1. 有10辆货车从A站匀速驶往2000千米的B站，其时速都是千米/小时，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，货车长度不计），设第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间小时.
（1）求(用含有和代数式表示）；
（2）假设，试确定当为何值时，取得最小值，并求出的最小值.
【答案】（1），；（2），.
【分析】（1）由时间路程/速度，代入具体数值，即得解；
（2）转化，利用均值不等式即得解
【详解】（1）由题意，时间路程/速度
因此
（2）当时，
当且仅当，即时，等号成立
故当时，
2. 解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【分析】对分、、、 和五种情况讨论得解.
【详解】当时，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即 的解集为；
②当时，不等式的解集为 ；
③当时，不等式的解集为 ；
④当时，不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式解集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】易错点睛：解答本题有两个易错点：（1）漏掉这一种情况，因为不确定不等式是不是一元二次不等式，所以要讨论；（2）当时，分类出现错误或遗漏.
3. 已知为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.
（1）请根据基本不等式（），证明：；
（2）请利用（1）的结论，证明：；
（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案；
（2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证；
（3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值.
【详解】（1）证明:因为,当且仅当时等号成立,
所以当且仅当 时等号成立.
所以 当且仅当时等号成立
所以,当且仅当时等号成立.
（2）证明：由于,当且仅当时等号成立,令 , 得﹐
即﹐故.
所以﹐当且仅当时等号成立.
（3）做成的长方体的底面是一个边长为的正方形,高为.
所以.
由（2）中已证的不等式 , 可知
当且仅当时等号成立.
所以 ， 因此 ,
当且仅当 时等号成立.
综上所述 , 当, 长方体盒子的容积 V 取到最大值.
4. 已知函数（为常数）
（1）若函数图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数的值；
（2）设，若不等式在有解，求的取值范围；
（3）定义：区间（）的长度为，若，问是否存在区间，使得的值域为[6，7]，若存在，求出此区间长度的最大值与最小值的差.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）存在，最大值3，最小值1，差为2.
【分析】（1）根据题意，设点，结合两点之间的距离公式和均值不等式，即可求解；
（2）根据题意，可知在有解，令，则等价于在上恒成立，再结合开口向下的二次函数的图象性质，讨论即可求解；
（3）根据题意，结合的图象性质，可知，进而可求解.
【详解】（1）设点，
则点P到定点Q（0，2）的距离，
当时，，不合题意；
当时，由，得，
又因，所以，即，
解得.
（2）由不等式在有解，
得在有解，
令，则，
此时在有解，等价于在上恒成立，
令，，
因，所以在端点处取得最小值，
①当，即时，，故；
②当，即时，，故.
综上，当时，；当时，.
（3）由题意得，结合图象可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，
因在区间上，的值域为[6，7]，
所以，，区间长度的最大值与最小值的差为，
故存在，且最大值3，最小值1，差为2.
5．【分析】（1）根据利润＝销售额﹣成本，结合已知条件，列式即可；
（2）分0＜x＜40和40≤x≤120两种情况，利用二次函数的性质以及基本不等式分别求解最值，比较即可得到答案．
解：（1）当0＜x＜40时，L（x）＝500x﹣（10x2+100x）﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，
当40≤x≤120时，L（x）＝500x﹣（501x+﹣4500）﹣2500＝2000﹣（），
所以L（x）＝；
（2）当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10x2+400x﹣2500＝﹣10（x﹣20）2+1500，
所以当x＝20时，L（x）取得最大值，最大值为1500万元；
当40≤x≤120时，L（x）＝2000﹣（），
当且仅当，即x＝100时取等号，
因为1800＞1500，
所以2021年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
6．【分析】（1）直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
（2）利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
（3）利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果．
解：（1）正实数x，y满足xy＝3x+y，故，所以x+y＝（x+y）（）＝3+1+，当且仅当时，等号成立，
（2），故当b4x2＝a4y2时，等号成立．
（3）令，，
根据，
整理得，
故，
由于x＞y，
所以，
故．
7．已知关于x的不等式的解集为A．
（1）当a＝4时，求集合A；
（2）若3∈A，5 A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据条件得到或，解出即可；
（2）根据条件得到且＞0，解出即可．
解：（1）a＝4时，不等式为≤0，即或，
解得≤x＜4，所以集合A＝[，4）；
（2）若3∈A，5 A，则且＞0，
解得＜a≤或3≤a＜5，
即a∈（，]∪[3，5）．
8．解下列不等式：
（1）x2﹣5x+7＜|2x﹣5|；
（2）+2x＜5．
【分析】（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；
（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．
【解答】解：（1）当时，不等式即：x2﹣5x+7＜2x﹣5，
整理可得x2﹣7x+12＜0，解得3＜x＜4，
令f（x）＝x2﹣5x+7，g（x）＝2x﹣5
注意到函数f（x），g（x）均关于直线对称，
由函数的对称性可得当时不等式的解集为1＜x＜2，
综上可得，不等式的解集为（1，2） （3，4）．
（2）不等式即，不等式有解时，x≥1，
注意到函数单调递增，函数g（x）＝﹣2x+5单调递减，
且f（2）＝g（2）＝1，
结合函数的定义域可得不等式的解集为{x|1≤x＜2}．
9．已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，
（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；
（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．
【分析】（1）由已知得4﹣xy＝2x+y，然后结合基本不等式即可求解；
（2）由已知先用y表示x，然后代入后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）因为xy+2x+y＝4，
所以4﹣xy＝2x+y，
当且仅当2x＝y时取等号，
解得，
故xy的最大值8﹣4，此时x＝，y＝2﹣2；
（2）因为xy+2x+y＝4，
所以x＝＝﹣1+，
所以x+y＝﹣1++y＝﹣3++y+2＝﹣3+2，
当且仅当y+2＝，即y＝﹣2，x＝﹣1时取等号，x+y的最小值3+2．
10．某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x＝3﹣（k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．己知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？
【分析】（1）当m＝0时，x＝1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格为1.5×元，列出y的函数关系式即可；
（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知，当m＝0时，x＝1，
则1＝3﹣k，解得k＝2，
所以x＝3﹣，
因为每件产品的销售价格为1.5×元，
∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）
＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m
＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），
所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝8，
∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax＝21（万元）．
所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
11.
12. 若，则，若，则，
若，则相等.
13.（1）
（2）不存在.不符合.
14.（1） （2），
15.（1）
（2）真
即证成立.
16. （1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.
【分析】
（1）利用反证法即可证明.
（2）利用充分条件、必要条件定义即可得出结果.
【详解】（1）证明：假设，，，
则，这与矛盾，
所以a，b，c中至少有一个小于.
（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，
反之不一定成立，例如：，，，则，
所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件.
【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
17. 求下列不等式的解集：
（1）；
（2）.
【答案】（1）;
（2）
【分析】（1）利用分式不等式的解法，将其转化为，即可求解集；
（2）讨论、、，去绝对值符号求解集.
【小问1详解】
由题设，则，可得或，
所以不等式解集为.
【小问2详解】
由题设且，，
当时，不成立；
当时，恒成立；
当时，不成立；
综上，不等式解集为.
18. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．
【答案】值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为0元
【分析】根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值；
算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】由题意，设燃料费为，
当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，
当时，，可得，解之得．
其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元．
航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元
因此，航行100海里的总费用为
，
当且仅当时，即时，
航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．
答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元．
【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．
19. （1）设x、y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由；
（2）求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．
【答案】（1），理由见解析；
（2）证明见解析， .
【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）分、和三种情况证明不等式成立，然后根据分类讨论的情况即可得到不等式等号成立时的范围.
【详解】（1），理由如下，
，
因为不全为零，所以，即.
（2）当时，原不等式可整理为，解得，所以说明当时不等式成立；
当时，原不等式可整理为，成立；
当时，原不等式可整理为，解得，所以说明当时不等式成立；
综上所述不等式对于所有实数恒成立，
由上可得当时，不等式取等号.
20. 已知不等式，其中x，k∈R．
（1）若x＝4，解上述关于k的不等式；
（2）若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
【答案】（1）或或}
（2）
【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．
【小问1详解】
若x＝4，则不等式变形为
即，
解得或，
所以 或或，
故不等式的解集为或或}；
【小问2详解】
令，
则不等式对任意k∈R恒成立，
等价于对任意t≥1恒成立，
因，
当且仅当，即t＝时取等号，
所以x≤，
故x的最大值为．
21. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式：
（2）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
（3）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1），且，
，且；
（2）125； （3）存在，.
【分析】（1）根据题意写表达式即可；
（2）根据题意列不等式，解不等式即可得到调整后的研发人员的最少人数；
（3）根据条件①②列不等式，解得即可.
【小问1详解】
由题意得，，且，
，且.
【小问2详解】
由（1）得，，解得，又，则调整后研发人员的人数最少为.
【小问3详解】
由条件①得：，整理得，则，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以；
由条件②得：，解得，因为，当时，取得最大值，所以；
综上所述，存在这样的满足以上两个条件，的范围为.
22. （1）解不等式：
（2）解不等式：
【答案】（1） （2）
【分析】（1）按照绝对值不等式分类讨论解不等式即可；
（2）按照不等式分类求解即可.
【详解】解：（1）当时，，不等式为，解得，所以解集为；
当时，，不等式为，解得，所以解集为；
当时，，不等式为，解得，所以解集为；
综上：不等式的解集为：.
（2）不等式，首先满足，所以或
当或时，不等式成立，符合；
当或时，不等式成立，则，所以，则解集为；
综上：不等式的解集为：.
23. （1）已知，求y的最大值.
（2）设关于x的方程的两个非零实根为，，问是否存在m，使得不等式对任意的以及恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）1 （2）存在，
【分析】（1）令，所以，得，结合基本不等式求解最值即可；
（2）方程可化为，，可知方程有两不同的实根，，再由韦达定理建立得最值，若不等式恒成立，可转化为，都成立，再求最小值即可．
【详解】解：（1）已知，令，所以
则
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立
所以；
（2）方程可化为，
有两不同的实根，，
则，
，当时，
若不等式恒成立，
所以得，对都成立，，
设
若使时都成立，
则
解得：或，
所以的取值范围是.1. 有10辆货车从A站匀速驶往2000千米的B站，其时速都是千米/小时，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，货车长度不计），设第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间小时.
（1）求(用含有和代数式表示）；
（2）假设，试确定当为何值时，取得最小值，并求出的最小值.
解关于x不等式.
3. 已知为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.
（1）请根据基本不等式（），证明：；
（2）请利用（1）结论，证明：；
（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？
4. 已知函数（为常数）
（1）若函数图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数的值；
（2）设，若不等式在有解，求的取值范围；
（3）定义：区间（）的长度为，若，问是否存在区间，使得的值域为[6，7]，若存在，求出此区间长度的最大值与最小值的差.
5．2021年中央经济工作会议确定，重点做好“碳达峰，碳中和”调整产业结构，大力发展新能源．某企业调整经济策略，重视技术创新，计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本C（x）万元．由于生产能力有限，x不超过120，且．由市场调研知，刨去国家补贴费用，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完，
（1）求出2021年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）；
（2）2021年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
6．问题：正数a，b满足a+b＝1，求的最小值．
其中一种解法是：，
当且仅当且a+b＝1时，即且时取等号．
学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足xy＝3x+y，求x+y的最小值；
（2）若实数a，b，x，y满足，试比较a2﹣b2和（x﹣y）2的大小，并指明等号成立的条件；
（3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
7．已知关于x的不等式的解集为A．
（1）当a＝4时，求集合A；
（2）若3∈A，5 A，求实数a的取值范围
8．解下列不等式：
（1）x2﹣5x+7＜|2x﹣5|；
（2）+2x＜5．
9．已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，
（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；
（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．
10．某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x＝3﹣（k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．己知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？
11.求不等式组的解集.
12.已知，，试比较与的值的大小.
13.
已知关于的一元二次方程的两个实根是、.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
14.
如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点.已知长为4米，长为3米.
（1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内？
（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.
15.
若实数、、满足，则称比远离.
（1）若比2远离3，求实数的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，判断命题“比远离”的真假，并说明理由.
16. （1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
17. 求下列不等式的解集：
（1）；
（2）.
18. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值
19. （1）设x、y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由；
（2）求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．
20. 已知不等式，其中x，k∈R．
（1）若x＝4，解上述关于k的不等式；
（2）若不等式对任意k∈R恒成立，求x最大值．
21. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式：
（2）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
（3）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
22. （1）解不等式：
（2）解不等式：
23. （1）已知，求y的最大值.
（2）设关于x的方程的两个非零实根为，，问是否存在m，使得不等式对任意的以及恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
