朔城区一中2022级高一B部 数学 学历案
编号 课 题 制作 审核 审批 班级 姓名 使用时间
正余弦函数的图象 张丽花
教学目标
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法(数学抽象、直观想象)
2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象(数学抽象、直观想象)
3.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题(数学运算、直观想象)
教材认知
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R
值域 [－1，1] [－1，1]
画法 五点法
关键五点 (0，0)，， (π，0)，， (2π，0) (0，1)，， (π，－1)，， (2π，1)
【批注】(1)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同；
(2)作正、余弦函数图象时，自变量一定要用弧度制，这样自变量的值为实数，任意角与x轴上的实数产生了一一对应关系，从而可以在平面直角坐标系中作出三角函数图象．
(3)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
教材改编题
1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是( )
A.过原点 B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称
2．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
合作探究
学习任务一 正弦、余弦函数图象的初步认识(数学抽象)
1．(多选题)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述，其中正确的描述有( )
A．将[0，2π]内的图象向左、向右无限延展就可得到y＝cos x的图象
B．与y＝sin x图象完全相同 C．与y轴只有一个交点 D．关于x轴对称
2．已知函数f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，完成下列各题：
(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)|BD|＝________，|AE|＝________；
(3)f＝________．
正弦、余弦函数图象的关注点
1．正弦曲线、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
2．知道正弦曲线、余弦曲线在x∈内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标，会求特殊点之间的横向距离．
学习任务二 用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)
【典例】1.用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图．
2．(1)作出函数y＝|sin x|的图象；
(2)作出函数y＝sin |x|的图象．
方法提炼
这两个函数的图象可通过对称变换作出，将y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin |x|的图象，将y＝sin x图象在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|sin x|的图象等．
“五点法”作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
即学即练
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图．
(1)y＝2－sin x；(2)y＝cos x－1.
学习任务三 正弦、余弦函数图象的应用(逻辑推理)
角度1 解三角不等式
【典例】(1)在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集为________；
(2)函数y＝的定义域为________．
角度2 零点(或方程解)的个数问题
【典例】(1)方程sin x＝lg x的实根个数有( )
C．3个 D．无穷多个
(2)方程sin x＝在x∈时有两个不相等的实数根，则a的取值范围为________．
方法提炼
1．解三角不等式的关注点
(1)方法：借助于三角函数的图象
(2)关键：①选取合适的一个周期；②确定边界值．
2．关于函数零点、方程根的个数问题的解题策略
运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决．
即学即练
1．使不等式－2sin x≥0成立的x的集合是( )
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
2．函数f(x)＝2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有四个不同的交点，则k的取值范围是________．朔城区一中2022级高一B部 数学 学历案
编号 课 题 制作 审核 审批 班级 姓名 使用时间
正余弦函数的图象 张丽花
教学目标
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法(数学抽象、直观想象)
2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象(数学抽象、直观想象)
3.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题(数学运算、直观想象)
教材认知
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R
值域 [－1，1] [－1，1]
画法 五点法
关键五点 (0，0)，， (π，0)，， (2π，0) (0，1)，， (π，－1)，， (2π，1)
【批注】(1)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同；
(2)作正、余弦函数图象时，自变量一定要用弧度制，这样自变量的值为实数，任意角与x轴上的实数产生了一一对应关系，从而可以在平面直角坐标系中作出三角函数图象．
(3)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
教材改编题
1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是( )
A.过原点 B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称
【解析】选D.观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称．
2．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
【解析】选D.由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，知y＝－sin x在[0，2π]上的图象为选项D中的图象．
合作探究
学习任务一 正弦、余弦函数图象的初步认识(数学抽象)
1．(多选题)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述，其中正确的描述有( )
A．将[0，2π]内的图象向左、向右无限延展就可得到y＝cos x的图象
B．与y＝sin x图象完全相同 C．与y轴只有一个交点 D．关于x轴对称
【解析】选AC.根据余弦函数的图象可以判断A，C正确，B，D错误．
2．已知函数f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，完成下列各题：
(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)|BD|＝________，|AE|＝________；
(3)f＝________．
【解析】(1)(2)由正弦曲线在x∈[－2π，2π]上的特点可知A(－2π，0)，
B，D，E，
所以|BD|＝－＝2π，|AE|＝－＝.
(3)f＝sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝.
正弦、余弦函数图象的关注点
1．正弦曲线、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
2．知道正弦曲线、余弦曲线在x∈内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标，会求特殊点之间的横向距离．
学习任务二 用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)
【典例】1.用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图．
【解析】(1)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 1 1
(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左、向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos x的图象，如图所示．
2．(1)作出函数y＝|sin x|的图象；
(2)作出函数y＝sin |x|的图象．
【解析】(1)y＝|sin x|＝(k∈Z).
作出y＝sin x，x∈[0，π]和y＝－sin x，x∈(π，2π]的图象，并将图象左、右平移即可．其图象如图所示．
(2)y＝sin |x|＝其图象如图所示．
这两个函数的图象可通过对称变换作出，将y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin |x|的图象，将y＝sin x图象在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|sin x|的图象等．
“五点法”作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
即学即练
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图．
(1)y＝2－sin x；(2)y＝cos x－1.
【解析】(1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2－sin x 2 1 2 3 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1)).
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
cos x－1 0 －1 －2 －1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2)).
学习任务三 正弦、余弦函数图象的应用(逻辑推理)
角度1 解三角不等式
【典例】(1)在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集为________；
【解析】画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下．
因为sin ＝，所以sin ＝－，sin ＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.
可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是.
(2)函数y＝的定义域为________．
【解析】因为2cos x－1≥0，所以cos x≥.取余弦函数的图象在一个周期内连续的一段如图，则当x＝±时，cos x＝.
所以函数y＝的定义域为(k∈Z).
角度2 零点(或方程解)的个数问题
【典例】(1)方程sin x＝lg x的实根个数有( )
C．3个 D．无穷多个
【解析】选C.在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解．
(2)方程sin x＝在x∈时有两个不相等的实数根，则a的取值范围为________．
【解析】作出y＝sin x，x∈与y＝的图象，如图所示，
由图象知，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，
那么方程sin x＝，x∈就有两个不相等的实数根．
故当≤<1，即－1
方程sin x＝在x∈时有两个不相等的实数根．
答案：
方法提炼
1．解三角不等式的关注点
(1)方法：借助于三角函数的图象
(2)关键：①选取合适的一个周期；②确定边界值．
2．关于函数零点、方程根的个数问题的解题策略
运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决．
即学即练
1．使不等式－2sin x≥0成立的x的集合是( )
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
【解析】选C.因为－2sin x≥0，所以sin x≤，
作出y＝sin x在内的图象，如图所示，
由图可知，满足条件的x∈，所以不等式成立的x范围是{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
2．函数f(x)＝2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有四个不同的交点，则k的取值范围是________．
【解析】f(x)＝2|sin x|，x∈[0，2π]的图象如图所示，
结合图象可知0