第3讲(微专题):不等式的性质及其解法 讲义(含答案)--2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

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名称 第3讲(微专题):不等式的性质及其解法 讲义(含答案)--2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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文件大小 2.6MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-25 18:03:27

文档简介

【专题3】 不等式的性质及其解法
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质1 对称性:;
性质2 传递性:,;
性质3 可加性:;
性质4 可乘性:,;,;
性质5 同向可加性:,;
性质6 同向可乘性:, ;
性质7 乘方法则:;
性质8 开方法则:;
2、不等式的一些常用性质
(1)若,; (2);
(3),;(4)若,,则
【基础自测】
1.(多选)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是(  )
A. B.-c>-c C.> D.ac2<bc2
【答案】ABC 
【解析】因为y=x在(0,+∞)上是增函数,所以a<b.因为y=-c在(0,+∞)上是减函数,所以-c>-c.因为-=>0,所以>.当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立.故选A、B、C.
2.已知-1【答案】:(-4,2) (1,18)
【解析】∵-1∴-43.下列四个命题中,为真命题的是(  )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>|b|,则a2>b2 D.若a>b,则<
【答案】 C
【解析】 当c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而2-3<1-(-1),故B不成立;a=2,b=-1时,D不成立;由a>|b|知a>0,所以a2>b2,故选C.
4.若集合,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,,,则,故答案为C。
5.若不等式ax2+bx+2>0的解为-【答案】(-2,3) 
【解析】 由题意,知-和是一元二次方程ax2+bx+2=0的两根且a<0,
所以,解得.
则不等式2x2+bx+a<0即2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2考向一 不等式的性质
★☆☆例1.若,且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.条件没有说明两个数同号,取倒数后不等号不一定反向.
B.没有交代两个数的正负性
C.不等号两边同时一个正数,不等式仍然成立
D.可能为0
备注:.需熟练掌握不等式的常见运算性质,如取倒数,同时取平方有什么要求,以及,这种常识性结论。
★★☆练1.若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不等号两边同时乘一个数,若不知道这个数的正负,不等号也无法确定是否改变,故错误.
B.c有可能等于0
C.易得,而,故成立
D. 没有交代两个数是否同号
★☆☆例2. 如果给出下列不等式
(1) (2) (3) (4)
其中成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】(1)没有交代是否同号
(2)由三次函数在上单调递增知显然成立
(3)不知道的负号,与的大小无法判定
(4)由指数函数在上单调递增知显然成立
★☆☆练2.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.若比加上1之后都要大,那么一定会大于,反之则不成立,可自行举反例。
B.若比减 1来得大,显然不一定会大于
C.没有交代两个数的正负性
D.由三次函数在上单调递增可知显然成立,但由于反之也成立,故此时为充要条件,不符合题意。
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆例题1. 设,,那么的取值范围是( )
A B. C. D.
【答案】D 
【解析】由得,由得,∴,故选D.
★★☆练1.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.
【答案】(-π,0)
【解析】由-<α<,-<-β<,α<β,得-π<α-β<0.
★★☆例题2. 已知,且,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】,

∴,
∴.
★★☆练2.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.
【答案】[5,10]
【解析】
方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
于是得解得
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二 由

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
方法三 由确定的平面区域如图阴影部分所示,
当f(-2)=4a-2b过点A时,
取得最小值4×-2×=5,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.
★★☆例3:已知,,求与的取值范围.
【答案】,.
【解析】 因为,所以,所以,即.因为,所以,所以,又,
所以
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
★★☆练3.设设,为实数,已知,,求的取值范围.
★★☆练4.已知,,则的取值范围是
【答案】
【解析】令
则,
∴,
又,…∴①

∴…②
∴①②得.则.
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
;(2) ;(3) .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
(1)若,,则 ;= ; .
(2)若,,则 ;= ; .
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题1.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当不一定成立,故A错.因为,符号不确定,故B错.,所以,故C正确.D中的大小不能确定.
★★☆练习1.能得出成立的是  
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】解:由得,
则当时,不等式,成立,其余不成立,故选:.
★★☆例题2:已知,比较与的大小;
【提示】
【答案】第1步:作差;
第2步:合并并分解因式;
第3步:判断各因式的符号;
因为,所以,
第4步:判断各因式乘积的符号并判断差的正负;
所以,即
★★☆练习1. (2020·浙江高一单元测试)当都为正数且时,试比较代数式与的大小.
【答案】
【解析】
因为,所以
因此
因为为正数,所以
因此,当且仅当时等号成立
★★☆练习2. 已知,,,则M与N的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
【解析】
所以;【答案】A
(二)作商
★☆☆例1. ,那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】取特殊值,此时符合,但不满足,故无法得到充分性
反之若,又不等式的性质,可得到。故前者为后者的必要不充分条件
★☆☆练习1. 如果表示两个负数,且,则(  )
A. B. C. D.
【答案】A
根据不等式的性质,两边都除以b判断出A、B,两边都除以,判断出C即可得解.
【解析】解:∵表示两个负数,
∴两边都除以b得,,
故A选项正确,B选项错误;
∵表示两个负数,
∴,
∴都除以 得,,故C选项错误;
D、只能判断出,但无法说明,故本选项错误.
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
★☆☆练习2.当,且时,与的大小.
【答案】.
①当时,即,时,,;
②当时,即,时,,.
综上所述,当,且时,.
(三)特殊值法
★★☆例1已知实数和满足,且,则下列不等式一定成立的是( )
  ①  ②  ③  ④
A.③④  B.②③  C.②④  D.①②④
【答案】C
【解析】 取
①显然错误 ②成立 ③成立。 ④成立,故排除①
再取
②成立
③成立
④不成立,故排除④
所以②④正确,选
备注:1.处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。
★☆☆练习1.若,则下列不等式中正确的是  
A. B. C. D.
【答案】C
【解答】解:令,,则正确,,,错误,故选:.
(四)综合应用
★★★例1(湖南雅礼中学2019届质检)
(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④a2>b2.其中正确的不等式是(  )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=+>0,
∴b>a,∴c≥b>a.
(2)方法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.
方法二 由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确;
②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,所以a->b-,故③正确;
④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,故④错误.由以上分析,知①③正确.
【变式1】.已知a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2)+<0;(3)a-c>b-d;
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2】对于实数有下列命题:①若,则;②若,则;③若,则,④若,则,⑤若,则,其中正确的是____.【答案】②③④⑤
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1.一元二次方程的解法
配方法:将方程整理成,方程的根是 .
注:系数是1和不是1时配方注意事项;系数是负数时配方注意事项.
公式法: .
因式分解:十字相乘法: .
2.一元二次方程根的判别()
△>0,方程有两个不相等的实数根;
△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
一元二次方程的两个根是和,则+= ; .= .
二、一元二次函数
二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
二次函数的性质
当时,抛物线开口 ,当时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: (,,为常数,),需要三个坐标点;
(2)顶点式:(,,为常数,),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: (为常数,且),二次函数的零点为,.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式,形如(或,或,或),其中.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
或 ()
第2步:求出相应的一元二次方程的根.
第3步:利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实数根x1,x2(x1<x2) 有两相等实数根x1=x2=- 没有实数根
一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R
一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
题型1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
【答案】(1)(2).
【解析】(1)因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,
所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实根x1=4-,x2=4+.
又二次函数y=-x2+8x-3的图象开口向下,
所以原不等式的解集为{x|4-(2)方法一:≤0等价于①或②
解①得-所以原不等式的解集为.
方法二:不等式≤0
所以由二次不等式知所以-变式1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
[解] (1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,
即(3x-4)(x+2)≤0,解得-2≤x≤,所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
借助于数轴,如图所示,
原不等式的解集为.
题型2 含参不等式的分类讨论
例题5解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;
当<-1,即-2综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为;
当-2<a<0时,不等式的解集为;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式1求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪.
变式2 ax2-(a+1)x+1<0.
解题过程:若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.
若a<0,原不等式等价于(x-)(x-1)>0,解得x<或x>1.
若a>0,原不等式等价于(x-)(x-1)<0.
①当a=1时,=1,(x-)(x-1)<0无解;
②当a>1时,<1,解(x-)(x-1)<0得③当01,
解(x-)(x-1)<0得1综上所述:当a<0时,解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,解集为{x|x>1};当01时,解集为{x|含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
题型3 三个二次之间的关系
【典例2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1A. B. C.{x|-21}
解:由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的两根,且a<0.
由韦达定理得
所以不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0.解得-1<x<.故选B.
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
【变式1】(1)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
解:(Ⅰ)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得
解得
(Ⅱ)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,
即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当c>2时,不等式的解集为{x|2②当c<2时,不等式的解集为{x|c③当c=2时,不等式的解集为 .
题型4 根的分布
【例题1】(1)若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.
解析 由题意得,解得0<m≤1.
答案 0<m≤1
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程ax2-(a+2)x+1=0在上恰有一个零点,则不等式y>1的解集为________.
解:根据题意有f(-2)f(-1)<0,
所以(6a+5)(2a+3)<0.所以-又a∈Z,所以a=-1.检验知合要求.
不等式f(x)>1即为-x2-x+1>1,解得-1故填{x|-1<x<0}.
变式3 关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】ABC.
【解析】设f(x)=x2﹣6x+a,其图象是开口向上,对称轴是x=3的抛物线,如图所示;
若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则
,即,
解得5<a≤8,又a∈Z,
所以a=6,7,8.
故选:ABC.
变式4 (2018·云南模拟)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是的子集,则a的取值范围是(  )
A. B. C. D.
解:原不等式等价于(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1题型5 一元二次不等式的恒成立问题
例题6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.    B. C. D.
【答案】C
【解析】当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0对一切x∈R恒成立.
当a≠2时,则
即解得-2<a<2.
∴实数a的取值范围是(-2,2].
例题6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式对于一切恒成立,则的最小值( )
A.0 B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,等价于a≥-x-对于一切成立,
∵y=-x-在区间上是增函数
∴,∴a≥-,∴a的最小值为-故答案为C.
例题6-3若对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围。
【解析】由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m
=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
所以
解得x<1或x>3.
故x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
变式1设关于的不等式0的解集是,则实数的取值范围是( )
A.或1 B.1
C.1 D.1或
变式2函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,
∴实数a的取值范围是[-6,2].
(2)对于任意x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立.
即x2+ax+3-a≥0对任意x∈[-2,2]恒成立,
令g(x)=x2+ax+3-a.
则有①Δ≤0或②
或③
解①得-6≤a≤2,
解②得a∈ ,
解③得-7≤a<-6.综上可知,实数a的取值范围为[-7,2].
变式3已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(  )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,
得f(-1)=x2-5x+6>0,
且f(1)=x2-3x+2>0即可,
解不等式组得x<1或x>3.
变式4 (2019·凤城市第一中学)则的范围是___;则的范围是_______
【答案】
【解析】
令,
对,,,
,即;
,即.
故答案为:;
【题型优化测训】
1、a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________.
【答案】a<0<b
【解析】若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,即<;若ab>0,则>.
所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.
2、若<<0,则下列结论不正确的是(  )
A.a2|a+b|
【答案】D
【解析】 ∵<<0,∴ba2,ab3、若集合,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,,所以,解得。
4、关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是(  )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
【答案】C 
【解析】关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化为(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|15、若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值是(  )
A.0 B.-2 C.- D.-3
【答案】C
【解析】由于x∈,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,
则a≥-,x∈时恒成立,
令g(x)=x+,x∈,
易知g(x)在上是减函数,则y=-g(x)在上是增函数.
∴y=-g(x)的最大值是-=-.因此a≥-,则a的最小值为-.
6、对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
【答案】D
【解析】当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;
当a-2≠0,即a≠2时,
则有
解得-27、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
【答案】{x|-3≤x≤1}
【解析】(x+3)(1-x)≥0 (x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
8、已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.
【答案】(2,3)
【解析】由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的两根,
所以由根与系数的关系得
解得
不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).
9、若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为________.
【答案】(-3,0]
【解析】当k=0时,显然成立;
当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则解得-310.(一题两空)设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)<0的解集是(1,5),则f(x)=________;若对于任意x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t有解,则实数t的取值范围为________.
【答案】2x2-12x+10 [-10,+∞)
【解析】由题意知1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-=6,=5,解得b=-12,c=10,所以f(x)=2x2-12x+10.不等式f(x)≤2+t在x∈[1,3]时有解,等价于2x2-12x+8≤t在x∈[1,3]时有解,只要t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设g(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)≥g(3)=-10,所以t≥-10.【专题3】 不等式的性质及其解法
【基础自测】
1.(多选)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是(  )
A. B.-c>-c C.> D.ac2<bc2
2.已知-13.下列四个命题中,为真命题的是(  )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>|b|,则a2>b2 D.若a>b,则<
4.若集合,则=( )
A. B. C. D.
5.若不等式ax2+bx+2>0的解为-【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质1 对称性:;
性质2 传递性:,;
性质3 可加性:;
性质4 可乘性:,;,;
性质5 同向可加性:,;
性质6 同向可乘性:, ;
性质7 乘方法则:;
性质8 开方法则:;
2、不等式的一些常用性质
(1)若,; (2);
(3),;(4)若,,则
考向一 不等式的性质
★☆☆例1.若,且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
★★☆练1.若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
★☆☆例2. 如果给出下列不等式
(1) (2) (3) (4)
其中成立的是( )
A. B. C. D.
★☆☆练2.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆例题1. 设,,那么的取值范围是( )
A B. C. D.
★★☆练1.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.
★★☆例题2. 已知,且,则的取值范围是 .
★★☆练2.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.
★★☆例3:已知,,求与的取值范围.
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
★★☆练3.设设,为实数,已知,,求的取值范围.
★★☆练4.已知,,则的取值范围是
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
;(2) ;(3) .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
(1)若,,则 ;= ; .
(2)若,,则 ;= ; .
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题1.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是(  )
A. B. C. D.
★★☆练习1.能得出成立的是  
A. B. C. D.
★★☆例题2:已知,比较与的大小;
【提示】
★★☆练习1. (2020·浙江高一单元测试)当都为正数且时,试比较代数式与的大小.
★★☆练习2. 已知,,,则M与N的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
(二)作商
★☆☆例1. ,那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
★☆☆练习1. 如果表示两个负数,且,则(  )
A. B. C. D.
★☆☆练习2.当,且时,与的大小.
(三)特殊值法
★★☆例1已知实数和满足,且,则下列不等式一定成立的是( )
  ①  ②  ③  ④
A.③④  B.②③  C.②④  D.①②④
★☆☆练习1.若,则下列不等式中正确的是  
A. B. C. D.
(四)综合应用
★★★例1(湖南雅礼中学2019届质检)
(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④a2>b2.其中正确的不等式是(  )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【变式1】.已知a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2)+<0;(3)a-c>b-d;
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2】对于实数有下列命题:①若,则;②若,则;③若,则,④若,则,⑤若,则,其中正确的是____.
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1.一元二次方程的解法
配方法:将方程整理成,方程的根是 .
注:系数是1和不是1时配方注意事项;系数是负数时配方注意事项.
公式法: .
因式分解:十字相乘法: .
2.一元二次方程根的判别()
△>0,方程有两个不相等的实数根;
△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
一元二次方程的两个根是和,则+= ; .= .
二、一元二次函数
二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
二次函数的性质
当时,抛物线开口 ,当时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: (,,为常数,),需要三个坐标点;
(2)顶点式:(,,为常数,),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: (为常数,且),二次函数的零点为,.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式,形如(或,或,或),其中.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
或 ()
第2步:求出相应的一元二次方程的根.
第3步:利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实数根x1,x2(x1<x2) 有两相等实数根x1=x2=- 没有实数根
一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R
一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
题型1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
变式1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
题型2 含参不等式的分类讨论
例题5解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式1求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集 变式2 ax2-(a+1)x+1<0.
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
题型3 三个二次之间的关系
【典例2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1A. B. C.{x|-21}
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
【变式1】(1)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
题型4 根的分布
【例题1】(1)若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程ax2-(a+2)x+1=0在上恰有一个零点,则不等式y>1的解集为________.
变式3 关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
变式4 (2018·云南模拟)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是的子集,则a的取值范围是(  )
A. B. C. D.
题型5 一元二次不等式的恒成立问题
例题6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.    B. C. D.
例题6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式对于一切恒成立,则的最小值( )
A.0 B. C. D.
例题6-3若对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围。
变式1设关于的不等式0的解集是,则实数的取值范围是( )
A.或1 B.1 C.1 D.1或
变式2函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
变式3已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(  )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
变式4 (2019·凤城市第一中学)则的范围是___;则的范围是_______
【题型优化测训】
1、a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________.
2、若<<0,则下列结论不正确的是(  )
A.a2|a+b|
3、若集合,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4、关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是(  )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
5、若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值是(  )
A.0 B.-2 C.- D.-3
6、对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
7、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
8、已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.
9、若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为________.
10.(一题两空)设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)<0的解集是(1,5),则f(x)=________;若对于任意x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t有解,则实数t的取值范围为________.【专题 3】
【基础自测】
1.(多选)设 b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是( )
A. 1 1
a+2
B.1 c 1- > -c C. a> D.ac2<2 bc
2
a b 2 a b b+2 b
2.已知-13.下列四个命题中,为真命题的是( )
A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d
C.若 a>|b| 1 1,则 a2>b2 D.若 a>b,则 <
a b
x 2
4.若集合 A x | 0 ,B x | 1 x 2 ,则 A B=( )
x 1
A.[ 2, 2) B. ( 1,1] C. 1,1 D. 1,2
5. 1若不等式 ax2+bx+2>0的解为- 2 3
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质 1 对称性: a b b a;
性质 2 传递性: a b,b c a c;
性质 3 可加性: a b a c b c;
性质 4 可乘性: a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc;
性质 5 同向可加性: a b, c d a c b d;
性质 6 同向可乘性: a b 0, c d 0 ac bd;
性质 7 乘方法则:a b 0 a n b n ;
性质 8 开方法则:a b 0 n a n b ;
2、不等式的一些常用性质
(1)若 a b,ab 0 1 1 1 1 ; (2) a 0 b ;
a b a b
(3) a b 0 0 c d a b, ;(4)若a b 0,m 0 b b m,则
c d a a m
1
考向一 不等式的性质
★☆☆例 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式成立的是( )
A. 1 1 a b B. a2 b2 C. 2 D. a c b ca b c 1 c2 1
★★☆练 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式一定成立的是( )
2
A. ac bc B. c 0 C. a b c2 0 D. 1 1
a b a b
★☆☆例 2. 如果 a b给出下列不等式
(1) 1 1 (2) a3 b3 (3) a2 1 b2 1 (4) 2a ab
a b
其中成立的是( )
A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)
★☆☆练 2.下面四个条件中,使 a b成立的充分而不必要的条件是( )
A. a b 1 B. a b 1 C. a2 b2 D. a3 b3
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】

★☆☆ 例题 1. 设 0, , [0, ],那么 2 的取值范围是( )
2 2 3
(0, 5 ) 5 A B.( , ) C. (0, ) D. ( , )
6 6 6 6
★★☆ 1 π练 .若- <α<β<π,则α-β的取值范围是________.
2 2
2
★★☆例题 2. 已知-1 x+y 4,且 2 x-y 3,则 z=2x-3y的取值范围是 .
★★☆练 2.设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________.
★★☆例 3:已知10 m 25,-30 m n -15,求m n与 的取值范围.
n
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个
选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性
质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
a2 a3
★★☆练 3.设设 a,b为实数,已知3 ab 2 4, 2 3,求 4 的取值范围.b b
y
★★☆练 4.已知 1 x y 1,1 x y 3 1,则8x 的取值范围是
2
3
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
(1) a b 0 ;(2) a b 0 ;(3) a b 0 .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
a a a
(1)若 a 0,b >0,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
a a a
(2)若 a 0,b 0,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法
判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题 1.设 a,b是非零实数,若 a b,则下列不等式成立的是( )
2 2
A.a b B. ab2 ba2 1 1 b aC.
ab2
D.
a2b a b
★★☆ 1 1练习 1.能得出 成立的是 ( )
a b
A. b 0 a B.b a 0 C. a 0 b D. a b 0
★★☆例题 2:已知 x 1,比较 x 3 1与 2x 2 2x 的大小;
立方和公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【提示】
3 3 2 2
立方差公式:a b a b a ab b
4
★★☆练习 1. (2020·浙江高一单元测试)当 p,q都为正数且 p q 1时,试比较代数式 ( px qy)2 与
px2 qy2的大小.
★★☆练习 2. 已知 x, y R , M x 2 y2 1, N x y xy ,则 M与 N的大小关系是( )
A. M N B. M N C. M N D. 不能确定
(二)作商
★☆☆例 1. a,b R ,那么“ a 1”是“ a b 0 ”的( )
b
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
★☆☆练习 1. 如果 a,b表示两个负数,且 a b,则( )
A. a 1 B. b 1 C. 1 1 D. ab 1
b a a b
★☆☆练习 2.当 a 0,b 0且 a b时, aabb与abba的大小.
(三)特殊值法
★★☆例 1 已知实数 a和 b满足 a b c ,且 ac 0,则下列不等式一定成立的是( )
2
① b c ② ab a 0 ③
b a

a c
0
a a c c c ac
A.③④ B.②③ C.②④ D.①②④
5
★☆☆练习 1.若 a b 0,则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A. B. | b | | a | b aC. 2 D. ab b2
b a a b
(四)综合应用
★★★例 1(湖南雅礼中学 2019 届质检)
(1)已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
1
(2) 1 1 0 1 1 1若 < < ,给出下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④a2>b2.其中正确的不等式
a b a+b ab a b
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【变式 1 a b】.已知 a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d;
d c
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2 2
【变式 2】对于实数 a,b,c有下列命题:①若 a b,则 ac bc;②若 ac bc ,则 a b;③若 a b 0,
a2则 ab b2 c a b 0 a b a b, 1 1 ,④若 ,则 ,⑤若 ,则 a 0,b 0,其中正确的是____.
c a c b a b
6
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1 2.一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的解法
(1 2)配方法:将方程整理成 (x p) q,方程的根是 .
2 2
注: x 系数是 1和不是 1时配方注意事项; x 系数是负数时配方注意事项.
2
(2)公式法: ( b 4ac 0).
(3 2)因式分解:十字相乘法: x ( p q)x pq 0 .
2.一元二次方程根的判别( b2 4ac)
(1)△>0,方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
(3)△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的两个根是 x1和 x2,则 x1+ x2= ; x1 . x2= .
二、一元二次函数
1 2.二次函数的概念:一般地,形如 y ax bx c ( a,b,c是常数, a 0)的函数,叫做二次函数。
2 2.二次函数 y ax bx c 的性质
当 a 0 时,抛物线开口 ,当 a 0 时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: ( a,b, c为常数, a 0),需要三个坐标点;
2
(2)顶点式: y a(x h) k ( a, h, k为常数, a 0),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: ( a为常数,且 a 0),二次函数的零点为 x1, x2.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫作一元二次不等式,形
如 ax2 bx c 0(或 0,或 0,或 0),其中 a 0.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第 1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
ax2 bx c 2> 0或 ax bx c < 0 ( a> 0 )
第 2步:求出相应的一元二次方程的根.
第 3步:利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
7
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx
+c(a>0)的图象
一元二次方程 有两相等实数根 x1=
有两相异实数根 x1,
ax2+bx+c=0 b 没有实数根
x2(x1<x2) x2=-
(a>0)的根 2a
一元二次不等式
ax2
b
+bx+c>0 {x|x<x1或 x>x2} xx≠- R2a
(a>0)的解集
一元二次不等式
ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2}
(a>0)的解集
题型 1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题 4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
变式 1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
8
题型 2 含参不等式的分类讨论
例题 5解关于 x的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式 1求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集 变式 2 ax2-(a+1)x+1<0.
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不
易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二
次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
9
题型 3 三个二次之间的关系
【典例 2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式 ax2+bx+2>0的解集为{x|-1则不等式 2x2+bx+a<0的解集为( )
x|x< 1-1或 x> x|-1A. 2 B. 2 C.{x|-21}
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以
求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则
可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相
互联系,并在一定条件下相互转换.
【变式 1】(1)已知不等式 ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或 x>b}.
(Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
题型 4 根的分布
【例题 1】(1)若方程 x2+(m -3)x+m=0有两个正实根,则 m的取值范围是________.
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数 y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程 ax2-(a+2)x+1=0在 2 x 1上恰
有一个零点,则不等式 y>1的解集为________.
变式 3 关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有 3个整数,则 a的取值可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10
变式 4 (2018·云南模拟)若关于 x的不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是 x | 4 x 3 的子集,则 a的取
值范围是( )
A. 4 a 1 B. 4 a 3 C.1 a 3 D. 1 a 3
题型 5 一元二次不等式的恒成立问题
例题 6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切 x∈R恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.a 2 B. 2 a 2 C. 2 a 2 D.a 2
1
例题 6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式 x2 ax 1 0对于一切 x 0, 恒成立,则 a的最小值( ) 2
5
A.0 B. 2 C. D. 3
2
例题 6-3若对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求 x的取值范围。
2 2
变式 1设关于 x的不等式 (a 1)x (a 1)x 1<0的解集是 R,则实数 a的取值范围是( )
a 3 a 3 3 3A. < 或 >1 B. < a <1 C. < a 1 D. < a 1或 a 1
5 5 5 5
变式 2函数 f(x)=x2+ax+3.
(1)当 x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围;
(2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围.
11
变式 3已知 a∈[-1,1]时不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则 x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
变式 4(2019·凤城市第一中学) x [0,3],a x2 2x 5,则 a的范围是___; x [0,3],a x 2 2x 5, 则
a的范围是_______
【题型优化测训】
1 1 1、a,b∈R,a<b和 < 同时成立的条件是________.
a b
2 1 1、若 < <0,则下列结论不正确的是( )
a b
A.a2|a+b|
3、若集合 A {x | x 3 2a}, B {x | (x a 1)(x a) 0}, A B R,则 a 的取值范围为( )
4 4
A.[2, ) B. ( , 2] C. , D. ,
3 3
4、关于 x的不等式 ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于 x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
0 1,
5、若不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈ 2 恒成立,则 a的最小值是( )
A.0 B.-2 C. 5- D.-3
2
6、对于任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
7、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
1 1
- ,-
8、已知不等式 ax2-bx-1≥0的解集是 2 3 ,则不等式 x2-bx-a<0的解集为________.
9 3、若不等式 2kx2+kx- <0对一切实数 x都成立,则 k的取值范围为________.
8
10.(一题两空)设函数 f(x)=2x2+bx+c,若不等式 f(x)<0的解集是(1,5),则 f(x)=________;若对于任意 x
∈[1,3],不等式 f(x)≤2+t有解,则实数 t的取值范围为________.
12【专题 3】
【知识梳理】
1、不等式的基本性质:
性质 1 对称性: a b b a;
性质 2 传递性: a b,b c a c;
性质 3 可加性: a b a c b c;
性质 4 可乘性: a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc;
性质 5 同向可加性: a b, c d a c b d;
性质 6 同向可乘性: a b 0, c d 0 ac bd;
性质 7 乘方法则:a b 0 a n b n ;
性质 8 开方法则:a b 0 n a n b ;
2、不等式的一些常用性质
1 1 1 1
(1)若 a b,ab 0 ; (2) a 0 b ;
a b a b
(3) a b 0,0 c d a b ;(4)若a b 0,m 0 b b m,则
c d a a m
【基础自测】
1.(多选)设 b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是( )
A 1 1 B.1 c 1 c C.a+2 a. - > - > D.ac2<bc2
a 2 b 2 a b b+2 b
【答案】ABC
y x 1 (0 ∞) a1 b1. y 1 c (0 ∞) 1【解析】因为 = 在 ,+ 上是增函数,所以 < 因为 = - 在 ,+ 上是减函数,所以 -c
2 2 2 x a
1 a +2 a 2 b-a a+2c. a> - 因为 - = >0,所以 > .当 c=0时,ac2=bc2,所以 D不成立.故选 A、B、C.
b b+2 b b+2 b b+2 b
2.已知-1【答案】:(-4,2) (1,18)
【解析】∵-1∴-43.下列四个命题中,为真命题的是( )
A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d
1
C.若 a>|b|,则 a2>b2 D.若 a>b 1 1,则 <
a b
【答案】 C
【解析】 当 c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而 2-3<1-(-1),故 B不成立;a=2,b=-1时,D不
成立;由 a>|b|知 a>0,所以 a2>b2,故选 C.

4.若集合 A x |
x 2
0 ,B x | 1 x 2 ,则 A B=( )
x 1
A.[ 2, 2) B. ( 1,1] C. 1,1 D. 1,2
【答案】C
x 2
【解析】由题意, A x | 0 x | 2 x 1 , B {x | 1 x 2},则 A B {x | 1 x 1},
x 1
故答案为 C。
5.若不等式 ax2+bx+2>0 1的解为- 2 3
【答案】(-2,3)
1 1
【解析】 由题意,知- 和 是一元二次方程 ax2+bx+2=0的两根且 a<0,
2 3
1 1 b
- + =-
2 3 a a=-12
所以 1×1 2 ,解得 b 2 .- = =-
2 3 a
则不等式 2x2+bx+a<0即 2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2考向一 不等式的性质
★☆☆例 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式成立的是( )
A. 1 1 B. 2 2 C. a b a b D. a c b c
a b c2 1 c2 1
【答案】C
【解析】A.条件没有说明两个数同号,取倒数后不等号不一定反向.
B.没有交代两个数的正负性
C.不等号两边同时一个正数,不等式仍然成立
D. c 可能为 0
备注:.需熟练掌握不等式的常见运算性质,如取倒数,同时取平方有什么要求,以及 c 0 , c2 1 0这种
常识性结论。
2
★★☆练 1.若 a、b、c R,且 a b,则下列不等式一定成立的是( )
2
A. 1 1ac bc B. c 0 C. a b c2 0 D.
a b a b
【答案】C
【解析】A.不等号两边同时乘一个数,若不知道这个数的正负,不等号也无法确定是否改变,故错误.
B.c 有可能等于 0
C. a b易得 a b 0,而 c2 0,故成立
D. 没有交代两个数是否同号
★☆☆例 2. 如果 a b给出下列不等式
(1) 1 1 (2) a3 b3 (3) a2 1 b2 1 (4) 2a ab
a b
其中成立的是( )
A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)
【答案】D
【解析】(1)没有交代 a,b是否同号
(2)由三次函数 y x3 在 R上单调递增知显然成立
(3)不知道 a,b的负号, a2 与 b2的大小无法判定
(4)由指数函数 y 2x 在 R上单调递增知显然成立
★☆☆练 2.下面四个条件中,使 a b成立的充分而不必要的条件是( )
A. a b 1 B. a b 1 C. a2 b2 D. a3 b3
【答案】A
【解析】A.若 a比 b加上 1 之后都要大,那么 a一定会大于 b,反之则不成立,可自行举反例。
B.若 a比 b减 1 来得大,显然 a不一定会大于 b
C.没有交代两个数的正负性
D.由三次函数 y x3 在 R上单调递增可知显然成立,但由于反之也成立,故此时为充要条件,不符合题意。
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】

★☆☆

例题 1. 设 0, , [0, ],那么 2 的取值范围是( )
2 2 3
3
(0, 5 ) 5 A B.( , ) C. (0, ) D. ( , )
6 6 6 6
【答案】D

【解析】由 0,

得0<2 < ,由 [0,
] 得 0,∴ 2 ,故选 D.
2 2 6 3 6 3
★★☆ π练 1.若- <α<β<π,则α-β的取值范围是________.
2 2
【答案】(-π,0)
π<α<π π π【解析】由- ,- <-β< ,α<β,得-π<α-β<0.
2 2 2 2
★★☆例题 2. 已知-1 x+y 4,且 2 x-y 3,则 z=2x-3y的取值范围是 .
【答案】3 z 8
【解析】 z=2x-3y=-(x+y)+(x-y),
2 -(x+y) ,5 (x-y) ,
∴3 -(x+y)+(x-y) 8,
∴ z的取值范围是 z | 3 z 8 .
★★☆练 2.设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________.
【答案】[5,10]
【解析】
方法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
m+n=4, m=3,
于是得 解得
n-m=-2, n=1.
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故 5≤f(-2)≤10.
f(-1)=a-b,
方法二 由
f(1)=a+b,
4
a 1= [f(-1)+f(1)],
2

b 1= [f(1)-f(-1)],
2
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
1≤a-b≤2,
方法三 由 确定的平面区域如图阴影部分所示,
2≤a+b≤4
3 1

当 f(-2)=4a-2b过点 A 2 2 时,
4×3 2×1取得最小值 - =5,
2 2
当 f(-2)=4a-2b过点 B(3,1)时,
取得最大值 4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.
m
★★☆例 3:已知10 m 25,-30 n -15,求m n与 的取值范围.
n
【答案】 25 m 5 m 1 n 55, .
3 n 3
【解析】 因为-30 n -15,所以15 -n 30,所以10+15 m-n 25+30,即 25 m-n 55 .
因为-30 1 1 1 1 1 1 n -15,所以 ,所以 ,又10 m 25,
15 n 30 15 n 30
5 m 1
所以
3 n 3
知识点要点总结:处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个
选项,则取另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。依据给定的条件,利用不等式的性
质,判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握.属于基础题
a2 a3
★★☆练 3.设设 a,b为实数,已知3 ab 2 4, 2 3,求 4 的取值范围.b b
1 y
★★☆ 练 4.已知 1 x y 1,1 x y 3,则8x 的取值范围是
2
5
【答案】 2,2
7

【解析】令3x y s x y t x y s t x s t y
s t 3
则 ,
s t 1
s 1
∴ ,
t 2
又 1 x y 1,…∴①
1 x y 3,
∴ 2 2 x y 6…②
y
∴① ②得1 3x y 7 1 .则8x 2
3x y 7
2
2,2 .
二、比较两数(式)的大小
方法一:作差法
(1) a b 0 ;(2) a b 0 ;(3) a b 0 .
注:(1)作差比较法:①作差;②变形;③定号;④结论.
变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
方法二:作商法
(1)若 a 0,b >0 a a a,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
a a a
(2)若 a 0,b 0,则 >1 ; =1 ; <1 .
b b b
注:作商比较法:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论.
方法三:特值比较法:若是小题可以用特值法比较大小;若是大题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法
判断
(一)作差
【例题讲解】
★☆☆例题 1.设 a,b是非零实数,若 a b,则下列不等式成立的是( )
a2 b2 2 2 1 1 b aA. B. ab ba C. 2 2 D. ab a b a b
【答案】C
6
【解析】当 a 0,b 0时,a 2 b 2 2 2不一定成立,故 A 错.因为 b a 0,ab a b ab(b a) ,
b a 0 ab 1 1 a b 0 1 1 b a- , 符号不确定,故 B 错. ,所以 ,故 C 正确.D 中 与 的
ab2 a2b a2b2 ab2 a2b a b
大小不能确定.
★★☆ 1 1练习 1.能得出 成立的是 ( )
a b
A. b 0 a B.b a 0 C. a 0 b D. a b 0
【答案】D
1 1 1 1 b a
【解答】解:由 得 0,
a b a b ab
b a
则当 a b 0时,不等式 0,成立,其余不成立,故选: D.
ab
★★☆例题 2:已知 x 1,比较 x 3 1与 2x 2 2x 的大小;
立方和公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【提示】
立方差公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【答案】第 1步:作差;
2x 2 2x x 3 1
第 2步:合并并分解因式;
2x x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 2 2 2x x x 1 x 1 x x 1
第 3步:判断各因式的符号;
2
x 2
1
x 1 x 2 x
1 1 3
1
x 0
4
4 2 4
因为 x 1,所以 x 1 0 ,
第 4步:判断各因式乘积的符号并判断差的正负;
所以 x 1 x 2 x 1 0,即 2x 2 2x x 3 1
★★☆练习 1. (2020·浙江高一单元测试)当 p,q都为正数且 p q 1时,试比较代数式 ( px qy)2 与
px2 qy2的大小.
【答案】 ( px qy)2 px2 qy2
【解析】 px qy 2 px2 qy2 p p 1 x2 q q 1 y2 2pqxy
因为 p q 1,所以 p 1 q,q 1 p
7
px qy 2 px2 qy2 pq x2 2因此 y 2xy pq x y 2
因为 p,q为正数,所以 pq x y 2 0
px qy 2因此 px2 qy2,当且仅当 x y时等号成立
★★☆练习 2. 已知 x, y R , M x 2 y2 1, N x y xy ,则 M与 N的大小关系是( )
A. M N B. M N C. M N D. 不能确定
【解析】 M N x 2 y2 1 x y xy
x 2 y2 1 x y xy
1
x 2 2xy y2 1 2 1 x 2x 1 y2 2y 1
2 2 2
1
2 1 1x y 2 2x 1 y 1 0
2 2 2
所以 M N ;【答案】A
(二)作商
★☆☆例 1. a,b R ,那么“ a 1”是“ a b 0 ”的( )
b
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】取特殊值 a 2,b 1,此时符合 a 1,但不满足 a b 0 ,故无法得到充分性
b
反之若 a b 0 ,又不等式的性质,可得到 a 1。故前者为后者的必要不充分条件
b
★☆☆练习 1. 如果 a,b表示两个负数,且 a b,则( )
A. a b 1 1 1 B. 1 C. D. ab 1
b a a b
【答案】A
根据不等式的性质,两边都除以 b 判断出 A、B,两边都除以 ab,判断出 C 即可得解.
【解析】解:∵ a、b表示两个负数,
a
∴ a<b两边都除以 b 得, 1 ,
b
故 A 选项正确,B 选项错误;
8
∵ a、b表示两个负数,
∴ ab 0,
1 1
∴ a b都除以 ab 得, ,故 C 选项错误;
a b
D、只能判断出 ab 0,但无法说明 ab 1,故本选项错误.
故选 A.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不
2 2
变.(2)不等 b a 式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)
c c
同一个负数,不等号的方向改变.
★☆☆练习 2.当 a 0,b 0且 a b时, aabb与abba的大小.
aabb 1 a b a b
aa bbb a aa b a 【答案】 .
abba b b
a a b 0a b 0 a b 0 1 a a ①当 时,即 , 时, 1,b a
abb abba;
b b
a b 0
②当b a 0时,即 a b 0 0 a 1 a a , 时, a b b a
b
1, a b a b .
b b
综上所述,当 a 0,b 0且 a b时, aabb abba .
(三)特殊值法
★★☆例 1 已知实数 a和 b满足 a b c ,且 ac 0,则下列不等式一定成立的是( )
① b c ② ab a
2 b a a c
0 ③ ④ 0
a a c c c ac
A.③④ B.②③ C.②④ D.①②④
【答案】C
【解析】 取 a 2,b 1,c 1
1 1 2 4
① 显然错误 ② 0 1 4 3成立 ③ 成立。 ④ 0成立,故排除①
2 2 1 1 1 2
再取 a 1,b 2,c 1
2 1
② 0成立
1
4 1
③ 成立
1 1
9
3
④ 0不成立,故排除④
1
所以②④正确,选C
备注:1.处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项,则取
另一组特殊值继续代入选项判断,直到能进一步排除为止。
★☆☆练习 1.若 a b 0,则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A. B. | b | | a | b aC. 2 D. ab b2
b a a b
【答案】C
【解答】解:令 b 1, a 2,则C正确, A, B,D错误,故选:C.
(四)综合应用
★★★例 1(湖南雅礼中学 2019 届质检)
(1)已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
1 1 1(2)若 < <0 1 1 1,给出下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④a2>b2.其中正确的不等式
a b a+b ab a b
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又 b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
a 1
2

b a a2 a 1 2 3∴ - = - + = + >0,
4
∴b>a,∴c≥b>a.
(2) 1 1方法一 因为 < <0,故可取 a=-1,b=-2.
a b
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为 ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.
综上所述,可排除 A,B,D.
1 1 1 1
方法二 由 < <0,可知 b<a<0.①中,因为 a+b<0,ab 1 1>0,所以 <0, >0.故有 < ,即
a b a+b ab a+b ab
①正确;
②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
10
1 1
③中,因为 b<a<0,又 < <0 1 1 0 a 1 b 1,则- >- > ,所以 - > - ,故③正确;
a b a b a b
④中,因为 b<a<0,根据 y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得 b2>a2>0,故④错误.由以上分析,知①③
正确.
【变式 1】.已知 a>0>b>-a,c<d<0,给出下列四个命题:(1)ad>bc;(2 a b) + <0;(3)a-c>b-d;
d c
(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式 2】对于实数 a,b,c有下列命题:①若 a b 2 2,则 ac bc;②若 ac bc ,则 a b;③若 a b 0,
a2 ab b2 c a b 0 a b 1 1则 ,④若 ,则 ,⑤若 a b, ,则 a 0,b 0,其中正确的是____.
c a c b a b
【答案】②③④⑤
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1 2.一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的解法
2
(1)配方法:将方程整理成 (x p) q,方程的根是 .
x2注: 系数是 1和不是 1 2时配方注意事项; x 系数是负数时配方注意事项.
(2)公式法: ( b2 4ac 0).
(3)因式分解:十字相乘法: x2 ( p q)x pq 0 .
2 2.一元二次方程根的判别( b 4ac)
(1)△>0,方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根;
(3)△<0,方程没有实数根,方程无解.
3.韦达定理(根与系数关系)
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的两个根是 x1和 x2,则 x1+ x2= ; x1 . x2= .
二、一元二次函数
1 y ax2.二次函数的概念:一般地,形如 bx c ( a,b,c是常数, a 0)的函数,叫做二次函数。
2 2.二次函数 y ax bx c 的性质
当 a 0 时,抛物线开口 ,当 a 0 时,抛物线开口 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
3.二次函数解析式求法
(1)一般式: ( a,b, c为常数, a 0),需要三个坐标点;
11
(2 2)顶点式: y a(x h) k ( a, h, k为常数, a 0),顶点坐标和其他任一点的坐标;
(3)零点式: ( a为常数,且 a 0),二次函数的零点为 x1, x2.
【衔接高中知识】
(1)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫作一元二次不等式,形
2
如 ax bx c 0(或 0,或 0,或 0),其中 a 0.
(2)一元二次不等式的解法步骤:
第 1步:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式:
ax2 bx c > 0 2或 ax bx c < 0 ( a> 0 )
第 2步:求出相应的一元二次方程的根.
第 3步:利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx
+c(a>0)的图象
一元二次方程 有两相等实数根 x1=
有两相异实数根 x1,
ax2+bx+c=0 b 没有实数根
x2(x1<x2) x2=-
(a>0)的根 2a
一元二次不等式
b
ax2+bx+c>0 {x|x<x1或 x>x2} xx≠- R2a
(a>0)的解集
一元二次不等式
ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2}
(a>0)的解集
题型 1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题 4求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0; (2) ≤0
【答案】(1) (2) .
【解析】(1)因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,
12
所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实根 x1=4- 13,x2=4+ 13.
又二次函数 y=-x2+8x-3的图象开口向下,
所以原不等式的解集为{x|4- 13(2)方法一: ≤0等价于 ①或 ②
解①得- 所以原不等式的解集为 .
方法二:不等式 ≤0
所以由二次不等式知 所以- 变式 1解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.
[解] (1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,
|-2≤x≤4
即(3x-4)(x+2)≤0,解得-2≤x≤4 3,所以原不等式的解集为 x .
3
x2-x-2>0, x2-x-2>0, x>2或 x<-1,
(2)原不等式等价于 x2-x-2≤4 x2-x-6≤0 -2≤x≤3.
借助于数轴,如图所示,
{x|-2≤x<-1或 2<x≤3}
原不等式的解集为 .
题型 2 含参不等式的分类讨论
例题 5解关于 x的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0.
①当 a=0时,原不等式化为 x+1≤0,解得 x≤-1.
x 2-
②当 a>0时,原不等式化为 a (x+1)≥0,
x≥2解得 或 x≤-1.
a
13
x 2-
③当 a<0时,原不等式化为 a (x+1)≤0.
2 2
当 >-1,即 a<-2时,解得-1≤x≤ ;
a a
2
当 =-1,即 a=-2时,解得 x=-1满足题意;
a
2 2
当 <-1,即-2a a
综上所述,当 a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
x|x≥2或 x≤-1
当 a>0时,不等式的解集为 a ;
2≤x≤-1
当-2<a<0时,不等式的解集为 x|a ;
x|-1≤x≤2
当 a=-2时,不等式的解集为{-1};当 a<-2时,不等式的解集为 a .
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
变式 1求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为 12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
a a
解得 x1=- ,x2= .
4 3
∞ a a- ,- ,+∞
当 a>0时,不等式的解集为 4 ∪ 3 ;
当 a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
-∞ a a, - ,+∞
当 a<0时,不等式的解集为 3 ∪ 4 .
变式 2 ax2-(a+1)x+1<0.
解题过程:若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1.
14
若 a<0 1,原不等式等价于(x- )(x-1)>0 1,解得 x< 或 x>1.
a a
若 a>0 1,原不等式等价于(x- )(x-1)<0.
a
1 1
①当 a=1时, =1,(x- )(x-1)<0无解;
a a
a>1 1<1 (x 1②当 时, ,解 - )(x-1)<0 1得 a a a
1
③当 01,
a
解(x 1- )(x-1)<0得 1a a
综上所述:当 a<0 1时,解集为{x|x< 或 x>1};
a
当 a=0时,解集为{x|x>1};当 01时,解集为{x| a a
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不
易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二
次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
题型 3 三个二次之间的关系
【典例 2】(三个“二次”之间的关系)(1)(2019·贵州模拟)已知不等式 ax2+bx+2>0的解集为{x|-1则不等式 2x2+bx+a<0的解集为( )
x|x<-1或 x>1 x|-1A. 2 B. 2 C.{x|-21}
解:由题意知 x=-1,x=2是方程 ax2+bx+2=0的两根,且 a<0.
-1+2 b=- ,
a a=-1,
由韦达定理得
1 2 2

(- )× = b=1.
a
所以不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2+x-1<0. 1解得-1<x< .故选 B.
2
【点拨】已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以
求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则
可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相
互联系,并在一定条件下相互转换.
15
【变式 1】(1)已知不等式 ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或 x>b}.
(Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
解:(Ⅰ)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1或 x>b},所以 x1=1与 x2=b是方程 ax2-3x+2=0的两
个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,得
1 b 3+ = ,
a a=1,
解得
1 2×b= . b=2.
a
(Ⅱ)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,
即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当 c>2时,不等式的解集为{x|2②当 c<2时,不等式的解集为{x|c③当 c=2时,不等式的解集为 .
题型 4 根的分布
【例题 1】(1)若方程 x2+(m -3)x+m=0有两个正实根,则 m的取值范围是________.
Δ= m-3 2-4m≥0,
解析 由题意得, x1+x2=3-m>0, 解得 0<m≤1.
x1x2=m>0,
答案 0<m≤1
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数 y=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且方程 ax2-(a+2)x+1=0在 2 x 1上恰
有一个零点,则不等式 y>1的解集为________.
解:根据题意有 f(-2)f(-1)<0,
(6a 5)(2a 3)<0. 3所以 + + 所以- 2 6
又 a∈Z,所以 a=-1.检验知合要求.
不等式 f(x)>1 即为-x2-x+1>1,解得-1故填{x|-1<x<0}.
变式 3 关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有 3个整数,则 a的取值可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】ABC.
【解析】设 f(x)=x2﹣6x+a,其图象是开口向上,对称轴是 x=3的抛物线,如图所示;
16
若关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有 3个整数,则
,即 ,
解得 5<a≤8,又 a∈Z,
所以 a=6,7,8.
故选:ABC.
变式 4 (2018·云南模拟)若关于 x的不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是 x | 4 x 3 的子集,则 a的取
值范围是( )
A. 4 a 1 B. 4 a 3 C.1 a 3 D. 1 a 3
解:原不等式等价于(x-a)(x-1)≤0,当 a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要 a≥-4即可,即-4≤a<1;
当 a=1时,不等式的解为 x=1,此时符合要求;当 a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要 a≤3即可,
即 1题型 5 一元二次不等式的恒成立问题
例题 6-1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切 x∈R恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.a 2 B. 2 a 2 C. 2 a 2 D.a 2
【答案】C
【解析】当 a-2=0,即 a=2时,不等式为-4<0对一切 x∈R恒成立.
a-2<0,
当 a≠2时,则
Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0,
a-2<0,
即 解得-2<a<2.
a2<4,
∴实数 a的取值范围是(-2,2].
1
例题 6-2(2020·浙江高三专题练习)若不等式 x2 ax 1 0对于一切 x 0, 恒成立,则 a的最小值( ) 2
5
A.0 B. 2 C. D. 3
2
【答案】C
1 1 1
【解析】不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈(0, ]成立,等价于 a≥-x- 对于一切 x 0, 成立,2 x 2
1 1
∵y=-x- 在区间 0, 上是增函数x 2
x 1 1 5
5 5
∴ 2 ,∴a≥- ,∴a的最小值为- 故答案为 C.
x 2 2 2 2
17
例题 6-3若对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求 x的取值范围。
【解析】由 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m
=(x-2)m+x2-4x+4,
令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0,
所以
g(1)=(x-2)+x2-4x+4>0,
解得 x<1或 x>3.
故 x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
2 2
变式 1设关于 x的不等式 (a 1)x (a 1)x 1<0的解集是 R,则实数 a的取值范围是( )
A. a 3 3< 或 a >1 B. < a <1
5 5
3 3
C. < a 1 D. < a 1或a 1
5 5
变式 2函数 f(x)=x2+ax+3.
(1)当 x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围;
(2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数 a的取值范围.
解:(1)∵当 x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即 a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,
∴实数 a的取值范围是[-6,2].
(2)对于任意 x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立.
即 x2+ax+3-a≥0对任意 x∈[-2,2]恒成立,
令 g(x)=x2+ax+3-a.
Δ>0,
a
则有①Δ≤0 - <-2,或② 2
g -2 =7-3a≥0
Δ>0,
a
- >2,
或③ 2
g 2 =7+a≥0.
解①得-6≤a≤2,
18
解②得 a∈ ,
解③得-7≤a<-6.综上可知,实数 a的取值范围为[-7,2].
变式 3已知 a∈[-1,1]时不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则 x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于 a的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由 f(a)>0对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,
得 f(-1)=x2-5x+6>0,
且 f(1)=x2-3x+2>0即可,
x2-5x+6>0,
解不等式组 得 x<1或 x>3.
x2-3x+2>0,
变式 4(2019·凤城市第一中学) x [0,3],a x2 2x 5,则 a的范围是___; x [0,3],a x 2 2x 5, 则
a的范围是_______
【答案】[8, ) [4, )
【解析】
令 f (x) x2 2x 5 (x 1)2 4 ,
对 x [0,3], f (x)max f (3) 8, f (x)min f (1) 4,
x [0,3], a x2 2x 5即 a f (x)max 8;
x [0,3], a x2 2x 5即a f (x)min 4.
故答案为:[8, );[4, )
【题型优化测训】
1、a,b 1 1∈R,a<b和 < 同时成立的条件是________.
a b
【答案】a<0<b
【解析】若 ab<0,由 a b 1 1 1 1 1 1< 两边同除以 ab得, > ,即 < ;若 ab>0,则 > .
b a a b a b
a b 1 1所以 < 和 < 同时成立的条件是 a<0<b.
a b
2 1<1、若 <0,则下列结论不正确的是( )
a b
19
A.a2|a+b|
【答案】D
1 1
【解析】 ∵ < <0,∴ba2,aba b
b|,故 D错误.
3、若集合 A {x | x 3 2a}, B {x | (x a 1)(x a) 0}, A B R,则 a 的取值范围为( )
[2, ) ( , 2] , 4 4A. B. C. D. ,

3 3
【答案】D
【解析】因为 A {x | x 3 2a} B {x | x a或x a 1} 4, A B R,所以3 2a a 1,解得 a 。
3
4、关于 x的不等式 ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于 x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
【答案】C
b
【解析】关于 x的不等式 ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且- =1,∴关于 x的不等式(ax+b)(x-2)<0
a
x b+
可化为 a (x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|10 1,
5、若不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈ 2 恒成立,则 a的最小值是( )
A.0 B.-2 C. 5- D.-3
2
【答案】C
0 1,
【解析】由于 x∈ 2 ,若不等式 x2+ax+1≥0恒成立,
x 1 1+ 0,
则 a≥- x ,x∈ 2 时恒成立,
0 1,
令 g(x) x 1= + ,x∈ 2 ,
x
0 1 0 1, ,
易知 g(x)在 2 上是减函数,则 y=-g(x)在 2 上是增函数.
1
+2
∴y=-g(x) 5的最大值是- 2 =- .因此 a≥ 5 5- ,则 a的最小值为- .
2 2 2
6、对于任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
【答案】D
20
【解析】当 a-2=0,即 a=2时,-4<0恒成立;
当 a-2≠0,即 a≠2时,
a-2<0,
则有 Δ=[-2(a-2)]2-4×(a-2)×(-4)<0,
解得-27、不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为________.
【答案】{x|-3≤x≤1}
【解析】(x+3)(1-x)≥0 (x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
1 1
- ,-
8、已知不等式 ax2-bx-1≥0的解集是 2 3 ,则不等式 x2-bx-a<0的解集为________.
【答案】(2,3)
1 1
【解析】由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0的两根,
2 3
1
1 - b
- + 3 = ,
2 a
所以由根与系数的关系得 11 -
- × 3 1=- .
2 a
a=-6,
解得 b=5,
不等式 x2-bx-a<0即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3).
9 3、若不等式 2kx2+kx- <0对一切实数 x都成立,则 k的取值范围为________.
8
【答案】(-3,0]
【解析】当 k=0时,显然成立;
k<0,
3
当 k≠0 3时,即一元二次不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x都成立,则 - 解得-
8 Δ=k2-4×2k× 8 <0,
38
10.(一题两空)设函数 f(x)=2x2+bx+c,若不等式 f(x)<0的解集是(1,5),则 f(x)=________;若对于任意 x
∈[1,3],不等式 f(x)≤2+t有解,则实数 t的取值范围为________.
【答案】2x2-12x+10 [-10,+∞)
b c
【解析】由题意知 1和 5是方程 2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,- =6, =5,解得 b=
2 2
-12,c=10,所以 f(x)=2x2-12x+10.不等式 f(x)≤2+t在 x∈[1,3]时有解,等价于 2x2-12x+8≤t在 x∈[1,3]
21
时有解,只要 t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设 g(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则 g(x)在[1,3]上单调递减,所
以 g(x)≥g(3)=-10,所以 t≥-10.
22