6.2排列与组合的题型整理
知识储备
题型专练
排列概念以及排列数计算
2、排列应用题
3、组合概念以及组合数计算
4、组合应用题
5、排列与组合的综合应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
题型一、排列概念以及排列数计算
1.（1）下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
（2）从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】（1）B（2）B
2.已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则，
约分得：，解得：，经检验满足题意．
3.不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由，得：，整理得，解得：，
由题可知，且，则或，即原不等式的解集为：.
故选：C.
题型二、排列应用题
1.（多选题）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确；
对于B，由于，所以，故B正确；
对于C，由于，所以，故C错误；
对于D，由于，故D正确.
故选：ABD.
2.（多选题）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若A、B不相邻共有72种方法
B．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．
C．若A在B左边有60种排法
D．若A、B两人站在一起有24种方法
【答案】ABC
【详解】A.若A、B不相邻共有种方法，故A正确；B.若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有种方法，故B正确；
C. 若A在B左边有种方法，故C正确；
D. 若A、B两人站在一起有，故D不正确.故选：ABC
3.用0,1,2,3,4,5这6个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)
解 (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时，有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个.
由分类加法计数原理得，共有A＋2A·A＝156个.
(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，
总的排法共AA＝144种，
其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共A·A＝12种，此时构不成六位数，
故所求六位数为AA－AA＝144－12＝132个.
题型三、组合概念以及组合数计算
1.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（ ）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
【答案】C
【详解】根据组合数的概念可知C选项正确.
2.以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲 乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲 乙两地
【答案】C
【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.
3.(多选)若，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】AC
【详解】因为，所以或，解得或，
故选：AC.
题型四、组合应用题
1.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为________.
答案 30
解析 分两类：男1女2或男2女1，各有CC和CC种方法，所以选法种数为CC＋CC＝12＋18＝30.也可用间接法C－C－C＝30.
2.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________.
答案 60
【解析】从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是C×C＝90.
重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C×C＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.
3.从10位学生中选出5人参加数学竞赛.
(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？
(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？
解 (1)学生甲入选，再从剩下的9人选4人，
故甲必须入选的有C＝126种不同选法.
(2)没有限制条件的选择方法有C＝252种，
甲、乙、丙同时都入选有C＝21种，
故甲、乙、丙不能同时都入选的有252－21＝231种不同的选法.
题型五、排列与组合的综合应用
1.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
答案 B
【解析】 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36种安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.
2.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．44 C．58 D．76
【答案】B
【解析】分类讨论：
尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共,
还可能为234,有种；
尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共,还可能为124,有种；
尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共；
尾数为7：则前三位的数字可能为012,共.
综上所述,共有种.故选：B
3.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．
【答案】900
【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.
第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；
第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有种不同情况.
所以所有的不同分派方案有种.
故答案为：900.
课后精练
1.若，则m的值为 ( )
A．5 B．3 C．6 D．7
【解析】根据题意，若，则有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣4）=2×m（m﹣1）（m﹣2），
即（m﹣3）（m﹣4）=2，解可得：m=5故答案为A
2.可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
3.把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
4.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）
【答案】288
【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.
5.个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】两个女生必须相邻，捆绑，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，，所以不同的排法种数为：．
6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120种方法；
第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96种方法.
所以共有120＋96＝216种方法.
7.某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）
A．72种 B．48种 C．36种 D．24种
【答案】C
【详解】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，
共有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有种排法，则后六场开场诗词的排法有种，故选：C.
8.（多选题）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60 C．72 D．
【答案】AC
【详解】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共=3×2×1=6种不同的排法，再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共=12种不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是=6×12=72，故选：AC．
9.计算：54_____.
【答案】348
【详解】.
10.用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有______个.(用数字作答)
【答案】72
【详解】满足条件的五位偶数有：.
11.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
解 设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6种；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12种；
第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8种；
第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12种；
由分类加法计数原理，选派方法数共有6＋12＋8＋12＝38种.
12.（1）本不同的书分给甲、乙、丙同学，每人各得本，有多少种不同的分法？
（2）从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，有多少种选法？
【详解】
（1）6本书分给3位同学，可分三步完成，根据乘法计数原理，得；
（2）问题可以分成两类：
第一类名男生和名女生参加，有中选法，
第二类名男生和名女生参加，有中选法，
13.男运动员6名，女运动员4名，其中男 女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
【详解】
（1）分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有(种)选法.
（2）方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为；
“只有女队长”的选法种数为；
“男 女队长都入选”的选法种数为，
所以共有(种)选法.
方法二(间接法)从10人中任选5人有种选法，
其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有(种).
（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，
其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种.
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有(种).6.2排列与组合的题型整理
知识储备
题型专练
排列概念以及排列数计算
2、排列应用题
3、组合概念以及组合数计算
4、组合应用题
5、排列与组合的综合应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
题型一、排列概念以及排列数计算
1.（1）下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
（2）从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知，则（ ）．
A． B． C． D．
3.不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型二、排列应用题
1.（多选题）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若A、B不相邻共有72种方法
B．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．
C．若A在B左边有60种排法
D．若A、B两人站在一起有24种方法
3.用0,1,2,3,4,5这6个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)
题型三、组合概念以及组合数计算
1.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（ ）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
2.以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲 乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲 乙两地
3.(多选)若，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型四、组合应用题
1.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为________.
2.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________.
3.从10位学生中选出5人参加数学竞赛.
(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？
(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？
题型五、排列与组合的综合应用
1.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
2.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．44 C．58 D．76
3.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．
课后精练
1.若，则m的值为 ( )
A．5 B．3 C．6 D．7
2.可表示为（ ）
A． B． C． D．
3.把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
4.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）
5.个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A． B． C． D．
6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
7.某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）
A．72种 B．48种 C．36种 D．24种
8.（多选题）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60 C．72 D．
9.计算：54_____.
10.用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有______个.(用数字作答)
11.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
12.（1）本不同的书分给甲、乙、丙同学，每人各得本，有多少种不同的分法？
（2）从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，有多少种选法？
13.男运动员6名，女运动员4名，其中男 女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
