【专题 4】
【知识梳理】
1．重要不等式： a 2 b2 2ab (a，b R )，当且仅当 a b时，等号成立；
a b
2．基本不等式：若 a＞0，b＞0，则 ab ，当且仅当a b时，等号成立．
2
3．基本不等式的变形
（1）a b 2 ab (a＞0，b＞0)，当且仅当 a b时，等号成立；
ab (a b（2） )2 (a，b R )，当且仅当a b时，等号成立；
2
4．常见的基本不等式的应用
1
（1）若 a＞0，则 a 2，当且仅当a 1时，等号成立；
a
若 a 1＜ 0，则 a 2，当且仅当a 1时，等号成立；
a
b a
（2）若 a，b同号，则 2，当且仅当 a b时，等号成立．
a b
5．利用基本不等式求最值问题：已知 a＞0，b＞0，则
（1）如果积 ab是定值 p，那么当且仅当 时， a b有最 值 ；（积定和最小）
（2）如果和 a b是定值 p，那么当且仅当 时， ab有最 值 ．（和定积最大）
6．两个变形
a2 b2 a b
（1 2） ( ) ab (a，b R，当且仅当 a b时取等号)；
2 2
a2 b2 a b 2ab
（2） ab (a，b R* ，当且仅当a b时取等号)．
2 2 a b
【基础自测】
81
1．已知 x 0，当 x＋ 取最小值时，则 x 为（ ）
x
A． 81 B． 9 C． 3 D．16
【答案】B
2．若实数 a，b，满足 a b 2，则3a 3b的最小值是（ ）
A．18 B．6 C． 2 3 D． 3 2
【答案】B
3．若 0 a 1， 0 b 1且 a b，则 a b、 2 ab 、 2ab a2、 b2中最大的一个是（ ）
A． a b B． 2 ab C． 2ab D a2． b2
【答案】A
4．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－2＝0，则 ab的最大值为( )
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】A
5．已知正数m,n满足m2 n2 100，则m n（ ）
A．有最大值10 2 B．有最小值10 2
C．有最大值 10 D．有最小值 10
【答案】A
题型一：利用基本不等式求最值问题
技巧一：凑项
5
【典例 1】已知 x ，求函数 y 1 4x 2 的最大值。
4 4x 5
1
解：因4x 5 0，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2) 不是常数，所以对 4x 2要进行拆、凑项，
4x 5
x 5 , 5 4x 0， y 4x 2 1 1 5 4x
4 4x 5 5 4x
3 2 3 1
1
当且仅当5 4x ，即 x 1时，上式等号成立，故当 x 1时， ymax 1。5 4x
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
4x 3y
【典例 2】设 , 为正实数，则M 的最小值为
x 3y x
【答案】3 未知定值（没有形如“ + = ”这样的定值式）
变式 1 a 1 1，b都是正数 a b 1，则 (a )(b ) 的最小值为 ( )
a b
A．4 B 25．6 C．8 D．
4
1
【分析】由正数 a b 1，把 (a )(b 1) 2 化简变形成 ab 2 ．利用 1 a b 由均值不等式求出
a b ab
0 ab 1 ．联系函数单调性可求最小值．
4
【解答】解：因为 a， b都是正数 a b 1，所以1 a b 2 ab，即 0 ab 1 ．
4
(a 1)(b 1) ab a b 1
2 2 2
又 ab a b 1 (a b) 2ab 1 2 ab ab 2．
a b b a ab ab ab ab ab ab
1 2 25
因为函数 y 2 x 在 (0, 2)递减，所以当 ab 1 时， ab 2 2取得最小值 1 2 故选：D．x 4 ab 4 4
4 ，
变式 2 1若函数 y＝x＋ (x＞2)在 x＝a处取最小值，则 a＝（ ）
x－2
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
【答案】C
技巧二：凑系数
2
例题 1 已知0＜ x＜ ，则函数 y 2x 5x2 的最大值为 ．
5
1
【答案】
5
变式 1 已知0 x 4，则 y x(8 2x)的最大值为 ．
【答案】8
0 x 3变式 2 设 ，则函数 y 4x(3 2x)的最大值为 ．
2
9
【答案】
2
1
变式 3 （2020·全国高三专题练习）函数 y 3x (x 1)的最小值是（ ）
x 1
A． 4 B． 2 3 3 C．2 3 D． 2 3 3
因为 x 1 1 1，所以 y 3 x 1 3 2 3 x 1 1 3 2 3 3，当且仅当3 x 1 ，
x 1 x 1 x 1
3 1
即x 1 时等号成立.所以函数 y 3x (x 1)的最小值是 2 3 3.故选：D.
3 x 1
技巧三：分离换元法
x2 7x 10
例题 1 函数 y (x 1)的最小值为 ．
x 1
【答案】9
y x 1例题 2 函数 的最大值为 ．
4x 9
5
【答案】
20
6 x2变式 1 y 1求 的最大值．
x2 4
【答案】 y的最大值为 3．
x2 2
变式 2 函数 y 的最小值为 ．
x2 1
【答案】 2
技巧四：巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
（以下 a，b，c，d，e为正常数， x，y 0）
d e d e
已知 ax by c，求 的最小值；或者已知 c，求 ax by的最小值．
x y x y
对于上面两类问题，我们都可以采用求 ax by d e 的最小值即可．
x y
3 4
【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）已知 x 0， y 0，且 x y 1，则 的最小值为（ ）．
x y
A．7 2 3 B．7 4 3 C．7 6 3 D．7 8 3
（2）（2020·全国高三专题练习）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是( )
24 28
A． B． C．5 D．6
5 5
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）∵ x 0， y 0，且 x y 1，
3 4 (3 4 ) (x y) 7 3y 4x 3y 4x∴ 7 2 7 4 3，
x y x y x y x y
3y 4x
当且仅当 ，即
x y x 3 2 3, y 4 2 3
时等号成立，
3 4
∴ 的最小值为7 4 3 .故选：B．x y
3 1 1 3x 4y ( 3 1 )(3x 4y) 9 4 12 y 3x 13 12（2）由已知可得 ，则 5 ，所以
5x 5y 5x 5y 5 5 5x 5y 5 5
3x 4y的最小值5，应选答案 C．
例题 2：若 x 0， y 0 1 1，且 1，则 2x y的最小值为 ( )
x 1 x 2y
A．2 B． 2 3 C 1． 3 D． 4 2 3
2
3 1
【分析】法一：原式变形为 1，则 2x y可化为
3x 3 x 2y
1 (4x 1 2y) [(3x 3) (x 2y)] 3 1 [(3x 3) (x 2y)]( 3 1 ) 3 ，利用基本不等式即可求得
2 2 2 2 3x 3 x 2y 2
其最小值；
x 1 x2
法二：原式变形为 y ，则 2x y 3 x 1 1可化为 ，利用基本不等式即可
2x 2 2x 2
1 1
【解答】解：（法一） 1 3 1可变形为 1，
x 1 x 2y 3x 3 x 2y
所以
2x y 1 (4x 2y) 1 [(3x 3) (x 2y)] 3 1 [(3x 3) (x 2y)]( 3 1 ) 3
2 2 2 2 3x 3 x 2y 2
1 [4 3(x 2y) 3x 3 ] 3 1 3 1 (4 2 3) 3 ，
2 3x 3 x 2y 2 2 2 2
当且仅当 x 2y 3x 3 x 3即 ， y 1 3 时取等号，
3 2 3
y x 1 x
2
（法二）原式可得 ，
2x
2x y 2x x 1 x
2 3 1 1 3 1 1 1
则 x 2 x 3 ，
2x 2 2x 2 2 2x 2 2
3 1 3
当且仅当 x ，即 x 时取“ ”，故选：C ．
2 2x 3
【方法总结】
问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分配成分式分母相同
【举一反三】
1．（2020·东莞市东华高级中学高三月考）已知m 0,n 0,m n 6 2 8，则 的最小值是（ ）
m n
A．4 2 B．4 C． 6 D．3
【答案】D
【解析】因为m 0， n 0，m n 6，
2 8 1
所以 (m n)( 2 8) 1 (10 2n 8m ) 3，
m n 6 m n 6 m n
2n 8m
当且仅当 ，即m 2， n 4时取等号.故选：D
m n
1 4
2．（2020·河北沧州市·高三期中）若mn 0，m n 3，则 的最小值为（ ）
m n
A．2 B．6 C．9 D．3
【答案】D
1 4 1 1 4 1 n 4m
【解析】因为mn 0，m n 3，所以 (m n) 5
m n 3 m n 3 m n
1 n 4m
n 4m 5 2 3．当且仅当 ，即m 1， n 2时取等号.故选：D.3 m n m n
3．已知 x 0, y 0，且2x 8y xy 0，求：
(1) xy的最小值；(2) x y的最小值．
【答案】(1)64(2)18
【解析】(1) x 0，y 0,2x＋8y－xy＝0，
xy＝2x＋8y 2＝8，
xy ( xy 8) 0，又 xy 0，
. xy 8，即xy 64.
当且仅当 x＝4y，即8y＋8y－4y 2＝0，即 y＝4，x＝16时取等号，
xy的最小值为 64.
(2) 2x＋8y＝xy 0 2 8 ， =1，
y x
x y x y 2 8 10 2x 8 y 2x 8 y 10 2 18 .
y x y x y x
2x 8y
当且仅当 ，即 x＝2y，即4y＋8y－2y 2＝0，
y x
1 1
4．若正数a，b满足 4a 3b 1 0，则 的最小值是 ．
2a b a b
【答案】3 2 2
技巧五：消元法
例题 5-1 已知 a 0，b 0，且 2a b ab 1，则 a+2b 的最小值为（ ）
A．5 2 6 B．8 2 C．5 D．9
【答案】 A
2
例题 5-2 设正实数 x, y, z满足 x 3xy 4y 2 z z 0，则当 取得最小值时， x 2y z的最大值为
xy
z
【解析】首先要通过 取得最小值，得到 x, y, z之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再求最值即可。
xy
x2解： 3xy 4y2 z 0 z x2 3xy 4y2
z x2 3xy 4y2 x 4y x 4y
① 3 2 3
xy xy y x y x
x 4y 2 2
等号成立条件为： x 4y x 2y 2，代入到①可得： z 2y 3 2y y 4y2 2y2
y x
x 2y, z 2y2 x 2y z 2y 2y 2y2 2 y2 2y 2 y 1 2 2 2
x 2 y z的最大值为 2
2
讲解步骤：三元 x 2y z →二元 x 2y x 3xy 4y2 →一元 2y 2y 2y2 2y2 4y
0 1＜x＜ 3 1
例题 5-3 若实数 x，y满足 xy＋3x＝3 2 ，则 ＋ 的最小值为________．
x y－3
【答案】. 8
0 x 1＜ ＜
【解析】、解法 1 因为实数 x，y满足 xy＋3x＝3 2 3，所以 y＝ －3(y＞3)，
x
3 1 1 1 1 1
所以 ＋ ＝y＋3＋ ＝y－3＋ ＋6≥2 y－3 · ＋6＝8，当且仅当 y－3＝ ，即 y＝4时取等
x y－3 y－3 y－3 y－3 y－3
3 3 1
号，此时 x＝ ，所以 ＋ 的最小值为 8.
7 x y－3
0＜x 1＜
解法 2 3 3因为实数 x，y满足 xy＋3x＝3 2 ，所以 y＝ －3(y＞3)，y－3＝ －6＞0，
x x
3
3 1 3 1 3 1 －6 1 3 1 3
所以 ＋ ＝ ＋3 ＝ －6＋ ＋6≥2
x
3 ·3 ＋6＝8，当且仅当 －6＝ ，即 x＝ 时取等x y－3 x －6 x －6 －6 x 3－6 7
x x x x
3 1
号，此时 y＝4，所以 ＋ 的最小值为 8.
x y－3
a 1 1 1 9变式 1 若正数 ，b满足 1，则 的最小值为（ ）
a b a 1 b 1
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】 A
xy 2 1 2
变式 2 2 2设正实数 x， y ， z满足 x 3xy 4y z 0，当 取最大值时， 的最大值为( )
z x y z
9
A．0 B．1 C． D．3
4
【答案】 B
1 1
变式 3 若 a 0,b 0，且 + 1，则 a + 2b的最小值为 ．
2a + b b +1
2 3 +1
【答案】：
2
2
【解析】、由已知等式得 2a 2b 1 2ab 2a b 2 a
b b 1
b，从而 ，
2b
a b b
2 1 1 3
2b 2b b
1
1 2 3 2 3 1 2 3 +1，故有最小值 .
2b 2 2 2b 2 4 2 2
变式 4 设实数 x，y满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2的最小值是________．
5－1
【答案】
2
【解析】、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化
为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去 y较易，所以消去 y.
1－x2
2 2
x2 2xy 1 0 y 1－x x2 y2 x2 2x 2 5x 1 1≥2 5 1 5－1由 ＋ － ＝ 得 ＝ ，从而 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － － ＝ ，当且仅当 x＝
2x 4 4x2 2 16 2 2
4
± 1时等号成立．
5
题型二：利用基本不等式解决恒成立问题
2 1
例题 2-1 已知 x 0, y 0，且 1，若对任意的正数 x, y，不等式 x 2y m2 2m恒成立，则实数
x y
m的取值范围是（ ）
A．m≥ 4或m 2 B．m 2或m 4
C． 2 m 4 D． 4 m 2
【答案】D
例题 2-2 若 a 0,b 0,c 0且 a(a b c) bc 16 0，则 2a b+c m2 2m恒成立，则实数m的取
值范围为（ ）
A.m 2或m 4 B.m 4或m 2 C. 2 m 4 D. 4 m 2
【答案】D
例题 2-3 已知对满足 x＋y＋4＝2xy的任意正实数 x，y，都有 x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数 a的取值范
围是________．
∞ 17－ ，
【答案】 4
思路分析
【解析】、 不等式 x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0的构造比较特殊，可以化为关于 x＋y的不等式，再
根据不等式及 x＋y＋4＝2xy求出 x＋y的范围即可．
2
对于正实数 x y x y 4 2xy x y 4 2xy≤ x＋y， ，由 ＋ ＋ ＝ 得 ＋ ＋ ＝ ，解得 x＋y≥4，
2
不等式 x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0可化为(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，
令 t＝x＋y(t≥4) 1，则该不等式可化为 t2－at＋1≥0，即 a≤t＋ 对于任意的 t≥4恒成立，
t
u(t) t 1(t≥4) u′(t) 1 1 t
2－1
令 ＝ ＋ ，则 ＝ － ＝ >0对于任意的 t≥4恒成立，从而函数 u(t)＝2 t
1
＋ (t≥4)为单调递增函
t t t2 t
u(t) u(4) 4 1 17 a≤17数，所以 min＝ ＝ ＋ ＝ ，于是 .
4 4 4
易错警示 1
在求函数 u(t)＝t＋ (t≥4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出 u(t)min＝2，没有注意到 t≥4
t
的限制，从而得到错误的答案 a≤2.
x
变式 1 若对任意 x＞0， 2 a恒成立，则a的取值范围是________．x 3x 1
1
【答案】 a
5
2 1 m
变式 2 若对任意 a＞0，b ＞0，不等式 恒成立，则m的取值范围是________．
a b 2a b
【答案】m 9
变式 3 已知 x＞0， y ＞0， xy x 2y，若 xy m 2恒成立，则实数m的最大值是________．
【答案】10
题型三：利用基本不等式证明不等式
例题 3 已知 a bc ca ab＞0，b＞0，c＞0，求证： a b c .
a b c
bc ca 2 bc ca 2c ca ab 2a bc ab证明： 2b
a b a b ， b c ， a c
bc ca ab
a b c
a b c
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，
最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不
等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
1 1 1
变式 1 已知 a＞0，b ＞0， c＞0，且a b c 1，求证： 9 .
a b c
证明：将式中 1 替代为 a b c，
1 1 1 a b c a b c a b c
a b c a b c
1 1 1
再化简可证 9
a b c
1 1
变式 2 设a，b， c (0， )且 a b c 1，求证： ( 1)( 1)(1 1) 8.
a b c
1 1 1 a b c 1 1 b a c 1 1 c a b 1 1
证明： a a a ， b b b ， c c c
(1 1)(1 1)(1 1) b c a c a b 2 bc 2 ac 2 ab 8.
a b c a b c a b c
变式 3 设 a，b，c均为正数，且 a＋b＋c＝1，求证,：
1 a2 b2 c2
（1）ab＋bc＋ca≤ ； （2） ≥1.
3 b c a
核心：（1）利用完全平方和公式（2）利用 a＋b＋c＝1 构造三个基本不等式再累加
题型四：利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题 4 某工厂生产某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 x千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不
80 C(x) 1x2 10x( ) 80 C(x) 51x 10 000足 千件时， ＝ ＋ 万元 ．当年产量不小于 千件时， ＝ ＋ －1 450(万元)．每件
3 x
商品售价为 0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解] (1)因为每件商品售价为 0.05万元，则 x千件商品销售额为 0.05×1 000x万元，依题意得：
1x2＋10x
当 03
51x 10 000 1 450 x 10 000＋ － ＋
当 x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－ x －250＝1 200－ x .
1
－ x2＋40x－250，03
所以 L(x)＝ x 10 000＋
1 200－ x ，x≥80.
(2)当 03
此时，当 x＝60时，L(x)取得最大值 L(60)＝950万元．
x 10 000＋
当 x≥80 L(x) 1 200 x ≤1 200 2 x·10 000时， ＝ － － ＝1 200－200＝1 000.
x
x 10 000此时 ＝ ，
x
即 x＝100时，L(x)取得最大值 1 000万元．
由于 950<1 000，
所以当年产量为 100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为 1 000万元．
变式 1 某单位决定投资 3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，
每米长造价 40元，两侧墙砌砖，每米长造价 45元，顶部每平方米造价 20元．求：
(1)仓库面积 S的最大允许值是多少；
(2)为使 S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长．
解 设铁栅长为 x m，一堵砖墙长为 y m，则顶部面积为 S＝xy(m2)．
(1)依题设，得 40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
由基本不等式得
3 200≥2 40x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120 S＋20S.
所以 S＋6 S－160≤0，即( S－10)( S＋16)≤0，
故 0＜ S≤10.从而 0＜S≤100.
所以 S的最大允许值是 100 m2.
(2)S取得最大值的条件是 40x＝90y且 xy＝100，
所以求得 x＝15，即正面铁栅的长是 15 m.
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标
函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
变式 2 森林失火，火势以每分钟 100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火 5
分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火 50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等
费用平均每人每分钟 125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人 100元，而每烧毁 1 m2的森林损
失费为 60元，设消防队派 x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭用 n分钟．
(1)求出 x与 n的关系式； (2)求 x为何值时，才能使总损失最少．
解 (1)由已知可得 50nx＝100(n＋5)，
n 10所以 ＝ (x＞2)．
x－2
(2)设总损失为 y元，则
y＝6 000(n＋5)＋100x＋125nx
10
＋5
6 000 x 2 100x 1 250x 62 500＝ － ＋ ＋ ＝ ＋100(x－2)＋31 450≥2 6 250 000＋31 450＝36 450，
x－2 x－2
62 500
当且仅当 ＝100(x－2)，即 x＝27时，y取最小值．
x－2
即需派 27名消防员，才能使总损失最小，最小值为 36 450元．
【题型优化测训】
一、选择题
1
1．函数 y x 5(x 1)的最小值为（ ）
x 1
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
2．设 x， y R，且 x y 5，则3x 3 y的最小值是（ ）
A．10 B．6 3 C． 4 6 D．18 3
【答案】D
3．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－2＝0，则 ab的最大值为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】 A
4．已知 a 1,b 0,a b 2 1 1，则 的最小值为（ ）
a 1 2b
3
A． 2 B 3 2． C 1 2．2 3 2 2
D．
4 2 2 3
【答案】 A
5．若正实数 x， y
1 4
满足 1，且 x y a2 3a恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
x y 4
A． 1 a 4 B． 1 a 4 C． 4 a 1 D． 4 a 1
【答案】 B
二、填空题
1 1
6．已知 a，b是正实数，则 2 ab 的最小值是 ．
a b
【答案】 4
a a2 1 17．已知 ，b是正实数，则 的最小值是 ．
ab a(a b)
【答案】 4
8．规定记号“ ”表示一种运算，即 a b ab a b(a,b为正实数），若正数 x，y 满足 x y 3，
则 xy 的取值范围是________．
【答案】9
三、解答题
9．若 a 0,b 0, 1 1且 ab ．
a b
（1）求 a3 b3的最小值； （2）是否存在 a,b，使得 2a 3b 6？并说明理由.
【解析】
1 1
（1） ab 2 1 ab 2 a3 b3， 2 a3b3 4 2；
a b ab
（2） 2a 3b 2 2a 3b 2 12 4 3 6， 不存在
10．已知 x y b c a c， ， z， a，b， c是正实数，求证： x2 y2 a b z 2 2(xy yz xz).
a b c
b c x2 a c y2 a b z 2 b x2 c x2 a y2 c y2 a z 2 b证明： z 2
a b c a a b b c c
b x2 a y2 c x2 a z2 c 2 b y z
2
2 xy yz xz
a b a c b c
11．某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x不
得超过5m．房屋正面的造价为 400元/m2 ，房屋侧面的造价为 150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5
800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【解析】由题意可得，造价为：
y 3 12 2x 150 400 5800 900
x 16 5800(0 x 5)
x x
则 y 900 x 16
5800 900 2 x
16
5800 13000 ，
x x
当且仅当 x 16 时等号可取，故当侧面的长度为 4 时，总造价最低.
x【专题 4】
【基础自测】
81
1．已知 x 0，当 x＋ 取最小值时，则 x 为（ ）
x
A． 81 B． 9 C． 3 D．16
2．若实数 a，b，满足 a b 2 3a 3b，则 的最小值是（ ）
A．18 B．6 C． 2 3 D． 3 2
3．若 0 a 1， 0 b 1且 a b，则 a b、 2 ab 、 2ab、 a2 b2中最大的一个是（ ）
A． a b B． 2 ab C． 2ab D． a2 b2
4．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－2＝0，则 ab的最大值为( )
1
A． B．1 C．2 D．4
2
5．已知正数m,n满足m2 n2 100，则m n（ ）
A．有最大值10 2 B．有最小值10 2
C．有最大值 10 D．有最小值 10
【知识梳理】
1．重要不等式： a 2 b2 2ab (a，b R )，当且仅当 a b时，等号成立；
a b
2．基本不等式：若 a＞0，b＞0，则 ab ，当且仅当a b时，等号成立．
2
3．基本不等式的变形
（1）a b 2 ab (a＞0，b＞0)，当且仅当 a b时，等号成立；
（2） ab a b ( )2 (a，b R )，当且仅当a b时，等号成立；
2
4．常见的基本不等式的应用
（1）若 a 1＞0，则 a 2，当且仅当a 1时，等号成立；
a
1
若 a＜ 0，则 a 2，当且仅当a 1时，等号成立；
a
（2）若 a，b b a同号，则 2，当且仅当 a b时，等号成立．
a b
1
5．利用基本不等式求最值问题：已知 a＞0，b＞0，则
（1）如果积 ab是定值 p，那么当且仅当 时， a b有最 值 ；（积定和最小）
（2）如果和 a b是定值 p，那么当且仅当 时， ab有最 值 ．（和定积最大）
6．两个变形
a2 b2 (a b（1） )2 ab (a，b R，当且仅当 a b时取等号)；
2 2
a2 b2 a b 2ab
（2） ab (a，b R* ，当且仅当a b时取等号)．
2 2 a b
题型一：利用基本不等式求最值问题
技巧一：凑项
5
【典例 1】已知 x ，求函数 y 4x 2 1 的最大值。
4 4x 5
4x 3y
【典例 2】设 , 为正实数，则M 的最小值为
x 3y x
1 1
变式 1 a，b都是正数 a b 1，则 (a )(b ) 的最小值为 ( )
a b
A．4 B．6 C．8 D 25．
4
1
变式 2 若函数 y＝x＋ (x＞2)在 x＝a处取最小值，则 a＝（ ）
x－2
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
技巧二：凑系数
2
例题 1 已知0＜ x＜ ，则函数 y 2x 5x2 的最大值为 ．
5
2
变式 1 已知0 x 4，则 y x(8 2x)的最大值为 ．
3
变式 2 设0 x ，则函数 y 4x(3 2x)的最大值为 ．
2
1
变式 3 （2020·全国高三专题练习）函数 y 3x (x 1)的最小值是（ ）
x 1
A．4 B． 2 3 3 C．2 3 D． 2 3 3
技巧三：分离换元法
x2 7x 10
例题 1 函数 y (x 1)的最小值为 ．
x 1
y x 1例题 2 函数 的最大值为 ．
4x 9
2
变式 1 求 y 6 x 1 的最大值．
x2 4
3
2
变式 2 x 2函数 y 的最小值为 ．
x2 1
技巧四：巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
（以下 a，b，c，d，e为正常数， x，y 0）
d e d e
已知 ax by c，求 的最小值；或者已知 c，求 ax by的最小值．
x y x y
ax by d e 对于上面两类问题，我们都可以采用求 的最小值即可．
x y
3 4
【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）已知 x 0， y 0，且 x y 1，则 的最小值为（ ）．x y
A．7 2 3 B．7 4 3 C．7 6 3 D．7 8 3
（2）（2020·全国高三专题练习）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是( )
24 28
A． B． C．5 D．6
5 5
2 x 0 y 0 1 1例题 ：若 ， ，且 1，则 2x y的最小值为 ( )
x 1 x 2y
A．2 B． 2 3 C 1． 3 D． 4 2 3
2
4
【方法总结】
问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分配成分式分母相同
【举一反三】
2 8
1．（2020·东莞市东华高级中学高三月考）已知m 0,n 0,m n 6，则 的最小值是（ ）
m n
A．4 2 B．4 C． 6 D．3
2．（2020·河北沧州市·高三期中）若mn 0，m n 3 1 4，则 的最小值为（ ）
m n
A．2 B．6 C．9 D．3
3．已知 x 0, y 0，且2x 8y xy 0，求：
(1) xy的最小值；(2) x y 的最小值．
4．若正数a，b满足 4a 3b 1 0 1 1 ，则 的最小值是 ．
2a b a b
技巧五：消元法
例题 5-1 已知 a 0，b 0，且 2a b ab 1，则 a+2b 的最小值为（ ）
A．5 2 6 B．8 2 C．5 D．9
z
例题 5-2 2 2设正实数 x, y, z满足 x 3xy 4y z 0，则当 取得最小值时， x 2y z的最大值为
xy
5
0 1＜x＜
x y xy 3x 3 2 3 1例题 5-3 若实数 ， 满足 ＋ ＝ ，则 ＋ 的最小值为________．
x y－3
1 1
变式 1 若正数 a，b满足 1
1 9
，则 的最小值为（ ）
a b a 1 b 1
A．6 B．9 C．12 D．15
2 1 2
变式 2 设正实数 x， y ， z 2 2满足 x 3xy 4y z 0 xy，当 取最大值时， 的最大值为( )
z x y z
9
A．0 B．1 C． D．3
4
a 0,b 0 1 + 1变式 3 若 ，且 1，则 a + 2b的最小值为 ．
2a + b b +1
变式 4 设实数 x，y满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2的最小值是________．
6
题型二：利用基本不等式解决恒成立问题
2 1
例题 2-1 已知 x 0, y 0，且 1，若对任意的正数 x, y，不等式 x 2y m2 2m恒成立，则实数
x y
m的取值范围是（ ）
A．m≥ 4或m 2 B．m 2或m 4
C． 2 m 4 D． 4 m 2
例题 2-2 若 a 0,b 0,c 0且 a(a b c) bc 16 0，则 2a b+c m2 2m恒成立，则实数m的取
值范围为（ ）
A.m 2或m 4 B.m 4或m 2 C. 2 m 4 D. 4 m 2
例题 2-3 已知对满足 x＋y＋4＝2xy的任意正实数 x，y，都有 x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数 a的取值范
围是________．
x
变式 1 若对任意 x＞0， 2 a恒成立，则a的取值范围是________．x 3x 1
变式 2 若对任意 a＞0，b 2 1 m＞0，不等式 恒成立，则m的取值范围是________．
a b 2a b
变式 3 已知 x＞0， y ＞0， xy x 2y，若 xy m 2恒成立，则实数m的最大值是________．
7
题型三：利用基本不等式证明不等式
a b c bc ca ab例题 3 已知 ＞0， ＞0， ＞0，求证： a b c .
a b c
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，
最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不
等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
1 1 1
变式 1 已知 a＞0，b ＞0， c＞0，且a b c 1，求证： 9 .
a b c
1 1 1
变式 2 设a，b， c (0， )且 a b c 1，求证： ( 1)( 1)( 1) 8.
a b c
8
变式 3 设 a，b，c均为正数，且 a＋b＋c＝1，求证,：
1 a2 b2 c2
（1）ab＋bc＋ca≤ ； （2） ≥1.
3 b c a
核心：（1）利用完全平方和公式（2）利用 a＋b＋c＝1 构造三个基本不等式再累加
题型四：利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题 4 某工厂生产某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 x千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不
足 80 1千件时，C(x)＝ x2＋10x( 10 000万元)．当年产量不小于 80 千件时，C(x)＝51x＋ －1 450(万元)．每件
3 x
商品售价为 0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
9
变式 1 某单位决定投资 3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，
每米长造价 40元，两侧墙砌砖，每米长造价 45元，顶部每平方米造价 20元．求：
(1)仓库面积 S的最大允许值是多少；
(2)为使 S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长．
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标
函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
变式 2 森林失火，火势以每分钟 100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火 5
分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火 50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等
费用平均每人每分钟 125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人 100元，而每烧毁 1 m2的森林损
失费为 60元，设消防队派 x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭用 n分钟．
(1)求出 x与 n的关系式； (2)求 x为何值时，才能使总损失最少．
10
【题型优化测训】
一、选择题
y x 11．函数 5(x 1)的最小值为（ ）
x 1
A．6 B．7 C．8 D．9
2．设 x， y R，且 x y 5，则3x 3 y的最小值是（ ）
A．10 B．6 3 C． 4 6 D．18 3
3．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－2＝0，则 ab的最大值为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
4．已知 a 1,b 0,a b 2 1 1，则 的最小值为（ ）
a 1 2b
3
A． 2 B 3 2． C 1 2．
2 3 2 2
D．
4 2 2 3
1 4 y
5 2．若正实数 x， y满足 1，且 x a 3a恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
x y 4
A． 1 a 4 B． 1 a 4 C． 4 a 1 D． 4 a 1
二、填空题
1 1
6．已知 a，b是正实数，则 2 ab 的最小值是 ．
a b
1 1
7 2．已知 a，b是正实数，则 a 的最小值是 ．
ab a(a b)
8．规定记号“ ”表示一种运算，即 a b ab a b(a,b为正实数），若正数 x，y 满足 x y 3，
则 xy 的取值范围是________．
11
三、解答题
9．若 a 0,b 0, 1 1 且 ab ．
a b
（1）求 a3 b3的最小值； （2）是否存在 a,b，使得 2a 3b 6？并说明理由.
10．已知 x， y ， z， a b c a c，b， c是正实数，求证： x2 y2 a b z 2 2(xy yz xz).
a b c
11．某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x不
得超过5m．房屋正面的造价为 400元/m2 ，房屋侧面的造价为 150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5
800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
12【专题4】 基本不等式的技巧
【基础自测】
1．已知x0，当x＋取最小值时，则x为（ ）
A． 81 B． 9 C． 3 D．16
2．若实数a，b，满足，则的最小值是（ ）
A．18 B．6 C． D．
3．若，且，则、、、中最大的一个是（ ）
A． B． C． D．
4．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )
A． B．1 C．2 D．4
5．已知正数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值10 D．有最小值10
【知识梳理】
重要不等式：()，当且仅当时，等号成立；
基本不等式：若0，0，则，当且仅当时，等号成立．
3．基本不等式的变形
（1）(0，0)，当且仅当时，等号成立；
（2）()，当且仅当时，等号成立；
4．常见的基本不等式的应用
（1）若0，则，当且仅当时，等号成立；
若0，则，当且仅当时，等号成立；
（2）若，同号，则，当且仅当时，等号成立．
5．利用基本不等式求最值问题：已知0，0，则
（1）如果积是定值，那么当且仅当 时，有最 值 ；（积定和最小）
（2）如果和是定值，那么当且仅当 时，有最 值 ．（和定积最大）
6．两个变形
（1）(，当且仅当时取等号)；
（2）(，当且仅当时取等号)．
题型一：利用基本不等式求最值问题
技巧一：凑项
【典例1】已知，求函数的最大值。
【典例2】设为正实数，则的最小值为
变式1 ，都是正数，则的最小值为
A．4 B．6 C．8 D．
变式2 若函数y＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝（ ）
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
技巧二：凑系数
例题1已知，则函数的最大值为 ．
变式1已知，则的最大值为 ．
变式2设，则函数的最大值为 ．
变式3 （2020·全国高三专题练习）函数的最小值是（ ）
B． C． D．
技巧三：分离换元法
例题1函数的最小值为 ．
例题2函数的最大值为 ．
变式1 求的最大值．
变式2函数的最小值为 ．
技巧四：巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
（以下为正常数，）
已知，求的最小值；或者已知，求的最小值．
对于上面两类问题，我们都可以采用求的最小值即可．
【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
（2）（2020·全国高三专题练习）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A． B． C．5 D．6
例题2：若，，且，则的最小值为
A．2 B． C． D．
【举一反三】
1．（2020·东莞市东华高级中学高三月考）已知，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
2．（2020·河北沧州市·高三期中）若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．3
已知，且，求：
的最小值；(2) 的最小值．
若正数满足，则的最小值是 ．
技巧五：消元法
例题5-1已知，，且，则a+2b的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
例题5-2设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为
例题5-3若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
变式1若正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2设正实数，，满足，当取最大值时，的最大值为( )
A．0 B．1 C． D．3
变式3若，且，则的最小值为 ．
变式4设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
题型二：利用基本不等式解决恒成立问题
例题2-1已知，且，若对任意的正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
例题2-2若且，则恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
例题2-3已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．
变式1若对任意0，恒成立，则的取值范围是________．
变式2若对任意0，0，不等式恒成立，则的取值范围是________．
变式3已知0，0，，若恒成立，则实数的最大值是________．
题型三：利用基本不等式证明不等式
例题3已知0，0，0，求证：.
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
变式1已知0，0，0，且，求证：.
变式2设，，(0，)且，求证：
变式3设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证,：
ab＋bc＋ca≤； （2）≥1.
核心：（1）利用完全平方和公式（2）利用a＋b＋c＝1构造三个基本不等式再累加
题型四：利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题4某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
变式1某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少；
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长．
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
变式2森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭用n分钟．
(1)求出x与n的关系式； (2)求x为何值时，才能使总损失最少．
【题型优化测训】
选择题
1．函数的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．设，，且，则的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
填空题
已知，是正实数，则的最小值是 ．
已知，是正实数，则的最小值是 ．
规定记号“”表示一种运算，即为正实数），若正数，满足，则的取值范围是________．
三、解答题
9．若且．
（1）求的最小值； （2）是否存在，使得？并说明理由.
10．已知，，，，，是正实数，求证：
11．某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度不得超过．房屋正面的造价为400元/，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【专题4】 基本不等式的技巧
【知识梳理】
重要不等式：()，当且仅当时，等号成立；
基本不等式：若0，0，则，当且仅当时，等号成立．
3．基本不等式的变形
（1）(0，0)，当且仅当时，等号成立；
（2）()，当且仅当时，等号成立；
4．常见的基本不等式的应用
（1）若0，则，当且仅当时，等号成立；
若0，则，当且仅当时，等号成立；
（2）若，同号，则，当且仅当时，等号成立．
5．利用基本不等式求最值问题：已知0，0，则
（1）如果积是定值，那么当且仅当 时，有最 值 ；（积定和最小）
（2）如果和是定值，那么当且仅当 时，有最 值 ．（和定积最大）
6．两个变形
（1）(，当且仅当时取等号)；
（2）(，当且仅当时取等号)．
【基础自测】
1．已知x0，当x＋取最小值时，则x为（ ）
A． 81 B． 9 C． 3 D．16
【答案】B
2．若实数a，b，满足，则的最小值是（ ）
A．18 B．6 C． D．
【答案】B
3．若，且，则、、、中最大的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
5．已知正数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值10 D．有最小值10
【答案】A
题型一：利用基本不等式求最值问题
技巧一：凑项
【典例1】已知，求函数的最大值。
解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
【典例2】设为正实数，则的最小值为
【答案】3未知定值（没有形如“”这样的定值式）
变式1 ，都是正数，则的最小值为
A．4 B．6 C．8 D．
【分析】由正数，把化简变形成．利用由均值不等式求出．联系函数单调性可求最小值．
【解答】解：因为，都是正数，所以，即．
又．
因为函数在递减，所以当时，取得最小值，故选：．
变式2 若函数y＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝（ ）
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
【答案】C
技巧二：凑系数
例题1已知，则函数的最大值为 ．
【答案】
变式1已知，则的最大值为 ．
【答案】
变式2设，则函数的最大值为 ．
【答案】
变式3 （2020·全国高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.
技巧三：分离换元法
例题1函数的最小值为 ．
【答案】
例题2函数的最大值为 ．
【答案】
变式1 求的最大值．
【答案】的最大值为．
变式2函数的最小值为 ．
【答案】
技巧四：巧用“1”代换的最值问题
【知识点讲解】
（以下为正常数，）
已知，求的最小值；或者已知，求的最小值．
对于上面两类问题，我们都可以采用求的最小值即可．
【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
（2）（2020·全国高三专题练习）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A． B． C．5 D．6
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.故选：B．
由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
例题2：若，，且，则的最小值为
A．2 B． C． D．
【分析】法一：原式变形为，则可化为
，利用基本不等式即可求得其最小值；
法二：原式变形为，则可化为，利用基本不等式即可
【解答】解：（法一）可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，
（法二）原式可得，
则，
当且仅当，即时取“”，故选：．
【举一反三】
1．（2020·东莞市东华高级中学高三月考）已知，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.故选：D
2．（2020·河北沧州市·高三期中）若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．3
【答案】D
【解析】因为，，所以
．当且仅当，即，时取等号.故选：D.
已知，且，求：
(1) 的最小值；(2) 的最小值．
【答案】(1)64(2)18
【解析】(1)，
，
，
.
当且仅当，即，即时取等号，
的最小值为64.
(2)，，
.
当且仅当，即，
若正数满足，则的最小值是 ．
【答案】
技巧五：消元法
例题5-1已知，，且，则a+2b的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】
例题5-2设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为
【解析】首先要通过取得最小值，得到之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再求最值即可。
解：
①
等号成立条件为：，代入到①可得：
的最大值为2
讲解步骤：三元→二元→一元
例题5-3若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】. 8
【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，
所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.
解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，
所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.
变式1若正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
变式2设正实数，，满足，当取最大值时，的最大值为( )
A．0 B．1 C． D．3
【答案】
变式3若，且，则的最小值为 ．
【答案】：
【解析】、由已知等式得，从而，
，故有最小值.
变式4设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
【答案】
【解析】、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.
由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．
题型二：利用基本不等式解决恒成立问题
例题2-1已知，且，若对任意的正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】
例题2-2若且，则恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
例题2-3已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】、 不等式x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0的构造比较特殊，可以化为关于x＋y的不等式，再根据不等式及x＋y＋4＝2xy求出x＋y的范围即可．
对于正实数x，y，由x＋y＋4＝2xy得x＋y＋4＝2xy≤，解得x＋y≥4，
不等式x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0可化为(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，
令t＝x＋y(t≥4)，则该不等式可化为t2－at＋1≥0，即a≤t＋对于任意的t≥4恒成立，
令u(t)＝t＋(t≥4)，则u′(t)＝1－＝>0对于任意的t≥4恒成立，从而函数u(t)＝t＋(t≥4)为单调递增函数，所以u(t)min＝u(4)＝4＋＝，于是a≤.
在求函数u(t)＝t＋(t≥4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出u(t)min＝2，没有注意到t≥4的限制，从而得到错误的答案a≤2.
变式1若对任意0，恒成立，则的取值范围是________．
【答案】
变式2若对任意0，0，不等式恒成立，则的取值范围是________．
【答案】
变式3已知0，0，，若恒成立，则实数的最大值是________．
【答案】
题型三：利用基本不等式证明不等式
例题3已知0，0，0，求证：.
证明：，，
[方法总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
变式1已知0，0，0，且，求证：.
证明：将式中1替代为，
再化简可证
变式2设，，(0，)且，求证：
证明：，，
变式3设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证,：
（1）ab＋bc＋ca≤； （2）≥1.
核心：（1）利用完全平方和公式（2）利用a＋b＋c＝1构造三个基本不等式再累加
题型四：利用基本不等式求实际问题中的最值问题
例题4某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－－250＝1 200－.
所以L(x)＝
(2)当0此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.
此时x＝，
即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．
变式1某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少；
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长．
解 设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2)．
(1)依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
由基本不等式得
3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故0＜≤10.从而0＜S≤100.
所以S的最大允许值是100 m2.
(2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m.
[方法总结]
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
变式2森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭用n分钟．
(1)求出x与n的关系式； (2)求x为何值时，才能使总损失最少．
解 (1)由已知可得50nx＝100(n＋5)，
所以n＝(x＞2)．
(2)设总损失为y元，则
y＝6 000(n＋5)＋100x＋125nx
＝6 000＋100x＋＝＋100(x－2)＋31 450≥2＋31 450＝36 450，
当且仅当＝100(x－2)，即x＝27时，y取最小值．
即需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36 450元．
【题型优化测训】
选择题
1．函数的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
2．设，，且，则的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】
4．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
5．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
填空题
已知，是正实数，则的最小值是 ．
【答案】
已知，是正实数，则的最小值是 ．
【答案】
规定记号“”表示一种运算，即为正实数），若正数，满足，则的取值范围是________．
【答案】
三、解答题
9．若且．
（1）求的最小值； （2）是否存在，使得？并说明理由.
【解析】
，；
，不存在
10．已知，，，，，是正实数，求证：
证明：
11．某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度不得超过．房屋正面的造价为400元/，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【解析】由题意可得，造价为：
则，
当且仅当时等号可取，故当侧面的长度为4时，总造价最低.
