【专题 1】
重要知识点讲解
知识点 1：元素与集合之间的关系
【方法讲解】
当一个集合中的元素含有字母，求解字母的值或范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合
中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验。
【例题精讲】
例题 1 已知集合 A含有两个元素 a和 a2 ，若1 A，则实数 a的值为______；
变式 1 设集合 A 1,2,4 ，集合B ={x x = a +b,a A,b A}，则集合 B中的元素个数为______．
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．在解方程求得字母的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
1
例题 2 设 A 为实数集，且满足条件：若 a∈A，则 ∈A(a≠1)．
1 a
求证：(1)若 2∈A，则 A中必还有另外两个元素； (2)集合 A不可能是单元素集．
变式 2 已知集合 A含有两个元素 a－3 和 2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数 a 的值； (2)若 a∈A，试求实数 a 的值．
知识点 2：元素个数、集合个数的讨论
【例题精讲】
例题 1 已知集合 A x x2 ax 1 0,a R .
（1）若 A中只有一个元素，求 a的值； （2） 若 A中有两个元素，求 a的取值范围.
变式 1 写出由方程 x2 (a 1)x a 0的解组成的集合中的元素；
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如上面例题
中集合 A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数
问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
例题 2 已知集合 A x ax2 3x 2 0 ；（1）若 A是单元素集合，求集合 A；（2）若 A中至少有一个元素，
求 a的取值范围；
变式 2 已知集合 A x R ax2 3x 1 0,a R .
（1）若1 A，求实数 a的值；
（2）若 A中只有一个元素，求 a的值；
（3）若 A中有两个元素，求 a的取值范围.
变式 3 已知 A x | x2 x a≤0 ， B x | x2 x 2a 1 0 ，C x | a≤ x≤4a 9 ，且 A， B ，C 中
至少有一个不是空集，求实数 a的取值范围．
知识点 3：集合与集合之间的关系
【方法讲解】
1．判断集合间关系的方法有三种：
（1）一一列举观察；
（2）集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么？弄清楚元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系；
（3）数形结合法：利用数轴或韦恩图；
2． A B 和 A B 同时成立，则 A B （真子集）能更准确地表示 A,B之间的关系；
【例题精讲】
判断集合之间的关系
例题 1 已知集合M x x 1 a2 ,a N ， P x x a2 4a 5,a N ，试判断M 与 P的关系.
变式 1 已知M x x a2 2,a N ， P x x b2 4b 6,b N ，试确定M和 P的关系；
例题 2 若 X x | x 4n 1，n Z ，Y y | y 4n 3，n Z ，L z | z 8n 1，n Z ，则 X ，Y，L
的关系是（ ）
A． X Y L B． X Y L C． X Y L D． X Y L
k 1
变式 2（18-19 学年东莞一中月考）设集合M x | x ，k Z
N 1 k ，
2 4
x | x ，k Z ，
2 4
则( )
A．M N B． N M C．M N D．M N
A 1 b 1 c 1变式 3 设集合 x | x a
，a Z ， B x | x ，b Z ，C x | x ，c Z
，
6 2 3 2 6
则集合 A、 B、C的关系是( )
A． A B C B． A C B C． A B C D．C A B
根据集合之间的关系求满足条件的集合
集合间关系的关键点
(1) ：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进
而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题．
【例题精讲】
例题 3 根据题意，完成下列各题：
（1）满足 1,2 M 1,2,3,4,5 的集合M 有几个；
（2）已知集合 A x N 1 x 3 ，且 A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合 A共有多少个？并用
恰当的方法表示这些集合.
变式 4 满足条件 a,b M a,b,c,d ,e 的集合M 的个数是________；
变式 5 已知 x x2 1 0 A 1,0,1 ，集合 A的子集的个数是_______；
根据集合之间的关系求参数的值或范围
【方法讲解】
数形结合——数轴法
用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在教学中广泛使用，数轴是表示实数的，任何一
个实数在数轴上均可以用一个点来表示，反之，数轴上任何一个点都代表一个实数，在数轴上表示一个不
等式的取值范围，形象而直观。因此也广泛应用于求子集的问题中。
【例题精讲】
例题 1 已知集合 A x 3 x 4 ， B x 2m 1 x m 1 ，且 B A，求实数m的取值范围；
变式 1 若上题中，将“ B A ”改为“ A B ”，其他条件不变，则实数m的取值范围是多少？
变式 2 已知集合 A x 2 x 5 ， B x m 1 x 2m 1 ，若 B A，求实数m 的取值范围；
变式 3 已知集合 A x 1 ax 2 , B x 2 x 2 ，是否存在实数 a满足 A B，若存在，求出 a的范围；
变式 4 已知集合 A x a 1 x a 2 ， B x 3 x 5 ，则能使 A B成立的实数 a的取值范围
是 ；
例题 2 设集合 A x x2 4x 0 , B x x2 2(a 1)x a2 1 0,a R ,如果 B A，求实数 a的取值集合；
变式 5 设 A x x2 8x 0 ， B x x2 2(a 2)x a2 4 0 ，其中 a R ，如果 B A，求实数 a的取
值范围；
1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另
一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论 A＝
和 A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
2．数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．
知识点 4：集合的运算
集合基本运算的关注点
(1)看元素组成，集合是由元素 组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn图．
【例题精讲】
例题 1 （改编自东华高级中学 18-19 学年中段考）已知 A x 1 x 2 ， B x y x .
（1）求 A B和 A B；
（2）若记符号 A B x x A且x B ，在图中把表示“集合 A B”的部分用阴影涂黑，并求出 A B .
例题 2（2020-2021光明中学期中考试）已知集合 A x 2 x 15 ，B x m 6 x 2m 1,m R .
（1）当m 2时，求 A B .（2）若 A B A，求实数 m的取值范围.
变式 1 设集合 P x 2 x 3 ，Q x 3a x a 1 ；
（1）若 P Q P，求实数 a的取值范围；
（2）若 P Q ，求实数 a的取值范围；
（3）若 P Q x 0 x 1 ，求实数 a的值；
变式 2 设集合 A x | a≤ x≤2a 1 ， B x | 2a 1≤ x≤5a 1 ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是
__________；若 A B，则实数 a的取值范围是___________．
例题 3 （山东实验中学 19-20学年第一次月考） 设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，
C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且 A∪B＝A，A∩C＝C，求实数 a，m的取值范围．
变式 3 设全集U R，集合 A x x2 3x 2 0 ， B x x2 m 1 x m 0 ；若 CU A B ，求实
数m的值；
知识点 5 集合新定义问题
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质搞清楚．
(2)寻找特殊元素，解题时要善于发现试题中可以使用集合性质的特殊元素，用好集合的性质．
例题 1 （山东省实验中学 19-20学年月考）若集合 A具有以下性质．
(1)0∈A,1∈A；
(2)若 x 1∈A，y∈A，则 x－y∈A，且 x≠0时， ∈A.
x
则称集合 A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
①集合 B＝{－1,0,1}是“好集”；
②有理数集 Q是“好集”；
③设集合 A是“好集”，若 x∈A，y∈A，则 x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
变式 1 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设 A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合 A*B 的所有元
素的和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
变式 2 设 A是整数集的一个非空子集，对于 k A，如果 k 1 A且 k 1 A，那么 k是 A的一个“孤立元”，
给定 A {1，2，3，4，5}，则 A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有 ( )
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
变式 3（2021 上海模拟）已知非空集合M 满足：对任意 x M ，总有 x2 M 且 x M ，若M {0，1，
2，3，4， 5}，则满足条件M 的个数是 ( )
A．11 B．12 C．15 D．16
变式 4 已知数集 A a1 ，a2 ， ，an 1≤ a1 a2 an ，n≥2 具有性质 P :对任意的
a
i，j 1 i j j≤ ≤ ≤ n ， aia j 与 两数中至少有一个属于 A．ai
⑴ 分别判断数集 1，3，4 与 1，2，3，6 是否具有性质 P ，并说明理由；
a a a
⑵ 证明： a1 1，且 1 2 n 1 a ．a1 a
1 a 1 n2 n
限时训练：
方法 1：数形结合法
【例题精讲】
数轴法
例题 1 已知集合 A x 1 x 0 ， B x x a ，若 A B，则实数 a的取值范围是_________；
变式 1 设集合 A x 1 x 2 ， B x x a ，若 A B ，则实数 a的取值范围是_________；
韦恩图法
例题 2 某班有 36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组；已知参加数
学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13；同时参加数学和物理小组的人有 6人，同时参加物理和化
学小组的有 4人，求同时参加数学和化学小组的人数；
变式 2某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至少有一天开车上
班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 ( )
A．8 B．7 C．6 D．5
例题 3 已知全集 U 不大于20的质数 ， M ,N 是 U 的两个子集，且满足 M CUN 3,5 ，
CUM N 7,19 ， CUM CUN 2,17 ，求集合M ,N ；
变式 3 ⑴设 A、 B 、 I 均为非空集合，且 A B I，则下列各式中错误的是( )
A． ( I A) B I B． ( I A) ( IB) I C． A ( IB) D． ( I A) ( IB) IB
⑵若全集U 1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， A 、 B 为U 的子集，且 U A B 1，9 ， A B 2 ，
U A UB 4，6，8 ，求 A、 B 和 U B ．
例题 4 已知集合 A U， B U，且 A UB ，则下列说法一定正确的是 ( )
A． A B B． A B C． B U A D． U A UB
（多选）变式 4（2021 重庆模拟）已知全集U 的两个非空真子集 A，B满足 ( U A) B B，则下列关系一
定正确的是 ( )
A． A B B． A B B C． A B U D． ( UB) A A
【专题 2】
重要知识点讲解
知识点 1：充分条件与必要条件的判定
条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若 p则 q，若 q则 p的真假．
(2)利用集合间的包含关系判断：若 A B，则 A是 B的充分条件或 B是 A的必要条件；若 A＝B，则 A
是 B的充要条件．
例题 1 设 x∈R，则“x2－3x＞0”是“x＞4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式 1 已知 a，b是实数，则“a＞0且 b＞0”是“a＋b＞0且 ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
变式 2（多选）(东华 2020第 3次周测) 使不等式1 0成立的一个充分不必要条件是（ ）
x
A. x 2 B. x 0 C. x 1或x 1 D. 1 x 0
例题 2如果对于任意实数 x, x 表示不超过 x的最大整数，那么“ x = y ”是“ x y 1成立”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式 3 已知 a、b、c、d R，则“max a,b max c,d 0 ”是“max a c,b d 0 ”的（ ）注：
max p,q 表示 p 、q之间的较大者.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【点睛】
方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：
（1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.
13
变式 4（多选）已知关于 x x2的方程 m 3 x m 0，则下列结论中正确的是（ ）
A x2．方程 m 3 x m 0有一个正根一个负根的充要条件是m m m 0
B 2．方程 x m 3 x m 0有两个正实数根的充要条件是m m 0 m 1
C 2．方程 x m 3 x m 0无实数根的充要条件是m m m 1
D 2．当 m=3时，方程 x m 3 x m 0的两个实数根之和为 0
变式 5（多选）下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ）
A．“ a，b都是偶数”是“a b是偶数”的充分不必要条件
B．“ a2 1”是“ a 1”的必要不充分条件
C．设 a，b， c R，则“ a2 b2 c2 ab bc ac ”是“ a b c ”的充要条件
D．设 a，b R，则“a 2且b 2 ”是“ a2 b2 4 ”的必要不充分条件
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 p 是q的必要不充分条件，则q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是q对应集合的真子集；
（3） p 是q的充分必要条件，则 p 对应集合与q对应集合相等；
（4） p 是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含
知识点 2：全称量词与存在量词
全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定：
(1)全称量词命题强调任意性：全称量词命题“ x∈M, p(x)”强调集合 M 中任意元素 x 都具有性质
p(x)．因此：
①要证明全称量词命题是真命题，需对集合 M中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；
②要判断全称量词命题是假命题，只要在集合 M中找到一个元素 x，使 p(x)不成立即可．
(2)存在量词命题强调存在性：存在量词命题“ x∈M，p(x)”强调集合 M中存在一个元素 x具有性质
p(x)．因此：
①要判断存在量词命题是真命题，只需在集合 M中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；
②要证明它是假命题，需对集合 M中的每一个元素 x，证明 p(x)不成立．
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（2）两种命题的否定：
全称量词命题： x∈M, p(x)，它的否定： x∈M， p(x)
存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)
例题 1 若命题“ x∈R，ax2＋x－1＞0(a≠0)”是假命题，则实数 a的取值范围是( )
A a 1 B a 1 a 0 C a 1 1． ＜－ ． ＞－ 且 ≠ ． ≥－ 且 a≠0 D．a≤－
4 4 4 4
变式 1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论 m取何实数值，方程 x2＋mx－1＝0必有实数根； (2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)p： x∈N，x2－2x＋1≤0.
知识点 3：常用逻辑用语综合性问题探究
例题 1 已知命题 p：任意 x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：存在 x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题 p与 q都是真
命题，求实数 a的取值范围．
2 2
变式 1（改编自东华高级中学 18-19学年期中测试）设命题 p：实数满足 x 4ax 3a 0(a 0)，命题
q：实数满足 2 x 3。
（1）若a 1,有命题 p， q都为真命题，求实数 x 的取值范围；
（2）若 p是 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围；
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变式 2已知命题：“ x x 1 x 1 ，都有不等式 x2 x m 成立”是真命题.
（1）求实数m的取值集合 B ； （2）设不等式 (x 3a)(x a 2) 0的解集为 A，若 x A是 x B的充
分不必要条件，求实数 a的取值范围.
【点睛】
本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的
交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次
不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.
变式 3 已知 ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是 a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
【点睛】
方法点睛：在证明充要条件时，需从充分性和必要性两个方面证明.
变式 4（1）已知命题 r : x R ax20 ，使得 0 2x0 1 0成立；若命题 r 为假命题，求实数a的取值范围；
2 2
（2）已知 p :| x 1| 2，q : x 2x 1 a 0 a 0 ，若 p 是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范
围.
16
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
命题 p 对应集合A，命题q对应的集合 B ，则
（1） p 是q的充分条件 A B； （2） p 是q的必要条件 A B；
（3） p 是q的充分必要条件 A B；
（4） p 是q的既不充分又不必要条件 集合 A,B之间没有包含关系．
变式 5 已知集合 P x∣x2 5x 4 0 ， S x∣1 m x 1 m .
（1）用区间表示集合 P；
（2）是否存在实数 m，使得 x P是 x S 的______条件.若存在实数 m，求出 m的取值范围：若不存在，
请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
【点睛】
方法点睛：
（1）若 p 是q的必要不充分条件，则q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是q对应集合的真子集；
（3） p 是q的充分必要条件，则 p 对应集合与q对应集合相等；
（4） p 是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
变式 6 已知集合 A x x2 3x 2 0 ，B x x2 ax a 1 0 ，C x x2 mx 2 0 .
（1）若命题 p：“ x B，都有 x A”为真命题，求实数 a的取值集合；
（2）若C ，且“ x A”是“ x C ”的必要条件，求实数 m的取值集合.
【点睛】
关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元
素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论．
17
附加题（东华高中 2020 第三次周测）：
1、已知 p : x2 6x+16 0，q : x2 4x 4 m2 0(m 0).
（1）若 p是真命题，求实数 x的取值范围；
（2）若 p是 q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
2 2、已知命题“ x0 x | 1 x 1 , x0 x0 m 0”是真命题.
（1）求实数m的取值范围；
（2）设不等式 (x a)(x a 2) 0的解集为 N ,若 x N是 x M 的必要条件，求实数 a的取值范围；
18【专题1】 集合中的思想与方法
重要知识点讲解
知识点1：元素与集合之间的关系
【方法讲解】
当一个集合中的元素含有字母，求解字母的值或范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验。
【例题精讲】
例题1 已知集合含有两个元素和，若，则实数的值为______；
变式1 设集合，集合，则集合中的元素个数为______．
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．在解方程求得字母的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
例题2 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．
变式2 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值．
知识点2：元素个数、集合个数的讨论
【例题精讲】
例题1 已知集合.
（1）若中只有一个元素，求的值； （2） 若中有两个元素，求的取值范围.
变式1 写出由方程的解组成的集合中的元素；
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如上面例题中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
例题2 已知集合；（1）若是单元素集合，求集合；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
变式2 已知集合.
若，求实数的值；
（2）若中只有一个元素，求的值；
（3）若中有两个元素，求的取值范围.
变式3 已知，，，且，， 中至少有一个不是空集，求实数的取值范围．
知识点3：集合与集合之间的关系
【方法讲解】
1．判断集合间关系的方法有三种：
（1）一一列举观察；
（2）集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么？弄清楚元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系；
（3）数形结合法：利用数轴或韦恩图；
2．和同时成立，则（真子集）能更准确地表示之间的关系；
【例题精讲】
判断集合之间的关系
例题1 已知集合，，试判断与的关系.
变式1 已知，，试确定和的关系；
例题2 若，，，则，，的关系是（ ）
B． C． D．
变式2（18-19学年东莞一中月考）设集合，，则( )
B． C． D．
变式3 设集合，，，则集合、、的关系是( )
B． C． D．
根据集合之间的关系求满足条件的集合
集合间关系的关键点
(1) ：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题．
【例题精讲】
例题3 根据题意，完成下列各题：
（1）满足的集合有几个；
（2）已知集合，且中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.
变式4 满足条件的集合的个数是________；
变式5 已知，集合的子集的个数是_______；
根据集合之间的关系求参数的值或范围
【方法讲解】
数形结合——数轴法
用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在教学中广泛使用，数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可以用一个点来表示，反之，数轴上任何一个点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观。因此也广泛应用于求子集的问题中。
【例题精讲】
例题1 已知集合，，且，求实数的取值范围；
变式1 若上题中，将“”改为“”，其他条件不变，则实数的取值范围是多少？
变式2 已知集合，，若，求实数的取值范围；
变式3 已知集合,，是否存在实数满足，若存在，求出的范围；
变式4 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是 ；
例题2 设集合,,如果，求实数的取值集合；
变式5 设，，其中，如果，求实数的取值范围；
1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
2．数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．
知识点4：集合的运算
集合基本运算的关注点
(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
【例题精讲】
例题1 （改编自东华高级中学18-19学年中段考）已知，.
（1）求和；
（2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出.
例题2 （2020-2021光明中学期中考试）已知集合，.
（1）当时，求.（2）若，求实数m的取值范围.
变式1 设集合，；
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的值；
变式2设集合，，若，则实数的取值范围是__________；若，则实数的取值范围是___________．
例题3 （山东实验中学19-20学年第一次月考） 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．
变式3 设全集，集合，；若，求实数的值；
知识点5 集合新定义问题
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质搞清楚．
(2)寻找特殊元素，解题时要善于发现试题中可以使用集合性质的特殊元素，用好集合的性质．
例题1 （山东省实验中学19-20学年月考）若集合A具有以下性质．
(1)0∈A,1∈A；
(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；
③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素的和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
变式2 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，2，3，4，，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
变式3（2021 上海模拟）已知非空集合满足：对任意，总有且，若，1，2，3，4，，则满足条件的个数是
A．11 B．12 C．15 D．16
变式4 已知数集具有性质对任意的，与两数中至少有一个属于．
⑴ 分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
⑵ 证明：，且．
限时训练：
方法1：数形结合法
【例题精讲】
数轴法
例题1 已知集合，，若，则实数的取值范围是_________；
变式1 设集合，，若，则实数的取值范围是_________；
韦恩图法
例题2 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组；已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13；同时参加数学和物理小组的人有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的人数；
变式2某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是
A．8 B．7 C．6 D．5
例题3 已知全集，是的两个子集，且满足，，，求集合；
变式3 ⑴设、、均为非空集合，且，则下列各式中错误的是( )
A． B． C． D．
⑵若全集，、为的子集，且，，，求、和．
例题4 已知集合，，且，则下列说法一定正确的是
A． B． C． D．
（多选）变式4（2021 重庆模拟）已知全集的两个非空真子集，满足，则下列关系一定正确的是
A． B． C． D．
【专题2】 逻辑用语典例探究
重要知识点讲解
知识点1：充分条件与必要条件的判定
条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)利用集合间的包含关系判断：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
例题1 设x∈R，则“x2－3x＞0”是“x＞4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1 已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2（多选）(东华2020第3次周测) 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
例题2如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式3 已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【点睛】
方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：
（1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.
变式4（多选）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的充要条件是
D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0
变式5（多选）下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ）
A．“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．设，，，则“”是“”的充要条件
D．设，，则“且”是“”的必要不充分条件
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
知识点2：全称量词与存在量词
全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定：
(1)全称量词命题强调任意性：全称量词命题“ x∈M, p(x)”强调集合M中任意元素x都具有性质p(x)．因此：
①要证明全称量词命题是真命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
②要判断全称量词命题是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．
(2)存在量词命题强调存在性：存在量词命题“ x∈M，p(x)”强调集合M中存在一个元素x具有性质p(x)．因此：
①要判断存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；
②要证明它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立．
两种命题的否定：
全称量词命题： x∈M, p(x)，它的否定： x∈M， p(x)
存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)
例题1 若命题“ x∈R，ax2＋x－1＞0(a≠0)”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－ B．a＞－且a≠0 C．a≥－且a≠0 D．a≤－
变式1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根； (2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)p： x∈N，x2－2x＋1≤0.
知识点3：常用逻辑用语综合性问题探究
例题1 已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．
变式1（改编自东华高级中学18-19学年期中测试）设命题：实数满足，命题：实数满足。
若,有命题都为真命题，求实数x的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
变式2已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【点睛】
本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.
变式3 已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
【点睛】
方法点睛：在证明充要条件时，需从充分性和必要性两个方面证明.
变式4（1）已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
命题对应集合，命题对应的集合，则
（1）是的充分条件； （2）是的必要条件；
（3）是的充分必要条件；
（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．
变式5 已知集合，.
（1）用区间表示集合P；
（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
【点睛】
方法点睛：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
变式6 已知集合，，.
（1）若命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值集合；
（2）若，且“”是“”的必要条件，求实数m的取值集合.
【点睛】
关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论．
附加题（东华高中2020第三次周测）：
1、已知
若是真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
2、已知命题“”是真命题.
求实数的取值范围；
设不等式的解集为,若是的必要条件，求实数的取值范围；【专题1】 集合中的思想方法
重要知识点讲解
知识点1：元素与集合之间的关系
【方法讲解】
当一个集合中的元素含有字母，求解字母的值或范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验。
【例题精讲】
例题1 已知集合含有两个元素和，若，则实数的值为______；
【答案】；
变式1 设集合，集合，则集合中的元素个数为______．
【答案】6
【解析】因为，，，
所以的可能结果有种，依次是，所以中有个元素，故答案为.
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．在解方程求得字母的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
例题2 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】(1)若a∈A，则∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
变式2 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值．
【答案】（1）0或－1； （2）1 .
【解析】(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为1.
知识点2：元素个数、集合个数的讨论
【例题精讲】
例题1 已知集合.
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2） 若中有两个元素，求的取值范围.
【答案】（1）当，即时，方程有两个相同解，即中只有一个元素.
（2）当，即时，方程有两个不同解，即中有两个元素.
变式1 写出由方程的解组成的集合中的元素；
【答案】当时，则由方程的解组成的集合中的元素为，
若，则由方程的解组成的集合中的元素为；
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如上面例题中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
例题2 已知集合；（1）若是单元素集合，求集合；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
【答案】（1）当时，；当时，；
（2）；
变式2 已知集合.
若，求实数的值；
（2）若中只有一个元素，求的值；
（3）若中有两个元素，求的取值范围.
变式3 已知，，，且，， 中至少有一个不是空集，求实数的取值范围．
【答案】．
分析：
至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：或或也就是，和取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”取，，的公共部分也就是交集，再取个补集就行．
当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．
若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房
知识点3：集合与集合之间的关系
【方法讲解】
1．判断集合间关系的方法有三种：
（1）一一列举观察；
（2）集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么？弄清楚元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系；
（3）数形结合法：利用数轴或韦恩图；
2．和同时成立，则（真子集）能更准确地表示之间的关系；
集合间的基本运算的关键点
(1) ：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题．
【例题精讲】
判断集合之间的关系
例题1 已知集合，，试判断与的关系.
【答案】（1）对于任意，，∵，∴，
∴，由子集定义知.
（2）∵，此时，即，而，因在时无解.
综合（1）、（2）知，.
变式1 已知，，试确定和的关系；
【答案】；
例题2 若，，，则，，的关系是（ ）
B． C． D．
【答案】C；
变式2（18-19学年东莞一中月考）设集合，，则( )
B． C． D．
【答案】C
变式3 设集合，，，则集合、、的关系是( )
B． C． D．
【答案】C
根据集合之间的关系求满足条件的集合
例题3 根据题意，完成下列各题：
（1）满足的集合有几个；
（2）已知集合，且中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.
【答案】（1）由可以确定集合必含有元素、，且至少含有元素，，中的一个，因此依据集合的元素个数分类如下：
含有三个元素：，，；
含有四个元素：，，；
含有五个元素：.
故满足题意的集合共有个
（2）这样的集合共有个.
∵，且中至少有一个元素为奇数，
∴当中含有个元素时，可以为；
当中含有个元素时，可以为，.
变式4 满足条件的集合的个数是________；
【答案】；
变式5 已知，集合的子集的个数是_______；
【答案】；
根据集合之间的关系求参数的值或范围
【方法讲解】
数形结合——数轴法
用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在教学中广泛使用，数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可以用一个点来表示，反之，数轴上任何一个点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观。因此也广泛应用于求子集的问题中。
【例题精讲】
例题1 已知集合，，且，求实数的取值范围；
【答案】因为，由题意知：
（1）当时，，解得；
（2）当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
变式1 若上题中，将“”改为“”，其他条件不变，则实数的取值范围是多少？
【答案】由题意知，解集为空集，所以这样的实数不存在；
变式2 已知集合，，若，求实数的取值范围；
【答案】；
变式3 已知集合,，是否存在实数满足，若存在，求出的范围；
【答案】的范围是；
变式4 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是 ；
【答案】；
例题2 设集合,,如果，求实数的取值集合；
【答案】，因为 ，所以：
（1）当为时，即，解得；
（2）当中只有一个元素时，即，解得，代入中得，满足；
（3）当中只有两个元素时，由题意知，所以，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
变式5 设，，其中，如果，求实数的取值范围；
【答案】，因为 ，所以：
（1）当为时，即，解得；
（2）当中只有一个元素时，即，解得，代入中得，满足；
（3）当中只有两个元素时，由题意知，所以，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
2．数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．
知识点4：集合的运算
集合基本运算的关注点
(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
【例题精讲】
例题1 （改编自东华高级中学18-19学年中段考）已知，.
（1）求和；
（2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出.
【参考答案】（1）
（2）
【解析】：（1）由得.即.
.
①集合如图中的阴影部分；
17题图
②由于
所以；
例题2 （2020-2021光明中学期中考试）已知集合，.
（1）当时，求.（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】
（1）时，；
；
（2）由得；
当时，有，则；
当时，有解得.
综上所述，实数m的取值范围是或.
变式1 设集合，；
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的值；
变式2设集合，，若，则实数的取值范围是__________；若，则实数的取值范围是___________．
①或；② ；
例题3 （山东实验中学19-20学年第一次月考） 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．
因为A∪B＝A，所以B A，
所以B可能为 ，{1}，{2}，{1,2}，
因为Δ＝(－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠ ，
又因为x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
所以B中一定有1，所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.
经验证a＝2，a＝3均满足题意，
又因为A∩C＝C，所以C A.所以C可能为 ，{1}，{2}，{1,2}．
当C＝ 时，方程x2－mx＋2＝0无解，
所以Δ＝m2－8＜0，所以－2＜m＜2.
当C＝{1}时，m无解；当C＝{2}时，m也无解；
当C＝{1,2}时，m＝3.
综上所述，a＝2或a＝3，－2＜m＜2或m＝3.
变式3 设全集，集合，；若，求实数的值；
知识点5 集合新定义问题
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质搞清楚．
(2)寻找特殊元素，解题时要善于发现试题中可以使用集合性质的特殊元素，用好集合的性质．
例题1 （山东省实验中学19-20学年月考）若集合A具有以下性质．
(1)0∈A,1∈A；
(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；
③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】①集合B不是，因1－(－1)＝2不在集合B中．②③对．
变式1 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素的和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】 x的取值分别是1,2，y的取值分别是0,2，则z＝0,2,4，集合A*B 3个元素的和为6.
变式2 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，2，3，4，，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【解答】解：“孤立元“是1的集合：；，3，；，4，；，3，4，；
“孤立元“是2的集合：；，4，；
“孤立元“是3的集合：；
“孤立元“是4的集合：；，2，；
“孤立元“是5的集合：；，2，；，3，；，2，3，．
共有13个；故选：．
变式3（2021 上海模拟）已知非空集合满足：对任意，总有且，若，1，2，3，4，，则满足条件的个数是
A．11 B．12 C．15 D．16
【解答】解：由题意是集合，3，4，的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的有11个，
故选：．
变式4 已知数集具有性质对任意的，与两数中至少有一个属于．
⑴ 分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
⑵ 证明：，且．
⑴ 由于与均不属于数集，所以该数集不具有性质．
由于，，，，，，，，，都属于数集，
所以该数集具有性质．
⑵ 因为具有性质，所以与中至少有一个属于．
由于，所以，故．
从而，故．
因为，所以，故．
由具有性质可知．
又因为，
所以．
从而， 故．
限时训练：
方法1：数形结合法
【例题精讲】
数轴法
例题1 已知集合，，若，则实数的取值范围是_________；
【答案】
变式1 设集合，，若，则实数的取值范围是_________；
【答案】
韦恩图法
例题2 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组；已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13；同时参加数学和物理小组的人有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的人数；
【答案】8
变式2某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为（A），（B），（C），
则（A），（B），（C），，
因为（A）（B）（C），且，，，
所以，即．
故选：．
例题3 已知全集，是的两个子集，且满足，，，求集合；
【答案】M={ 3,5,11,13}，N={7,11,13,19}
变式3 ⑴设、、均为非空集合，且，则下列各式中错误的是( )
A． B．
C． D．
⑵若全集，、为的子集，且，，，求、和．
⑴ B；
⑵ ，，．
例题4 已知集合，，且，则下列说法一定正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由集合，，且，
所以，，，．
选项正确．
故选：．
（多选）变式4（2021 重庆模拟）已知全集的两个非空真子集，满足，则下列关系一定正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，，
至少存在一个元素且或．
显然，选项，错误，选项正确．且一定有，故必然成立，选项正确，故故选：．
