首页
高中语文
高中数学
高中英语
高中物理
高中化学
高中历史
高中道德与法治(政治)
高中地理
高中生物
高中音乐
高中美术
高中体育
高中信息技术
高中通用技术
资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章复习与测试
第3讲(微专题):不等式的性质及其解法 讲义(含答案)--2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
文档属性
名称
第3讲(微专题):不等式的性质及其解法 讲义(含答案)--2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
格式
zip
文件大小
2.6MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-12-25 18:03:27
点击下载
文档简介
【专题3】 不等式的性质及其解法
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质1 对称性:;
性质2 传递性:,;
性质3 可加性:;
性质4 可乘性:,;,;
性质5 同向可加性:,;
性质6 同向可乘性:, ;
性质7 乘方法则:;
性质8 开方法则:;
2、不等式的一些常用性质
(1)若,; (2);
(3),;(4)若,,则
【基础自测】
1.(多选)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是( )
A. B.-c>-c C.> D.ac2<bc2
【答案】ABC
【解析】因为y=x在(0,+∞)上是增函数,所以a<b.因为y=-c在(0,+∞)上是减函数,所以-c>-c.因为-=>0,所以>.当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立.故选A、B、C.
2.已知-1
【答案】:(-4,2) (1,18)
【解析】∵-1
∴-4
3.下列四个命题中,为真命题的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>|b|,则a2>b2 D.若a>b,则<
【答案】 C
【解析】 当c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而2-3<1-(-1),故B不成立;a=2,b=-1时,D不成立;由a>|b|知a>0,所以a2>b2,故选C.
4.若集合,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,,,则,故答案为C。
5.若不等式ax2+bx+2>0的解为-
【答案】(-2,3)
【解析】 由题意,知-和是一元二次方程ax2+bx+2=0的两根且a<0,
所以,解得.
则不等式2x2+bx+a<0即2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2
考向一 不等式的性质
★☆☆例1.若,且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.条件没有说明两个数同号,取倒数后不等号不一定反向.
B.没有交代两个数的正负性
C.不等号两边同时一个正数,不等式仍然成立
D.可能为0
备注:.需熟练掌握不等式的常见运算性质,如取倒数,同时取平方有什么要求,以及,这种常识性结论。
★★☆练1.若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不等号两边同时乘一个数,若不知道这个数的正负,不等号也无法确定是否改变,故错误.
B.c有可能等于0
C.易得,而,故成立
D. 没有交代两个数是否同号
★☆☆例2. 如果给出下列不等式
(1) (2) (3) (4)
其中成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】(1)没有交代是否同号
(2)由三次函数在上单调递增知显然成立
(3)不知道的负号,与的大小无法判定
(4)由指数函数在上单调递增知显然成立
★☆☆练2.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.若比加上1之后都要大,那么一定会大于,反之则不成立,可自行举反例。
B.若比减 1来得大,显然不一定会大于
C.没有交代两个数的正负性
D.由三次函数在上单调递增可知显然成立,但由于反之也成立,故此时为充要条件,不符合题意。
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆例题1. 设,,那么的取值范围是( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由得,由得,∴,故选D.
★★☆练1.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.
【答案】(-π,0)
【解析】由-<α<,-<-β<,α<β,得-π<α-β<0.
★★☆例题2. 已知,且,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】,
,
∴,
∴.
★★☆练2.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.
【答案】[5,10]
【解析】
方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
于是得解得
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二 由
得
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
方法三 由确定的平面区域如图阴影部分所示,
当f(-2)=4a-2b过点A时,
取得最小值4×-2×=5,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.
★★☆例3:已知,,求与的取值范围.
【答案】,.
【解析】 因为,所以,所以,即.因为,所以,所以,又,
所以
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
★★☆练3.设设,为实数,已知,,求的取值范围.
★★☆练4.已知,,则的取值范围是
【答案】
【解析】令
则,
∴,
又,…∴①
,
∴…②
∴①②得.则.
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
;(2) ;(3) .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
(1)若,,则 ;= ; .
(2)若,,则 ;= ; .
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题1.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当不一定成立,故A错.因为,符号不确定,故B错.,所以,故C正确.D中的大小不能确定.
★★☆练习1.能得出成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】解:由得,
则当时,不等式,成立,其余不成立,故选:.
★★☆例题2:已知,比较与的大小;
【提示】
【答案】第1步:作差;
第2步:合并并分解因式;
第3步:判断各因式的符号;
因为,所以,
第4步:判断各因式乘积的符号并判断差的正负;
所以,即
★★☆练习1. (2020·浙江高一单元测试)当都为正数且时,试比较代数式与的大小.
【答案】
【解析】
因为,所以
因此
因为为正数,所以
因此,当且仅当时等号成立
★★☆练习2. 已知,,,则M与N的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
【解析】
所以;【答案】A
(二)作商
★☆☆例1. ,那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】取特殊值,此时符合,但不满足,故无法得到充分性
反之若,又不等式的性质,可得到。故前者为后者的必要不充分条件
★☆☆练习1. 如果表示两个负数,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
根据不等式的性质,两边都除以b判断出A、B,两边都除以,判断出C即可得解.
【解析】解:∵表示两个负数,
∴两边都除以b得,,
故A选项正确,B选项错误;
∵表示两个负数,
∴,
∴都除以 得,,故C选项错误;
D、只能判断出,但无法说明,故本选项错误.
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
★☆☆练习2.当,且时,与的大小.
【答案】.
①当时,即,时,,;
②当时,即,时,,.
综上所述,当,且时,.
(三)特殊值法
★★☆例1已知实数和满足,且,则下列不等式一定成立的是( )
① ② ③ ④
A.③④ B.②③ C.②④ D.①②④
【答案】C
【解析】 取
①显然错误 ②成立 ③成立。 ④成立,故排除①
再取
②成立
③成立
④不成立,故排除④
所以②④正确,选
备注:1.处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。
★☆☆练习1.若,则下列不等式中正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解答】解:令,,则正确,,,错误,故选:.
(四)综合应用
★★★例1(湖南雅礼中学2019届质检)
(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④a2>b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=+>0,
∴b>a,∴c≥b>a.
(2)方法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.
方法二 由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确;
②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,所以a->b-,故③正确;
④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,故④错误.由以上分析,知①③正确.
【变式1】.已知a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2)+<0;(3)a-c>b-d;
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2】对于实数有下列命题:①若,则;②若,则;③若,则,④若,则,⑤若,则,其中正确的是____.【答案】②③④⑤
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1.一元二次方程的解法
配方法:将方程整理成,方程的根是 .
注:系数是1和不是1时配方注意事项;系数是负数时配方注意事项.
公式法: .
因式分解:十字相乘法: .
2.一元二次方程根的判别()
△>0,方程有两个不相等的实数根;
△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
一元二次方程的两个根是和,则+= ; .= .
二、一元二次函数
二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
二次函数的性质
当时,抛物线开口 ,当时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: (,,为常数,),需要三个坐标点;
(2)顶点式:(,,为常数,),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: (为常数,且),二次函数的零点为,.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式,形如(或,或,或),其中.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
或 ()
第2步:求出相应的一元二次方程的根.
第3步:利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实数根x1,x2(x1<x2) 有两相等实数根x1=x2=- 没有实数根
一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R
一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
题型1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
【答案】(1)(2).
【解析】(1)因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,
所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实根x1=4-,x2=4+.
又二次函数y=-x2+8x-3的图象开口向下,
所以原不等式的解集为{x|4-
(2)方法一:≤0等价于①或②
解①得-
所以原不等式的解集为.
方法二:不等式≤0
所以由二次不等式知所以-
变式1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
[解] (1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,
即(3x-4)(x+2)≤0,解得-2≤x≤,所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
借助于数轴,如图所示,
原不等式的解集为.
题型2 含参不等式的分类讨论
例题5解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;
当<-1,即-2
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为;
当-2<a<0时,不等式的解集为;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式1求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪.
变式2 ax2-(a+1)x+1<0.
解题过程:若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.
若a<0,原不等式等价于(x-)(x-1)>0,解得x<或x>1.
若a>0,原不等式等价于(x-)(x-1)<0.
①当a=1时,=1,(x-)(x-1)<0无解;
②当a>1时,<1,解(x-)(x-1)<0得
③当0
1,
解(x-)(x-1)<0得1
综上所述:当a<0时,解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,解集为{x|x>1};当0
1时,解集为{x|
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
题型3 三个二次之间的关系
【典例2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
A. B. C.{x|-2
1}
解:由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的两根,且a<0.
由韦达定理得
所以不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0.解得-1<x<.故选B.
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
【变式1】(1)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
解:(Ⅰ)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得
解得
(Ⅱ)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,
即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当c>2时,不等式的解集为{x|2
②当c<2时,不等式的解集为{x|c
③当c=2时,不等式的解集为 .
题型4 根的分布
【例题1】(1)若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.
解析 由题意得,解得0<m≤1.
答案 0<m≤1
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程ax2-(a+2)x+1=0在上恰有一个零点,则不等式y>1的解集为________.
解:根据题意有f(-2)f(-1)<0,
所以(6a+5)(2a+3)<0.所以-
又a∈Z,所以a=-1.检验知合要求.
不等式f(x)>1即为-x2-x+1>1,解得-1
故填{x|-1<x<0}.
变式3 关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】ABC.
【解析】设f(x)=x2﹣6x+a,其图象是开口向上,对称轴是x=3的抛物线,如图所示;
若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则
,即,
解得5<a≤8,又a∈Z,
所以a=6,7,8.
故选:ABC.
变式4 (2018·云南模拟)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是的子集,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:原不等式等价于(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1
题型5 一元二次不等式的恒成立问题
例题6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0对一切x∈R恒成立.
当a≠2时,则
即解得-2<a<2.
∴实数a的取值范围是(-2,2].
例题6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式对于一切恒成立,则的最小值( )
A.0 B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,等价于a≥-x-对于一切成立,
∵y=-x-在区间上是增函数
∴,∴a≥-,∴a的最小值为-故答案为C.
例题6-3若对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围。
【解析】由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m
=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
所以
解得x<1或x>3.
故x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
变式1设关于的不等式0的解集是,则实数的取值范围是( )
A.或1 B.1
C.1 D.1或
变式2函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,
∴实数a的取值范围是[-6,2].
(2)对于任意x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立.
即x2+ax+3-a≥0对任意x∈[-2,2]恒成立,
令g(x)=x2+ax+3-a.
则有①Δ≤0或②
或③
解①得-6≤a≤2,
解②得a∈ ,
解③得-7≤a<-6.综上可知,实数a的取值范围为[-7,2].
变式3已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,
得f(-1)=x2-5x+6>0,
且f(1)=x2-3x+2>0即可,
解不等式组得x<1或x>3.
变式4 (2019·凤城市第一中学)则的范围是___;则的范围是_______
【答案】
【解析】
令,
对,,,
,即;
,即.
故答案为:;
【题型优化测训】
1、a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________.
【答案】a<0<b
【解析】若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,即<;若ab>0,则>.
所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.
2、若<<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2
|a+b|
【答案】D
【解析】 ∵<<0,∴b
a2,ab
3、若集合,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,,所以,解得。
4、关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
【答案】C
【解析】关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化为(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|1
5、若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值是( )
A.0 B.-2 C.- D.-3
【答案】C
【解析】由于x∈,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,
则a≥-,x∈时恒成立,
令g(x)=x+,x∈,
易知g(x)在上是减函数,则y=-g(x)在上是增函数.
∴y=-g(x)的最大值是-=-.因此a≥-,则a的最小值为-.
6、对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
【答案】D
【解析】当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;
当a-2≠0,即a≠2时,
则有
解得-2
7、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
【答案】{x|-3≤x≤1}
【解析】(x+3)(1-x)≥0 (x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
8、已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.
【答案】(2,3)
【解析】由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的两根,
所以由根与系数的关系得
解得
不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).
9、若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为________.
【答案】(-3,0]
【解析】当k=0时,显然成立;
当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则解得-3
10.(一题两空)设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)<0的解集是(1,5),则f(x)=________;若对于任意x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t有解,则实数t的取值范围为________.
【答案】2x2-12x+10 [-10,+∞)
【解析】由题意知1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-=6,=5,解得b=-12,c=10,所以f(x)=2x2-12x+10.不等式f(x)≤2+t在x∈[1,3]时有解,等价于2x2-12x+8≤t在x∈[1,3]时有解,只要t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设g(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)≥g(3)=-10,所以t≥-10.【专题3】 不等式的性质及其解法
【基础自测】
1.(多选)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是( )
A. B.-c>-c C.> D.ac2<bc2
2.已知-1
3.下列四个命题中,为真命题的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>|b|,则a2>b2 D.若a>b,则<
4.若集合,则=( )
A. B. C. D.
5.若不等式ax2+bx+2>0的解为-
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质1 对称性:;
性质2 传递性:,;
性质3 可加性:;
性质4 可乘性:,;,;
性质5 同向可加性:,;
性质6 同向可乘性:, ;
性质7 乘方法则:;
性质8 开方法则:;
2、不等式的一些常用性质
(1)若,; (2);
(3),;(4)若,,则
考向一 不等式的性质
★☆☆例1.若,且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
★★☆练1.若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
★☆☆例2. 如果给出下列不等式
(1) (2) (3) (4)
其中成立的是( )
A. B. C. D.
★☆☆练2.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆例题1. 设,,那么的取值范围是( )
A B. C. D.
★★☆练1.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.
★★☆例题2. 已知,且,则的取值范围是 .
★★☆练2.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.
★★☆例3:已知,,求与的取值范围.
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
★★☆练3.设设,为实数,已知,,求的取值范围.
★★☆练4.已知,,则的取值范围是
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
;(2) ;(3) .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
(1)若,,则 ;= ; .
(2)若,,则 ;= ; .
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题1.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
★★☆练习1.能得出成立的是
A. B. C. D.
★★☆例题2:已知,比较与的大小;
【提示】
★★☆练习1. (2020·浙江高一单元测试)当都为正数且时,试比较代数式与的大小.
★★☆练习2. 已知,,,则M与N的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
(二)作商
★☆☆例1. ,那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
★☆☆练习1. 如果表示两个负数,且,则( )
A. B. C. D.
★☆☆练习2.当,且时,与的大小.
(三)特殊值法
★★☆例1已知实数和满足,且,则下列不等式一定成立的是( )
① ② ③ ④
A.③④ B.②③ C.②④ D.①②④
★☆☆练习1.若,则下列不等式中正确的是
A. B. C. D.
(四)综合应用
★★★例1(湖南雅礼中学2019届质检)
(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④a2>b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【变式1】.已知a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2)+<0;(3)a-c>b-d;
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2】对于实数有下列命题:①若,则;②若,则;③若,则,④若,则,⑤若,则,其中正确的是____.
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1.一元二次方程的解法
配方法:将方程整理成,方程的根是 .
注:系数是1和不是1时配方注意事项;系数是负数时配方注意事项.
公式法: .
因式分解:十字相乘法: .
2.一元二次方程根的判别()
△>0,方程有两个不相等的实数根;
△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
一元二次方程的两个根是和,则+= ; .= .
二、一元二次函数
二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
二次函数的性质
当时,抛物线开口 ,当时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: (,,为常数,),需要三个坐标点;
(2)顶点式:(,,为常数,),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: (为常数,且),二次函数的零点为,.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式,形如(或,或,或),其中.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
或 ()
第2步:求出相应的一元二次方程的根.
第3步:利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实数根x1,x2(x1<x2) 有两相等实数根x1=x2=- 没有实数根
一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R
一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
题型1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
变式1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
题型2 含参不等式的分类讨论
例题5解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式1求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集 变式2 ax2-(a+1)x+1<0.
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
题型3 三个二次之间的关系
【典例2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
A. B. C.{x|-2
1}
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
【变式1】(1)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
题型4 根的分布
【例题1】(1)若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程ax2-(a+2)x+1=0在上恰有一个零点,则不等式y>1的解集为________.
变式3 关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
变式4 (2018·云南模拟)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是的子集,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型5 一元二次不等式的恒成立问题
例题6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
例题6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式对于一切恒成立,则的最小值( )
A.0 B. C. D.
例题6-3若对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围。
变式1设关于的不等式0的解集是,则实数的取值范围是( )
A.或1 B.1 C.1 D.1或
变式2函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
变式3已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
变式4 (2019·凤城市第一中学)则的范围是___;则的范围是_______
【题型优化测训】
1、a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________.
2、若<<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2
|a+b|
3、若集合,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4、关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
5、若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值是( )
A.0 B.-2 C.- D.-3
6、对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
7、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
8、已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.
9、若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为________.
10.(一题两空)设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)<0的解集是(1,5),则f(x)=________;若对于任意x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t有解,则实数t的取值范围为________.【专题 3】
【基础自测】
1.(多选)设 b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是( )
A. 1 1
a+2
B.1 c 1- > -c C. a> D.ac2<2 bc
2
a b 2 a b b+2 b
2.已知-1
3.下列四个命题中,为真命题的是( )
A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d
C.若 a>|b| 1 1,则 a2>b2 D.若 a>b,则 <
a b
x 2
4.若集合 A x | 0 ,B x | 1 x 2 ,则 A B=( )
x 1
A.[ 2, 2) B. ( 1,1] C. 1,1 D. 1,2
5. 1若不等式 ax2+bx+2>0的解为-
2 3
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质 1 对称性: a b b a;
性质 2 传递性: a b,b c a c;
性质 3 可加性: a b a c b c;
性质 4 可乘性: a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc;
性质 5 同向可加性: a b, c d a c b d;
性质 6 同向可乘性: a b 0, c d 0 ac bd;
性质 7 乘方法则:a b 0 a n b n ;
性质 8 开方法则:a b 0 n a n b ;
2、不等式的一些常用性质
(1)若 a b,ab 0 1 1 1 1 ; (2) a 0 b ;
a b a b
(3) a b 0 0 c d a b, ;(4)若a b 0,m 0 b b m,则
c d a a m
1
考向一 不等式的性质
★☆☆例 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式成立的是( )
A. 1 1 a b B. a2 b2 C. 2 D. a c b ca b c 1 c2 1
★★☆练 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式一定成立的是( )
2
A. ac bc B. c 0 C. a b c2 0 D. 1 1
a b a b
★☆☆例 2. 如果 a b给出下列不等式
(1) 1 1 (2) a3 b3 (3) a2 1 b2 1 (4) 2a ab
a b
其中成立的是( )
A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)
★☆☆练 2.下面四个条件中,使 a b成立的充分而不必要的条件是( )
A. a b 1 B. a b 1 C. a2 b2 D. a3 b3
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆ 例题 1. 设 0, , [0, ],那么 2 的取值范围是( )
2 2 3
(0, 5 ) 5 A B.( , ) C. (0, ) D. ( , )
6 6 6 6
★★☆ 1 π练 .若- <α<β<π,则α-β的取值范围是________.
2 2
2
★★☆例题 2. 已知-1 x+y 4,且 2 x-y 3,则 z=2x-3y的取值范围是 .
★★☆练 2.设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________.
★★☆例 3:已知10 m 25,-30 m n -15,求m n与 的取值范围.
n
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个
选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性
质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
a2 a3
★★☆练 3.设设 a,b为实数,已知3 ab 2 4, 2 3,求 4 的取值范围.b b
y
★★☆练 4.已知 1 x y 1,1 x y 3 1,则8x 的取值范围是
2
3
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
(1) a b 0 ;(2) a b 0 ;(3) a b 0 .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
a a a
(1)若 a 0,b >0,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
a a a
(2)若 a 0,b 0,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法
判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题 1.设 a,b是非零实数,若 a b,则下列不等式成立的是( )
2 2
A.a b B. ab2 ba2 1 1 b aC.
ab2
D.
a2b a b
★★☆ 1 1练习 1.能得出 成立的是 ( )
a b
A. b 0 a B.b a 0 C. a 0 b D. a b 0
★★☆例题 2:已知 x 1,比较 x 3 1与 2x 2 2x 的大小;
立方和公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【提示】
3 3 2 2
立方差公式:a b a b a ab b
4
★★☆练习 1. (2020·浙江高一单元测试)当 p,q都为正数且 p q 1时,试比较代数式 ( px qy)2 与
px2 qy2的大小.
★★☆练习 2. 已知 x, y R , M x 2 y2 1, N x y xy ,则 M与 N的大小关系是( )
A. M N B. M N C. M N D. 不能确定
(二)作商
★☆☆例 1. a,b R ,那么“ a 1”是“ a b 0 ”的( )
b
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
★☆☆练习 1. 如果 a,b表示两个负数,且 a b,则( )
A. a 1 B. b 1 C. 1 1 D. ab 1
b a a b
★☆☆练习 2.当 a 0,b 0且 a b时, aabb与abba的大小.
(三)特殊值法
★★☆例 1 已知实数 a和 b满足 a b c ,且 ac 0,则下列不等式一定成立的是( )
2
① b c ② ab a 0 ③
b a
④
a c
0
a a c c c ac
A.③④ B.②③ C.②④ D.①②④
5
★☆☆练习 1.若 a b 0,则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A. B. | b | | a | b aC. 2 D. ab b2
b a a b
(四)综合应用
★★★例 1(湖南雅礼中学 2019 届质检)
(1)已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
1
(2) 1 1 0 1 1 1若 < < ,给出下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④a2>b2.其中正确的不等式
a b a+b ab a b
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【变式 1 a b】.已知 a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d;
d c
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2 2
【变式 2】对于实数 a,b,c有下列命题:①若 a b,则 ac bc;②若 ac bc ,则 a b;③若 a b 0,
a2则 ab b2 c a b 0 a b a b, 1 1 ,④若 ,则 ,⑤若 ,则 a 0,b 0,其中正确的是____.
c a c b a b
6
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1 2.一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的解法
(1 2)配方法:将方程整理成 (x p) q,方程的根是 .
2 2
注: x 系数是 1和不是 1时配方注意事项; x 系数是负数时配方注意事项.
2
(2)公式法: ( b 4ac 0).
(3 2)因式分解:十字相乘法: x ( p q)x pq 0 .
2.一元二次方程根的判别( b2 4ac)
(1)△>0,方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
(3)△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的两个根是 x1和 x2,则 x1+ x2= ; x1 . x2= .
二、一元二次函数
1 2.二次函数的概念:一般地,形如 y ax bx c ( a,b,c是常数, a 0)的函数,叫做二次函数。
2 2.二次函数 y ax bx c 的性质
当 a 0 时,抛物线开口 ,当 a 0 时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: ( a,b, c为常数, a 0),需要三个坐标点;
2
(2)顶点式: y a(x h) k ( a, h, k为常数, a 0),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: ( a为常数,且 a 0),二次函数的零点为 x1, x2.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫作一元二次不等式,形
如 ax2 bx c 0(或 0,或 0,或 0),其中 a 0.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第 1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
ax2 bx c 2> 0或 ax bx c < 0 ( a> 0 )
第 2步:求出相应的一元二次方程的根.
第 3步:利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
7
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx
+c(a>0)的图象
一元二次方程 有两相等实数根 x1=
有两相异实数根 x1,
ax2+bx+c=0 b 没有实数根
x2(x1<x2) x2=-
(a>0)的根 2a
一元二次不等式
ax2
b
+bx+c>0 {x|x<x1或 x>x2} xx≠- R2a
(a>0)的解集
一元二次不等式
ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2}
(a>0)的解集
题型 1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题 4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
变式 1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
8
题型 2 含参不等式的分类讨论
例题 5解关于 x的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式 1求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集 变式 2 ax2-(a+1)x+1<0.
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不
易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二
次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
9
题型 3 三个二次之间的关系
【典例 2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式 ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
则不等式 2x2+bx+a<0的解集为( )
x|x< 1-1或 x> x|-1
A. 2 B. 2 C.{x|-2
1}
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以
求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则
可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相
互联系,并在一定条件下相互转换.
【变式 1】(1)已知不等式 ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或 x>b}.
(Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
题型 4 根的分布
【例题 1】(1)若方程 x2+(m -3)x+m=0有两个正实根,则 m的取值范围是________.
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数 y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程 ax2-(a+2)x+1=0在 2 x 1上恰
有一个零点,则不等式 y>1的解集为________.
变式 3 关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有 3个整数,则 a的取值可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10
变式 4 (2018·云南模拟)若关于 x的不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是 x | 4 x 3 的子集,则 a的取
值范围是( )
A. 4 a 1 B. 4 a 3 C.1 a 3 D. 1 a 3
题型 5 一元二次不等式的恒成立问题
例题 6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切 x∈R恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.a 2 B. 2 a 2 C. 2 a 2 D.a 2
1
例题 6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式 x2 ax 1 0对于一切 x 0, 恒成立,则 a的最小值( ) 2
5
A.0 B. 2 C. D. 3
2
例题 6-3若对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求 x的取值范围。
2 2
变式 1设关于 x的不等式 (a 1)x (a 1)x 1<0的解集是 R,则实数 a的取值范围是( )
a 3 a 3 3 3A. < 或 >1 B. < a <1 C. < a 1 D. < a 1或 a 1
5 5 5 5
变式 2函数 f(x)=x2+ax+3.
(1)当 x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围;
(2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围.
11
变式 3已知 a∈[-1,1]时不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则 x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
变式 4(2019·凤城市第一中学) x [0,3],a x2 2x 5,则 a的范围是___; x [0,3],a x 2 2x 5, 则
a的范围是_______
【题型优化测训】
1 1 1、a,b∈R,a<b和 < 同时成立的条件是________.
a b
2 1 1、若 < <0,则下列结论不正确的是( )
a b
A.a2
|a+b|
3、若集合 A {x | x 3 2a}, B {x | (x a 1)(x a) 0}, A B R,则 a 的取值范围为( )
4 4
A.[2, ) B. ( , 2] C. , D. ,
3 3
4、关于 x的不等式 ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于 x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
0 1,
5、若不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈ 2 恒成立,则 a的最小值是( )
A.0 B.-2 C. 5- D.-3
2
6、对于任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
7、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
1 1
- ,-
8、已知不等式 ax2-bx-1≥0的解集是 2 3 ,则不等式 x2-bx-a<0的解集为________.
9 3、若不等式 2kx2+kx- <0对一切实数 x都成立,则 k的取值范围为________.
8
10.(一题两空)设函数 f(x)=2x2+bx+c,若不等式 f(x)<0的解集是(1,5),则 f(x)=________;若对于任意 x
∈[1,3],不等式 f(x)≤2+t有解,则实数 t的取值范围为________.
12【专题 3】
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质 1 对称性: a b b a;
性质 2 传递性: a b,b c a c;
性质 3 可加性: a b a c b c;
性质 4 可乘性: a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc;
性质 5 同向可加性: a b, c d a c b d;
性质 6 同向可乘性: a b 0, c d 0 ac bd;
性质 7 乘方法则:a b 0 a n b n ;
性质 8 开方法则:a b 0 n a n b ;
2、不等式的一些常用性质
1 1 1 1
(1)若 a b,ab 0 ; (2) a 0 b ;
a b a b
(3) a b 0,0 c d a b ;(4)若a b 0,m 0 b b m,则
c d a a m
【基础自测】
1.(多选)设 b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是( )
A 1 1 B.1 c 1 c C.a+2 a. - > - > D.ac2<bc2
a 2 b 2 a b b+2 b
【答案】ABC
y x 1 (0 ∞) a1 b1. y 1 c (0 ∞) 1【解析】因为 = 在 ,+ 上是增函数,所以 < 因为 = - 在 ,+ 上是减函数,所以 -c
2 2 2 x a
1 a +2 a 2 b-a a+2c. a> - 因为 - = >0,所以 > .当 c=0时,ac2=bc2,所以 D不成立.故选 A、B、C.
b b+2 b b+2 b b+2 b
2.已知-1
【答案】:(-4,2) (1,18)
【解析】∵-1
∴-4
3.下列四个命题中,为真命题的是( )
A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d
1
C.若 a>|b|,则 a2>b2 D.若 a>b 1 1,则 <
a b
【答案】 C
【解析】 当 c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而 2-3<1-(-1),故 B不成立;a=2,b=-1时,D不
成立;由 a>|b|知 a>0,所以 a2>b2,故选 C.
4.若集合 A x |
x 2
0 ,B x | 1 x 2 ,则 A B=( )
x 1
A.[ 2, 2) B. ( 1,1] C. 1,1 D. 1,2
【答案】C
x 2
【解析】由题意, A x | 0 x | 2 x 1 , B {x | 1 x 2},则 A B {x | 1 x 1},
x 1
故答案为 C。
5.若不等式 ax2+bx+2>0 1的解为-
2 3
【答案】(-2,3)
1 1
【解析】 由题意,知- 和 是一元二次方程 ax2+bx+2=0的两根且 a<0,
2 3
1 1 b
- + =-
2 3 a a=-12
所以 1×1 2 ,解得 b 2 .- = =-
2 3 a
则不等式 2x2+bx+a<0即 2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2
考向一 不等式的性质
★☆☆例 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式成立的是( )
A. 1 1 B. 2 2 C. a b a b D. a c b c
a b c2 1 c2 1
【答案】C
【解析】A.条件没有说明两个数同号,取倒数后不等号不一定反向.
B.没有交代两个数的正负性
C.不等号两边同时一个正数,不等式仍然成立
D. c 可能为 0
备注:.需熟练掌握不等式的常见运算性质,如取倒数,同时取平方有什么要求,以及 c 0 , c2 1 0这种
常识性结论。
2
★★☆练 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式一定成立的是( )
2
A. 1 1ac bc B. c 0 C. a b c2 0 D.
a b a b
【答案】C
【解析】A.不等号两边同时乘一个数,若不知道这个数的正负,不等号也无法确定是否改变,故错误.
B.c 有可能等于 0
C. a b易得 a b 0,而 c2 0,故成立
D. 没有交代两个数是否同号
★☆☆例 2. 如果 a b给出下列不等式
(1) 1 1 (2) a3 b3 (3) a2 1 b2 1 (4) 2a ab
a b
其中成立的是( )
A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)
【答案】D
【解析】(1)没有交代 a,b是否同号
(2)由三次函数 y x3 在 R上单调递增知显然成立
(3)不知道 a,b的负号, a2 与 b2的大小无法判定
(4)由指数函数 y 2x 在 R上单调递增知显然成立
★☆☆练 2.下面四个条件中,使 a b成立的充分而不必要的条件是( )
A. a b 1 B. a b 1 C. a2 b2 D. a3 b3
【答案】A
【解析】A.若 a比 b加上 1 之后都要大,那么 a一定会大于 b,反之则不成立,可自行举反例。
B.若 a比 b减 1 来得大,显然 a不一定会大于 b
C.没有交代两个数的正负性
D.由三次函数 y x3 在 R上单调递增可知显然成立,但由于反之也成立,故此时为充要条件,不符合题意。
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆
例题 1. 设 0, , [0, ],那么 2 的取值范围是( )
2 2 3
3
(0, 5 ) 5 A B.( , ) C. (0, ) D. ( , )
6 6 6 6
【答案】D
【解析】由 0,
得0<2 < ,由 [0,
] 得 0,∴ 2 ,故选 D.
2 2 6 3 6 3
★★☆ π练 1.若- <α<β<π,则α-β的取值范围是________.
2 2
【答案】(-π,0)
π<α<π π π【解析】由- ,- <-β< ,α<β,得-π<α-β<0.
2 2 2 2
★★☆例题 2. 已知-1 x+y 4,且 2 x-y 3,则 z=2x-3y的取值范围是 .
【答案】3 z 8
【解析】 z=2x-3y=-(x+y)+(x-y),
2 -(x+y) ,5 (x-y) ,
∴3 -(x+y)+(x-y) 8,
∴ z的取值范围是 z | 3 z 8 .
★★☆练 2.设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________.
【答案】[5,10]
【解析】
方法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
m+n=4, m=3,
于是得 解得
n-m=-2, n=1.
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故 5≤f(-2)≤10.
f(-1)=a-b,
方法二 由
f(1)=a+b,
4
a 1= [f(-1)+f(1)],
2
得
b 1= [f(1)-f(-1)],
2
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
1≤a-b≤2,
方法三 由 确定的平面区域如图阴影部分所示,
2≤a+b≤4
3 1
,
当 f(-2)=4a-2b过点 A 2 2 时,
4×3 2×1取得最小值 - =5,
2 2
当 f(-2)=4a-2b过点 B(3,1)时,
取得最大值 4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.
m
★★☆例 3:已知10 m 25,-30 n -15,求m n与 的取值范围.
n
【答案】 25 m 5 m 1 n 55, .
3 n 3
【解析】 因为-30 n -15,所以15 -n 30,所以10+15 m-n 25+30,即 25 m-n 55 .
因为-30 1 1 1 1 1 1 n -15,所以 ,所以 ,又10 m 25,
15 n 30 15 n 30
5 m 1
所以
3 n 3
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个
选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性
质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
a2 a3
★★☆练 3.设设 a,b为实数,已知3 ab 2 4, 2 3,求 4 的取值范围.b b
1 y
★★☆ 练 4.已知 1 x y 1,1 x y 3,则8x 的取值范围是
2
5
【答案】 2,2
7
【解析】令3x y s x y t x y s t x s t y
s t 3
则 ,
s t 1
s 1
∴ ,
t 2
又 1 x y 1,…∴①
1 x y 3,
∴ 2 2 x y 6…②
y
∴① ②得1 3x y 7 1 .则8x 2
3x y 7
2
2,2 .
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
(1) a b 0 ;(2) a b 0 ;(3) a b 0 .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
(1)若 a 0,b >0 a a a,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
a a a
(2)若 a 0,b 0,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法
判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题 1.设 a,b是非零实数,若 a b,则下列不等式成立的是( )
a2 b2 2 2 1 1 b aA. B. ab ba C. 2 2 D. ab a b a b
【答案】C
6
【解析】当 a 0,b 0时,a 2 b 2 2 2不一定成立,故 A 错.因为 b a 0,ab a b ab(b a) ,
b a 0 ab 1 1 a b 0 1 1 b a- , 符号不确定,故 B 错. ,所以 ,故 C 正确.D 中 与 的
ab2 a2b a2b2 ab2 a2b a b
大小不能确定.
★★☆ 1 1练习 1.能得出 成立的是 ( )
a b
A. b 0 a B.b a 0 C. a 0 b D. a b 0
【答案】D
1 1 1 1 b a
【解答】解:由 得 0,
a b a b ab
b a
则当 a b 0时,不等式 0,成立,其余不成立,故选: D.
ab
★★☆例题 2:已知 x 1,比较 x 3 1与 2x 2 2x 的大小;
立方和公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【提示】
立方差公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【答案】第 1步:作差;
2x 2 2x x 3 1
第 2步:合并并分解因式;
2x x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 2 2 2x x x 1 x 1 x x 1
第 3步:判断各因式的符号;
2
x 2
1
x 1 x 2 x
1 1 3
1
x 0
4
4 2 4
因为 x 1,所以 x 1 0 ,
第 4步:判断各因式乘积的符号并判断差的正负;
所以 x 1 x 2 x 1 0,即 2x 2 2x x 3 1
★★☆练习 1. (2020·浙江高一单元测试)当 p,q都为正数且 p q 1时,试比较代数式 ( px qy)2 与
px2 qy2的大小.
【答案】 ( px qy)2 px2 qy2
【解析】 px qy 2 px2 qy2 p p 1 x2 q q 1 y2 2pqxy
因为 p q 1,所以 p 1 q,q 1 p
7
px qy 2 px2 qy2 pq x2 2因此 y 2xy pq x y 2
因为 p,q为正数,所以 pq x y 2 0
px qy 2因此 px2 qy2,当且仅当 x y时等号成立
★★☆练习 2. 已知 x, y R , M x 2 y2 1, N x y xy ,则 M与 N的大小关系是( )
A. M N B. M N C. M N D. 不能确定
【解析】 M N x 2 y2 1 x y xy
x 2 y2 1 x y xy
1
x 2 2xy y2 1 2 1 x 2x 1 y2 2y 1
2 2 2
1
2 1 1x y 2 2x 1 y 1 0
2 2 2
所以 M N ;【答案】A
(二)作商
★☆☆例 1. a,b R ,那么“ a 1”是“ a b 0 ”的( )
b
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】取特殊值 a 2,b 1,此时符合 a 1,但不满足 a b 0 ,故无法得到充分性
b
反之若 a b 0 ,又不等式的性质,可得到 a 1。故前者为后者的必要不充分条件
b
★☆☆练习 1. 如果 a,b表示两个负数,且 a b,则( )
A. a b 1 1 1 B. 1 C. D. ab 1
b a a b
【答案】A
根据不等式的性质,两边都除以 b 判断出 A、B,两边都除以 ab,判断出 C 即可得解.
【解析】解:∵ a、b表示两个负数,
a
∴ a<b两边都除以 b 得, 1 ,
b
故 A 选项正确,B 选项错误;
8
∵ a、b表示两个负数,
∴ ab 0,
1 1
∴ a b都除以 ab 得, ,故 C 选项错误;
a b
D、只能判断出 ab 0,但无法说明 ab 1,故本选项错误.
故选 A.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不
2 2
变.(2)不等 b a 式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)
c c
同一个负数,不等号的方向改变.
★☆☆练习 2.当 a 0,b 0且 a b时, aabb与abba的大小.
aabb 1 a b a b
aa bbb a aa b a 【答案】 .
abba b b
a a b 0a b 0 a b 0 1 a a ①当 时,即 , 时, 1,b a
abb abba;
b b
a b 0
②当b a 0时,即 a b 0 0 a 1 a a , 时, a b b a
b
1, a b a b .
b b
综上所述,当 a 0,b 0且 a b时, aabb abba .
(三)特殊值法
★★☆例 1 已知实数 a和 b满足 a b c ,且 ac 0,则下列不等式一定成立的是( )
① b c ② ab a
2 b a a c
0 ③ ④ 0
a a c c c ac
A.③④ B.②③ C.②④ D.①②④
【答案】C
【解析】 取 a 2,b 1,c 1
1 1 2 4
① 显然错误 ② 0 1 4 3成立 ③ 成立。 ④ 0成立,故排除①
2 2 1 1 1 2
再取 a 1,b 2,c 1
2 1
② 0成立
1
4 1
③ 成立
1 1
9
3
④ 0不成立,故排除④
1
所以②④正确,选C
备注:1.处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取
另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。
★☆☆练习 1.若 a b 0,则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A. B. | b | | a | b aC. 2 D. ab b2
b a a b
【答案】C
【解答】解:令 b 1, a 2,则C正确, A, B,D错误,故选:C.
(四)综合应用
★★★例 1(湖南雅礼中学 2019 届质检)
(1)已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
1 1 1(2)若 < <0 1 1 1,给出下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④a2>b2.其中正确的不等式
a b a+b ab a b
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又 b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
a 1
2
-
b a a2 a 1 2 3∴ - = - + = + >0,
4
∴b>a,∴c≥b>a.
(2) 1 1方法一 因为 < <0,故可取 a=-1,b=-2.
a b
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为 ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.
综上所述,可排除 A,B,D.
1 1 1 1
方法二 由 < <0,可知 b<a<0.①中,因为 a+b<0,ab 1 1>0,所以 <0, >0.故有 < ,即
a b a+b ab a+b ab
①正确;
②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
10
1 1
③中,因为 b<a<0,又 < <0 1 1 0 a 1 b 1,则- >- > ,所以 - > - ,故③正确;
a b a b a b
④中,因为 b<a<0,根据 y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得 b2>a2>0,故④错误.由以上分析,知①③
正确.
【变式 1】.已知 a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2 a b) + <0;(3)a-c>b-d;
d c
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式 2】对于实数 a,b,c有下列命题:①若 a b 2 2,则 ac bc;②若 ac bc ,则 a b;③若 a b 0,
a2 ab b2 c a b 0 a b 1 1则 ,④若 ,则 ,⑤若 a b, ,则 a 0,b 0,其中正确的是____.
c a c b a b
【答案】②③④⑤
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1 2.一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的解法
2
(1)配方法:将方程整理成 (x p) q,方程的根是 .
x2注: 系数是 1和不是 1 2时配方注意事项; x 系数是负数时配方注意事项.
(2)公式法: ( b2 4ac 0).
(3)因式分解:十字相乘法: x2 ( p q)x pq 0 .
2 2.一元二次方程根的判别( b 4ac)
(1)△>0,方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
(3)△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的两个根是 x1和 x2,则 x1+ x2= ; x1 . x2= .
二、一元二次函数
1 y ax2.二次函数的概念:一般地,形如 bx c ( a,b,c是常数, a 0)的函数,叫做二次函数。
2 2.二次函数 y ax bx c 的性质
当 a 0 时,抛物线开口 ,当 a 0 时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: ( a,b, c为常数, a 0),需要三个坐标点;
11
(2 2)顶点式: y a(x h) k ( a, h, k为常数, a 0),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: ( a为常数,且 a 0),二次函数的零点为 x1, x2.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫作一元二次不等式,形
2
如 ax bx c 0(或 0,或 0,或 0),其中 a 0.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第 1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
ax2 bx c > 0 2或 ax bx c < 0 ( a> 0 )
第 2步:求出相应的一元二次方程的根.
第 3步:利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx
+c(a>0)的图象
一元二次方程 有两相等实数根 x1=
有两相异实数根 x1,
ax2+bx+c=0 b 没有实数根
x2(x1<x2) x2=-
(a>0)的根 2a
一元二次不等式
b
ax2+bx+c>0 {x|x<x1或 x>x2} xx≠- R2a
(a>0)的解集
一元二次不等式
ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2}
(a>0)的解集
题型 1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题 4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
【答案】(1) (2) .
【解析】(1)因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,
12
所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实根 x1=4- 13,x2=4+ 13.
又二次函数 y=-x2+8x-3的图象开口向下,
所以原不等式的解集为{x|4- 13
(2)方法一: ≤0等价于 ①或 ②
解①得-
所以原不等式的解集为 .
方法二:不等式 ≤0
所以由二次不等式知 所以-
变式 1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
[解] (1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,
|-2≤x≤4
即(3x-4)(x+2)≤0,解得-2≤x≤4 3,所以原不等式的解集为 x .
3
x2-x-2>0, x2-x-2>0, x>2或 x<-1,
(2)原不等式等价于 x2-x-2≤4 x2-x-6≤0 -2≤x≤3.
借助于数轴,如图所示,
{x|-2≤x<-1或 2<x≤3}
原不等式的解集为 .
题型 2 含参不等式的分类讨论
例题 5解关于 x的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0.
①当 a=0时,原不等式化为 x+1≤0,解得 x≤-1.
x 2-
②当 a>0时,原不等式化为 a (x+1)≥0,
x≥2解得 或 x≤-1.
a
13
x 2-
③当 a<0时,原不等式化为 a (x+1)≤0.
2 2
当 >-1,即 a<-2时,解得-1≤x≤ ;
a a
2
当 =-1,即 a=-2时,解得 x=-1满足题意;
a
2 2
当 <-1,即-2
a a
综上所述,当 a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
x|x≥2或 x≤-1
当 a>0时,不等式的解集为 a ;
2≤x≤-1
当-2<a<0时,不等式的解集为 x|a ;
x|-1≤x≤2
当 a=-2时,不等式的解集为{-1};当 a<-2时,不等式的解集为 a .
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式 1求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为 12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
a a
解得 x1=- ,x2= .
4 3
∞ a a- ,- ,+∞
当 a>0时,不等式的解集为 4 ∪ 3 ;
当 a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
-∞ a a, - ,+∞
当 a<0时,不等式的解集为 3 ∪ 4 .
变式 2 ax2-(a+1)x+1<0.
解题过程:若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1.
14
若 a<0 1,原不等式等价于(x- )(x-1)>0 1,解得 x< 或 x>1.
a a
若 a>0 1,原不等式等价于(x- )(x-1)<0.
a
1 1
①当 a=1时, =1,(x- )(x-1)<0无解;
a a
a>1 1<1 (x 1②当 时, ,解 - )(x-1)<0 1得
a a a
1
③当 0
1,
a
解(x 1- )(x-1)<0得 1
a a
综上所述:当 a<0 1时,解集为{x|x< 或 x>1};
a
当 a=0时,解集为{x|x>1};当 0
1时,解集为{x|
a a
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不
易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二
次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
题型 3 三个二次之间的关系
【典例 2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式 ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
则不等式 2x2+bx+a<0的解集为( )
x|x<-1或 x>1 x|-1
A. 2 B. 2 C.{x|-2
1}
解:由题意知 x=-1,x=2是方程 ax2+bx+2=0的两根,且 a<0.
-1+2 b=- ,
a a=-1,
由韦达定理得
1 2 2
(- )× = b=1.
a
所以不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2+x-1<0. 1解得-1<x< .故选 B.
2
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以
求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则
可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相
互联系,并在一定条件下相互转换.
15
【变式 1】(1)已知不等式 ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或 x>b}.
(Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
解:(Ⅰ)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1或 x>b},所以 x1=1与 x2=b是方程 ax2-3x+2=0的两
个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,得
1 b 3+ = ,
a a=1,
解得
1 2×b= . b=2.
a
(Ⅱ)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,
即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当 c>2时,不等式的解集为{x|2
②当 c<2时,不等式的解集为{x|c
③当 c=2时,不等式的解集为 .
题型 4 根的分布
【例题 1】(1)若方程 x2+(m -3)x+m=0有两个正实根,则 m的取值范围是________.
Δ= m-3 2-4m≥0,
解析 由题意得, x1+x2=3-m>0, 解得 0<m≤1.
x1x2=m>0,
答案 0<m≤1
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数 y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程 ax2-(a+2)x+1=0在 2 x 1上恰
有一个零点,则不等式 y>1的解集为________.
解:根据题意有 f(-2)f(-1)<0,
(6a 5)(2a 3)<0. 3所以 + + 所以-
2 6
又 a∈Z,所以 a=-1.检验知合要求.
不等式 f(x)>1 即为-x2-x+1>1,解得-1
故填{x|-1<x<0}.
变式 3 关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有 3个整数,则 a的取值可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】ABC.
【解析】设 f(x)=x2﹣6x+a,其图象是开口向上,对称轴是 x=3的抛物线,如图所示;
16
若关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有 3个整数,则
,即 ,
解得 5<a≤8,又 a∈Z,
所以 a=6,7,8.
故选:ABC.
变式 4 (2018·云南模拟)若关于 x的不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是 x | 4 x 3 的子集,则 a的取
值范围是( )
A. 4 a 1 B. 4 a 3 C.1 a 3 D. 1 a 3
解:原不等式等价于(x-a)(x-1)≤0,当 a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要 a≥-4即可,即-4≤a<1;
当 a=1时,不等式的解为 x=1,此时符合要求;当 a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要 a≤3即可,
即 1
题型 5 一元二次不等式的恒成立问题
例题 6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切 x∈R恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.a 2 B. 2 a 2 C. 2 a 2 D.a 2
【答案】C
【解析】当 a-2=0,即 a=2时,不等式为-4<0对一切 x∈R恒成立.
a-2<0,
当 a≠2时,则
Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0,
a-2<0,
即 解得-2<a<2.
a2<4,
∴实数 a的取值范围是(-2,2].
1
例题 6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式 x2 ax 1 0对于一切 x 0, 恒成立,则 a的最小值( ) 2
5
A.0 B. 2 C. D. 3
2
【答案】C
1 1 1
【解析】不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈(0, ]成立,等价于 a≥-x- 对于一切 x 0, 成立,2 x 2
1 1
∵y=-x- 在区间 0, 上是增函数x 2
x 1 1 5
5 5
∴ 2 ,∴a≥- ,∴a的最小值为- 故答案为 C.
x 2 2 2 2
17
例题 6-3若对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求 x的取值范围。
【解析】由 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m
=(x-2)m+x2-4x+4,
令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0,
所以
g(1)=(x-2)+x2-4x+4>0,
解得 x<1或 x>3.
故 x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
2 2
变式 1设关于 x的不等式 (a 1)x (a 1)x 1<0的解集是 R,则实数 a的取值范围是( )
A. a 3 3< 或 a >1 B. < a <1
5 5
3 3
C. < a 1 D. < a 1或a 1
5 5
变式 2函数 f(x)=x2+ax+3.
(1)当 x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围;
(2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围.
解:(1)∵当 x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即 a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,
∴实数 a的取值范围是[-6,2].
(2)对于任意 x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立.
即 x2+ax+3-a≥0对任意 x∈[-2,2]恒成立,
令 g(x)=x2+ax+3-a.
Δ>0,
a
则有①Δ≤0 - <-2,或② 2
g -2 =7-3a≥0
Δ>0,
a
- >2,
或③ 2
g 2 =7+a≥0.
解①得-6≤a≤2,
18
解②得 a∈ ,
解③得-7≤a<-6.综上可知,实数 a的取值范围为[-7,2].
变式 3已知 a∈[-1,1]时不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则 x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于 a的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由 f(a)>0对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,
得 f(-1)=x2-5x+6>0,
且 f(1)=x2-3x+2>0即可,
x2-5x+6>0,
解不等式组 得 x<1或 x>3.
x2-3x+2>0,
变式 4(2019·凤城市第一中学) x [0,3],a x2 2x 5,则 a的范围是___; x [0,3],a x 2 2x 5, 则
a的范围是_______
【答案】[8, ) [4, )
【解析】
令 f (x) x2 2x 5 (x 1)2 4 ,
对 x [0,3], f (x)max f (3) 8, f (x)min f (1) 4,
x [0,3], a x2 2x 5即 a f (x)max 8;
x [0,3], a x2 2x 5即a f (x)min 4.
故答案为:[8, );[4, )
【题型优化测训】
1、a,b 1 1∈R,a<b和 < 同时成立的条件是________.
a b
【答案】a<0<b
【解析】若 ab<0,由 a b 1 1 1 1 1 1< 两边同除以 ab得, > ,即 < ;若 ab>0,则 > .
b a a b a b
a b 1 1所以 < 和 < 同时成立的条件是 a<0<b.
a b
2 1<1、若 <0,则下列结论不正确的是( )
a b
19
A.a2
|a+b|
【答案】D
1 1
【解析】 ∵ < <0,∴b
a2,ab
a b
b|,故 D错误.
3、若集合 A {x | x 3 2a}, B {x | (x a 1)(x a) 0}, A B R,则 a 的取值范围为( )
[2, ) ( , 2] , 4 4A. B. C. D. ,
3 3
【答案】D
【解析】因为 A {x | x 3 2a} B {x | x a或x a 1} 4, A B R,所以3 2a a 1,解得 a 。
3
4、关于 x的不等式 ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于 x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
【答案】C
b
【解析】关于 x的不等式 ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且- =1,∴关于 x的不等式(ax+b)(x-2)<0
a
x b+
可化为 a (x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|1
0 1,
5、若不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈ 2 恒成立,则 a的最小值是( )
A.0 B.-2 C. 5- D.-3
2
【答案】C
0 1,
【解析】由于 x∈ 2 ,若不等式 x2+ax+1≥0恒成立,
x 1 1+ 0,
则 a≥- x ,x∈ 2 时恒成立,
0 1,
令 g(x) x 1= + ,x∈ 2 ,
x
0 1 0 1, ,
易知 g(x)在 2 上是减函数,则 y=-g(x)在 2 上是增函数.
1
+2
∴y=-g(x) 5的最大值是- 2 =- .因此 a≥ 5 5- ,则 a的最小值为- .
2 2 2
6、对于任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
【答案】D
20
【解析】当 a-2=0,即 a=2时,-4<0恒成立;
当 a-2≠0,即 a≠2时,
a-2<0,
则有 Δ=[-2(a-2)]2-4×(a-2)×(-4)<0,
解得-2
7、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
【答案】{x|-3≤x≤1}
【解析】(x+3)(1-x)≥0 (x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
1 1
- ,-
8、已知不等式 ax2-bx-1≥0的解集是 2 3 ,则不等式 x2-bx-a<0的解集为________.
【答案】(2,3)
1 1
【解析】由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0的两根,
2 3
1
1 - b
- + 3 = ,
2 a
所以由根与系数的关系得 11 -
- × 3 1=- .
2 a
a=-6,
解得 b=5,
不等式 x2-bx-a<0即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3).
9 3、若不等式 2kx2+kx- <0对一切实数 x都成立,则 k的取值范围为________.
8
【答案】(-3,0]
【解析】当 k=0时,显然成立;
k<0,
3
当 k≠0 3时,即一元二次不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x都成立,则 - 解得-
8 Δ=k2-4×2k× 8 <0,
3
8
10.(一题两空)设函数 f(x)=2x2+bx+c,若不等式 f(x)<0的解集是(1,5),则 f(x)=________;若对于任意 x
∈[1,3],不等式 f(x)≤2+t有解,则实数 t的取值范围为________.
【答案】2x2-12x+10 [-10,+∞)
b c
【解析】由题意知 1和 5是方程 2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,- =6, =5,解得 b=
2 2
-12,c=10,所以 f(x)=2x2-12x+10.不等式 f(x)≤2+t在 x∈[1,3]时有解,等价于 2x2-12x+8≤t在 x∈[1,3]
21
时有解,只要 t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设 g(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则 g(x)在[1,3]上单调递减,所
以 g(x)≥g(3)=-10,所以 t≥-10.
22
点击下载
同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
点击下载
VIP下载