第4讲(微专题):基本不等式的技巧 讲义(含答案)--2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

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名称 第4讲(微专题):基本不等式的技巧 讲义(含答案)--2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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文件大小 3.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-25 18:02:22

文档简介

【专题 4】
【知识梳理】
1.重要不等式: a 2 b2 2ab (a,b R ),当且仅当 a b时,等号成立;
a b
2.基本不等式:若 a>0,b>0,则 ab ,当且仅当a b时,等号成立.
2
3.基本不等式的变形
(1)a b 2 ab (a>0,b>0),当且仅当 a b时,等号成立;
ab (a b(2) )2 (a,b R ),当且仅当a b时,等号成立;
2
4.常见的基本不等式的应用
1
(1)若 a>0,则 a 2,当且仅当a 1时,等号成立;
a
若 a 1< 0,则 a 2,当且仅当a 1时,等号成立;
a
b a
(2)若 a,b同号,则 2,当且仅当 a b时,等号成立.
a b
5.利用基本不等式求最值问题:已知 a>0,b>0,则
(1)如果积 ab是定值 p,那么当且仅当 时, a b有最 值 ;(积定和最小)
(2)如果和 a b是定值 p,那么当且仅当 时, ab有最 值 .(和定积最大)
6.两个变形
a2 b2 a b
(1 2) ( ) ab (a,b R,当且仅当 a b时取等号);
2 2
a2 b2 a b 2ab
(2) ab (a,b R* ,当且仅当a b时取等号).
2 2 a b
【基础自测】
81
1.已知 x 0,当 x+ 取最小值时,则 x 为( )
x
A. 81 B. 9 C. 3 D.16
【答案】B
2.若实数 a,b,满足 a b 2,则3a 3b的最小值是( )
A.18 B.6 C. 2 3 D. 3 2
【答案】B
3.若 0 a 1, 0 b 1且 a b,则 a b、 2 ab 、 2ab a2、 b2中最大的一个是( )
A. a b B. 2 ab C. 2ab D a2. b2
【答案】A
4.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab的最大值为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
【答案】A
5.已知正数m,n满足m2 n2 100,则m n( )
A.有最大值10 2 B.有最小值10 2
C.有最大值 10 D.有最小值 10
【答案】A
题型一:利用基本不等式求最值问题
技巧一:凑项
5
【典例 1】已知 x ,求函数 y 1 4x 2 的最大值。
4 4x 5
1
解:因4x 5 0,所以首先要“调整”符号,又 (4x 2) 不是常数,所以对 4x 2要进行拆、凑项,
4x 5
x 5 , 5 4x 0, y 4x 2 1 1 5 4x

4 4x 5 5 4x
3 2 3 1

1
当且仅当5 4x ,即 x 1时,上式等号成立,故当 x 1时, ymax 1。5 4x
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
4x 3y
【典例 2】设 , 为正实数,则M 的最小值为
x 3y x
【答案】3 未知定值(没有形如“ + = ”这样的定值式)
变式 1 a 1 1,b都是正数 a b 1,则 (a )(b ) 的最小值为 ( )
a b
A.4 B 25.6 C.8 D.
4
1
【分析】由正数 a b 1,把 (a )(b 1) 2 化简变形成 ab 2 .利用 1 a b 由均值不等式求出
a b ab
0 ab 1 .联系函数单调性可求最小值.
4
【解答】解:因为 a, b都是正数 a b 1,所以1 a b 2 ab,即 0 ab 1 .
4
(a 1)(b 1) ab a b 1
2 2 2
又 ab a b 1 (a b) 2ab 1 2 ab ab 2.
a b b a ab ab ab ab ab ab
1 2 25
因为函数 y 2 x 在 (0, 2)递减,所以当 ab 1 时, ab 2 2取得最小值 1 2 故选:D.x 4 ab 4 4
4 ,
变式 2 1若函数 y=x+ (x>2)在 x=a处取最小值,则 a=( )
x-2
A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4
【答案】C
技巧二:凑系数
2
例题 1 已知0< x< ,则函数 y 2x 5x2 的最大值为 .
5
1
【答案】
5
变式 1 已知0 x 4,则 y x(8 2x)的最大值为 .
【答案】8
0 x 3变式 2 设 ,则函数 y 4x(3 2x)的最大值为 .
2
9
【答案】
2
1
变式 3 (2020·全国高三专题练习)函数 y 3x (x 1)的最小值是( )
x 1
A. 4 B. 2 3 3 C.2 3 D. 2 3 3
因为 x 1 1 1,所以 y 3 x 1 3 2 3 x 1 1 3 2 3 3,当且仅当3 x 1 ,
x 1 x 1 x 1
3 1
即x 1 时等号成立.所以函数 y 3x (x 1)的最小值是 2 3 3.故选:D.
3 x 1
技巧三:分离换元法
x2 7x 10
例题 1 函数 y (x 1)的最小值为 .
x 1
【答案】9
y x 1例题 2 函数 的最大值为 .
4x 9
5
【答案】
20
6 x2变式 1 y 1求 的最大值.
x2 4
【答案】 y的最大值为 3.
x2 2
变式 2 函数 y 的最小值为 .
x2 1
【答案】 2
技巧四:巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
(以下 a,b,c,d,e为正常数, x,y 0)
d e d e
已知 ax by c,求 的最小值;或者已知 c,求 ax by的最小值.
x y x y
对于上面两类问题,我们都可以采用求 ax by d e 的最小值即可.
x y
3 4
【例 1】(1)(2020·全国高三专题练习)已知 x 0, y 0,且 x y 1,则 的最小值为( ).
x y
A.7 2 3 B.7 4 3 C.7 6 3 D.7 8 3
(2)(2020·全国高三专题练习)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( )
24 28
A. B. C.5 D.6
5 5
【答案】(1)B(2)C
【解析】(1)∵ x 0, y 0,且 x y 1,
3 4 (3 4 ) (x y) 7 3y 4x 3y 4x∴ 7 2 7 4 3,
x y x y x y x y
3y 4x
当且仅当 ,即
x y x 3 2 3, y 4 2 3
时等号成立,
3 4
∴ 的最小值为7 4 3 .故选:B.x y
3 1 1 3x 4y ( 3 1 )(3x 4y) 9 4 12 y 3x 13 12(2)由已知可得 ,则 5 ,所以
5x 5y 5x 5y 5 5 5x 5y 5 5
3x 4y的最小值5,应选答案 C.
例题 2:若 x 0, y 0 1 1,且 1,则 2x y的最小值为 ( )
x 1 x 2y
A.2 B. 2 3 C 1. 3 D. 4 2 3
2
3 1
【分析】法一:原式变形为 1,则 2x y可化为
3x 3 x 2y
1 (4x 1 2y) [(3x 3) (x 2y)] 3 1 [(3x 3) (x 2y)]( 3 1 ) 3 ,利用基本不等式即可求得
2 2 2 2 3x 3 x 2y 2
其最小值;
x 1 x2
法二:原式变形为 y ,则 2x y 3 x 1 1可化为 ,利用基本不等式即可
2x 2 2x 2
1 1
【解答】解:(法一) 1 3 1可变形为 1,
x 1 x 2y 3x 3 x 2y
所以
2x y 1 (4x 2y) 1 [(3x 3) (x 2y)] 3 1 [(3x 3) (x 2y)]( 3 1 ) 3
2 2 2 2 3x 3 x 2y 2
1 [4 3(x 2y) 3x 3 ] 3 1 3 1 (4 2 3) 3 ,
2 3x 3 x 2y 2 2 2 2
当且仅当 x 2y 3x 3 x 3即 , y 1 3 时取等号,
3 2 3
y x 1 x
2
(法二)原式可得 ,
2x
2x y 2x x 1 x
2 3 1 1 3 1 1 1
则 x 2 x 3 ,
2x 2 2x 2 2 2x 2 2
3 1 3
当且仅当 x ,即 x 时取“ ”,故选:C .
2 2x 3
【方法总结】
问题与条件一个为整式,一个为分式,整式未知数部分配成分式分母相同
【举一反三】
1.(2020·东莞市东华高级中学高三月考)已知m 0,n 0,m n 6 2 8,则 的最小值是( )
m n
A.4 2 B.4 C. 6 D.3
【答案】D
【解析】因为m 0, n 0,m n 6,
2 8 1
所以 (m n)( 2 8) 1 (10 2n 8m ) 3,
m n 6 m n 6 m n
2n 8m
当且仅当 ,即m 2, n 4时取等号.故选:D
m n
1 4
2.(2020·河北沧州市·高三期中)若mn 0,m n 3,则 的最小值为( )
m n
A.2 B.6 C.9 D.3
【答案】D
1 4 1 1 4 1 n 4m
【解析】因为mn 0,m n 3,所以 (m n) 5
m n 3 m n 3 m n
1 n 4m
n 4m 5 2 3.当且仅当 ,即m 1, n 2时取等号.故选:D.3 m n m n
3.已知 x 0, y 0,且2x 8y xy 0,求:
(1) xy的最小值;(2) x y的最小值.
【答案】(1)64(2)18
【解析】(1) x 0,y 0,2x+8y-xy=0,
xy=2x+8y 2=8,
xy ( xy 8) 0,又 xy 0,
. xy 8,即xy 64.
当且仅当 x=4y,即8y+8y-4y 2=0,即 y=4,x=16时取等号,
xy的最小值为 64.
(2) 2x+8y=xy 0 2 8 , =1,
y x
x y x y 2 8 10 2x 8 y 2x 8 y 10 2 18 .
y x y x y x
2x 8y
当且仅当 ,即 x=2y,即4y+8y-2y 2=0,
y x
1 1
4.若正数a,b满足 4a 3b 1 0,则 的最小值是 .
2a b a b
【答案】3 2 2
技巧五:消元法
例题 5-1 已知 a 0,b 0,且 2a b ab 1,则 a+2b 的最小值为( )
A.5 2 6 B.8 2 C.5 D.9
【答案】 A
2
例题 5-2 设正实数 x, y, z满足 x 3xy 4y 2 z z 0,则当 取得最小值时, x 2y z的最大值为
xy
z
【解析】首先要通过 取得最小值,得到 x, y, z之间的关系,然后将所求表达式进行消元,再求最值即可。
xy
x2解: 3xy 4y2 z 0 z x2 3xy 4y2
z x2 3xy 4y2 x 4y x 4y
① 3 2 3
xy xy y x y x
x 4y 2 2
等号成立条件为: x 4y x 2y 2,代入到①可得: z 2y 3 2y y 4y2 2y2
y x
x 2y, z 2y2 x 2y z 2y 2y 2y2 2 y2 2y 2 y 1 2 2 2
x 2 y z的最大值为 2
2
讲解步骤:三元 x 2y z →二元 x 2y x 3xy 4y2 →一元 2y 2y 2y2 2y2 4y
0 1<x< 3 1
例题 5-3 若实数 x,y满足 xy+3x=3 2 ,则 + 的最小值为________.
x y-3
【答案】. 8
0 x 1< <
【解析】、解法 1 因为实数 x,y满足 xy+3x=3 2 3,所以 y= -3(y>3),
x
3 1 1 1 1 1
所以 + =y+3+ =y-3+ +6≥2 y-3 · +6=8,当且仅当 y-3= ,即 y=4时取等
x y-3 y-3 y-3 y-3 y-3
3 3 1
号,此时 x= ,所以 + 的最小值为 8.
7 x y-3
0<x 1<
解法 2 3 3因为实数 x,y满足 xy+3x=3 2 ,所以 y= -3(y>3),y-3= -6>0,
x x
3
3 1 3 1 3 1 -6 1 3 1 3
所以 + = +3 = -6+ +6≥2
x
3 ·3 +6=8,当且仅当 -6= ,即 x= 时取等x y-3 x -6 x -6 -6 x 3-6 7
x x x x
3 1
号,此时 y=4,所以 + 的最小值为 8.
x y-3
a 1 1 1 9变式 1 若正数 ,b满足 1,则 的最小值为( )
a b a 1 b 1
A.6 B.9 C.12 D.15
【答案】 A
xy 2 1 2
变式 2 2 2设正实数 x, y , z满足 x 3xy 4y z 0,当 取最大值时, 的最大值为( )
z x y z
9
A.0 B.1 C. D.3
4
【答案】 B
1 1
变式 3 若 a 0,b 0,且 + 1,则 a + 2b的最小值为 .
2a + b b +1
2 3 +1
【答案】:
2
2
【解析】、由已知等式得 2a 2b 1 2ab 2a b 2 a
b b 1
b,从而 ,
2b
a b b
2 1 1 3
2b 2b b
1
1 2 3 2 3 1 2 3 +1,故有最小值 .
2b 2 2 2b 2 4 2 2
变式 4 设实数 x,y满足 x2+2xy-1=0,则 x2+y2的最小值是________.
5-1
【答案】
2
【解析】、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化
为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.注意中消去 y较易,所以消去 y.
1-x2
2 2
x2 2xy 1 0 y 1-x x2 y2 x2 2x 2 5x 1 1≥2 5 1 5-1由 + - = 得 = ,从而 + = + = + - - = ,当且仅当 x=
2x 4 4x2 2 16 2 2
4
± 1时等号成立.
5
题型二:利用基本不等式解决恒成立问题
2 1
例题 2-1 已知 x 0, y 0,且 1,若对任意的正数 x, y,不等式 x 2y m2 2m恒成立,则实数
x y
m的取值范围是( )
A.m≥ 4或m 2 B.m 2或m 4
C. 2 m 4 D. 4 m 2
【答案】D
例题 2-2 若 a 0,b 0,c 0且 a(a b c) bc 16 0,则 2a b+c m2 2m恒成立,则实数m的取
值范围为( )
A.m 2或m 4 B.m 4或m 2 C. 2 m 4 D. 4 m 2
【答案】D
例题 2-3 已知对满足 x+y+4=2xy的任意正实数 x,y,都有 x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数 a的取值范
围是________.
∞ 17- ,
【答案】 4
思路分析
【解析】、 不等式 x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0的构造比较特殊,可以化为关于 x+y的不等式,再
根据不等式及 x+y+4=2xy求出 x+y的范围即可.
2
对于正实数 x y x y 4 2xy x y 4 2xy≤ x+y, ,由 + + = 得 + + = ,解得 x+y≥4,
2
不等式 x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0可化为(x+y)2-a(x+y)+1≥0,
令 t=x+y(t≥4) 1,则该不等式可化为 t2-at+1≥0,即 a≤t+ 对于任意的 t≥4恒成立,
t
u(t) t 1(t≥4) u′(t) 1 1 t
2-1
令 = + ,则 = - = >0对于任意的 t≥4恒成立,从而函数 u(t)=2 t
1
+ (t≥4)为单调递增函
t t t2 t
u(t) u(4) 4 1 17 a≤17数,所以 min= = + = ,于是 .
4 4 4
易错警示 1
在求函数 u(t)=t+ (t≥4)的最小值时,有的考生直接用基本不等式求出 u(t)min=2,没有注意到 t≥4
t
的限制,从而得到错误的答案 a≤2.
x
变式 1 若对任意 x>0, 2 a恒成立,则a的取值范围是________.x 3x 1
1
【答案】 a
5
2 1 m
变式 2 若对任意 a>0,b >0,不等式 恒成立,则m的取值范围是________.
a b 2a b
【答案】m 9
变式 3 已知 x>0, y >0, xy x 2y,若 xy m 2恒成立,则实数m的最大值是________.
【答案】10
题型三:利用基本不等式证明不等式
例题 3 已知 a bc ca ab>0,b>0,c>0,求证: a b c .
a b c
bc ca 2 bc ca 2c ca ab 2a bc ab证明: 2b
a b a b , b c , a c
bc ca ab
a b c
a b c
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,
最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不
等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
1 1 1
变式 1 已知 a>0,b >0, c>0,且a b c 1,求证: 9 .
a b c
证明:将式中 1 替代为 a b c,
1 1 1 a b c a b c a b c

a b c a b c
1 1 1
再化简可证 9
a b c
1 1
变式 2 设a,b, c (0, )且 a b c 1,求证: ( 1)( 1)(1 1) 8.
a b c
1 1 1 a b c 1 1 b a c 1 1 c a b 1 1
证明: a a a , b b b , c c c
(1 1)(1 1)(1 1) b c a c a b 2 bc 2 ac 2 ab 8.
a b c a b c a b c
变式 3 设 a,b,c均为正数,且 a+b+c=1,求证,:
1 a2 b2 c2
(1)ab+bc+ca≤ ; (2) ≥1.
3 b c a
核心:(1)利用完全平方和公式(2)利用 a+b+c=1 构造三个基本不等式再累加
题型四:利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题 4 某工厂生产某种产品的年固定成本为 250万元,每生产 x千件,需另投入成本为 C(x),当年产量不
80 C(x) 1x2 10x( ) 80 C(x) 51x 10 000足 千件时, = + 万元 .当年产量不小于 千件时, = + -1 450(万元).每件
3 x
商品售价为 0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
[解] (1)因为每件商品售价为 0.05万元,则 x千件商品销售额为 0.05×1 000x万元,依题意得:
1x2+10x
当 03
51x 10 000 1 450 x 10 000+ - +
当 x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)- x -250=1 200- x .
1
- x2+40x-250,03
所以 L(x)= x 10 000+
1 200- x ,x≥80.
(2)当 03
此时,当 x=60时,L(x)取得最大值 L(60)=950万元.
x 10 000+
当 x≥80 L(x) 1 200 x ≤1 200 2 x·10 000时, = - - =1 200-200=1 000.
x
x 10 000此时 = ,
x
即 x=100时,L(x)取得最大值 1 000万元.
由于 950<1 000,
所以当年产量为 100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为 1 000万元.
变式 1 某单位决定投资 3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,
每米长造价 40元,两侧墙砌砖,每米长造价 45元,顶部每平方米造价 20元.求:
(1)仓库面积 S的最大允许值是多少;
(2)为使 S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长.
解 设铁栅长为 x m,一堵砖墙长为 y m,则顶部面积为 S=xy(m2).
(1)依题设,得 40x+2×45y+20xy=3 200.
由基本不等式得
3 200≥2 40x·90y+20xy=120 xy+20xy=120 S+20S.
所以 S+6 S-160≤0,即( S-10)( S+16)≤0,
故 0< S≤10.从而 0<S≤100.
所以 S的最大允许值是 100 m2.
(2)S取得最大值的条件是 40x=90y且 xy=100,
所以求得 x=15,即正面铁栅的长是 15 m.
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用基本不等式求解目标
函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
变式 2 森林失火,火势以每分钟 100 m2的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防员前去,在失火 5
分钟到达现场开始救火,已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火 50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等
费用平均每人每分钟 125元,所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人 100元,而每烧毁 1 m2的森林损
失费为 60元,设消防队派 x名消防队员前去救火,从到现场把火完全扑灭用 n分钟.
(1)求出 x与 n的关系式; (2)求 x为何值时,才能使总损失最少.
解 (1)由已知可得 50nx=100(n+5),
n 10所以 = (x>2).
x-2
(2)设总损失为 y元,则
y=6 000(n+5)+100x+125nx
10
+5
6 000 x 2 100x 1 250x 62 500= - + + = +100(x-2)+31 450≥2 6 250 000+31 450=36 450,
x-2 x-2
62 500
当且仅当 =100(x-2),即 x=27时,y取最小值.
x-2
即需派 27名消防员,才能使总损失最小,最小值为 36 450元.
【题型优化测训】
一、选择题
1
1.函数 y x 5(x 1)的最小值为( )
x 1
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
2.设 x, y R,且 x y 5,则3x 3 y的最小值是( )
A.10 B.6 3 C. 4 6 D.18 3
【答案】D
3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab的最大值为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
【答案】 A
4.已知 a 1,b 0,a b 2 1 1,则 的最小值为( )
a 1 2b
3
A. 2 B 3 2. C 1 2.2 3 2 2
D.
4 2 2 3
【答案】 A
5.若正实数 x, y
1 4
满足 1,且 x y a2 3a恒成立,则实数 a的取值范围为( )
x y 4
A. 1 a 4 B. 1 a 4 C. 4 a 1 D. 4 a 1
【答案】 B
二、填空题
1 1
6.已知 a,b是正实数,则 2 ab 的最小值是 .
a b
【答案】 4
a a2 1 17.已知 ,b是正实数,则 的最小值是 .
ab a(a b)
【答案】 4
8.规定记号“ ”表示一种运算,即 a b ab a b(a,b为正实数),若正数 x,y 满足 x y 3,
则 xy 的取值范围是________.
【答案】9
三、解答题
9.若 a 0,b 0, 1 1且 ab .
a b
(1)求 a3 b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a 3b 6?并说明理由.
【解析】
1 1
(1) ab 2 1 ab 2 a3 b3, 2 a3b3 4 2;
a b ab
(2) 2a 3b 2 2a 3b 2 12 4 3 6, 不存在
10.已知 x y b c a c, , z, a,b, c是正实数,求证: x2 y2 a b z 2 2(xy yz xz).
a b c
b c x2 a c y2 a b z 2 b x2 c x2 a y2 c y2 a z 2 b证明: z 2
a b c a a b b c c
b x2 a y2 c x2 a z2 c 2 b y z
2
2 xy yz xz
a b a c b c
11.某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x不
得超过5m.房屋正面的造价为 400元/m2 ,房屋侧面的造价为 150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5
800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
【解析】由题意可得,造价为:
y 3 12 2x 150 400 5800 900
x 16 5800(0 x 5)
x x
则 y 900 x 16

5800 900 2 x
16
5800 13000 ,
x x
当且仅当 x 16 时等号可取,故当侧面的长度为 4 时,总造价最低.
x【专题 4】
【基础自测】
81
1.已知 x 0,当 x+ 取最小值时,则 x 为( )
x
A. 81 B. 9 C. 3 D.16
2.若实数 a,b,满足 a b 2 3a 3b,则 的最小值是( )
A.18 B.6 C. 2 3 D. 3 2
3.若 0 a 1, 0 b 1且 a b,则 a b、 2 ab 、 2ab、 a2 b2中最大的一个是( )
A. a b B. 2 ab C. 2ab D. a2 b2
4.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab的最大值为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
5.已知正数m,n满足m2 n2 100,则m n( )
A.有最大值10 2 B.有最小值10 2
C.有最大值 10 D.有最小值 10
【知识梳理】
1.重要不等式: a 2 b2 2ab (a,b R ),当且仅当 a b时,等号成立;
a b
2.基本不等式:若 a>0,b>0,则 ab ,当且仅当a b时,等号成立.
2
3.基本不等式的变形
(1)a b 2 ab (a>0,b>0),当且仅当 a b时,等号成立;
(2) ab a b ( )2 (a,b R ),当且仅当a b时,等号成立;
2
4.常见的基本不等式的应用
(1)若 a 1>0,则 a 2,当且仅当a 1时,等号成立;
a
1
若 a< 0,则 a 2,当且仅当a 1时,等号成立;
a
(2)若 a,b b a同号,则 2,当且仅当 a b时,等号成立.
a b
1
5.利用基本不等式求最值问题:已知 a>0,b>0,则
(1)如果积 ab是定值 p,那么当且仅当 时, a b有最 值 ;(积定和最小)
(2)如果和 a b是定值 p,那么当且仅当 时, ab有最 值 .(和定积最大)
6.两个变形
a2 b2 (a b(1) )2 ab (a,b R,当且仅当 a b时取等号);
2 2
a2 b2 a b 2ab
(2) ab (a,b R* ,当且仅当a b时取等号).
2 2 a b
题型一:利用基本不等式求最值问题
技巧一:凑项
5
【典例 1】已知 x ,求函数 y 4x 2 1 的最大值。
4 4x 5
4x 3y
【典例 2】设 , 为正实数,则M 的最小值为
x 3y x
1 1
变式 1 a,b都是正数 a b 1,则 (a )(b ) 的最小值为 ( )
a b
A.4 B.6 C.8 D 25.
4
1
变式 2 若函数 y=x+ (x>2)在 x=a处取最小值,则 a=( )
x-2
A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4
技巧二:凑系数
2
例题 1 已知0< x< ,则函数 y 2x 5x2 的最大值为 .
5
2
变式 1 已知0 x 4,则 y x(8 2x)的最大值为 .
3
变式 2 设0 x ,则函数 y 4x(3 2x)的最大值为 .
2
1
变式 3 (2020·全国高三专题练习)函数 y 3x (x 1)的最小值是( )
x 1
A.4 B. 2 3 3 C.2 3 D. 2 3 3
技巧三:分离换元法
x2 7x 10
例题 1 函数 y (x 1)的最小值为 .
x 1
y x 1例题 2 函数 的最大值为 .
4x 9
2
变式 1 求 y 6 x 1 的最大值.
x2 4
3
2
变式 2 x 2函数 y 的最小值为 .
x2 1
技巧四:巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
(以下 a,b,c,d,e为正常数, x,y 0)
d e d e
已知 ax by c,求 的最小值;或者已知 c,求 ax by的最小值.
x y x y
ax by d e 对于上面两类问题,我们都可以采用求 的最小值即可.
x y
3 4
【例 1】(1)(2020·全国高三专题练习)已知 x 0, y 0,且 x y 1,则 的最小值为( ).x y
A.7 2 3 B.7 4 3 C.7 6 3 D.7 8 3
(2)(2020·全国高三专题练习)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( )
24 28
A. B. C.5 D.6
5 5
2 x 0 y 0 1 1例题 :若 , ,且 1,则 2x y的最小值为 ( )
x 1 x 2y
A.2 B. 2 3 C 1. 3 D. 4 2 3
2
4
【方法总结】
问题与条件一个为整式,一个为分式,整式未知数部分配成分式分母相同
【举一反三】
2 8
1.(2020·东莞市东华高级中学高三月考)已知m 0,n 0,m n 6,则 的最小值是( )
m n
A.4 2 B.4 C. 6 D.3
2.(2020·河北沧州市·高三期中)若mn 0,m n 3 1 4,则 的最小值为( )
m n
A.2 B.6 C.9 D.3
3.已知 x 0, y 0,且2x 8y xy 0,求:
(1) xy的最小值;(2) x y 的最小值.
4.若正数a,b满足 4a 3b 1 0 1 1 ,则 的最小值是 .
2a b a b
技巧五:消元法
例题 5-1 已知 a 0,b 0,且 2a b ab 1,则 a+2b 的最小值为( )
A.5 2 6 B.8 2 C.5 D.9
z
例题 5-2 2 2设正实数 x, y, z满足 x 3xy 4y z 0,则当 取得最小值时, x 2y z的最大值为
xy
5
0 1<x<
x y xy 3x 3 2 3 1例题 5-3 若实数 , 满足 + = ,则 + 的最小值为________.
x y-3
1 1
变式 1 若正数 a,b满足 1
1 9
,则 的最小值为( )
a b a 1 b 1
A.6 B.9 C.12 D.15
2 1 2
变式 2 设正实数 x, y , z 2 2满足 x 3xy 4y z 0 xy,当 取最大值时, 的最大值为( )
z x y z
9
A.0 B.1 C. D.3
4
a 0,b 0 1 + 1变式 3 若 ,且 1,则 a + 2b的最小值为 .
2a + b b +1
变式 4 设实数 x,y满足 x2+2xy-1=0,则 x2+y2的最小值是________.
6
题型二:利用基本不等式解决恒成立问题
2 1
例题 2-1 已知 x 0, y 0,且 1,若对任意的正数 x, y,不等式 x 2y m2 2m恒成立,则实数
x y
m的取值范围是( )
A.m≥ 4或m 2 B.m 2或m 4
C. 2 m 4 D. 4 m 2
例题 2-2 若 a 0,b 0,c 0且 a(a b c) bc 16 0,则 2a b+c m2 2m恒成立,则实数m的取
值范围为( )
A.m 2或m 4 B.m 4或m 2 C. 2 m 4 D. 4 m 2
例题 2-3 已知对满足 x+y+4=2xy的任意正实数 x,y,都有 x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数 a的取值范
围是________.
x
变式 1 若对任意 x>0, 2 a恒成立,则a的取值范围是________.x 3x 1
变式 2 若对任意 a>0,b 2 1 m>0,不等式 恒成立,则m的取值范围是________.
a b 2a b
变式 3 已知 x>0, y >0, xy x 2y,若 xy m 2恒成立,则实数m的最大值是________.
7
题型三:利用基本不等式证明不等式
a b c bc ca ab例题 3 已知 >0, >0, >0,求证: a b c .
a b c
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,
最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不
等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
1 1 1
变式 1 已知 a>0,b >0, c>0,且a b c 1,求证: 9 .
a b c
1 1 1
变式 2 设a,b, c (0, )且 a b c 1,求证: ( 1)( 1)( 1) 8.
a b c
8
变式 3 设 a,b,c均为正数,且 a+b+c=1,求证,:
1 a2 b2 c2
(1)ab+bc+ca≤ ; (2) ≥1.
3 b c a
核心:(1)利用完全平方和公式(2)利用 a+b+c=1 构造三个基本不等式再累加
题型四:利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题 4 某工厂生产某种产品的年固定成本为 250万元,每生产 x千件,需另投入成本为 C(x),当年产量不
足 80 1千件时,C(x)= x2+10x( 10 000万元).当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+ -1 450(万元).每件
3 x
商品售价为 0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
9
变式 1 某单位决定投资 3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,
每米长造价 40元,两侧墙砌砖,每米长造价 45元,顶部每平方米造价 20元.求:
(1)仓库面积 S的最大允许值是多少;
(2)为使 S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长.
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用基本不等式求解目标
函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
变式 2 森林失火,火势以每分钟 100 m2的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防员前去,在失火 5
分钟到达现场开始救火,已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火 50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等
费用平均每人每分钟 125元,所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人 100元,而每烧毁 1 m2的森林损
失费为 60元,设消防队派 x名消防队员前去救火,从到现场把火完全扑灭用 n分钟.
(1)求出 x与 n的关系式; (2)求 x为何值时,才能使总损失最少.
10
【题型优化测训】
一、选择题
y x 11.函数 5(x 1)的最小值为( )
x 1
A.6 B.7 C.8 D.9
2.设 x, y R,且 x y 5,则3x 3 y的最小值是( )
A.10 B.6 3 C. 4 6 D.18 3
3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab的最大值为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
4.已知 a 1,b 0,a b 2 1 1,则 的最小值为( )
a 1 2b
3
A. 2 B 3 2. C 1 2.
2 3 2 2
D.
4 2 2 3
1 4 y
5 2.若正实数 x, y满足 1,且 x a 3a恒成立,则实数 a的取值范围为( )
x y 4
A. 1 a 4 B. 1 a 4 C. 4 a 1 D. 4 a 1
二、填空题
1 1
6.已知 a,b是正实数,则 2 ab 的最小值是 .
a b
1 1
7 2.已知 a,b是正实数,则 a 的最小值是 .
ab a(a b)
8.规定记号“ ”表示一种运算,即 a b ab a b(a,b为正实数),若正数 x,y 满足 x y 3,
则 xy 的取值范围是________.
11
三、解答题
9.若 a 0,b 0, 1 1 且 ab .
a b
(1)求 a3 b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a 3b 6?并说明理由.
10.已知 x, y , z, a b c a c,b, c是正实数,求证: x2 y2 a b z 2 2(xy yz xz).
a b c
11.某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x不
得超过5m.房屋正面的造价为 400元/m2 ,房屋侧面的造价为 150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5
800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
12【专题4】 基本不等式的技巧
【基础自测】
1.已知x0,当x+取最小值时,则x为( )
A. 81 B. 9 C. 3 D.16
2.若实数a,b,满足,则的最小值是( )
A.18 B.6 C. D.
3.若,且,则、、、中最大的一个是( )
A. B. C. D.
4.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为(   )
A. B.1 C.2 D.4
5.已知正数满足,则(  )
A.有最大值 B.有最小值
C.有最大值10 D.有最小值10
【知识梳理】
重要不等式:(),当且仅当时,等号成立;
基本不等式:若0,0,则,当且仅当时,等号成立.
3.基本不等式的变形
(1)(0,0),当且仅当时,等号成立;
(2)(),当且仅当时,等号成立;
4.常见的基本不等式的应用
(1)若0,则,当且仅当时,等号成立;
若0,则,当且仅当时,等号成立;
(2)若,同号,则,当且仅当时,等号成立.
5.利用基本不等式求最值问题:已知0,0,则
(1)如果积是定值,那么当且仅当 时,有最 值 ;(积定和最小)
(2)如果和是定值,那么当且仅当 时,有最 值 .(和定积最大)
6.两个变形
(1)(,当且仅当时取等号);
(2)(,当且仅当时取等号).
题型一:利用基本不等式求最值问题
技巧一:凑项
【典例1】已知,求函数的最大值。
【典例2】设为正实数,则的最小值为
变式1 ,都是正数,则的最小值为  
A.4 B.6 C.8 D.
变式2 若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( )
A.1+ B.1+ C.3 D.4
技巧二:凑系数
例题1已知,则函数的最大值为 .
变式1已知,则的最大值为 .
变式2设,则函数的最大值为 .
变式3 (2020·全国高三专题练习)函数的最小值是( )
B. C. D.
技巧三:分离换元法
例题1函数的最小值为 .
例题2函数的最大值为 .
变式1 求的最大值.
变式2函数的最小值为 .
技巧四:巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
(以下为正常数,)
已知,求的最小值;或者已知,求的最小值.
对于上面两类问题,我们都可以采用求的最小值即可.
【例1】(1)(2020·全国高三专题练习)已知,,且,则的最小值为( ).
A. B. C. D.
(2)(2020·全国高三专题练习)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B. C.5 D.6
例题2:若,,且,则的最小值为  
A.2 B. C. D.
【举一反三】
1.(2020·东莞市东华高级中学高三月考)已知,则的最小值是( )
A. B.4 C. D.3
2.(2020·河北沧州市·高三期中)若,,则的最小值为( )
A.2 B.6 C.9 D.3
已知,且,求:
的最小值;(2) 的最小值.
若正数满足,则的最小值是 .
技巧五:消元法
例题5-1已知,,且,则a+2b的最小值为( )
A. B. C.5 D.9
例题5-2设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为
例题5-3若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
变式1若正数,满足,则的最小值为(  )
A. B. C. D.
变式2设正实数,,满足,当取最大值时,的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
变式3若,且,则的最小值为 .
变式4设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________.
题型二:利用基本不等式解决恒成立问题
例题2-1已知,且,若对任意的正数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A.或 B.或
C. D.
例题2-2若且,则恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
例题2-3已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数a的取值范围是________.
变式1若对任意0,恒成立,则的取值范围是________.
变式2若对任意0,0,不等式恒成立,则的取值范围是________.
变式3已知0,0,,若恒成立,则实数的最大值是________.
题型三:利用基本不等式证明不等式
例题3已知0,0,0,求证:.
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
变式1已知0,0,0,且,求证:.
变式2设,,(0,)且,求证:
变式3设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证,:
ab+bc+ca≤; (2)≥1.
核心:(1)利用完全平方和公式(2)利用a+b+c=1构造三个基本不等式再累加
题型四:利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题4某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
变式1某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.求:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少;
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长.
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
变式2森林失火,火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防员前去,在失火5分钟到达现场开始救火,已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元,所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而每烧毁1 m2的森林损失费为60元,设消防队派x名消防队员前去救火,从到现场把火完全扑灭用n分钟.
(1)求出x与n的关系式; (2)求x为何值时,才能使总损失最少.
【题型优化测训】
选择题
1.函数的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.设,,且,则的最小值是( )
A.10 B. C. D.
3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.4
4.已知,则的最小值为(  )
A. B. C. D.
5.若正实数,满足,且恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
填空题
已知,是正实数,则的最小值是 .
已知,是正实数,则的最小值是 .
规定记号“”表示一种运算,即为正实数),若正数,满足,则的取值范围是________.
三、解答题
9.若且.
(1)求的最小值; (2)是否存在,使得?并说明理由.
10.已知,,,,,是正实数,求证:
11.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度不得超过.房屋正面的造价为400元/,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?【专题4】 基本不等式的技巧
【知识梳理】
重要不等式:(),当且仅当时,等号成立;
基本不等式:若0,0,则,当且仅当时,等号成立.
3.基本不等式的变形
(1)(0,0),当且仅当时,等号成立;
(2)(),当且仅当时,等号成立;
4.常见的基本不等式的应用
(1)若0,则,当且仅当时,等号成立;
若0,则,当且仅当时,等号成立;
(2)若,同号,则,当且仅当时,等号成立.
5.利用基本不等式求最值问题:已知0,0,则
(1)如果积是定值,那么当且仅当 时,有最 值 ;(积定和最小)
(2)如果和是定值,那么当且仅当 时,有最 值 .(和定积最大)
6.两个变形
(1)(,当且仅当时取等号);
(2)(,当且仅当时取等号).
【基础自测】
1.已知x0,当x+取最小值时,则x为( )
A. 81 B. 9 C. 3 D.16
【答案】B
2.若实数a,b,满足,则的最小值是( )
A.18 B.6 C. D.
【答案】B
3.若,且,则、、、中最大的一个是( )
A. B. C. D.
【答案】A
4.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为(   )
A. B.1 C.2 D.4
【答案】A
5.已知正数满足,则(  )
A.有最大值 B.有最小值
C.有最大值10 D.有最小值10
【答案】A
题型一:利用基本不等式求最值问题
技巧一:凑项
【典例1】已知,求函数的最大值。
解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,

当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
【典例2】设为正实数,则的最小值为
【答案】3未知定值(没有形如“”这样的定值式)
变式1 ,都是正数,则的最小值为  
A.4 B.6 C.8 D.
【分析】由正数,把化简变形成.利用由均值不等式求出.联系函数单调性可求最小值.
【解答】解:因为,都是正数,所以,即.
又.
因为函数在递减,所以当时,取得最小值,故选:.
变式2 若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( )
A.1+ B.1+ C.3 D.4
【答案】C
技巧二:凑系数
例题1已知,则函数的最大值为 .
【答案】
变式1已知,则的最大值为 .
【答案】
变式2设,则函数的最大值为 .
【答案】
变式3 (2020·全国高三专题练习)函数的最小值是( )
A. B. C. D.
因为,所以,当且仅当,即时等号成立.所以函数的最小值是.故选:D.
技巧三:分离换元法
例题1函数的最小值为 .
【答案】
例题2函数的最大值为 .
【答案】
变式1 求的最大值.
【答案】的最大值为.
变式2函数的最小值为 .
【答案】
技巧四:巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
(以下为正常数,)
已知,求的最小值;或者已知,求的最小值.
对于上面两类问题,我们都可以采用求的最小值即可.
【例1】(1)(2020·全国高三专题练习)已知,,且,则的最小值为( ).
A. B. C. D.
(2)(2020·全国高三专题练习)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B. C.5 D.6
【答案】(1)B(2)C
【解析】(1)∵,,且,
∴,
当且仅当,即时等号成立,
∴的最小值为.故选:B.
由已知可得,则,所以的最小值,应选答案C.
例题2:若,,且,则的最小值为  
A.2 B. C. D.
【分析】法一:原式变形为,则可化为
,利用基本不等式即可求得其最小值;
法二:原式变形为,则可化为,利用基本不等式即可
【解答】解:(法一)可变形为,
所以

当且仅当即,时取等号,
(法二)原式可得,
则,
当且仅当,即时取“”,故选:.
【举一反三】
1.(2020·东莞市东华高级中学高三月考)已知,则的最小值是( )
A. B.4 C. D.3
【答案】D
【解析】因为,,,
所以,
当且仅当,即,时取等号.故选:D
2.(2020·河北沧州市·高三期中)若,,则的最小值为( )
A.2 B.6 C.9 D.3
【答案】D
【解析】因为,,所以
.当且仅当,即,时取等号.故选:D.
已知,且,求:
(1) 的最小值;(2) 的最小值.
【答案】(1)64(2)18
【解析】(1),


.
当且仅当,即,即时取等号,
的最小值为64.
(2),,
.
当且仅当,即,
若正数满足,则的最小值是 .
【答案】
技巧五:消元法
例题5-1已知,,且,则a+2b的最小值为( )
A. B. C.5 D.9
【答案】
例题5-2设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为
【解析】首先要通过取得最小值,得到之间的关系,然后将所求表达式进行消元,再求最值即可。
解:

等号成立条件为:,代入到①可得:
的最大值为2
讲解步骤:三元→二元→一元
例题5-3若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
【答案】. 8 
【解析】、解法1 因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),
所以+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,当且仅当y-3=,即y=4时取等号,此时x=,所以+的最小值为8.
解法2 因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),y-3=-6>0,
所以+=+=-6++6≥2+6=8,当且仅当-6=,即x=时取等号,此时y=4,所以+的最小值为8.
变式1若正数,满足,则的最小值为(  )
A. B. C. D.
【答案】
变式2设正实数,,满足,当取最大值时,的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
【答案】
变式3若,且,则的最小值为 .
【答案】:
【解析】、由已知等式得,从而,
,故有最小值.
变式4设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________.
【答案】
【解析】、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.注意中消去y较易,所以消去y.
由x2+2xy-1=0得y=,从而x2+y2=x2+2=+-≥2-=,当且仅当x=±时等号成立.
题型二:利用基本不等式解决恒成立问题
例题2-1已知,且,若对任意的正数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A.或 B.或
C. D.
【答案】
例题2-2若且,则恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】
例题2-3已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数a的取值范围是________.
【答案】 
【解析】、 不等式x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0的构造比较特殊,可以化为关于x+y的不等式,再根据不等式及x+y+4=2xy求出x+y的范围即可.
对于正实数x,y,由x+y+4=2xy得x+y+4=2xy≤,解得x+y≥4,
不等式x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0可化为(x+y)2-a(x+y)+1≥0,
令t=x+y(t≥4),则该不等式可化为t2-at+1≥0,即a≤t+对于任意的t≥4恒成立,
令u(t)=t+(t≥4),则u′(t)=1-=>0对于任意的t≥4恒成立,从而函数u(t)=t+(t≥4)为单调递增函数,所以u(t)min=u(4)=4+=,于是a≤.
在求函数u(t)=t+(t≥4)的最小值时,有的考生直接用基本不等式求出u(t)min=2,没有注意到t≥4的限制,从而得到错误的答案a≤2.
变式1若对任意0,恒成立,则的取值范围是________.
【答案】
变式2若对任意0,0,不等式恒成立,则的取值范围是________.
【答案】
变式3已知0,0,,若恒成立,则实数的最大值是________.
【答案】
题型三:利用基本不等式证明不等式
例题3已知0,0,0,求证:.
证明:,,
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
变式1已知0,0,0,且,求证:.
证明:将式中1替代为,
再化简可证
变式2设,,(0,)且,求证:
证明:,,
变式3设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证,:
(1)ab+bc+ca≤; (2)≥1.
核心:(1)利用完全平方和公式(2)利用a+b+c=1构造三个基本不等式再累加
题型四:利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题4某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得:
当0当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)--250=1 200-.
所以L(x)=
(2)当0此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元.
当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2 =1 200-200=1 000.
此时x=,
即x=100时,L(x)取得最大值1 000万元.
由于950<1 000,
所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.
变式1某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.求:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少;
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长.
解 设铁栅长为x m,一堵砖墙长为y m,则顶部面积为S=xy(m2).
(1)依题设,得40x+2×45y+20xy=3 200.
由基本不等式得
3 200≥2+20xy=120+20xy=120+20S.
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,
故0<≤10.从而0<S≤100.
所以S的最大允许值是100 m2.
(2)S取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,
所以求得x=15,即正面铁栅的长是15 m.
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
变式2森林失火,火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防员前去,在失火5分钟到达现场开始救火,已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元,所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而每烧毁1 m2的森林损失费为60元,设消防队派x名消防队员前去救火,从到现场把火完全扑灭用n分钟.
(1)求出x与n的关系式; (2)求x为何值时,才能使总损失最少.
解 (1)由已知可得50nx=100(n+5),
所以n=(x>2).
(2)设总损失为y元,则
y=6 000(n+5)+100x+125nx
=6 000+100x+=+100(x-2)+31 450≥2+31 450=36 450,
当且仅当=100(x-2),即x=27时,y取最小值.
即需派27名消防员,才能使总损失最小,最小值为36 450元.
【题型优化测训】
选择题
1.函数的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】
2.设,,且,则的最小值是( )
A.10 B. C. D.
【答案】
3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.4
【答案】
4.已知,则的最小值为(  )
A. B. C. D.
【答案】
5.若正实数,满足,且恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】
填空题
已知,是正实数,则的最小值是 .
【答案】
已知,是正实数,则的最小值是 .
【答案】
规定记号“”表示一种运算,即为正实数),若正数,满足,则的取值范围是________.
【答案】
三、解答题
9.若且.
(1)求的最小值; (2)是否存在,使得?并说明理由.
【解析】
,;
,不存在
10.已知,,,,,是正实数,求证:
证明:
11.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度不得超过.房屋正面的造价为400元/,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
【解析】由题意可得,造价为:
则,
当且仅当时等号可取,故当侧面的长度为4时,总造价最低.