导数的四则运算[上学期]
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课件25张PPT。函数的和、差、积的导数一、复习回顾：3.常见函数的导数公式:2.求函数的导数的方法是:1.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.练一练:求下列函数的导数
(1) y=100 (2) y=x5 利用函数的导数公式，得(3)y=4x2 +3x
(4)y=4x2 -3x
?二、新课讲授：1.和(差)的导数:练一练:求下列函数的导数(1) y=5x2-4x+1(2) y=-5x2+3x+7(4) y=(2+x)(3-x)(5) y=(2x-1)(3x+2)(3)y=x2-cosx2.积的导数:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:即:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
即:小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.(轮流求导之和)例1
(1) y=(2+x)(3-x)(2)y=(2x2+3)(3x-2)课本p119 练习例２ :求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x)的导数讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x)的导数并证明.例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方程y=5x+2例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点．而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点
为A(2,-12).练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.五、课堂小结：1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解．解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l
同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线
上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出
此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线
段互相平分.(2003天津高考(文)题)(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P
(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)
(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①;函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2,
-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即
y=-2x2x+x22+a . ②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程. 若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合. 即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4.(Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线.设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有: 所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.四、课堂练习：1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐
标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0). 事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行
于l1的另一条切线为l2.
(1)求l1、l2的方程;
(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线
l3、l4的方程.
(3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积.答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.六、作业布置：1、课本 P38习题2.3
No.1⑷、⑸、⑹；2⑵、⑶；3；5.三、例题讲解：答案:常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差;就是说：导数运算法则：（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(上导乘下,下导乘上,差比下方)例2 (1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=
f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 ADBD解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点.故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.练一练:求下列函数的导数
(1) y=100 (2) y=x5 利用函数的导数公式，得(3)y=4x2 +3x
(4)y=4x2 -3x
?二、新课讲授：1.和(差)的导数:练一练:求下列函数的导数(1) y=5x2-4x+1(2) y=-5x2+3x+7(4) y=(2+x)(3-x)(5) y=(2x-1)(3x+2)(3)y=x2-cosx2.积的导数:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:即:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
即:小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.(轮流求导之和)例1
(1) y=(2+x)(3-x)(2)y=(2x2+3)(3x-2)课本p119 练习例２ :求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x)的导数讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x)的导数并证明.例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方程y=5x+2例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点．而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点
为A(2,-12).练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.五、课堂小结：1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解．解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l
同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线
上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出
此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线
段互相平分.(2003天津高考(文)题)(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P
(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)
(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①;函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2,
-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即
y=-2x2x+x22+a . ②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程. 若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合. 即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4.(Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线.设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有: 所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.四、课堂练习：1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐
标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0). 事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行
于l1的另一条切线为l2.
(1)求l1、l2的方程;
(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线
l3、l4的方程.
(3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积.答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.六、作业布置：1、课本 P38习题2.3
No.1⑷、⑸、⑹；2⑵、⑶；3；5.三、例题讲解：答案:常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差;就是说：导数运算法则：（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(上导乘下,下导乘上,差比下方)例2 (1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=
f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 ADBD解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点.故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.