朔城区一中2022级高一B部 数学 学历案
编号 课 题 制作 审核 审批 班级 姓名 使用时间
诱导公式（二） 张丽花
教学目标
1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.(数学抽象)
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.(逻辑推理、数学运算)
教材认知
诱导公式五、六
公式五 sin ＝cos__α， cos ＝sin__α
公式六 sin ＝cos__α， cos ＝－sin__α
【批注】
(1)角－α与α的终边关于直线y＝x对称；
(2)角＋α与α的终边互相垂直；
(3)应用诱导公式五、六时尤其注意函数名称的变化，一定不要与诱导公式一～四混淆．
六组诱导公式统一的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性．
教材改编题
1．已知sin α＝，α为第二象限角，则cos ＝________．
2．已知cos ＝－，则sin α＝________．
学习任务一 化简、求值问题(数学运算)
1．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin ＝sin x B．sin ＝cos x C．cos ＝－sin x D．cos ＝－cos x
2．已知cos (75°＋α)＝且－180°＜α＜－90°，则cos (15°－α)＝( )
A．－ B．－ C． D．
3．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A． B． C．－ D．－
利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余关系：－α与＋α，＋α与－α等．
学习任务二 恒等式证明问题(逻辑推理)
【典例】已知α∈，k∈Z，证明：tan (π＋α)－＝.
证明三角恒等式的策略
(1)原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则．
(2)方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
即学即练
求证：＋＝.
学习任务三 诱导公式的综合应用问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为( )
A．－ B．－ C． D．
2．已知sin (π－α)＋sin ＝，求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)sin3＋cos3.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．
即学即练
1．已知sin φ＝，则cos ＋sin (3π－φ)的值为________．
2．已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α＝且α为第二象限角．
(1)求m的值；
(2)若tan β＝，求的值．朔城区一中2022级高一B部 数学 学历案
编号 课 题 制作 审核 审批 班级 姓名 使用时间
诱导公式（二） 张丽花
教学目标
1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.(数学抽象)
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.(逻辑推理、数学运算)
教材认知
诱导公式五、六
公式五 sin ＝cos__α， cos ＝sin__α
公式六 sin ＝cos__α， cos ＝－sin__α
【批注】
(1)角－α与α的终边关于直线y＝x对称；
(2)角＋α与α的终边互相垂直；
(3)应用诱导公式五、六时尤其注意函数名称的变化，一定不要与诱导公式一～四混淆．
六组诱导公式统一的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性．
教材改编题
1．已知sin α＝，α为第二象限角，则cos ＝________．
【解析】cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α＝－.
2．已知cos ＝－，则sin α＝________．
【解析】cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝－，所以sin α＝.
学习任务一 化简、求值问题(数学运算)
1．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin ＝sin x B．sin ＝cos x C．cos ＝－sin x D．cos ＝－cos x
【解析】选BC.因为sin ＝cos x，故A不成立，B成立；cos ＝－sin x，故C成立，D不成立．
2．已知cos (75°＋α)＝且－180°＜α＜－90°，则cos (15°－α)＝( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选B.因为－180°＜α＜－90°，所以－105°＜α＋75°＜－15°，因为cos (75°＋α)＝，所以α＋75°是第四象限角，所以sin (75°＋α)＝－＝－，所以cos (15°－α)＝cos [90°－(α＋75°)]
＝sin (α＋75°)＝－.
3．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A． B． C．－ D．－
【解析】选B.sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.
利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余关系：－α与＋α，＋α与－α等．
学习任务二 恒等式证明问题(逻辑推理)
【典例】已知α∈，k∈Z，
证明：tan (π＋α)－＝.
【证明】左边＝tan α－＝，
右边＝＝；
所以左边2＝＝＝＝右边2.
因为α∈(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z，所以cos α＜0，sin α－1＜0.
所以左边＞0，而右边＞0.所以左边＝右边．
证明三角恒等式的策略
(1)原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则．
(2)方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
即学即练
求证：＋＝.
【证明】左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边，所以原等式成立．
学习任务三 诱导公式的综合应用问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选B.由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，得－sin α－sin α＝－，所以sin α＝，
所以cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.
2．已知sin (π－α)＋sin ＝，求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)sin3＋cos3.
【解析】由sin (π－α)＋sin ＝，
得sin α＋cos α＝，
两边平方整理得2sin αcos α＝－，
所以sin αcos α＝－，所以cos α－sin α＝
±＝±＝
±＝±，
(1)sin cos ＝sin ·cos
＝－sin sin α＝－cos αsin α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)
＝×＝±.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．
即学即练
1．已知sin φ＝，则cos ＋sin (3π－φ)的值为________．
【解析】因为sin φ＝，所以cos ＋sin (3π－φ)＝sin φ＋sin φ＝2sin φ＝.
2．已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α＝且α为第二象限角．
(1)求m的值；
(2)若tan β＝，求的值．
【解析】(1)由三角函数定义可知sin α＝＝，解得m＝±1.
因为α为第二象限角，所以m＝－1.
(2)由(1)知tan α＝－2，又tan β＝，所以
＝－＝－＝－＝.
