课件20张PPT。1.1.3导数的几何意义设函数f(x) ，其在x=x 0 处的导数为：复习：函数f(x)在 处的瞬时变化率。我们知道：导数 表示：反映了函数f(x)在 附近的变化情况。那么：导数 的几何意义是什么呢？观察割线的变化趋势——与切线位置播放如图, 如果割线 绕点P旋转,而 趋近于确定位置,点 无限趋近点P,如直线PT为曲线C在点P处的切线.
无限趋近一切直线PT的斜率导数的几何意义：例题讲解：关注用导数本质及其几何意义解决问题 从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到：当x=x0时， 是一个确定的数。即：思考题思考题解答小结1. 导数的实质: 就是 瞬时变化率；2. 导数的几何意义: 切线的斜率;3. 导数表示了现实生活中事物的发展在某一时刻的瞬时变化发展情况，它的符号刻划变化的增减，它的绝对值反映了变化的快慢;4. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.再见课件12张PPT。1.2.1几个常见函数的导数一、复习1.导数的
几何意义：
曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义：
物体在某一时刻的瞬时度。（三步法）步骤:说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数. 2.求函数的导数的方法是:3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=
x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0
处的导数的方法之一。 4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.二、新课——几个常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: 公式2:探究？(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？在同一平面直角坐标系中，
画出y=2x,y=3x,y=4x的
图象，并根据导数定义，
求它们的导数。公式3:公式4:探究？画出函数 的图象。根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程。求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即公式5:课件16张PPT。人民教育出版社 高中数学 选修1-13.1 变化率与导数
（第一课时）教材分析 函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容深而进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，对函数的单调性，极值，最值等问题都得到了有效而彻底的解决。用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向。而本节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础 重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率
难点：对生活现象作出数学解释教学目标知识目标：了解导数的实际背景，理解平均
变化率的概念
能力目标：体会平均变化率的思想及内涵
情感目标：使学生拥有豁达的科学态度，互
相合作的风格，勇于探究，
积极思考的学习精神学生现状分析 由于新教材是以模块的形式进行展开教学的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，他们极容易在解题时钻牛角尖。而对导数，他们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，因此若能让学生主动参与到导数学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。 教法分析 适宜采用启发式讲解，互动式讨论，归纳发现等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学气氛 教学过程一 引入谁是导数概念的第一发明人？介绍导数背景豁达的心态
学习交流二 传授新课学习活动：每人配备一个气球，以学习
小组的形式，吹气球，观察，
并思考：吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气观察：气球变大的速度思考：每次吹入差不多大小的气体
气球变大的速度一样吗？
为什么？对思考的问题给一个科学的回答，就需要把这个生活现象从数学的角度，用数学语言进行描述，解决问题对一种生活现象的数学解释引导：这一现象中，哪些量在改变？
变量的变化情况？
引入气球平均膨胀率的概念当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６ 探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率探究活动 思考：平均变化率的几何意义？
引导学生研究以前学过和平均变化率差不多的表达式——斜率，再引导出平均变化率的几何意义就是两点间的斜率，最后给出flash动画演示加强学生对平均变化率的直观感受。 小组竞争，每个学习大组抽一位学生上黑板演示例：老师去崩极，假设老师下降的运动符合方程 ， 请同学们计算老师从3秒到4秒间的平均速度，计算从9秒到10秒的平均速度。 实践活动探究活动 观看十运会中跳水男子十米台田亮逆转夺冠的影片剪辑，让同学们把这一生活现象用数学语言来解释，并描绘出田亮重心移动的图像 实践活动 假设相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.，那么田亮在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，在1秒到2秒时间段内呢，在 时间段内呢? 课外思考 思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数，负数，0的时候，其运动状态是怎样的？能不能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态呢？ 小结 让学生再次巩固变化率的概念，并发现生活中和变化率有关的例子 教学反思 这节课主要是让学生体会平均变化率，让学生感受数学。高中正是学生人生观形成的重要时期，我觉得不仅要引导学生对数学的学习兴趣，让他们主动的学习数学，学会学习数学，如果还能在吸收知识的过程中教会他们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一石二鸟的教学模式课件16张PPT。 函数的和、差、积、商的导数 一、复习：1.求函数的导数的方法是:2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.3.常见函数的导数公式:公式1: .公式2: .公式3: .公式4: .二、新课： 由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导
数的和(差),即:证:即:2.积的导数:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数
的导数 ,即证:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:即:3.商的导数:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
即:法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母
的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
的平方,即:思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数
公式吗?有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:答案:例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=
f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 A(2)下列函数在点x=0处没有切线的是( )
(A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx
(C)y=xsinx (D)y= +cosxD(3)若 则f(x)可能是下式中的( )B(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的
切线的倾斜角的取值范围是( )D例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点. 即t3-12t2+32t=0,
解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.注:此题为p.238第12题.例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应
的切点,并证明曲线关于此点对称.解:由于 ,故当x=2时, 有最小值.而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点
为A(2,-12).记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6.又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S.将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x
+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30
=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S.这就证明了曲线S关于点A中心对称.练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐
标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). ,所以切线的斜率k=12-6-18=
-12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0). 事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.练习2:设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行
于l1的另一条切线为l2.
(1)求l1、l2的方程;
(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线
l3、l4的方程.
(3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积.答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.例6:用求导的方法求和:对(1)由求导公式 可联想到它是另一个和式x+x2+x3+…+xn的导数.例7:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l
同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线
上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出
此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线
段互相平分.(2003天津高考(文)题)(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P
(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)
(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①;函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2,
-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即
y=-2x2x+x22+a . ②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程. 所以 消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0. 若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合. 即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4. (Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线.设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2
+a=-1+a.故线段PQ的中点为: 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.四、小结：五、作业：第一次p.235~236课后强化训练第1~10题;
第二次p.237~238课后强化训练第1~12题.1:充分掌握函数的四则运算的求导法则.2:先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难
为易、化繁为简的基本原则和策略.3:在解决与曲线的切线有关的问题时,应结合函数与方
程的思想,解析几何的基本方法和理论来求解.解决
问题时,关键在与理解题意,转化、沟通条件与结论,
将二者有机地统一起来.课件21张PPT。bqr6401@126.com经全国中小学教材审定委员会
2003年审查通过良乡中学数学组 任宝泉 第三册 （选修II）bqr6401@126.com高中数学选修第三章 导数2019年3月16日书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3.6.1函数的单调性（1）3.6导数的应用-函数的单调性bqr6401@126.com 1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义2 、某点处导数的几何意义3 、导函数的定义函数y = f(x)在点x0处的导数f?(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率.知识回顾bqr6401@126.com 4 、求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤： 2.算比值： 3.取极限： 1.求增量： 5、四个常见函数的导数公式 bqr6401@126.com6、导数的四则运算法则7、复合函数的导数8、对数函数的导数9、指数函数的导数bqr6401@126.com引例:已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的. (1)任取x1
(2) 作差f（x1）-f（x2）并变形
(3)判断符号
(4)下结论用定义法判断函数单调性的步骤：新课讲授引入:函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ bqr6401@126.com 曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：bqr6401@126.com在区间 内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 时，函数y=f(x) 在区间 内为增函数；在区间 内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即
时，函数y=f(x) 在区间 内为减函数.bqr6401@126.com 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法 结论：y′>0增函数y ′<0减函数bqr6401@126.com 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。 2、导数的应用：判断单调性、求单调区间bqr6401@126.com例1:确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，
f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数 例题讲解bqr6401@126.com例2:确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0， f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.bqr6401@126.com∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴ 在(0，+∞)上是减函数.例3:证明函数 在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴ ＞0bqr6401@126.com点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)∴x2＞0，∴ . ∴f′(x)＜0，∴ 在(0，+∞)上是减函数.bqr6401@126.com证明：令f(x)=e2x－1－2x。∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)
∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0
∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。
∵f(0)=e0－1－0=0。
∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0。
∴1+2x＜e2x例4:当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.bqr6401@126.com解：∴ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)例5：已知函数 ，试讨论出此函数的单调区间.∴ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令 ，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.令 。解得 或bqr6401@126.com 分析：求 ,当 时,看 变化范围。即bqr6401@126.combqr6401@126.com例7：设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。bqr6401@126.com1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为 ，则a的取值范围为( )
(A)a>0 (B)–11 (D) 0单调递增函数 （B）单调递减函数
(C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定 课堂练习bqr6401@126.comf(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数。课堂小结课后作业P128 习题3.6 1、2题课件24张PPT。bqr6401@126.com经全国中小学教材审定委员会
2003年审查通过第三册 （选修II）bqr6401@126.com高中数学选修第三章 导数2019年3月16日书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3.8.1函数的最大值与最小值（1）bqr6401@126.com知识回顾1、 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间bqr6401@126.com(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。2、 求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根 3、 是可导函数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件。4、 在x 0两侧的导数异号是x 0为极值点的充要条件。bqr6401@126.com新课讲授1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间 上的函数
的图象．图中 与 是极小值， 是极大值．函数 在 上的最大值是 ，最小值是 ．一般地，在闭区间 上连续的函数在 上必有最大值与最小值． bqr6401@126.com说明：⑴在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值．如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间
上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．⑷函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。bqr6401@126.com (2)将y=f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 2、设函数f (x)在[a,b]上连续， f (x)在(a,b)在内可导，求f (x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)一是利用函数性质
二是利用不等式
三是利用导数 3、求函数最值的一般方法：bqr6401@126.com例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值 法一 (利用二次函数单调性)、
将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，结合二次函数图像来解决。例题讲解法二（利用导数）、f ′(x)=2x- 4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2bqr6401@126.com 故函数f (x) 在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2 -+3112bqr6401@126.com例2 已知 ,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f (x)同时满足下列两个条件：
（1） f (x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；
（2） f (x)的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由。解：∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.bqr6401@126.com经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。∴∴解得bqr6401@126.com例3：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？bqr6401@126.com由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm，
得箱子容积令 ，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16000bqr6401@126.com解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．bqr6401@126.com事实上，可导函数 、
在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值bqr6401@126.com解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例4：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 ，则令 解得， ，从而bqr6401@126.com答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即 h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值bqr6401@126.com例5:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入利润bqr6401@126.com答：产量为84时，利润L最大。令 ，即 ，求得唯一的极值点bqr6401@126.com1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能课堂练习DAbqr6401@126.com3.函数 ，在［－1，1］上的最小值为( )
A.0 B.－2 C.－1 D.
4.函数 的最大值为 ( )
A. B.1 C. D.
AA课堂练习bqr6401@126.com5.函数 在 上的最小值是___________.
6.函数 在 上的最大值为_____；最小值为_______.
7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
8.使内接椭圆 的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.
9.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大。-15bqr6401@126.com课堂小结⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间（a,b）内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
(4)根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。bqr6401@126.com课后作业P130习题3.8 1、2、3、4题课件17张PPT。bqr6401@126.com经全国中小学教材审定委员会
2003年审查通过良乡中学数学组 任宝泉 第三册 （选修II）bqr6401@126.com高中数学选修第三章 导数2019年3月16日书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3.7.1函数的极值（1）3.7导数的应用-函数的极值bqr6401@126.com1、设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数。 2、判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法 y′>0增函数y′<0减函数知识回顾bqr6401@126.com 3、用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间bqr6401@126.com一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值. 一、函数极值的定义新课讲授bqr6401@126.com1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。2、极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。注意bqr6401@126.com5、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 。bqr6401@126.com2、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值。 二、导数的应用：求函数的极值1、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)>0，在x0右侧附近f′(x)<0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值。bqr6401@126.com(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。3、 求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根bqr6401@126.com解：当x变化时，y′，y的变化情况如下表例1：求 的极值令y′=0，解得x1=－2，x2=2例题讲解∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=
当x=2时，y有极小值且y极小值=bqr6401@126.combqr6401@126.com由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件.
由极大值点的定义，任意x＜x0，f(x)＜f(x0)
所以左侧是增函数，所以f′(x)＞0，任意x＞x0，
f(x)＜f(x0).所以右侧是减函数，所以f′(x)＜0，
所以x0两侧的导数异号
当x0是极小值时，同样可以证明例2：对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为 极值点的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件Cbqr6401@126.com例3下列函数中，x=0是极值点的函数是( )
A.y=－x3 B.y=cos2x C.y=tanx－x D.y=1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。B例4下列说法正确的是( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若｜p｜＜ ，则f(x)无极值
D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值Cbqr6401@126.com∴a=2。例5:函数 在 处具有极值，求a的值分析：f(x)在 处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出a的值.解：∵ ，
∴bqr6401@126.com
例6:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值解：∵y′｜x=1=0，y′｜x=2=0∴bqr6401@126.combqr6401@126.com1、函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大(小)值可有若干个，而且有时极小值可以大于它的极大值。 2、 是可导函数 f (x)在x = x 0处取极值的必要而不充分条件。3、 在x 0两侧的导数异号是x 0为极值点的充分条件。课堂小结课后作业P130习题3.7 1、2题课件11张PPT。函数的极值与导数 对于一般函数y=f(x),是否也有这样的性质? 作业课本107页5课件10张PPT。 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;函数的极值与导数【复习与思考】(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数
y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点. 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值（1） 求导数f/(x)；
（2） 解方程 f/(x)=0
（3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】例题: 求函数
的极值. 【课堂练习】课本P31例2:求函数 的极值.【思考交流】导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.课件13张PPT。1.1.1变化率问题问题1：气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢。从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 发现：当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)≈ 0.62 （dm)气球的平均膨胀率为：气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之间的函数关系是：类似地： 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１) ≈ 0.１６（dm) 气球的平均膨胀率为：可以看出：随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小。思考？ 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态，那么：在1秒到2秒时间段内呢？田亮在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少？探究？计算：运动员在
这段时间内的平均速度，并思考下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率 从以上的二个例子中，我们可以了解到，平均变化率是指在某个区间内数值的平均变化量.如果上述两个问题中的函数关系用 表示，那么问题中的变化率可用式子：
表示。平均变化率：“增量”：令“增量”于是：平均变化率可以表示为：天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！思考？平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。课件8张PPT。导数 ---常见题型例2、已知P为抛物线 y=x2上任意一点，则当点P到直线 x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离 。例1、
（1）求过点（1，1）且与曲线 y= 相切的直线方程。
（2）求过点（2，0）且与曲线 y= 相切的直线方程。一、导数的几何意义：——切线的斜率注： 所给点是否在曲线上。 例3、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间。 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1)求出函数的导函数
(2)求解不等式 f /(x) > 0 , 求得其解集,再根据解集写出单调递增区间;
(3)求解不等式 f /(x) < 0 , 求得其解集,再根据解集写出单调递减区间;注： 单调区间不 以“并集”出现。 二、判断函数单调性、求单调区间练习：求函数 f (x)=ln(x2-6x-7) 的单调增区间注： 单调区间应在“定义域”内。三、求函数的极值、最值 (1)???求导函数 f / (x)； (2)???求解方程 f /(x)=0；
(3)??检查 f /(x)在方程 f /(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤：例4:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值. (1)求a、b的值;
(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)故矩形ABCD的面积为:
S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(00得x=1.而01时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
成立.四、不等式的证明解:设细杆与另一走廊一边夹角为 又设另一走
廊的宽为y.令由于y(θ)只有一个极小值,所以它是最小值,这时故另一走廊的宽度至少是五、导数的实际应用小结1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.2.要认识导数应用的本质,强化应用意识.3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结
合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的
灵活性和变通性.课件12张PPT。导数公式与运算法则
(1)作业课本93页A组4,6
B组2课件14张PPT。导数在函数中的应用 这种情况是
否具有一般性呢? 观察下列函数图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 回顾函数单调性的定义,思考某个区间内函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系. 使f’(x)=0的
点称为”临界点”练习作业课本107页A组2,3课件9张PPT。2019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香12019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香2观察并分析 2019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香32019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香42019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香52019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香62019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香72019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香82019年3月16日临沭县第二中学 胡矩香9课件13张PPT。导数的应用用导数解决直线斜率问题
用导数解决函数单调性问题
用导数解决函数的极值问题一、导数概念巩固1、曲线 在点（3,3）处的切线
的倾斜角是 . 3、求下列函数的导数二、运用导数解决的有关问题1、斜率相关问题例1、已知函数 ，点A、 B位于
部分的图象上，求直线AB的斜率的取
值范围。例2、设曲线y=e-x(x≥0）在点M（t, e-t）处的切
线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t）。
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值。2、单调性问题y=f(x)在(a,b)上可导，
若f′(x)＞0，则f(x)为增函数，
若f′(x)＜0，则f(x)为减函数例3、、已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间
（0,4）内是减函数，求实数k的取值范围。例4、已知f(x)= (x∈R)在区间[－1，1]
上是增函数. 求实数a的值组成的集合A； 注意:求单调区间与已知函数在某区间单调时求参数的范围的区别3、极值、最值问题（2）f(x)在[a,b]上的最值求法：
①求出f(x)在(a,b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.（1）可导函数f(x)在极值点处的导数为0.例5、已知x>0，求函数 的最值.例7、 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小?三、小结斜率问题导数可求
用导数求解单调性问题要注意导函数图象与原函数图象的关系
极值点的导数为0但导数为0的点并不一定是极值点
极值与最值的不同与共同三、高考题型展示：y＝x2＋an x＋bn上，补充：1、利用导数求和：（1）（2）2、实数a、b为何值时，函数 在R上处处可导。3、有甲乙两个工厂，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40Km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50Km，两厂要在此河岸边合建一个供水站C，从水站到甲厂乙厂的水管费用分别为每千米3a和5a元，问如何确定C点的位置才能使水管费用最省？课件13张PPT。bqr6401@126.com经全国中小学教材审定委员会
2003年审查通过良乡中学数学组 任宝泉 第三册 （选修II）bqr6401@126.com高中数学选修第三章 导数2019年3月16日书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3.10.2导数的应用习题课（2课时）bqr6401@126.com课本有关练习1、把长60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时矩形面积最大？x(60-2x)/2解：设宽为Xcm,则长为（60－2X）/2=(30-X) cm所以面积此时S’在x＞15时S’<0,x＜15时，S’＞0结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。答：长为15cm,宽为15cm时面积最大。bqr6401@126.com2、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？x解:设分成一段长为4xcm,则第一个正方形面积为 另一个面积为所以面积之和为所以4x-50=0得x=12.5 ,当x<12.5时，s’<0,当x>12.5时，s’>0,故当x=12.5时s最大值为312.5平方厘米答：当一段为4x＝50cm时，面积之和最小，此时另一段也为50cm bqr6401@126.com3、同一个圆的内接矩形中，正方形的面积最大。
4、同一个圆的内接三角形中，等边三角形面积最大。3、法一：设半径为R（常数），矩形长为一边长为x,则面积此时另一边长为因为s(x)只有一个极值，x过小或过大s(x)都变小所以正方形面积最大ABC（负值舍去）矩形为正方形bqr6401@126.com不等式当且仅当 时取等号，此时矩形为正方形当且仅当法三：上式取等号，此时矩形是正方形法二：设则bqr6401@126.comABCRX4、提示：设圆的半径为R（常数），等腰三角形的底的边心距为x，则高为R＋x,底边长为等腰三角形的面积为R（负值舍去）此时可求得AB＝AC＝BC＝bqr6401@126.com5、做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为多少时最省材料6、用铁皮剪一个扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时容积最大？ax解 5、设水箱的高为xdm,则它的底边长为a= dm水箱所用的材料的面积为因为s(x)只有一个极值，故高为4dm时最省料升 立方分米bqr6401@126.com6、设圆铁皮半径为R，扇形的圆心角为 弧度，则圆锥底半径为R圆锥的高为圆锥形容器的容积为rRhbqr6401@126.com因 过小或过大都会使V变小，故 时，容器的容积最大。 bqr6401@126.com7、已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50KM，B、C间的距离为100KM，从A到C，先乘船，船速为25KM/h，再乘车，车速为50KM/h，登陆点选在何处所用时间最少？ABCD解：设登陆点选在D处，使BD＝xKM，则乘船距离为 ，乘车距离为(100－x)KM所用时间bqr6401@126.com（舍去负值）因为当x< 时，t’<0,当x> 时，t’>0,故当登陆点选在距离B KM 处时所用时间最少。bqr6401@126.com补充练习
1、(1)求内接于半径为R球的并且体积最大的圆柱的高
(2)求内接于半径为R球的并且体积最大的圆锥的高
2、一面靠墙三面用栏杆，围成一个矩形场地，如果栏杆长40cm，要使围成的场地面积最大，靠墙的边应该多长？
3、一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户的面积一定，当半圆半径与矩形的高的比为何值时，窗户的周长最小？
4、一汽车以50km/h的速度沿直线使出，同时一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度？2、20cm3、比为1时课件18张PPT。1.1.2导数的概念高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10. 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的。物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？ △t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。我们先考察t=2附近的情况：在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，当△t<0时， 2+△t 在2之前；
当△t>0 时， 2+△t 在2之后。 计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ]内的平均速度 ，可以得到如下表格：如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化趋势?：观察？ 当△t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？ 我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值-13.1。从物理的角度看：时间间隔| △t |无限变小时，平均速度
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s为了表述方便，我们用：表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 从平均速度 过渡到瞬时速度
，得到瞬时速度 的值为-13.1 .
探究？1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时速度变化率怎样表示？1.如何反映瞬时速度？瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度，
由极限的观点可知：
当 时，
为瞬时速度. 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变化率是
我们你它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数，
记作2.导数的概念：即：其它形式即表示函数y关于自变量x在x0处的导数。注意：如图,取极限得两类问题直接导致了导数的产生：1.根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度： 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度 高度h关于时间t的导数为物体的瞬时速度.播放2.求已知曲线的切线割线的极限位置——切线位置 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即如图,例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时，原油的温度（单位：0C）为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。
（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义；
（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义；小结：1.平均变化率；
2.瞬时速度；
3.导数的定义；
4.变化率及导数定义的运用.作业：P10-11页，3，4课件22张PPT。导数的概念导数的概念 一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数
学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义. 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:
如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数. 是函数f(x)在以x0与x0+Δx
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度． 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.例1:(1)求函数y=x2在x=2处的导数;
(2)求函数y=x+1/x在x=4处的导数. 如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x?(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作 ,即:在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续．求函数y=f(x)的导数可分如下三步:4.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 . 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:例2:如图,已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.6.小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过
程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增
量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,
就是函数f(x)的导函数 。例1:判断下列各命题的真假:
(1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…,
则过P0与Pn两点的直线的
斜率就是函数在点P0处的导数.答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点
P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象)
的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一
个假命题.(2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬
时速度V等于答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真
命题.(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要
函数在x0处连续,则 就必存在.5.例题选讲答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但
它在x=0处的导数不存在.(4)设
是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3
三点处的导数均存在.若 ,则必有答: ,由于f(x)的导函
数 未必是单调增函数.因此,
不一定成立,例如f(x)=x3,则 显然有
故是假命题.说明:要正确判断命题的真假,需真正理解:曲线在点P处
切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要
把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证,
而要给出否定的结论,举一个反例就足够了.例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定
的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;
(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练
习用.练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.练习3:函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,
求出来,若没有,说明理由.故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.（3）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,
就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时，
对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一
个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内
可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。 （4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数
在x=x0处的函数值，即 。这也是
求函数在点x0处的导数的方法之一。 d.函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲
线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)
的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定
可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。e.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求
函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导
数概念。例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 ,
求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.故所求的斜率为-2.课件17张PPT。2019/3/16人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ）第三章第一节《导数的概念》开始已授 → 曲线的切线
已授 → 瞬时速度
抽象 ↓引入
新授 →导数的概念
编者意图在哪里呢？ “导数” 的地位、作用?教材分析1.教材的内容剖析第二层: 函数在开区间 内可导教材分析第四层:联系第一层: 函数在点 处的导数第三层: 导函数的形成过程重 点：
难 点：
难点成因：导数的定义与求导数的方法. 对导数概念的理解. （1）忽视导数概念的形成过程.
（2）对导数的理解重结果、轻过程.
（3）对变量认识不够，定势思维.2.重难点剖析目的分析知识目标能力目标情感目标1.学生的认知现状2.教学目标三、教法分析支架式教学法“导” “悟” “学”启发——诱导——激励接受——探索——完成组织推动知识的发生、发展、运用循序渐进原则可接受原则认知规律教法分析 我为什么采用这种教法？ 第一. 过程与方法的抽象！ 第二. 概念形成过程有如支架式建构. 新知建构有两个特征：我怎样指导学生学习？ 现有认知结构与新知比较：第一. 指导学生用类比方法进行建构.第二. 指导学生用化归思想解决问题.过程分析切入：（1） 我们是怎样求切线的斜率的?
（2） 我们是怎样求某时刻的瞬时速度的? 启发:
解决这两个问题的方法有什么共同之处？
怎样求函数 在 处的变化率呢？说课目录
教材分析
目的分析
教法分析
过程分析
评价分析导数的概念山东省临沭二中
蒋 德 亮
设计环节猜想（结果）曲线的切线斜率/ 物体在 时刻的瞬时速度 =函数在 处的变化率质疑：结果的存在性，确定性，唯一性. （1）自变量的改变量 是否存在？
（2） 有什么含义？
（3）平均变化率 在 时有极限吗？（1）自变量 在 处有增量
（2）函数相应地有增量
（3）关于 的函数 在 时有极限.假设：结论 函数 在点 处可导的定义；
函数 在点 处的导数的定义.反思① 可导的条件.
② 导数的是什么?
③ 求导数的方法.
④ 渗透导数的文化价值.函数在开区间内每一点可导，就说在开区间内可导.定义3定义2 函数思想 反 思：继续巩固（3）已知 ，求 ① ； ②继续升华辨析下列概念的区别与联系： 作业（１）知识：导数的概念.
（２）思想：函数思想和极限思想.
（３）方法: 两个途径.小结评价分析过程性评价——及时点评、延时点评和学生互评评价模式：主要手段：３.关注学生是否同化新知. ２.考察学生在归纳、抽象和概括能力是否得到发展；1.评价学生是否具有积极情感态度和顽强的理性精神.谢谢大家再见课件13张PPT。函数的单调性与导数知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数 的单调性。图象法减增如图：动态
演示单调性导数的正负函数及图象切线斜率
的正负函数单调性与导数的关系？函数单调性与导数正负的关系注意：
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间。1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。
(2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____函数，
在(－∞,1]上为______函数，在[1,2]上为__
__________________________________函数。基础训练：应用举例增增减既不是增函数,也不是减函数求函数 的单调区间。变1：求函数 的单调区间。理解训练：解：的单调递增区间为单调递减区间为变3：求函数 的单调区间。解:解:总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便？2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？归高考试(04年全国理)B尝已知导函数的下列信息：试画出函数 图象的大致形状。分析：解： 的大致形状如右图：2．应用导数信息确定函数大致图象(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)高考试尝设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( ) 通过这堂课的研究，你明确了????? ?，
你的收获与感受是?????????????? ????????，
你存在的疑惑之处有?????????????? ?。 课堂小结(课本) P101 4 ， P107 A组 1 选做题必做题作 业A课件13张PPT。 透视高考试题 看导数的应用讨论函数
f (x)=x3-6x2+9x-3
的性质 想一想？定义域 值 域 奇偶性 周期性
对称性 单调性 极 值想一想？如果知道函数f (x)=x3-6x2+9x-3
的图象，怎样画出其导函数的大致图象，根据图象找出该函数的单调区间和极值点. 练习1.（2005年北京卷）
如果函数的导函数的图象如图
所示，给出下列判断：12345xy-1-2-30(3) C练习2.（2005年江西卷）
已知函数 的图象如图所示,
下面四个图象中是y=f(x)的大致是( ) 例1： （2006年北京卷第16题）
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在
x0处取得极大值5，其导函数y=f’(x)的
图象经过点（1，0），（2，0），如
图所示，求：
（1）x0的值；
（2）a,b,c的值. 例2.（1）求函数y=x3-3ax+2(a>0)
的极值.
（2）研究方程x3-3ax+2=0 (a>0)
何时有三个不同的实根？何时有唯一的根.例3：（2006年天津卷第20题）
已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+ cosθ ，
其中x∈R，θ为参数，且0≤θ<2π.
(Ⅰ)要使函数f(x)的极小值大于零，求
参数θ的取值范围；
(Ⅱ)若对(Ⅰ)中所求的取值范围内的
任意参数θ，函数f(x)在区间(2a-1,a)内
都是增函数，求实数a的取值范围.
小结：导数是高中新课程新增的内容，从近几年
的高考命题分析，高考对导数的考查主要
分为三个层次：
第一层：主要考查导数的概念和某些实际
背景，求导公式和求导法则.
第二层：导数的简单应用，主要是求函数
的极值和单调区间等.
第三层：综合考查，主要是将导数内容和
传统内容中有关的不等式和函数的单调性
方程根的分布、解析几何中的切线问题、
数列等知识有机的结合在一起，设计综合试题.谢谢指导!提高题:(2006年全国文科卷第22题）
设a为实数，函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在
(-∞，0）和(1，+∞)都是增函数，求a
的取值范围.