【专题 5】
重要知识点讲解
知识点 1：求函数的定义域
一般函数定义域
【解题指导】
所谓求定义域就是求自变量 x的取值范围，一般用区间形式表示。主要根据以下几个方面求解：
1．分母不等于零；
2．偶次根式被开方数要大于或等于零；
3．零次幂中，底数不能等于零；
4．根据上述三个方面列不等式，并联立成不等式组求解，最终的结果是所有不等式解的交集。
【例题精讲】
例题 1（16-17 1 x学年东莞期末测试卷） 函数 y 的定义域（ ）
2x 2 3x 2
( ,1] ( ,2] ( , 1 ) ( 1 1 1A. B. C. ,1] D. ( , ) ( ,1]
2 2 2 2
1 x 0 x 1
D 1 1 1 【解析】 2x2
3x 2 0 x , x 2
, ,1
2 2 2
1
变式 1（19-20 学年东莞期末测试卷） 函数 y 5 x 的定义域是 .
x 1
5 x 0 x 5
【解析】 ,1 1,5 ,1 1,5
x 1 0 x 1
1
例 2（2020·全国高三专题练习）若函数 f (x) 的定义域为 R，则实数 a的取值范围是（ ）
ax2 2ax 2
A．0 a 2 B．0 a 2 C．0 a 2 D．0 a 2
【答案】D
【解析】由题意可知：当 x R 时，不等式 ax2 2ax 2 0恒成立.
当 a 0时， ax2 2ax 2 2 0显然成立，故 a 0符合题意；
当 a 0时，要想当 x R 时，不等式 ax2 2ax 2 0恒成立，
只需满足 a 0且 ( 2a)2 4 a 2 0成立即可，解得：0 a 2，
1
综上所述：实数 a 的取值范围是0 a 2 .故选：D
【方法总结】
1.根据函数的定义域为 R，得到不等式 ax2 2ax 2 0恒成立，分a 0和 a 0两种情况讨论，结
合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果.
2.不等式 ax2 bx c 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：
a 0
当 a＝0时，b＝0，c 0；当 a 0时， ；
0
不等式 ax2 bx c 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是
a 0
当 a＝0时，b＝0，c 0；当 a 0时， ．
0
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）若函数 f (x) x2 ax 1的定义域为 R，则实数 a取值范围是（ ）
A． 2,2 B． (2, ) C． ( , 2) D． ( 2, 2)
【答案】A
【解析】由题意可知 x2 ax 1 0对于 x R恒成立，所以 a2 4 0，所以 a 2,2 .故选 A.
1
2．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）函数 y 的定义域是R，则 a的取
ax2 ax 1
值范围是_________．
【答案】 0,4
【解析】由题意可得ax2 ax 1 0在R上恒成立．
①当a 0时，则1 0恒成立， a 0符合题意；
a 0
②当a 0时，则 2 ，解得0 a 4．综上可得0 a 4，
a 4a 0
∴实数 a的取值范围为 0,4 ．故答案为： 0,4 .
1
3．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知函数 y
kx2
的定义域为R ，则实数 k的取
2kx 3
值范围是__________．
2
【答案】0 k .
1
【解析】当 k=0 时， y ，满足条件
3
当 k 0时， 4k
2 12k 0综上：0 k 3．
求函数定义域的常用方法
(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
抽象函数定义域
【解题指导】
对于抽象函数（没有解析式的函数）定义域的求解过程需要注意：
1．括号整体范围相同；
2．定义域是值括号中 x的范围；
【例题精讲】
例题 2 （1）已知 y f (x) 的定义域为 [0,2]，求 y f (x2 )的定义域；
（2）已知函数 f (2x 1)的定义域为 (0,1)，求 f (2x 1)的定义域；
【答案】（1） [ 2, 2]；（2） (1, 2)；
变式 1 (1)已知函数 f x 的定义域为 1,3 ，求函数 f 2x 1 的定义域；(2)已知函数 f 2x 1 的定义域为
1,3 ，求函数 f x 的定义域；
【答案】(1) 函数 f 2x 1 的定义域为 0,1 ；(2) 函数 f x 的定义域 3,7 .
变式 2 若函数 f (x)的定义域是 x 0 x 1 ，则 y f (x2 )的定义域是________；函数 f x 2 的定义域
是________；
【答案】 ( 1,0) (0,1)； 4,9 ；
3
①定义域永远是自变量的取值范围，自变量一般都用 x表示；
如 f (x 1)的定义域为 [ 1，1]是指 x [ 1，1]；
② f 的作用区域保持不变，即 f 后面那个大括号的范围保持不变．
f (x)的定义域为 [ 1，1]时，函数定义域与 f 的作用区域一致．
而 f (x 1)的定义域为 [ 1，1]，则 x [ 1，1]，从而 x 1 [0，2]，此时 f 的作用区域即为[0，2]，这是 f (x)
的定义域．
知识点 2：函数的值域与最值
【解题指导】
求解函数的值域有如下方法：观察法
（1）换元法（形如 y ax b cx d 类型）
（2）配方法（形如二次函数类型并结合二次函数的性质求解值域）
ax2 bx c
（3）判别式法（形如 y 2 (a,b,c,d ,e, f不同时为0)dx ex f
解题步骤：①去分母变为含 y的关于 x的一元二次方程；
②通过方程有实数根，即 0求出 y的取值范围
cx d
（4）分离常数法：（形如 y (a 0)的函数
ax b
c
cx d ax b d
cb cb
c d
解题步骤：①分离常数，将 y 化为 y a a a ；
ax b ax b a ax b
d cb
②结合 x的范围确定 a 的范围，再确定函数的值域；
ax b
（5）数形结合法：（适合图像比较容易画出的函数）
复杂函数的值域问题
例题 1 求下列函数的值域
(1) y＝x2＋2x，x 2x－1∈[0，3]； (2) y x 3x 2; (3) y＝ ，x∈[3，5]；
x＋1
【解析】(1) (配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，
∴0≤y≤15，即函数 y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．
2
(2)(换元法)设 3x－2＝t，t≥0 y 1，则 ＝ (t2＋2) t 1－ ＝ 3 1 ，
3 t 3 2 12
4
t 3 1当 ＝ 时，y有最小值－ ，故所求函数的值域为 1
2 12 , 12
(3)(分离常数法)由 y 2x－1＝ ＝2 3－ ，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，
x＋1 x＋1
3 5 5 3
所以 ymax＝ ，ymin＝ ，故所求函数的值域是 ,
2 4 4 2
变式 1 求下列函数的值域
2
（1） y x 1 2x x x（2） y
x2 x 1
3 y 2x 4（ ） , x 0,3 且x 1 （4） y x2 5x 6, x 3,2
x 1
1 t 2 1 2
【解析】(1)令 t 1 2x x t 0 ， y t 1 1，所以 y 1 1 max ，值域为 ,2 2 2 2
(2) y 1 1 1 1 4 1 1 2 1 y 1
,1 ，又 ，所以值域为
x x 1 2 1 3 3 3 3
x
2 4
6
(3) y 2 ， x 0,3 且x 1，数形结合得，函数值域为 , 4 5,
x 1
5
(4)对称轴为 x ，函数在 x 3,2 单调递减， ymax 30， ymin 0，值域为 0,30 2
知识点 3：相等函数的判断
【解题指导】
1．判断两个函数是否为同一函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定义域是否相同，
只有定义域，对应关系和值域都相同的两个函数才是同一个函数。
2．应注意的问题：
①与用哪个字母表示无关；
②在化简解析式时，必须是等价变形；
【例题精讲】
例题 1 判断下列各组函数是否是相等函数；
（1） f x x2 1， g x x 1； （2） f x x2 x 1， g t t 2 t 1 .
【答案】（1）函数 f x 的定义域是 R，值域为 1, ，函数 g x 的定义域是 R，值域为 1, ，但两函
数的对应关系不同，因而不是相等函数；
5
（2）虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对应关系均相同，因而是相等函数；
变式 1 下列各题中两个函数是否表示同一函数？
2
1 f (x) x 9（ ） , g(x) x 3； （2） f (x) x2 2x 1, g(t) t2 2t 1；
x 3
（3） f (x) x 1 x 1, g(x) x2 1； （4） f (x) x0 , g(x)
1
；
x0
【答案】（1）（3）不是同一函数，（2）（4）是同一函数；
变式 2 下列各组函数中，表示同一函数的有________．
x
① y 1与 y ；② y x与 y 3 x3 ；
x
③ y x 与 y ( x )2；④ y x 与 y x2 ；
x，x≥0
⑤ y x 与 y ；
x，x 0
⑥ y x 1 x 1与 y x2 1；⑦ y 1 x 1 x与 y 1 x2
【答案】②④⑤⑦．
1．判断对应关系是否为函数的 2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在 B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
知识点 4：求函数的解析式
【解题指导】
求函数解析式有如下方法：代入法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法、赋值法（针对抽象函数）
【例题精讲】
代入法
【例题精讲】
例题 1 已知 f (x) x2 1，求 f (x2 x)；
【答案】 f (x2 x) (x2 x)2 1 (x2 x 1)(x2 x 1)；
6
变式 1 设 f (x) x 2 ，则 f (
1)等于_______；
x 1 x
A. 1 1f (x) B. f (x) C. D.
f (x) f ( x)
【答案】A；
拼凑法
【知识点讲解】
对 f (g (x))的解析式进行配凑变形，使它能用 g (x)表示出来，再用 x代替两边所有的“ g (x) ”即可；
【例题精讲】
例题 2 已知 f (x 1 ) x2 1 2 ，求 f (x)；x x
1 1 1
【答案】因为 f (x ) x2 2 (x )
2 2，所以 f (x) x2 2；
x x x
变式 2 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)；
【答案】因为 f ( x 1) x 2 x ( x 1) 2 1 ，所以 f (x) x2 1；
换元法
【知识点讲解】
设 t g(x)，解出 x，代入 f (g(x))，求 f (t)的解析式即可；
【例题精讲】
例题 3 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)；
【答案】令 t x 1，则 x (t 1)2 ，所以 f (t) (t 1)2 2(t 1) t2 1，所以 f (x) x2 1；
变式 3 已知 f (3x 1) 4x 3，求 f (x)；
【答案】令 t 3x 1 x t 1，则 ，所以 f (t) 4 t 1 4 3 t 4 ；
3 3 3 3
待定系数法
【知识点讲解】
1．若已知 f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；
2．已知函数为一次、二次、反比例函数等形式的函数，求函数的解析式，可以先设出函数的形式，再求解．
示例：已知二次函数 f (x)满足 f (1) f (3) 0，f (2) 1，求 f x ．
【解析】
法一：设为两根式方程：
7
设 f (x) a(x 1)(x 3)，由 f (2) 1 a 1 a 1，故 f (x) (x 1)(x 3)．
法二：设为顶点式方程：
由题意知， x 2是 f (x)的对称轴，设 f (x) a(x 2)2 1， f (1) 0 a 1，
故 f (x) (x 2)2 1 x2 4x 3 ；
法二：设为一般式方程：
a b c 0 a 1
设 f (x) ax 2 bx c ，有 9a 3b c 0 ，解得 b 4，故 f (x) x2 4x 3．
4a 2b c 1 c 3
【例题精讲】
例题 4 已知 f (x)是一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3，求 f (x)的解析式；
【答案】设 f (x) kx b(k 0)，因为 f [ f (x)] 4x 3，所以 k (kx b) b 4x 3，则 k 2x kb b 4x 3，
k 2 4 k 2 k 2
所以 ，解得 或 ，所以 f (x) 2x 1或 f (x) 2x 3；
kb b 3 b 1 b 3
变式 4 已知 f (x)是二次函数，且 f (0) 2, f (x 1) f (x) x 1，求 f (x)的解析式；
【答案】设 f (x) ax2 bx c(a 0)，因为 f (0) 2，所以 c 2；因为 f (x 1) f (x) x 1，
所以 a(x 1)2 b(x 1) c ax2 bx c x 1，整理得 2ax a b x 1，
1
2a
a
1 2
所以 ，解得 ；
a b 1
b 3
2
解方程法
【知识点讲解】
利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于 f (x)的方程组求出 f (x)；
【例题精讲】
例题 5 已知 f (x) 1 2 f ( ) x(x 0)，求 f (x)的解析式；
x
【答案】因为 f (x) 2 f (1) 1 1 x(x 0) ①，用 代换 x得 f 2 f (x)
1
②；
x x x x
2 x
由①②得 f (x) (x 0)；
3x 3
变式 5 已知函数 f(x)对于任意的 x都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝________．
【答案】 由题意，在 f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代 x 可得 f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
8
f（x）－2f（－x）＝1＋2x，
消去 f(－x) 2可得 f(x)＝ x－1.
f（－x）－2f（x）＝1－2x， 3
变式 6（2020秋 西湖区校级月考）已知函数 f (x)满足 3 f (x 1) 2 f (1 x) 2x ，则 f (x)的解析式为 ( )
A． f (x) 2x B． f (x) x 1 C． f (x) x 3 D． f (x) 2 2x
4 5
【解答】解：令 t x 1得 3 f (t) 2 f ( t) 2(t 1) ，
在将 t用 t代替可得 3 f ( t) 2 f (t) 2( t 1) ，
2
联立求解可得 f (t) 2t ，
5
f (x) 2 2x ．
5
故选： D．
【点评】本题考查抽象函数的求法，使用换元法，求解二元一次方程组即可求出 f (t)，属于基础题．
赋值法
【例题精讲】
例题 6 设 f (x)是 R上的函数，且满足 f (0) 1，并且对任意实数 x, y，均有 f (x y) f (x) y(2x y 1)，
求 f (x)的解析式；
【答案】令 y x得 f (x) x2 x 1；
变式 6 设 f (x)是定义在R 上的函数，满足 f 0 1，且对任意的 x，y R ，都有
f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x 2 ，则 f (x) _________．
【答案】 f (x) x 1；
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法：若已知 f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：设 t＝g(x)，解出 x，代入 f(g(x))，求 f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对 f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用 g(x)表示出来，再用 x代替两边所有的“g(x)”
即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程
组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
知识点 5：分段函数
【例题精讲】
9
a(a b)
例题 1（2021 禅城区校级月考）对 a，b R，记max{a b} ， ，则函数 f (x) max{| x 1|，x2 }(x R)
b(a b)
的最小值是 ( )
A 3 5 B 3 5． ． C 1 5 D 1 5． ．
2 2 2 2
【解答】解：当 | x 1| x2 ，即 x 1 x2或 x 1 x2，
1 5 x 1 5解得 时，
2 2
f (x) max{| x 1|， x2} | x 1| x 1 f (x) f (x) f (1 5) 3 5，函数 单调递减， min ，2 2
x 1 5 f (x) max{| x 1| x2} x2 f (x) f (x) f (1 5 3 5当 ， ， ，函数 单调递减，
2 min
) ，
2 2
x 1 5 f (x) x2 f (x) f (x) f (1 5 3 5当 时， ，函数 单调递增， min ) 2 2 2
f (x) 3 5综上所述： min ，2
故选： A．
变式 1 用min{a，b，c}表示 a，b，c三个数中的最小值，设 f (x) min{x，x 2，10 x}(x 0)，则 f (x)
的最大值为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解： x x 2，
当 x 10 x，即 0 x 5时，
f (x) x， 0 x 5，
当 x 10 x，即 x 5时，
f (x) 10 x， x 5．
0 x 5时， f (x)max 5；
x 5时， f (x)max 10 5 5．
综上可得， f (x)的最大值为 5．
故选： B．
2x 3, x 1
例题 2（代点求值）设函数 f x 2 ，若 f x0 1， 则 x （ ）
x 2x 2, x 1
0
A. 1或 2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或 2或3
【解析】 A
10
x2 2, x 2
变式 1 函数 f (x) 4 ，则 f f 3 _______, f (x0 ) 8，则 x0 ______ .
x, x 2 5
48
【解析】 10
25
1 x 1, x 0
3( ) f x
例题 求参数范围 设函数 2 ，若 f m m，则实数m的取值范围是__________；
1 , x 0
x
【解析】 , 1
2－x，x≤0，
变式 2 设函数 f(x)＝ 则满足 f(x＋1)1，x>0，
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0)
2－x，x≤0，
【解析】D ∵f(x)＝
1，x>0，
∴函数 f(x)的图象如图所示．
2x 0
结合图象知，要使 f(x＋1) 2x x 1
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2.已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的
值，切记代入检验．
【题型优化测训】
1．（多选）（2019·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数 y＝f（x）图象的是（ ）
11
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
在 A，D中，对于定义域内每一个 x都有唯一的 y与之相对应，满足函数关系，
在 B，C中，存在一个 x有两个 y与 x对应，不满足函数对应的唯一性，
故选 AD.
2．（多选）（2019·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知 f 2x 1 x2，则下列结论正确的是（ ）
2
A． f 3 4 B． f x x 2x 1 C． f x x2 D． f 3 9
4
【答案】AB
【解析】
由 f 2x 1 x2 t 1，令 2x 1 t，可得 x ，
2
(t 1)2 t 2 2t 1 x2 2x 1
可得： f t 2 ，即： f x ，故 C不正确，B正确；2 4 4
f 3 ( 3 1)
2
4 A f 3 (3 1)
2
可得： ，故 正确； 1故 D不正确；
4 4
故选：AB.
3．已知 f (x)满足 2 f (x) f (1) 3x，则 f (x) ( )
x
A 2x 1 1 1 1． B． 2x C． 2x D． 2x
x x x x
2 f (x) f (1【解答】解： ) 3x①，
x
12
1 1
用 表示 x，则 2 f ( ) f (x) 3 ②；
x x x
① 2 ②得
3 f (x) 6x 3 ；
x
f (x) 2x 1 (x 0)，
x
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的解析式的问题，解题时的关键是利用换元法，列出方程组，是基础题．
4．（多选）（2019·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
2
A． f (x) | x |与 g(x) x2 B． f (x) x 1与 g(x)
x 1
x 1
f (x) | x |
1, x 0
C． 与 g(x) D． 2 与
x 1, x 0
f (x) x 1 g(x) x 1 x 1
【答案】AC
【解析】
对 A, g(x) x2 x ,故 A正确.
2
对 B, f (x) x 1定义域为 R , g(x) x 1 定义域为 x | x 1 ,故 B错误.
x 1
x 1, x 0
对 C, f (x) ,故 C正确.x 1, x 0
x 1 0
对 D, f (x) x2 1定义域为 x2 1 0 ,解得 x 1或 x 1. g(x) x 1 x 1定义域为 即
x 1 0
x 1.故 D错误.
故选：AC
x2 1, x 0
5．（2020·全国高一课时练习）已知函数 y＝ ，则使函数值为5的 x的值是（ ）
2x, x 0
5
A． 2或 2 B． 2或
2
5
C． 2 D． 2或 2或
2
13
【答案】C
【解析】
当 x 0时，令 y 5，得 x2 1 5，解得 x 2；
当 x 0时，令 y 5，得 2x 5 5，解得 x ，不合乎题意，舍去.
2
综上所述， x 2 .
故选：C.
6．（2020·全国高一）函数 f (x) 2x 1 x的值域是（ ）
1 1
A． , B． , C． (0, ) D．[1, ) 2 2
【答案】A
【解析】
令 2x 1 t，且 t 0，
x t
2 1 t 2 1 1
则 ，函数转化为 y t (t 1)2
2 2 2
1 1t 0 y 由 ，则 ≥ ，即值域为 , 2 2
故选：A.
1, x 0
7．（2020·全国高一课时练习）已知 f x 则不等式 xf x x 2的解集是________.
0, x 0
【答案】 x | x 1
【解析】
当 x 0时， f x 1，代入 xf x x 2，解得 x 1，∴0 x 1；
当 x 0时， f x 0，代入 xf x x 2，解得 x 2，∴ x 0；
综上可知 x | x 1 .
故答案为： x | x 1 .
14
1
8．（2020·全国高一课时练习）已知 f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则（f 2）＝________，f(g（2）)＝________.
1 x
1 1
【答案】
3 7
【解析】
因为 f x 1 1 ，故可得 f 2 ；
1 x 3
又 g x x2 2，故可得 g 2 22 2 6；
f g 2 f 6 1故 .
7
1 1
故答案为： ； .
3 7
9.（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求 f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
1
（3） 2 f f (x) x(x 0) .
x
2 x
【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3） f (x) (x 0)
3x 3
【解析】
（1）解由题意，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即 2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
2a 2
由恒等式性质，得
3a 2b 9
∴a＝1，b＝3
∴所求函数解析式为 f(x)＝x＋3.
（2）设 x＋1＝t，则 x＝t－1
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1
即 f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为 f(x)＝x2＋2x－2.
15
（3）解 f (x) 2 f
1 1 1 x，将原式中的 x与 互换，得 f 2 f (x)
1
.
x x x x
f x 2 f 1 x x
于是得关于 f(x)的方程组
f 1 2 f x
1
x x
解得 f (x) 2 x (x 0) .
3x 3
3
10．（2020·全国高一）若函数 f x x 1 的定义域为 R，则 m的取值范围为多少？
mx2 x 3
1
【答案】 m∣m .
12
【解析】
3
函数 f (x) x 1 的定义域为R，
mx2 x 3
mx2 x 3 0，
若m 0，则 x 3，不满足条件．，
若m 0，则判别式 1 12m 0，
1 m |m 1 解得m ，即
12 12
11．求下列函数的值域：
（1）函数 y x2 4x 2， x R的值域为 [ 6， ) ；
（2）函数 y x 1 2x 的值域为 ；
1 1
（3）已知 x R，且 x 0，则函数 y x2 2 x 的值域为 ；x x
4 y x 1（ ）函数 的值域为 ．
x 2
2 x 4
（5）函数 y 的值域为 ．
x 3
【解答】解：（1）配方法：由于 y x2 4x 2 (x 2)2 6，则 y 6，故其值域为 [ 6， )；
16
2 t 1 2x (t 0) y x 1 2x 1 1 t 2 t 1（ ）换元法：令 ，则 (t 1)2 1(t 0)，
2 2 2
y 1故 (0 1)2 1 1 1 ，故其值域为 ( , ]；
2 2 2
3 t x 1 (t 2) y x2 1 x 1（ ）换元法：令 ，则函数 22 t 2 t (t
1)2 9 ，
x x x 2 4
1 9
由于 t 2，则 y (2 )2 0，故其值域为 [0， )；
2 4
x 1 1
（4）分离常数法： y 1 ，由于 x 2 0，则 y 1，故其值域为 ( ，1) (1， )；
x 2 x 2
2 x 4 10
（5）分离常数法： y 2 ，
x 3 x 3
x 3 3 0 10 10 10 10 0 4 2 10由于 ， ，则 ，即 2 4，故其值域为 [ , 2)．
x 3 3 3 x 3 3 x 3 3
17【专题5】 函数概念与表示法题型探究
重要知识点讲解
知识点1：求函数的定义域
一般函数定义域
【解题指导】
所谓求定义域就是求自变量的取值范围，一般用区间形式表示。主要根据以下几个方面求解：
1．分母不等于零；
2．偶次根式被开方数要大于或等于零；
3．零次幂中，底数不能等于零；
4．根据上述三个方面列不等式，并联立成不等式组求解，最终的结果是所有不等式解的交集。
【例题精讲】
例题1（16-17学年东莞期末测试卷） 函数的定义域（ ）
A. B. C. D.
【解析】
变式1（19-20学年东莞期末测试卷） 函数的定义域是 .
【解析】
例2（2020·全国高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：当时，不等式恒成立.
当时，显然成立，故符合题意；
当时，要想当时，不等式恒成立，
只需满足且成立即可，解得：，
综上所述：实数a的取值范围是.故选：D
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知对于恒成立，所以，所以.故选A.
2．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）函数的定义域是，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可得在上恒成立．
①当时，则恒成立，符合题意；
②当时，则，解得．综上可得，
∴实数的取值范围为．故答案为：.
3．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】当k=0时，，满足条件
当时，综上：．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
抽象函数定义域
【解题指导】
对于抽象函数（没有解析式的函数）定义域的求解过程需要注意：
1．括号整体范围相同；
2．定义域是值括号中的范围；
【例题精讲】
例题2 （1）已知的定义域为，求的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域；
【答案】（1）；（2）；
变式1 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
【答案】(1) 函数的定义域为；(2) 函数的定义域.
变式2 若函数的定义域是，则的定义域是________；函数的定义域是________；
【答案】；；
①定义域永远是自变量的取值范围，自变量一般都用表示；
如的定义域为是指；
②的作用区域保持不变，即后面那个大括号的范围保持不变．
的定义域为时，函数定义域与的作用区域一致．
而的定义域为，则，从而，此时的作用区域即为，这是的定义域．
知识点2：函数的值域与最值
【解题指导】
求解函数的值域有如下方法：观察法
（1）换元法（形如类型）
（2）配方法（形如二次函数类型并结合二次函数的性质求解值域）
（3）判别式法（形如
解题步骤：①去分母变为含的关于的一元二次方程；
②通过方程有实数根，即求出的取值范围
分离常数法：（形如的函数
解题步骤：①分离常数，将化为；
②结合的范围确定的范围，再确定函数的值域；
（5）数形结合法：（适合图像比较容易画出的函数）
复杂函数的值域问题
例题1 求下列函数的值域
(1) y＝x2＋2x，x∈[0，3]； (2) (3) y＝，x∈[3，5]；
【解析】(1) (配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，
∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．
(2)(换元法)设＝t，t≥0，则y＝(t2＋2)－t＝，
当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为
(3)(分离常数法)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，
所以ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是
变式1 求下列函数的值域
（2）
（3） （4）
【解析】(1)令，，所以，值域为
(2)，又，所以值域为
(3)，，数形结合得，函数值域为
(4)对称轴为，函数在单调递减，，，值域为
知识点3：相等函数的判断
【解题指导】
1．判断两个函数是否为同一函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定义域是否相同，
只有定义域，对应关系和值域都相同的两个函数才是同一个函数。
2．应注意的问题：
①与用哪个字母表示无关；
②在化简解析式时，必须是等价变形；
【例题精讲】
例题1 判断下列各组函数是否是相等函数；
（1），； （2），.
【答案】（1）函数的定义域是，值域为，函数的定义域是，值域为，但两函数的对应关系不同，因而不是相等函数；
（2）虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对应关系均相同，因而是相等函数；
变式1 下列各题中两个函数是否表示同一函数？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【答案】（1）（3）不是同一函数，（2）（4）是同一函数；
变式2 下列各组函数中，表示同一函数的有________．
①与 ；②与；
③与；④与；
⑤与；
⑥与；⑦与
【答案】②④⑤⑦．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
知识点4：求函数的解析式
【解题指导】
求函数解析式有如下方法：代入法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法、赋值法（针对抽象函数）
【例题精讲】
代入法
【例题精讲】
例题1 已知，求；
【答案】；
变式1 设，则等于_______；
A. B. C. D.
【答案】A；
拼凑法
【知识点讲解】
对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可；
【例题精讲】
例题2 已知，求；
【答案】因为，所以；
变式2 已知，求；
【答案】因为，所以；
换元法
【知识点讲解】
设，解出，代入，求的解析式即可；
【例题精讲】
例题3 已知，求；
【答案】令，则，所以，所以；
变式3 已知，求；
【答案】令，则，所以；
待定系数法
【知识点讲解】
1．若已知的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；
2．已知函数为一次、二次、反比例函数等形式的函数，求函数的解析式，可以先设出函数的形式，再求解．
示例：已知二次函数满足，求．
【解析】
法一：设为两根式方程：
设，由，故．
法二：设为顶点式方程：
由题意知，是的对称轴，设，，
故；
法二：设为一般式方程：
设，有，解得，故．
【例题精讲】
例题4 已知是一次函数，且，求的解析式；
【答案】设，因为，所以，则，所以，解得或，所以或；
变式4 已知是二次函数，且，求的解析式；
【答案】设，因为，所以；因为，
所以，整理得，
所以，解得；
解方程法
【知识点讲解】
利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于的方程组求出；
【例题精讲】
例题5 已知，求的解析式；
【答案】因为①，用代换得②；
由①②得；
变式5 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
【答案】 由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.
变式6 （2020秋 西湖区校级月考）已知函数满足，则的解析式为
A． B． C． D．
【解答】解：令得，
在将用代替可得，
联立求解可得，
．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的求法，使用换元法，求解二元一次方程组即可求出，属于基础题．
赋值法
【例题精讲】
例题6 设是上的函数，且满足，并且对任意实数，均有，求的解析式；
【答案】令得；
变式6 设是定义在上的函数，满足，且对任意的，都有
，则_________．
【答案】；
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
知识点5：分段函数
【例题精讲】
例题1 （2021 禅城区校级月考）对，，记，，则函数，的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：当，即或，
解得时，
，，函数单调递减，，
当，，，函数单调递减，，
当时，，函数单调递增，
综上所述：，
故选：．
变式1 用，，表示，，三个数中的最小值，设，，，则的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：，
当，即时，
，，
当，即时，
，．
时，；
时，．
综上可得，的最大值为5．
故选：．
例题2（代点求值）设函数，若， 则（ ）
A.或 B.或 C.或 D.或或
【解析】
变式1 函数，则，则
【解析】
例题3(求参数范围) 设函数，若，则实数的取值范围是__________；
【解析】
变式2 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0)
【解析】D ∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2.已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
【题型优化测训】
1．（多选）（2019·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
在A，D中，对于定义域内每一个都有唯一的与之相对应，满足函数关系，
在B，C中，存在一个有两个与对应，不满足函数对应的唯一性，
故选AD.
2．（多选）（2019·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
由，令，可得，
可得：，即：，故C不正确，B正确；
可得：，故A 正确；故D不正确；
故选：AB.
3．已知满足，则
A． B． C． D．
【解答】解：①，
用表示，则②；
①②得
；
，
故选：．
【点评】本题考查了求函数的解析式的问题，解题时的关键是利用换元法，列出方程组，是基础题．
4．（多选）（2019·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AC
【解析】
对A, ,故A正确.
对B, 定义域为,定义域为,故B错误.
对C, ,故C正确.
对D, 定义域为,解得或.定义域为即.故D错误.
故选：AC
5．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或
C． D．或或
【答案】C
【解析】
当时，令，得，解得；
当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.
综上所述，.
故选：C.
6．（2020·全国高一）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令，且，
则，函数转化为
由，则，即值域为
故选：A.
7．（2020·全国高一课时练习）已知则不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
当时，，代入，解得，∴；
当时，，代入，解得，∴；
综上可知.
故答案为：.
8．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f（2）＝________，f(g（2）)＝________.
【答案】
【解析】
因为，故可得；
又，故可得；
故.
故答案为：；.
9.（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3）.
【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）
【解析】
（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
（3）解，将原式中的x与互换，得.
于是得关于f(x)的方程组
解得.
10．（2020·全国高一）若函数的定义域为R，则m的取值范围为多少？
【答案】.
【解析】
函数的定义域为，
，
若，则，不满足条件．，
若，则判别式，
解得，即
11．求下列函数的值域：
（1）函数，的值域为 ， ；
（2）函数的值域为 ；
（3）已知，且，则函数的值域为 ；
（4）函数的值域为 ．
（5）函数的值域为 ．
【解答】解：（1）配方法：由于，则，故其值域为，；
（2）换元法：令，则，
故，故其值域为；
（3）换元法：令，则函数，
由于，则，故其值域为，；
（4）分离常数法：，由于，则，故其值域为，，；
（5）分离常数法：，
由于，，则，即，故其值域为．【专题5】 函数概念与表示法题型探究
重要知识点讲解
知识点1：求函数的定义域
一般函数定义域
【解题指导】
所谓求定义域就是求自变量的取值范围，一般用区间形式表示。主要根据以下几个方面求解：
1．分母不等于零；
2．偶次根式被开方数要大于或等于零；
3．零次幂中，底数不能等于零；
4．根据上述三个方面列不等式，并联立成不等式组求解，最终的结果是所有不等式解的交集。
【例题精讲】
例题1（16-17学年东莞期末测试卷） 函数的定义域（ ）
A. B. C. D.
变式1（19-20学年东莞期末测试卷） 函数的定义域是 .
例2（2020·全国高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）函数的定义域是，则的取值范围是_________．
3．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
抽象函数定义域
【解题指导】
对于抽象函数（没有解析式的函数）定义域的求解过程需要注意：
1．括号整体范围相同；
2．定义域是值括号中的范围；
【例题精讲】
例题2 （1）已知的定义域为，求的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域；
变式1 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
变式2 若函数的定义域是，则的定义域是________；函数的定义域是________；
①定义域永远是自变量的取值范围，自变量一般都用表示；
如的定义域为是指；
②的作用区域保持不变，即后面那个大括号的范围保持不变．
的定义域为时，函数定义域与的作用区域一致．
而的定义域为，则，从而，此时的作用区域即为，这是的定义域．
知识点2：函数的值域与最值
【解题指导】
求解函数的值域有如下方法：观察法
（1）换元法（形如类型）
（2）配方法（形如二次函数类型并结合二次函数的性质求解值域）
（3）判别式法（形如
解题步骤：①去分母变为含的关于的一元二次方程；
②通过方程有实数根，即求出的取值范围
分离常数法：（形如的函数
解题步骤：①分离常数，将化为；
②结合的范围确定的范围，再确定函数的值域；
（5）数形结合法：（适合图像比较容易画出的函数）
复杂函数的值域问题
例题1 求下列函数的值域
(1) y＝x2＋2x，x∈[0，3]； (2) (3) y＝，x∈[3，5]；
变式1 求下列函数的值域
（2）
（3） （4）
知识点3：相等函数的判断
【解题指导】
1．判断两个函数是否为同一函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定义域是否相同，
只有定义域，对应关系和值域都相同的两个函数才是同一个函数。
2．应注意的问题：
①与用哪个字母表示无关；
②在化简解析式时，必须是等价变形；
【例题精讲】
例题1 判断下列各组函数是否是相等函数；
（1），； （2），.
变式1 下列各题中两个函数是否表示同一函数？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
变式2 下列各组函数中，表示同一函数的有________．
①与 ；②与；
③与；④与；
⑤与；
⑥与；⑦与
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
知识点4：求函数的解析式
【解题指导】
求函数解析式有如下方法：代入法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法、赋值法（针对抽象函数）
【例题精讲】
代入法
【例题精讲】
例题1 已知，求；
变式1 设，则等于_______；
B. C. D.
拼凑法
【知识点讲解】
对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可；
【例题精讲】
例题2 已知，求；
变式2 已知，求；
换元法
【知识点讲解】
设，解出，代入，求的解析式即可；
【例题精讲】
例题3 已知，求；
变式3 已知，求；
待定系数法
【知识点讲解】
1．若已知的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；
2．已知函数为一次、二次、反比例函数等形式的函数，求函数的解析式，可以先设出函数的形式，再求解．
示例：已知二次函数满足，求．
【例题精讲】
例题4 已知是一次函数，且，求的解析式；
变式4 已知是二次函数，且，求的解析式；
解方程法
【知识点讲解】
利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于的方程组求出；
【例题精讲】
例题5 已知，求的解析式；
变式5 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
变式6 （2020秋 西湖区校级月考）已知函数满足，则的解析式为
B． C． D．
赋值法
【例题精讲】
例题6 设是上的函数，且满足，并且对任意实数，均有，求的解析式；
变式6 设是定义在上的函数，满足，且对任意的，都有
，则_________．
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
知识点5：分段函数
【例题精讲】
例题1 （2021 禅城区校级月考）对，，记，，则函数，的最小值是
A． B． C． D．
变式1 用，，表示，，三个数中的最小值，设，，，则的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
例题2（代点求值）设函数，若， 则（ ）
A.或 B.或 C.或 D.或或
变式1 函数，则，则
例题3(求参数范围) 设函数，若，则实数的取值范围是__________；
变式2 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0)
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2.已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
【题型优化测训】
1．（多选）（2019·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
A．】 B． C． D．
2．（多选）（2019·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知满足，则
A． B． C． D．
4．（多选）（2019·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．或或
6．（2020·全国高一）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国高一课时练习）已知则不等式的解集是________.
8．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f（2）＝________，f(g（2）)＝________.
9.（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； （2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3）.
10．（2020·全国高一）若函数的定义域为R，则m的取值范围为多少？
11．求下列函数的值域：
（1）函数，的值域为 ；
（2）函数的值域为 ；
（3）已知，且，则函数的值域为 ；
（4）函数的值域为 ．
（5）函数的值域为 ．
