案】
【解析】 ，
所以是以 为首项，公差为的等差数列， ，
【变式2】已知数列中，，，则求的通项公式 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
是以3为首项，以3为公比的等比数列，
，
，
故答案为：
形如型递推式
同除构造新数列
【典例10】已知在数列中，，且，，求
【答案】
【变式1】 已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求证：数列是等差数列； （2）求的通项.
【解题思路】（1）证明
【答案】（1）因为，所以
两边同除以得
化简整理得
所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以；
①
形如型递推式
分析：两边取对数后构造等比数列
【典例10】已知在数列中，，，求
【答案】【专题15】数列通项公式求法
类型一 公式法：对于给出与关系式，求数列通项公式
【典例1】（1）（2020·广西民族高中）数列的前n项和，则它的通项公式是__________.
（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．
（2020·榆林市第十中学高三月考）已知数列满足，则________，________．
(4)在数列{}中，已知，，（＞0），求和.
数列的通项与前项和的关系是当时,若适合,则的情况可并入时的通项;当时,若不适合,则要用分段函数的形式表示.
【变式1】（2020·全国高三专题练习）数列的前项和为，则_________________.
【变式2】（2020·全国高三专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是________．
【变式3】（2020·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______．
一、递推数列：
类型一 累加法：形如型的递推式
【典例2】已知数列{}中，.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累加法（叠加法）”的方法求解通项公式.
【变式1】（2020·全国高三专题练习）已知在数列的前项之和为，若，则_______．
【变式2】（2020·通榆县第一中学校高三期中）已知数列满足，，则 。
类型二 累乘法：形如型的递推式
【典例3】（2020·江西九江市）设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累乘法（叠乘法）”的方法求解通项公式.
【变式1】在数列{}中，已知，，求.
【变式2】（2020·安徽省泗县第一中学）已知，，则数列的通项公式是
铺垫：由递推关系式求通项：转化为……等形式的等差、等比数列再求
【典例4】在数列{}中，已知.
（1）若则= .
（2）若，则= .
（3）若，则= .
【变式1】 数列满足.
①证明是等差数列；②求数列{}的通项公式.
类型三 构造法：形如的递推式
通用方法：
方法一：迭代法。即利用递推公式逐次将用表示，直到用表示，求和即得通项公式.
方法二：待定系数法
形如型的递推
【典例5】已知数列{}中，，，求.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“构造法”的方法构造一个的等比数列，（其中），新的等比数列公比为，首项为，通过新数列可以把的通项公式求解出来.
【变式1】（2020·静宁县第一中学高三月考）已知数列中，，（且），则数列通项公式为
形如型递推
【典例6】已知数列中，，求.
解法：待定系数法：转化为
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“待定系数法转化为，（其中），再令，是一个以为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.
【变式1】已知数列，且，求通项公式.
形如型递推
构造等比数列，再用待定系数法求解即可.
【典例7】已知在数列中，,且，求通项公式.
形如型递推
构造等比数列，再用待定系数法求解即可.
【典例8】已知在数列中，有，求通项公式.
形如型递推
相除法构造等差数列
【典例9】已知在数列中，有，求通项公式.
形如型递推
【典例10】 已知数列中，，求.
当数列的通项满足形如型的递推式时，方法一：可采用“构造法”的方法在两边同除，构造一个的新数列，再令，得，利用叠加法得方法先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.方法二：可采用“构造法”的方法在两边同除，变成，再令，得，转化为前面例题的构造法，从而把的通项公式。
【变式1】已知数列中，，，求通项公式 ．
形如型递推式
【典例11】（1）已知数列中，，且当时，，求通项公式.
（2）已知数列中，，且当时，，求通项公式.
【变式1】（2020·湖南娄底市）在数列中，已知，，，则等于
【变式2】已知数列中，，，则求的通项公式 ．
形如型递推式
同除构造新数列
【典例10】已知在数列中，，且，，求
【变式1】 已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求证：数列是等差数列； （2）求的通项.
形如型递推式
分析：两边取对数后构造等比数列
【典例11】已知在数列中，，，求
