【专题3】 不等式的性质及其解法
【知识梳理】
1、不等式的基本性质：
性质1 对称性：；
性质2 传递性：，；
性质3 可加性：；
性质4 可乘性：，；，；
性质5 同向可加性：，；
性质6 同向可乘性：， ；
性质7 乘方法则：；
性质8 开方法则：；
2、不等式的一些常用性质
（1）若，； （2）；
（3），；（4）若，，则
【基础自测】
1.(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． B.－c＞－c C.＞ D．ac2＜bc2
【答案】ABC
【解析】因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选A、B、C.
2.已知－1
【答案】：(－4,2) (1,18)
【解析】∵－1∴－43.下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b，则<
【答案】 C
【解析】 当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．
4.若集合，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，，则，故答案为C。
5.若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－【答案】(－2,3)
【解析】 由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，
所以，解得.
则不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2考向一 不等式的性质
★☆☆例1．若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.条件没有说明两个数同号,取倒数后不等号不一定反向.
B.没有交代两个数的正负性
C.不等号两边同时一个正数,不等式仍然成立
D.可能为0
备注：.需熟练掌握不等式的常见运算性质，如取倒数，同时取平方有什么要求，以及，这种常识性结论。
★★☆练1．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不等号两边同时乘一个数,若不知道这个数的正负,不等号也无法确定是否改变,故错误.
B.c有可能等于0
C.易得，而，故成立
D. 没有交代两个数是否同号
★☆☆例2. 如果给出下列不等式
（1） （2） （3） （4）
其中成立的是（ ）
A． B. C． D．
【答案】D
【解析】（1）没有交代是否同号
（2）由三次函数在上单调递增知显然成立
（3）不知道的负号，与的大小无法判定
（4）由指数函数在上单调递增知显然成立
★☆☆练2.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B. C. D.
【答案】A
【解析】A.若比加上1之后都要大，那么一定会大于，反之则不成立，可自行举反例。
B.若比减 1来得大，显然不一定会大于
C.没有交代两个数的正负性
D.由三次函数在上单调递增可知显然成立，但由于反之也成立，故此时为充要条件，不符合题意。
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆例题1． 设，，那么的取值范围是( )
A B. C． D.
【答案】D
【解析】由得，由得，∴，故选D.
★★☆练1．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
【答案】(－π，0)
【解析】由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.
★★☆例题2． 已知，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
，
∴，
∴．
★★☆练2．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
【答案】[5，10]
【解析】
方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
方法二 由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
方法三 由确定的平面区域如图阴影部分所示，
当f(－2)＝4a－2b过点A时，
取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，
∴5≤f(－2)≤10.
★★☆例3：已知，，求与的取值范围．
【答案】，.
【解析】 因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，又，
所以
知识点要点总结：处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项，则取另一组特殊值继续代入选项判断，直到能进一步排除为止。依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．属于基础题
★★☆练3．设设，为实数，已知，，求的取值范围．
★★☆练4．已知，，则的取值范围是
【答案】
【解析】令
则，
∴，
又，…∴①
，
∴…②
∴①②得．则．
二、比较两数（式）的大小
方法一：作差法
；（2） ；（3） ．
注：(1)作差比较法：①作差；②变形；③定号；④结论．
变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．
方法二：作商法
（1）若，，则 ；= ； ．
（2）若，，则 ；= ； ．
注：作商比较法：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
方法三：特值比较法：若是小题可以用特值法比较大小；若是大题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断
（一）作差
【例题讲解】
★☆☆例题1．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当不一定成立，故A错．因为，符号不确定，故B错.，所以，故C正确．D中的大小不能确定．
★★☆练习1．能得出成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由得，
则当时，不等式，成立，其余不成立，故选：．
★★☆例题2：已知，比较与的大小；
【提示】
【答案】第1步：作差；
第2步：合并并分解因式；
第3步：判断各因式的符号；
因为，所以，
第4步：判断各因式乘积的符号并判断差的正负；
所以，即
★★☆练习1. （2020·浙江高一单元测试）当都为正数且时，试比较代数式与的大小．
【答案】
【解析】
因为，所以
因此
因为为正数，所以
因此，当且仅当时等号成立
★★☆练习2. 已知，，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D. 不能确定
【解析】
所以；【答案】A
（二）作商
★☆☆例1. ，那么“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】取特殊值，此时符合，但不满足，故无法得到充分性
反之若，又不等式的性质，可得到。故前者为后者的必要不充分条件
★☆☆练习1． 如果表示两个负数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
根据不等式的性质，两边都除以b判断出A、B，两边都除以，判断出C即可得解．
【解析】解：∵表示两个负数，
∴两边都除以b得，,
故A选项正确，B选项错误；
∵表示两个负数，
∴，
∴都除以 得，，故C选项错误；
D、只能判断出，但无法说明，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
★☆☆练习2．当，且时，与的大小.
【答案】.
①当时，即，时，，；
②当时，即，时，，.
综上所述，当，且时，.
（三）特殊值法
★★☆例1已知实数和满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
① ② ③ ④
A．③④ B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】C
【解析】 取
①显然错误 ②成立 ③成立。 ④成立，故排除①
再取
②成立
③成立
④不成立，故排除④
所以②④正确，选
备注：1.处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项，则取另一组特殊值继续代入选项判断，直到能进一步排除为止。
★☆☆练习1.若，则下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：令，，则正确，，，错误，故选：．
（四）综合应用
★★★例1（湖南雅礼中学2019届质检）
(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④a2＞b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)方法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，故④错误.由以上分析，知①③正确.
【变式1】．已知a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，给出下列四个命题：（1）ad＞bc；（2）＋＜0；（3）a－c＞b－d；
（4）a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】对于实数有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，④若，则，⑤若，则，其中正确的是____.【答案】②③④⑤
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1．一元二次方程的解法
配方法：将方程整理成，方程的根是 ．
注：系数是1和不是1时配方注意事项；系数是负数时配方注意事项．
公式法： ．
因式分解：十字相乘法： ．
2．一元二次方程根的判别（）
△＞0，方程有两个不相等的实数根；
△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根；
△＜0，方程没有实数根，方程无解．
3．韦达定理（根与系数关系）
一元二次方程的两个根是和，则+＝ ； .＝ ．
二、一元二次函数
二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
二次函数的性质
当时，抛物线开口 ，当时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
3．二次函数解析式求法
（1）一般式： （，，为常数，），需要三个坐标点；
（2）顶点式：（，，为常数，），顶点坐标和其他任一点的坐标；
（3）零点式： （为常数，且），二次函数的零点为，．
【衔接高中知识】
（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式，形如（或，或，或），其中．
（2）一元二次不等式的解法步骤：
第1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式：
或 ()
第2步：求出相应的一元二次方程的根．
第3步：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
三个“二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
题型1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题4求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0； (2) ≤0
【答案】（1）（2）.
【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－（2）方法一:≤0等价于①或②
解①得-所以原不等式的解集为.
方法二:不等式≤0
所以由二次不等式知所以-变式1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.
[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为.
题型2 含参不等式的分类讨论
例题5解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
变式1求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为∪.
变式2 ax2－(a＋1)x＋1<0.
解题过程：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得③当01，
解(x－)(x－1)<0得1综上所述：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
题型3 三个二次之间的关系
【典例2】（三个“二次”之间的关系）（1）(2019·贵州模拟)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. B. C.{x|－21}
解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0.
由韦达定理得
所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.解得－1＜x＜.故选B.
【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
【变式1】(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(Ⅰ)求a，b； (Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得
解得
(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式的解集为{x|2②当c<2时，不等式的解集为{x|c③当c＝2时，不等式的解集为 .
题型4 根的分布
【例题1】（1）若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．
解析 由题意得，解得0＜m≤1.
答案 0＜m≤1
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数y＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且方程ax2－(a＋2)x＋1=0在上恰有一个零点，则不等式y>1的解集为________．
解：根据题意有f(－2)f(－1)<0，
所以(6a＋5)(2a＋3)<0.所以－又a∈Z，所以a＝－1.检验知合要求．
不等式f(x)>1即为－x2－x＋1>1，解得－1故填{x|－1＜x＜0}．
变式3 关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC．
【解析】设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示；
若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则
，即，
解得5＜a≤8，又a∈Z，
所以a＝6，7，8．
故选：ABC．
变式4 (2018·云南模拟)若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
解：原不等式等价于(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1题型5 一元二次不等式的恒成立问题
例题6-1若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B． C． D．
【答案】C
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.
∴实数a的取值范围是(－2,2]．
例题6-2（2020·浙江高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，
∵y=-x-在区间上是增函数
∴，∴a≥-，∴a的最小值为-故答案为C．
例题6-3若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围。
【解析】由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
变式1设关于的不等式0的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A．或1 B．1
C．1 D．1或
变式2函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立．
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a.
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，
解②得a∈ ，
解③得－7≤a<－6.综上可知，实数a的取值范围为[－7,2]．
变式3已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
解不等式组得x＜1或x＞3.
变式4 （2019·凤城市第一中学）则的范围是___;则的范围是_______
【答案】
【解析】
令，
对，，，
，即；
，即．
故答案为：；
【题型优化测训】
1、a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
【答案】a＜0＜b
【解析】若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
2、若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
【答案】D
【解析】 ∵<<0，∴ba2，ab3、若集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，，所以，解得。
4、关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|15、若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是( )
A.0 B.－2 C.－ D.－3
【答案】C
【解析】由于x∈，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
则a≥－，x∈时恒成立，
令g(x)＝x＋，x∈，
易知g(x)在上是减函数，则y＝－g(x)在上是增函数.
∴y＝－g(x)的最大值是－＝－.因此a≥－，则a的最小值为－.
6、对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2) D.(－2，2]
【答案】D
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－27、不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为________．
【答案】{x|－3≤x≤1}
【解析】(x＋3)(1－x)≥0 (x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．
8、已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
【答案】(2,3)
【解析】由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
所以由根与系数的关系得
解得
不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
9、若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
【答案】(－3,0]
【解析】当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－310．(一题两空)设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式f(x)<0的解集是(1,5)，则f(x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
【答案】2x2－12x＋10 [－10，＋∞)
【解析】由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在x∈[1,3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1,3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.【专题3】 不等式的性质及其解法
【基础自测】
1.(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． B.－c＞－c C.＞ D．ac2＜bc2
2.已知－13.下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b，则<
4.若集合，则=（ ）
A. B. C. D.
5.若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－【知识梳理】
1、不等式的基本性质：
性质1 对称性：；
性质2 传递性：，；
性质3 可加性：；
性质4 可乘性：，；，；
性质5 同向可加性：，；
性质6 同向可乘性：， ；
性质7 乘方法则：；
性质8 开方法则：；
2、不等式的一些常用性质
（1）若，； （2）；
（3），；（4）若，，则
考向一 不等式的性质
★☆☆例1．若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
★★☆练1．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
★☆☆例2. 如果给出下列不等式
（1） （2） （3） （4）
其中成立的是（ ）
A． B. C． D．
★☆☆练2.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B. C. D.
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆例题1． 设，，那么的取值范围是( )
A B. C． D.
★★☆练1．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
★★☆例题2． 已知，且，则的取值范围是 ．
★★☆练2．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
★★☆例3：已知，，求与的取值范围．
知识点要点总结：处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项，则取另一组特殊值继续代入选项判断，直到能进一步排除为止。依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．属于基础题
★★☆练3．设设，为实数，已知，，求的取值范围．
★★☆练4．已知，，则的取值范围是
二、比较两数（式）的大小
方法一：作差法
；（2） ；（3） ．
注：(1)作差比较法：①作差；②变形；③定号；④结论．
变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．
方法二：作商法
（1）若，，则 ；= ； ．
（2）若，，则 ；= ； ．
注：作商比较法：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
方法三：特值比较法：若是小题可以用特值法比较大小；若是大题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断
（一）作差
【例题讲解】
★☆☆例题1．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
★★☆练习1．能得出成立的是
A． B． C． D．
★★☆例题2：已知，比较与的大小；
【提示】
★★☆练习1. （2020·浙江高一单元测试）当都为正数且时，试比较代数式与的大小．
★★☆练习2. 已知，，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D. 不能确定
（二）作商
★☆☆例1. ，那么“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
★☆☆练习1． 如果表示两个负数，且，则（ ）
A. B. C. D.
★☆☆练习2．当，且时，与的大小.
（三）特殊值法
★★☆例1已知实数和满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
① ② ③ ④
A．③④ B．②③ C．②④ D．①②④
★☆☆练习1.若，则下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
（四）综合应用
★★★例1（湖南雅礼中学2019届质检）
(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④a2＞b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【变式1】．已知a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，给出下列四个命题：（1）ad＞bc；（2）＋＜0；（3）a－c＞b－d；
（4）a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】对于实数有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，④若，则，⑤若，则，其中正确的是____.
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1．一元二次方程的解法
配方法：将方程整理成，方程的根是 ．
注：系数是1和不是1时配方注意事项；系数是负数时配方注意事项．
公式法： ．
因式分解：十字相乘法： ．
2．一元二次方程根的判别（）
△＞0，方程有两个不相等的实数根；
△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根；
△＜0，方程没有实数根，方程无解．
3．韦达定理（根与系数关系）
一元二次方程的两个根是和，则+＝ ； .＝ ．
二、一元二次函数
二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
二次函数的性质
当时，抛物线开口 ，当时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
3．二次函数解析式求法
（1）一般式： （，，为常数，），需要三个坐标点；
（2）顶点式：（，，为常数，），顶点坐标和其他任一点的坐标；
（3）零点式： （为常数，且），二次函数的零点为，．
【衔接高中知识】
（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式，形如（或，或，或），其中．
（2）一元二次不等式的解法步骤：
第1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式：
或 ()
第2步：求出相应的一元二次方程的根．
第3步：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
三个“二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
题型1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题4求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0； (2) ≤0
变式1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.
题型2 含参不等式的分类讨论
例题5解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
变式1求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集 变式2 ax2－(a＋1)x＋1<0.
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
题型3 三个二次之间的关系
【典例2】（三个“二次”之间的关系）（1）(2019·贵州模拟)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. B. C.{x|－21}
【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
【变式1】(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(Ⅰ)求a，b； (Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
题型4 根的分布
【例题1】（1）若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数y＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且方程ax2－(a＋2)x＋1=0在上恰有一个零点，则不等式y>1的解集为________．
变式3 关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式4 (2018·云南模拟)若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型5 一元二次不等式的恒成立问题
例题6-1若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B． C． D．
例题6-2（2020·浙江高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值（ ）
A．0 B． C． D．
例题6-3若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围。
变式1设关于的不等式0的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A．或1 B．1 C．1 D．1或
变式2函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
变式3已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
变式4 （2019·凤城市第一中学）则的范围是___;则的范围是_______
【题型优化测训】
1、a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
2、若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
3、若集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5、若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是( )
A.0 B.－2 C.－ D.－3
6、对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2) D.(－2，2]
7、不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为________．
8、已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
9、若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
10．(一题两空)设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式f(x)<0的解集是(1,5)，则f(x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．【专题 3】
【基础自测】
1.(多选)设 b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． 1 1
a＋2
B.1 c 1－ ＞ －c C. a＞ D．ac2＜2 bc
2
a b 2 a b b＋2 b
2.已知－13.下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
C．若 a>|b| 1 1，则 a2>b2 D．若 a>b，则 <
a b
x 2
4.若集合 A x | 0 ,B x | 1 x 2 ，则 A B=（ ）
x 1
A.[ 2, 2) B. ( 1,1] C. 1，1 D. 1，2
5. 1若不等式 ax2＋bx＋2>0的解为－ 2 3
【知识梳理】
1、不等式的基本性质：
性质 1 对称性： a b b a；
性质 2 传递性： a b，b c a c；
性质 3 可加性： a b a c b c；
性质 4 可乘性： a b，c 0 ac bc； a b，c 0 ac bc；
性质 5 同向可加性： a b， c d a c b d；
性质 6 同向可乘性： a b 0， c d 0 ac bd；
性质 7 乘方法则：a b 0 a n b n ；
性质 8 开方法则：a b 0 n a n b ；
2、不等式的一些常用性质
（1）若 a b，ab 0 1 1 1 1 ； （2） a 0 b ；
a b a b
（3） a b 0 0 c d a b， ；（4）若a b 0，m 0 b b m，则
c d a a m
1
考向一 不等式的性质
★☆☆例 1．若 a、b、c R，且 a b，则下列不等式成立的是（ ）
A． 1 1 a b B． a2 b2 C． 2 D． a c b ca b c 1 c2 1
★★☆练 1．若 a、b、c R，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
2
A. ac bc B. c 0 C. a b c2 0 D. 1 1
a b a b
★☆☆例 2. 如果 a b给出下列不等式
（1） 1 1 （2） a3 b3 （3） a2 1 b2 1 （4） 2a ab
a b
其中成立的是（ ）
A．（2）（3） B.（1）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
★☆☆练 2.下面四个条件中，使 a b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． a b 1 B. a b 1 C. a2 b2 D. a3 b3
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆ 例题 1． 设 0, ， [0, ]，那么 2 的取值范围是( )
2 2 3
(0, 5 ) 5 A B.（ , ） C． (0, ) D. ( , )
6 6 6 6
★★☆ 1 π练 ．若－ <α<β<π，则α－β的取值范围是________．
2 2
2
★★☆例题 2． 已知－1 x＋y 4，且 2 x－y 3，则 z＝2x－3y的取值范围是 ．
★★☆练 2．设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是________.
★★☆例 3：已知10 m 25，－30 m n －15，求m n与 的取值范围．
n
知识点要点总结：处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个
选项，则取另一组特殊值继续代入选项判断，直到能进一步排除为止。依据给定的条件，利用不等式的性
质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．属于基础题
a2 a3
★★☆练 3．设设 a，b为实数，已知3 ab 2 4， 2 3，求 4 的取值范围．b b
y
★★☆练 4．已知 1 x y 1，1 x y 3 1，则8x 的取值范围是
2
3
二、比较两数（式）的大小
方法一：作差法
（1） a b 0 ；（2） a b 0 ；（3） a b 0 ．
注：(1)作差比较法：①作差；②变形；③定号；④结论．
变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．
方法二：作商法
a a a
（1）若 a 0，b ＞0，则 ＞1 ； =1 ； ＜1 ．
b b b
a a a
（2）若 a 0，b 0，则 ＞1 ； =1 ； ＜1 ．
b b b
注：作商比较法：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论．
方法三：特值比较法：若是小题可以用特值法比较大小；若是大题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法
判断
（一）作差
【例题讲解】
★☆☆例题 1．设 a,b是非零实数，若 a b，则下列不等式成立的是( )
2 2
A．a b B． ab2 ba2 1 1 b aC．
ab2
D．
a2b a b
★★☆ 1 1练习 1．能得出 成立的是 ( )
a b
A． b 0 a B．b a 0 C． a 0 b D． a b 0
★★☆例题 2：已知 x 1，比较 x 3 1与 2x 2 2x 的大小；
立方和公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【提示】
3 3 2 2
立方差公式:a b a b a ab b
4
★★☆练习 1. （2020·浙江高一单元测试）当 p,q都为正数且 p q 1时，试比较代数式 ( px qy)2 与
px2 qy2的大小．
★★☆练习 2. 已知 x, y R ， M x 2 y2 1， N x y xy ，则 M与 N的大小关系是（ ）
A． M N B． M N C． M N D. 不能确定
（二）作商
★☆☆例 1. a,b R ，那么“ a 1”是“ a b 0 ”的（ ）
b
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
★☆☆练习 1． 如果 a,b表示两个负数，且 a b，则（ ）
A. a 1 B. b 1 C. 1 1 D. ab 1
b a a b
★☆☆练习 2．当 a 0，b 0且 a b时， aabb与abba的大小.
（三）特殊值法
★★☆例 1 已知实数 a和 b满足 a b c ，且 ac 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
2
① b c ② ab a 0 ③
b a
④
a c
0
a a c c c ac
A．③④ B．②③ C．②④ D．①②④
5
★☆☆练习 1.若 a b 0，则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A． B． | b | | a | b aC． 2 D． ab b2
b a a b
（四）综合应用
★★★例 1（湖南雅礼中学 2019 届质检）
(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
1
(2) 1 1 0 1 1 1若 ＜ ＜ ，给出下列不等式：① ＜ ；②|a|＋b＞0；③a－ ＞b－ ；④a2＞b2.其中正确的不等式
a b a＋b ab a b
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【变式 1 a b】．已知 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，给出下列四个命题：（1）ad＞bc；（2） ＋ ＜0；（3）a－c＞b－d；
d c
（4）a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 2
【变式 2】对于实数 a,b,c有下列命题：①若 a b，则 ac bc；②若 ac bc ，则 a b；③若 a b 0，
a2则 ab b2 c a b 0 a b a b, 1 1 ，④若 ，则 ，⑤若 ，则 a 0,b 0，其中正确的是____.
c a c b a b
6
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1 2．一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的解法
（1 2）配方法：将方程整理成 (x p) q，方程的根是 ．
2 2
注： x 系数是 1和不是 1时配方注意事项； x 系数是负数时配方注意事项．
2
（2）公式法： ( b 4ac 0)．
（3 2）因式分解：十字相乘法： x ( p q)x pq 0 ．
2．一元二次方程根的判别（ b2 4ac）
（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根；
（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解．
3．韦达定理（根与系数关系）
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的两个根是 x1和 x2，则 x1+ x2＝ ； x1 . x2＝ ．
二、一元二次函数
1 2．二次函数的概念：一般地，形如 y ax bx c （ a，b，c是常数， a 0）的函数，叫做二次函数。
2 2．二次函数 y ax bx c 的性质
当 a 0 时，抛物线开口 ，当 a 0 时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
3．二次函数解析式求法
（1）一般式： （ a，b， c为常数， a 0），需要三个坐标点；
2
（2）顶点式： y a(x h) k （ a， h， k为常数， a 0），顶点坐标和其他任一点的坐标；
（3）零点式： （ a为常数，且 a 0），二次函数的零点为 x1， x2．
【衔接高中知识】
（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫作一元二次不等式，形
如 ax2 bx c 0（或 0，或 0，或 0），其中 a 0．
（2）一元二次不等式的解法步骤：
第 1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式：
ax2 bx c 2＞ 0或 ax bx c ＜ 0 ( a＞ 0 )
第 2步：求出相应的一元二次方程的根．
第 3步：利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
7
三个“二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
一元二次方程 有两相等实数根 x1＝
有两相异实数根 x1，
ax2＋bx＋c＝0 b 没有实数根
x2(x1＜x2) x2＝－
(a＞0)的根 2a
一元二次不等式
ax2
b
＋bx＋c＞0 {x|x＜x1或 x＞x2} xx≠－ R2a
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x1＜x＜x2}
(a＞0)的解集
题型 1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题 4求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0； (2) ≤0
变式 1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.
8
题型 2 含参不等式的分类讨论
例题 5解关于 x的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
变式 1求不等式 12x2－ax＞a2(a∈R)的解集 变式 2 ax2－(a＋1)x＋1<0.
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不
易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二
次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
9
题型 3 三个二次之间的关系
【典例 2】（三个“二次”之间的关系）（1）(2019·贵州模拟)已知不等式 ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1则不等式 2x2＋bx＋a<0的解集为( )
x|x< 1－1或 x> x|－1A. 2 B. 2 C.{x|－21}
【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以
求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则
可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相
互联系，并在一定条件下相互转换．
【变式 1】(1)已知不等式 ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或 x>b}．
(Ⅰ)求 a，b； (Ⅱ)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
题型 4 根的分布
【例题 1】（1）若方程 x2＋(m －3)x＋m＝0有两个正实根，则 m的取值范围是________．
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数 y＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且方程 ax2－(a＋2)x＋1=0在 2 x 1上恰
有一个零点，则不等式 y>1的解集为________．
变式 3 关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有 3个整数，则 a的取值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10
变式 4 (2018·云南模拟)若关于 x的不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是 x | 4 x 3 的子集，则 a的取
值范围是( )
A． 4 a 1 B． 4 a 3 C．1 a 3 D． 1 a 3
题型 5 一元二次不等式的恒成立问题
例题 6-1若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切 x∈R恒成立，则实数 a的取值范围是( )
A.a 2 B． 2 a 2 C． 2 a 2 D．a 2
1
例题 6-2（2020·浙江高三专题练习）若不等式 x2 ax 1 0对于一切 x 0, 恒成立，则 a的最小值（ ） 2
5
A．0 B． 2 C． D． 3
2
例题 6-3若对任意 m∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求 x的取值范围。
2 2
变式 1设关于 x的不等式 (a 1)x (a 1)x 1＜0的解集是 R，则实数 a的取值范围是（ ）
a 3 a 3 3 3A． ＜ 或 ＞1 B． ＜ a ＜1 C． ＜ a 1 D． ＜ a 1或 a 1
5 5 5 5
变式 2函数 f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当 x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数 a的取值范围．
11
变式 3已知 a∈[－1，1]时不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则 x的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
变式 4（2019·凤城市第一中学） x [0,3],a x2 2x 5,则 a的范围是___; x [0,3],a x 2 2x 5, 则
a的范围是_______
【题型优化测训】
1 1 1、a，b∈R，a＜b和 ＜ 同时成立的条件是________．
a b
2 1 1、若 < <0，则下列结论不正确的是( )
a b
A．a2|a＋b|
3、若集合 A {x | x 3 2a}， B {x | (x a 1)(x a) 0}， A B R，则 a 的取值范围为（ ）
4 4
A．[2, ) B． ( , 2] C． , D． ,
3 3
4、关于 x的不等式 ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于 x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
0 1，
5、若不等式 x2＋ax＋1≥0对一切 x∈ 2 恒成立，则 a的最小值是( )
A.0 B.－2 C. 5－ D.－3
2
6、对于任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数 a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2) D.(－2，2]
7、不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为________．
1 1
－ ，－
8、已知不等式 ax2－bx－1≥0的解集是 2 3 ，则不等式 x2－bx－a＜0的解集为________．
9 3、若不等式 2kx2＋kx－ <0对一切实数 x都成立，则 k的取值范围为________．
8
10．(一题两空)设函数 f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式 f(x)<0的解集是(1,5)，则 f(x)＝________；若对于任意 x
∈[1,3]，不等式 f(x)≤2＋t有解，则实数 t的取值范围为________．
12【专题 3】
【知识梳理】
1、不等式的基本性质：
性质 1 对称性： a b b a；
性质 2 传递性： a b，b c a c；
性质 3 可加性： a b a c b c；
性质 4 可乘性： a b，c 0 ac bc； a b，c 0 ac bc；
性质 5 同向可加性： a b， c d a c b d；
性质 6 同向可乘性： a b 0， c d 0 ac bd；
性质 7 乘方法则：a b 0 a n b n ；
性质 8 开方法则：a b 0 n a n b ；
2、不等式的一些常用性质
1 1 1 1
（1）若 a b，ab 0 ； （2） a 0 b ；
a b a b
（3） a b 0，0 c d a b ；（4）若a b 0，m 0 b b m，则
c d a a m
【基础自测】
1.(多选)设 b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A 1 1 B.1 c 1 c C.a＋2 a． － ＞ － ＞ D．ac2＜bc2
a 2 b 2 a b b＋2 b
【答案】ABC
y x 1 (0 ∞) a1 b1. y 1 c (0 ∞) 1【解析】因为 ＝ 在 ，＋ 上是增函数，所以 ＜ 因为 ＝ － 在 ，＋ 上是减函数，所以 －c
2 2 2 x a
1 a ＋2 a 2 b－a a＋2c. a＞ － 因为 － ＝ ＞0，所以 ＞ .当 c＝0时，ac2＝bc2，所以 D不成立．故选 A、B、C.
b b＋2 b b＋2 b b＋2 b
2.已知－1【答案】：(－4,2) (1,18)
【解析】∵－1∴－43.下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
1
C．若 a>|b|，则 a2>b2 D．若 a>b 1 1，则 <
a b
【答案】 C
【解析】 当 c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而 2－3<1－(－1)，故 B不成立；a＝2，b＝－1时，D不
成立；由 a>|b|知 a>0，所以 a2>b2，故选 C．
4.若集合 A x |
x 2
0 ,B x | 1 x 2 ，则 A B=（ ）
x 1
A.[ 2, 2) B. ( 1,1] C. 1，1 D. 1，2
【答案】C
x 2
【解析】由题意， A x | 0 x | 2 x 1 ， B {x | 1 x 2}，则 A B {x | 1 x 1}，
x 1
故答案为 C。
5.若不等式 ax2＋bx＋2>0 1的解为－ 2 3
【答案】(－2,3)
1 1
【解析】 由题意，知－ 和 是一元二次方程 ax2＋bx＋2＝0的两根且 a<0，
2 3
1 1 b
－ ＋ ＝－
2 3 a a＝－12
所以 1×1 2 ，解得 b 2 .－ ＝ ＝－
2 3 a
则不等式 2x2＋bx＋a<0即 2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2考向一 不等式的性质
★☆☆例 1．若 a、b、c R，且 a b，则下列不等式成立的是（ ）
A． 1 1 B． 2 2 C． a b a b D． a c b c
a b c2 1 c2 1
【答案】C
【解析】A.条件没有说明两个数同号,取倒数后不等号不一定反向.
B.没有交代两个数的正负性
C.不等号两边同时一个正数,不等式仍然成立
D. c 可能为 0
备注：.需熟练掌握不等式的常见运算性质，如取倒数，同时取平方有什么要求，以及 c 0 ， c2 1 0这种
常识性结论。
2
★★☆练 1．若 a、b、c R，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
2
A. 1 1ac bc B. c 0 C. a b c2 0 D.
a b a b
【答案】C
【解析】A.不等号两边同时乘一个数,若不知道这个数的正负,不等号也无法确定是否改变,故错误.
B.c 有可能等于 0
C. a b易得 a b 0，而 c2 0，故成立
D. 没有交代两个数是否同号
★☆☆例 2. 如果 a b给出下列不等式
（1） 1 1 （2） a3 b3 （3） a2 1 b2 1 （4） 2a ab
a b
其中成立的是（ ）
A．（2）（3） B.（1）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
【答案】D
【解析】（1）没有交代 a,b是否同号
（2）由三次函数 y x3 在 R上单调递增知显然成立
（3）不知道 a,b的负号， a2 与 b2的大小无法判定
（4）由指数函数 y 2x 在 R上单调递增知显然成立
★☆☆练 2.下面四个条件中，使 a b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． a b 1 B. a b 1 C. a2 b2 D. a3 b3
【答案】A
【解析】A.若 a比 b加上 1 之后都要大，那么 a一定会大于 b，反之则不成立，可自行举反例。
B.若 a比 b减 1 来得大，显然 a不一定会大于 b
C.没有交代两个数的正负性
D.由三次函数 y x3 在 R上单调递增可知显然成立，但由于反之也成立，故此时为充要条件，不符合题意。
考向二 不等式性质的应用
一、待定系数求整式范围
【例题讲解】
★☆☆
例题 1． 设 0, ， [0, ]，那么 2 的取值范围是( )
2 2 3
3
(0, 5 ) 5 A B.（ , ） C． (0, ) D. ( , )
6 6 6 6
【答案】D
【解析】由 0,
得0＜2 ＜ ，由 [0,
] 得 0，∴ 2 ，故选 D.
2 2 6 3 6 3
★★☆ π练 1．若－ <α<β<π，则α－β的取值范围是________．
2 2
【答案】(－π，0)
π<α<π π π【解析】由－ ，－ <－β< ，α<β，得－π<α－β<0.
2 2 2 2
★★☆例题 2． 已知－1 x＋y 4，且 2 x－y 3，则 z＝2x－3y的取值范围是 ．
【答案】3 z 8
【解析】 z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
2 －(x＋y) ，5 (x－y) ，
∴3 －(x＋y)＋(x－y) 8，
∴ z的取值范围是 z | 3 z 8 ．
★★☆练 2．设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是________.
【答案】[5，10]
【解析】
方法一 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4， m＝3，
于是得 解得
n－m＝－2， n＝1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故 5≤f(－2)≤10.
f（－1）＝a－b，
方法二 由
f（1）＝a＋b，
4
a 1＝ [f（－1）＋f（1）]，
2
得
b 1＝ [f（1）－f（－1）]，
2
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
1≤a－b≤2，
方法三 由 确定的平面区域如图阴影部分所示，
2≤a＋b≤4
3 1
，
当 f(－2)＝4a－2b过点 A 2 2 时，
4×3 2×1取得最小值 － ＝5，
2 2
当 f(－2)＝4a－2b过点 B(3，1)时，
取得最大值 4×3－2×1＝10，
∴5≤f(－2)≤10.
m
★★☆例 3：已知10 m 25，－30 n －15，求m n与 的取值范围．
n
【答案】 25 m 5 m 1 n 55， .
3 n 3
【解析】 因为－30 n －15，所以15 －n 30，所以10＋15 m－n 25＋30，即 25 m－n 55 .
因为－30 1 1 1 1 1 1 n －15，所以 ，所以 ，又10 m 25，
15 n 30 15 n 30
5 m 1
所以
3 n 3
知识点要点总结：处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个
选项，则取另一组特殊值继续代入选项判断，直到能进一步排除为止。依据给定的条件，利用不等式的性
质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．属于基础题
a2 a3
★★☆练 3．设设 a，b为实数，已知3 ab 2 4， 2 3，求 4 的取值范围．b b
1 y
★★☆ 练 4．已知 1 x y 1，1 x y 3，则8x 的取值范围是
2
5
【答案】 2,2
7
【解析】令3x y s x y t x y s t x s t y
s t 3
则 ，
s t 1
s 1
∴ ，
t 2
又 1 x y 1，…∴①
1 x y 3，
∴ 2 2 x y 6…②
y
∴① ②得1 3x y 7 1 ．则8x 2
3x y 7
2
2,2 ．
二、比较两数（式）的大小
方法一：作差法
（1） a b 0 ；（2） a b 0 ；（3） a b 0 ．
注：(1)作差比较法：①作差；②变形；③定号；④结论．
变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．
方法二：作商法
（1）若 a 0，b ＞0 a a a，则 ＞1 ； =1 ； ＜1 ．
b b b
a a a
（2）若 a 0，b 0，则 ＞1 ； =1 ； ＜1 ．
b b b
注：作商比较法：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论．
方法三：特值比较法：若是小题可以用特值法比较大小；若是大题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法
判断
（一）作差
【例题讲解】
★☆☆例题 1．设 a,b是非零实数，若 a b，则下列不等式成立的是( )
a2 b2 2 2 1 1 b aA． B． ab ba C． 2 2 D． ab a b a b
【答案】C
6
【解析】当 a 0,b 0时，a 2 b 2 2 2不一定成立，故 A 错．因为 b a 0,ab a b ab(b a) ，
b a 0 ab 1 1 a b 0 1 1 b a－ ， 符号不确定，故 B 错. ，所以 ，故 C 正确．D 中 与 的
ab2 a2b a2b2 ab2 a2b a b
大小不能确定．
★★☆ 1 1练习 1．能得出 成立的是 ( )
a b
A． b 0 a B．b a 0 C． a 0 b D． a b 0
【答案】D
1 1 1 1 b a
【解答】解：由 得 0，
a b a b ab
b a
则当 a b 0时，不等式 0，成立，其余不成立，故选： D．
ab
★★☆例题 2：已知 x 1，比较 x 3 1与 2x 2 2x 的大小；
立方和公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【提示】
立方差公式:a
3 b3 a b a2 ab b2
【答案】第 1步：作差；
2x 2 2x x 3 1
第 2步：合并并分解因式；
2x x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 2 2 2x x x 1 x 1 x x 1
第 3步：判断各因式的符号；
2
x 2
1
x 1 x 2 x
1 1 3
1
x 0
4
4 2 4
因为 x 1，所以 x 1 0 ，
第 4步：判断各因式乘积的符号并判断差的正负；
所以 x 1 x 2 x 1 0，即 2x 2 2x x 3 1
★★☆练习 1. （2020·浙江高一单元测试）当 p,q都为正数且 p q 1时，试比较代数式 ( px qy)2 与
px2 qy2的大小．
【答案】 ( px qy)2 px2 qy2
【解析】 px qy 2 px2 qy2 p p 1 x2 q q 1 y2 2pqxy
因为 p q 1，所以 p 1 q,q 1 p
7
px qy 2 px2 qy2 pq x2 2因此 y 2xy pq x y 2
因为 p,q为正数，所以 pq x y 2 0
px qy 2因此 px2 qy2，当且仅当 x y时等号成立
★★☆练习 2. 已知 x, y R ， M x 2 y2 1， N x y xy ，则 M与 N的大小关系是（ ）
A． M N B． M N C． M N D. 不能确定
【解析】 M N x 2 y2 1 x y xy
x 2 y2 1 x y xy
1
x 2 2xy y2 1 2 1 x 2x 1 y2 2y 1
2 2 2
1
2 1 1x y 2 2x 1 y 1 0
2 2 2
所以 M N ；【答案】A
（二）作商
★☆☆例 1. a,b R ，那么“ a 1”是“ a b 0 ”的（ ）
b
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】取特殊值 a 2,b 1，此时符合 a 1，但不满足 a b 0 ，故无法得到充分性
b
反之若 a b 0 ，又不等式的性质，可得到 a 1。故前者为后者的必要不充分条件
b
★☆☆练习 1． 如果 a,b表示两个负数，且 a b，则（ ）
A. a b 1 1 1 B. 1 C. D. ab 1
b a a b
【答案】A
根据不等式的性质，两边都除以 b 判断出 A、B，两边都除以 ab，判断出 C 即可得解．
【解析】解：∵ a、b表示两个负数，
a
∴ a＜b两边都除以 b 得， 1 ,
b
故 A 选项正确，B 选项错误；
8
∵ a、b表示两个负数，
∴ ab 0，
1 1
∴ a b都除以 ab 得， ，故 C 选项错误；
a b
D、只能判断出 ab 0，但无法说明 ab 1，故本选项错误．
故选 A．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不
2 2
变．（2）不等 b a 式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）
c c
同一个负数，不等号的方向改变．
★☆☆练习 2．当 a 0，b 0且 a b时， aabb与abba的大小.
aabb 1 a b a b
aa bbb a aa b a 【答案】 .
abba b b
a a b 0a b 0 a b 0 1 a a ①当 时，即 ， 时， 1，b a
abb abba；
b b
a b 0
②当b a 0时，即 a b 0 0 a 1 a a ， 时， a b b a
b
1， a b a b .
b b
综上所述，当 a 0，b 0且 a b时， aabb abba .
（三）特殊值法
★★☆例 1 已知实数 a和 b满足 a b c ，且 ac 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
① b c ② ab a
2 b a a c
0 ③ ④ 0
a a c c c ac
A．③④ B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】C
【解析】 取 a 2,b 1,c 1
1 1 2 4
① 显然错误 ② 0 1 4 3成立 ③ 成立。 ④ 0成立，故排除①
2 2 1 1 1 2
再取 a 1,b 2,c 1
2 1
② 0成立
1
4 1
③ 成立
1 1
9
3
④ 0不成立，故排除④
1
所以②④正确，选C
备注：1.处理相对复杂的不等关系时取特殊值法应作为首选。一组特殊值若无法排除至只剩一个选项，则取
另一组特殊值继续代入选项判断，直到能进一步排除为止。
★☆☆练习 1.若 a b 0，则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A． B． | b | | a | b aC． 2 D． ab b2
b a a b
【答案】C
【解答】解：令 b 1， a 2，则C正确， A， B，D错误，故选：C．
（四）综合应用
★★★例 1（湖南雅礼中学 2019 届质检）
(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
1 1 1(2)若 ＜ ＜0 1 1 1，给出下列不等式：① ＜ ；②|a|＋b＞0；③a－ ＞b－ ；④a2＞b2.其中正确的不等式
a b a＋b ab a b
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
a 1
2
－
b a a2 a 1 2 3∴ － ＝ － ＋ ＝ ＋ >0，
4
∴b>a，∴c≥b>a.
(2) 1 1方法一 因为 ＜ ＜0，故可取 a＝－1，b＝－2.
a b
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.
综上所述，可排除 A，B，D.
1 1 1 1
方法二 由 ＜ ＜0，可知 b＜a＜0.①中，因为 a＋b＜0，ab 1 1＞0，所以 ＜0， ＞0.故有 ＜ ，即
a b a＋b ab a＋b ab
①正确；
②中，因为 b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
10
1 1
③中，因为 b＜a＜0，又 ＜ ＜0 1 1 0 a 1 b 1，则－ ＞－ ＞ ，所以 － ＞ － ，故③正确；
a b a b a b
④中，因为 b＜a＜0，根据 y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得 b2＞a2＞0，故④错误.由以上分析，知①③
正确.
【变式 1】．已知 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，给出下列四个命题：（1）ad＞bc；（2 a b） ＋ ＜0；（3）a－c＞b－d；
d c
（4）a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 2】对于实数 a,b,c有下列命题：①若 a b 2 2，则 ac bc；②若 ac bc ，则 a b；③若 a b 0，
a2 ab b2 c a b 0 a b 1 1则 ，④若 ，则 ，⑤若 a b, ，则 a 0,b 0，其中正确的是____.
c a c b a b
【答案】②③④⑤
考向三 二次函数与一元二次方程、不等式
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1 2．一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的解法
2
（1）配方法：将方程整理成 (x p) q，方程的根是 ．
x2注： 系数是 1和不是 1 2时配方注意事项； x 系数是负数时配方注意事项．
（2）公式法： ( b2 4ac 0)．
（3）因式分解：十字相乘法： x2 ( p q)x pq 0 ．
2 2．一元二次方程根的判别（ b 4ac）
（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根；
（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解．
3．韦达定理（根与系数关系）
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的两个根是 x1和 x2，则 x1+ x2＝ ； x1 . x2＝ ．
二、一元二次函数
1 y ax2．二次函数的概念：一般地，形如 bx c （ a，b，c是常数， a 0）的函数，叫做二次函数。
2 2．二次函数 y ax bx c 的性质
当 a 0 时，抛物线开口 ，当 a 0 时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
3．二次函数解析式求法
（1）一般式： （ a，b， c为常数， a 0），需要三个坐标点；
11
（2 2）顶点式： y a(x h) k （ a， h， k为常数， a 0），顶点坐标和其他任一点的坐标；
（3）零点式： （ a为常数，且 a 0），二次函数的零点为 x1， x2．
【衔接高中知识】
（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫作一元二次不等式，形
2
如 ax bx c 0（或 0，或 0，或 0），其中 a 0．
（2）一元二次不等式的解法步骤：
第 1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式：
ax2 bx c ＞ 0 2或 ax bx c ＜ 0 ( a＞ 0 )
第 2步：求出相应的一元二次方程的根．
第 3步：利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
三个“二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
一元二次方程 有两相等实数根 x1＝
有两相异实数根 x1，
ax2＋bx＋c＝0 b 没有实数根
x2(x1＜x2) x2＝－
(a＞0)的根 2a
一元二次不等式
b
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x1或 x＞x2} xx≠－ R2a
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x1＜x＜x2}
(a＞0)的解集
题型 1 一元二次不等式及简单不等式的解法
例题 4求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0； (2) ≤0
【答案】（1） （2） .
【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
12
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13.
又二次函数 y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－ 13（2）方法一: ≤0等价于 ①或 ②
解①得- 所以原不等式的解集为 .
方法二:不等式 ≤0
所以由二次不等式知 所以- 变式 1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.
[解] (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，
|－2≤x≤4
即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤4 3，所以原不等式的解集为 x .
3
x2－x－2＞0， x2－x－2＞0， x＞2或 x＜－1，
(2)原不等式等价于 x2－x－2≤4 x2－x－6≤0 －2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
{x|－2≤x＜－1或 2＜x≤3}
原不等式的解集为 .
题型 2 含参不等式的分类讨论
例题 5解关于 x的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当 a＝0时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1.
x 2－
②当 a＞0时，原不等式化为 a (x＋1)≥0，
x≥2解得 或 x≤－1.
a
13
x 2－
③当 a＜0时，原不等式化为 a (x＋1)≤0.
2 2
当 ＞－1，即 a＜－2时，解得－1≤x≤ ；
a a
2
当 ＝－1，即 a＝－2时，解得 x＝－1满足题意；
a
2 2
当 ＜－1，即－2a a
综上所述，当 a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
x|x≥2或 x≤－1
当 a＞0时，不等式的解集为 a ；
2≤x≤－1
当－2＜a＜0时，不等式的解集为 x|a ；
x|－1≤x≤2
当 a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当 a＜－2时，不等式的解集为 a .
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
变式 1求不等式 12x2－ax＞a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为 12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
a a
解得 x1＝－ ，x2＝ .
4 3
∞ a a－ ，－ ，＋∞
当 a＞0时，不等式的解集为 4 ∪ 3 ；
当 a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
－∞ a a， － ，＋∞
当 a＜0时，不等式的解集为 3 ∪ 4 .
变式 2 ax2－(a＋1)x＋1<0.
解题过程：若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1.
14
若 a<0 1，原不等式等价于(x－ )(x－1)>0 1，解得 x< 或 x>1.
a a
若 a>0 1，原不等式等价于(x－ )(x－1)<0.
a
1 1
①当 a＝1时， ＝1，(x－ )(x－1)<0无解；
a a
a>1 1<1 (x 1②当 时， ，解 － )(x－1)<0 1得 a a a
1
③当 01，
a
解(x 1－ )(x－1)<0得 1a a
综上所述：当 a<0 1时，解集为{x|x< 或 x>1}；
a
当 a＝0时，解集为{x|x>1}；当 01时，解集为{x| a a
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不
易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二
次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
题型 3 三个二次之间的关系
【典例 2】（三个“二次”之间的关系）（1）(2019·贵州模拟)已知不等式 ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1则不等式 2x2＋bx＋a<0的解集为( )
x|x<－1或 x>1 x|－1A. 2 B. 2 C.{x|－21}
解：由题意知 x＝－1，x＝2是方程 ax2＋bx＋2＝0的两根，且 a＜0.
－1＋2 b＝－ ，
a a＝－1，
由韦达定理得
1 2 2
（－ ）× ＝ b＝1.
a
所以不等式 2x2＋bx＋a<0，即 2x2＋x－1<0. 1解得－1＜x＜ .故选 B.
2
【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以
求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则
可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相
互联系，并在一定条件下相互转换．
15
【变式 1】(1)已知不等式 ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或 x>b}．
(Ⅰ)求 a，b； (Ⅱ)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(Ⅰ)因为不等式 ax2－3x＋6>4 的解集为{x|x<1或 x>b}，所以 x1＝1与 x2＝b是方程 ax2－3x＋2＝0的两
个实数根，且 b>1.由根与系数的关系，得
1 b 3＋ ＝ ，
a a＝1，
解得
1 2×b＝ . b＝2.
a
(Ⅱ)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即 x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当 c>2时，不等式的解集为{x|2②当 c<2时，不等式的解集为{x|c③当 c＝2时，不等式的解集为 .
题型 4 根的分布
【例题 1】（1）若方程 x2＋(m －3)x＋m＝0有两个正实根，则 m的取值范围是________．
Δ＝ m－3 2－4m≥0，
解析 由题意得， x1＋x2＝3－m＞0， 解得 0＜m≤1.
x1x2＝m＞0，
答案 0＜m≤1
(2)(2018·贵州模拟)已知二次函数 y＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且方程 ax2－(a＋2)x＋1=0在 2 x 1上恰
有一个零点，则不等式 y>1的解集为________．
解：根据题意有 f(－2)f(－1)<0，
(6a 5)(2a 3)<0. 3所以 ＋ ＋ 所以－ 2 6
又 a∈Z，所以 a＝－1.检验知合要求．
不等式 f(x)>1 即为－x2－x＋1>1，解得－1故填{x|－1＜x＜0}．
变式 3 关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有 3个整数，则 a的取值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC．
【解析】设 f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是 x＝3的抛物线，如图所示；
16
若关于 x的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有 3个整数，则
，即 ，
解得 5＜a≤8，又 a∈Z，
所以 a＝6，7，8．
故选：ABC．
变式 4 (2018·云南模拟)若关于 x的不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是 x | 4 x 3 的子集，则 a的取
值范围是( )
A． 4 a 1 B． 4 a 3 C．1 a 3 D． 1 a 3
解：原不等式等价于(x－a)(x－1)≤0，当 a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要 a≥－4即可，即－4≤a<1；
当 a＝1时，不等式的解为 x＝1，此时符合要求；当 a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要 a≤3即可，
即 1题型 5 一元二次不等式的恒成立问题
例题 6-1若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切 x∈R恒成立，则实数 a的取值范围是( )
A.a 2 B． 2 a 2 C． 2 a 2 D．a 2
【答案】C
【解析】当 a－2＝0，即 a＝2时，不等式为－4＜0对一切 x∈R恒成立．
a－2＜0，
当 a≠2时，则
Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＜0，
a－2＜0，
即 解得－2＜a＜2.
a2＜4，
∴实数 a的取值范围是(－2,2]．
1
例题 6-2（2020·浙江高三专题练习）若不等式 x2 ax 1 0对于一切 x 0, 恒成立，则 a的最小值（ ） 2
5
A．0 B． 2 C． D． 3
2
【答案】C
1 1 1
【解析】不等式 x2+ax+1≥0对一切 x∈(0， ]成立，等价于 a≥-x- 对于一切 x 0, 成立，2 x 2
1 1
∵y=-x- 在区间 0, 上是增函数x 2
x 1 1 5
5 5
∴ 2 ，∴a≥- ，∴a的最小值为- 故答案为 C．
x 2 2 2 2
17
例题 6-3若对任意 m∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求 x的取值范围。
【解析】由 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令 g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
g(－1)＝(x－2)×(－1)＋x2－4x＋4＞0，
所以
g(1)＝(x－2)＋x2－4x＋4＞0，
解得 x＜1或 x＞3.
故 x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
2 2
变式 1设关于 x的不等式 (a 1)x (a 1)x 1＜0的解集是 R，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 3 3＜ 或 a ＞1 B． ＜ a ＜1
5 5
3 3
C． ＜ a 1 D． ＜ a 1或a 1
5 5
变式 2函数 f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当 x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数 a的取值范围．
解：(1)∵当 x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即 a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数 a的取值范围是[－6,2]．
(2)对于任意 x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立．
即 x2＋ax＋3－a≥0对任意 x∈[－2,2]恒成立，
令 g(x)＝x2＋ax＋3－a.
Δ>0，
a
则有①Δ≤0 － <－2，或② 2
g －2 ＝7－3a≥0
Δ>0，
a
－ >2，
或③ 2
g 2 ＝7＋a≥0.
解①得－6≤a≤2，
18
解②得 a∈ ，
解③得－7≤a<－6.综上可知，实数 a的取值范围为[－7,2]．
变式 3已知 a∈[－1，1]时不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则 x的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于 a的一次函数，记 f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由 f(a)＞0对于任意的 a∈[－1，1]恒成立，
得 f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且 f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
x2－5x＋6＞0，
解不等式组 得 x＜1或 x＞3.
x2－3x＋2＞0，
变式 4（2019·凤城市第一中学） x [0,3],a x2 2x 5,则 a的范围是___; x [0,3],a x 2 2x 5, 则
a的范围是_______
【答案】[8, ) [4, )
【解析】
令 f (x) x2 2x 5 (x 1)2 4 ，
对 x [0,3]， f (x)max f (3) 8， f (x)min f (1) 4，
x [0,3]， a x2 2x 5即 a f (x)max 8；
x [0,3]， a x2 2x 5即a f (x)min 4．
故答案为：[8, )；[4, )
【题型优化测训】
1、a，b 1 1∈R，a＜b和 ＜ 同时成立的条件是________．
a b
【答案】a＜0＜b
【解析】若 ab＜0，由 a b 1 1 1 1 1 1＜ 两边同除以 ab得， ＞ ，即 ＜ ；若 ab＞0，则 ＞ .
b a a b a b
a b 1 1所以 ＜ 和 ＜ 同时成立的条件是 a＜0＜b.
a b
2 1<1、若 <0，则下列结论不正确的是( )
a b
19
A．a2|a＋b|
【答案】D
1 1
【解析】 ∵ < <0，∴ba2，aba b
b|，故 D错误．
3、若集合 A {x | x 3 2a}， B {x | (x a 1)(x a) 0}， A B R，则 a 的取值范围为（ ）
[2, ) ( , 2] , 4 4A． B． C． D． ,
3 3
【答案】D
【解析】因为 A {x | x 3 2a} B {x | x a或x a 1} 4， A B R，所以3 2a a 1，解得 a 。
3
4、关于 x的不等式 ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于 x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
b
【解析】关于 x的不等式 ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－ ＝1，∴关于 x的不等式(ax＋b)(x－2)<0
a
x b＋
可化为 a (x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|10 1，
5、若不等式 x2＋ax＋1≥0对一切 x∈ 2 恒成立，则 a的最小值是( )
A.0 B.－2 C. 5－ D.－3
2
【答案】C
0 1，
【解析】由于 x∈ 2 ，若不等式 x2＋ax＋1≥0恒成立，
x 1 1＋ 0，
则 a≥－ x ，x∈ 2 时恒成立，
0 1，
令 g(x) x 1＝ ＋ ，x∈ 2 ，
x
0 1 0 1， ，
易知 g(x)在 2 上是减函数，则 y＝－g(x)在 2 上是增函数.
1
＋2
∴y＝－g(x) 5的最大值是－ 2 ＝－ .因此 a≥ 5 5－ ，则 a的最小值为－ .
2 2 2
6、对于任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数 a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2) D.(－2，2]
【答案】D
20
【解析】当 a－2＝0，即 a＝2时，－4<0恒成立；
当 a－2≠0，即 a≠2时，
a－2<0，
则有 Δ＝[－2（a－2）]2－4×（a－2）×（－4）<0，
解得－27、不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为________．
【答案】{x|－3≤x≤1}
【解析】(x＋3)(1－x)≥0 (x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．
1 1
－ ，－
8、已知不等式 ax2－bx－1≥0的解集是 2 3 ，则不等式 x2－bx－a＜0的解集为________．
【答案】(2,3)
1 1
【解析】由题意知－ ，－ 是方程 ax2－bx－1＝0的两根，
2 3
1
1 － b
－ ＋ 3 ＝ ，
2 a
所以由根与系数的关系得 11 －
－ × 3 1＝－ .
2 a
a＝－6，
解得 b＝5，
不等式 x2－bx－a＜0即为 x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
9 3、若不等式 2kx2＋kx－ <0对一切实数 x都成立，则 k的取值范围为________．
8
【答案】(－3,0]
【解析】当 k＝0时，显然成立；
k<0，
3
当 k≠0 3时，即一元二次不等式 2kx2＋kx－ <0 对一切实数 x都成立，则 － 解得－
8 Δ＝k2－4×2k× 8 <0，
38
10．(一题两空)设函数 f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式 f(x)<0的解集是(1,5)，则 f(x)＝________；若对于任意 x
∈[1,3]，不等式 f(x)≤2＋t有解，则实数 t的取值范围为________．
【答案】2x2－12x＋10 [－10，＋∞)
b c
【解析】由题意知 1和 5是方程 2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－ ＝6， ＝5，解得 b＝
2 2
－12，c＝10，所以 f(x)＝2x2－12x＋10.不等式 f(x)≤2＋t在 x∈[1,3]时有解，等价于 2x2－12x＋8≤t在 x∈[1,3]
21
时有解，只要 t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设 g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则 g(x)在[1,3]上单调递减，所
以 g(x)≥g(3)＝－10，所以 t≥－10.
22