6.3二项式定理题型整理讲义(含答案)-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

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名称 6.3二项式定理题型整理讲义(含答案)-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
格式 zip
文件大小 1.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-25 18:00:20

文档简介

6.3二项式定理题型整理
知识储备
题型专练
1、二项式定理展开式
2、二项式指定项系数与项的系数
3、二项式定理的性质应用
4、二项式中最值与范围
5、二项式中求和应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
题型一:二项式定理展开式
1.在的展开式中,的系数为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
【答案】B
【详解】展开式的通项为,由,解得,则的系数为,故选:B
2.化简:_________.
【答案】
【解析】

所以故答案为:.
题型二:二项式指定项系数与项的系数
1.二项式的展开式中的常数项是_______.(用数字作答)
【答案】60
【解析】有题意可得,二项式展开式的通项为:
令可得 ,此时.
2.在二项展开式中,常数项是_______.
【答案】60
【解析】展开式的通项公式是,当时,
.故答案为60
3.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】,则其展开式的通项为:,
当时,,所以.
4.的展开式中常数项是( )
A.-252 B.-220 C.220 D.252
【答案】A
【详解】由,可得二项式的展开式通项为,
令,解得,所以展开式的常数项为.
题型三:二项式定理的性质应用
1.在的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【详解】由已知得,可知,故选:A.
2.(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则含x4项的二项式系数为(  )
A.21 B.35 C.45 D.28
【解析】 ∵Tk+1=C(3x)k=3kCxk,又由已知得35C=36C,即C=3C,∴n=7,因此,含x4项的二项式系数为C=35,故选B.
3.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的(  )
A.第11项 B.第13项
C.第18项 D.第20项
解析 (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数为C+C+C=C+C+C=55,以-2为首项,3为公差的等差数列的通项公式为an=-2+3(n-1)=3n-5,令an=55,即3n-5=55,解得n=20.
题型四:二项式中最值与范围
1.已知的展开式中常数项为45,则展开式中系数最大的是( )
A.第2项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
【答案】D
【详解】展开式的通项.令,解得,所以展开式中的常数项为,又,所以,所以即,其展开式共有11项,且正中间一项的二项式系数最大,又展开式中的二项式系数与对应项的系数相同,所以展开式中第6项的系数最大,故选:D
2.已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可得,又展开式的通项公式为,
设第项的系数最大,则,即,
求得或6,此时,,,故选:A.
3.已知在的展开式中,_________(填写条件前的序号)
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3;
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55;
条件③.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中含的项.
【答案】(1)(2)
【详解】通项公式为,,
若填条件①,
(1)依题意得,即,
所以,整理得,
所以或(舍),
因为,所以的展开式共有项,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,
所以.
(2)通项公式为,令,得,
所以展开式中含的项为.
若填条件②,(1)依题意得,所以,
所以,即,
所以或(舍),
因为,所以的展开式共有项,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,
所以.
(2)通项公式为,
令,得,所以展开式中含的项为.
若填条件③,
(1)依题意得,则,
所以,所以,
因为,所以的展开式共有项,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,
所以.
(2)通项公式为,
令,得,所以展开式中含的项为.
题型五:二项式中求和应用
1.已知的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为,则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【详解】二项式的各项系数的和为,二项式的各项二项式系数的和为,因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为,
所以,.故选:C.
2.已知,求:
(1);
(2);
(3);
(4).
【详解】令则①,
令则②,
令则③,
(1)②-①得:,
(2)(②-③)得:,
(3)(②+③)得:,
(4).
课后精练
1.若的展开式中的系数为,则等于( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】将题中所给式子可化为
根据二项式定理展开式通项为,的通项为
令 解得
所以的项为令解得
所以的项为
综上可知, 的系数为 解得 故选:D
2.的展开式中常数项为( )
A.10 B. C.5 D.
【答案】B
【详解】要求的展开式中的常数项,只需求的展开式中的系数.
因为的展开式中的系数为,所以的展开式中常数项为.
3.(多选题)若的展开式中存在常数项,则n的取值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】BD
【详解】因为的展开式的第项为,若的展开式中存在常数项,则只需,即,又,,所以只需为正偶数即可,故AC排除,BD可以取得;故选:BD.
4.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题设知:只有第5项的二项式系数为最大,∴由对称性知:,而展开式通项,∴时,常数项为.
5.(多选题)若二项式展开式中的常数项为15,则实数m的值可能为( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
【答案】AB
【详解】二项式展开式的通项为,,
令,得, 常数项为,,得,故答案为.
6.的展开式中的系数为,则________.
【答案】
【详解】解:由二项式定理展开式的通项公式得

令,解得,
所以展开式中项为,其系数为,解得.
7.已知在的展开式中,第9项为常数项.求:
(1)n的值;
(2)展开式中x5的系数;
(3)含x的整数次幂的项的个数.
【详解】
二项展开式的通项Tk+1==(-1)k.
(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.
(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,
所以x5的系数为(-1)6.(3)要使2n-k,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,
故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等,
求的展开式中:
(1)所有二项式系数之和;
(2)二项式系数最大的项;
(3)系数的绝对值最大的项.
【答案】(1);(2);(3)第项.
【详解】解:(1)由题意,解得.
二项式系数和为
(2)由于为偶数,所以的展开式中第6项的二项式系数最大,
即.
(3)设第项的系数的绝对值最大,

∴,得,即
∴,∴,
故系数的绝对值最大的是第4项,即:
9.已知(x2+1)n展开式中各项系数之和等于(x2)5的展开式的常数项,
(1)求(x2+1)n展开式的第2项;
(2)若(ax2+1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求a的值.
【解答】解:(1)由(x2)5得,Tr+1(x2)5﹣r()r=()5﹣r x,
令Tr+1为常数项,则20﹣5r=0,
∴r=4,
∴常数项T516.
又(x2+1)n展开式的各项系数之和等于2n.
由题意得2n=16,
∴n=4.
∴展开式的第二项为4x6.
(2)由(1)可得n=4,
由二项式系数的性质知,(ax2+1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,
∴C42a2=6a2=54,
∴a=±3.6.3二项式定理题型整理
知识储备
题型专练
1、二项式定理展开式
2、二项式指定项系数与项的系数
3、二项式定理的性质应用
4、二项式中最值与范围
5、二项式中求和应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
题型一:二项式定理展开式
1.在的展开式中,的系数为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
2.化简:_________.
题型二:二项式指定项系数与项的系数
1.二项式的展开式中的常数项是_______.(用数字作答)
2.在二项展开式中,常数项是_______.
3.已知,则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中常数项是( )
A.-252 B.-220 C.220 D.252
题型三:二项式定理的性质应用
1.在的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则含x4项的二项式系数为(  )
A.21 B.35 C.45 D.28
3.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的(  )
A.第11项 B.第13项
C.第18项 D.第20项
题型四:二项式中最值与范围
1.已知的展开式中常数项为45,则展开式中系数最大的是( )
A.第2项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
2.已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知在的展开式中,_________(填写条件前的序号)
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3;
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55;
条件③.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中含的项.
题型五:二项式中求和应用
1.已知的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为,则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.已知,求:
(1);
(2);
(3);
(4).
课后精练
1.若的展开式中的系数为,则等于( )
A. B. C.1 D.2
2.的展开式中常数项为( )
A.10 B. C.5 D.
3.(多选题)若的展开式中存在常数项,则n的取值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.(多选题)若二项式展开式中的常数项为15,则实数m的值可能为( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
6.的展开式中的系数为,则________.
7.已知在的展开式中,第9项为常数项.求:
(1)n的值;
(2)展开式中x5的系数;
(3)含x的整数次幂的项的个数.
8.已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等,
求的展开式中:
(1)所有二项式系数之和;
(2)二项式系数最大的项;
(3)系数的绝对值最大的项.
9.已知(x2+1)n展开式中各项系数之和等于(x2)5的展开式的常数项,
(1)求(x2+1)n展开式的第2项;
(2)若(ax2+1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求a的值.