函数（一） [上下学期通用]
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课件65张PPT。分析：
（A）曲线?a>1，直线? 0 （B）曲线?01；
（D）直线?纵截距大于1．
故（C）正确． 例2 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有
（1）f (a－x) = f ( b + x )，这里
a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论；
（2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论． 例3
不等式y = lg ( | x－2 | + | x + 8 | ) < a 的解集是空集，那么a的取值范围是________． 解：易知函数y=lg(| x－2 |+|x + 8| )的最小值存在，因此，不等式无解相当于a≤ymin．
|x－2|+|x + 8| 表示数轴上的点x，到点2和－8的距离之和，
∴ | x－2 | + | x + 8 | ≥ 10
∴ lg ( | x－2 | + | x + 8 | ) ≥1
于是a≤1时，不等式解集为? ，反之亦然． 例6 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，
g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ①
y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ② 例7 f ( x )是奇函数，x＞0时，
f ( x ) = x · (4－3x)，那么x＜0时
f ( x ) = _______． 【解法2】 设x＜0，则－x＞0
∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x)
∵ f ( x )是奇函数，
∴ f (－x) = －f ( x )
∴ x＜0时，f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)．于是
f ( a )+f (－a ) = 2 f ( 0 )·f ( a ) = f ( a )
∴ f (－a ) = f ( a )，a∈R
∴ f ( x )是R上的偶函数．
而f ( 0 )≠0，故f ( x )不是奇函数．
应选（B）． 例10 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立：
（1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）；
（2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）；
（3）f (a－x) = f (b－x)（a，b为常数且a2 + b2≠0） （4）f (a－x) =－f (b－x)（a，b为常数且a2+b2≠0）
其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______． 【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，
且2a是周期； 考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期．
综上所述，应填（1），（3），（4）． 例12 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)＝－f (x)，且x?[0，1]时，f (x)＝x，则f (x)在R上的解析式为 ． 【解】∵ f (x+2)＝－f (x)，
∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)，
∴ f (x)是周期函数，4是周期．
∵ f (－x)＝－f (x)．
∴ f (x+2)＝f (－x)，
∴ f (x)的图像关于x＝1对称，
由上述这些性质，及x?[0，1]时，y=x，
得知f (x)的图像如下：【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0
对称， ∴ f ( x )＝f (－x)，
∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，
∴ f (－x)＝f (4+x)．
于是有f ( x )＝f (4+x)
∴ f ( x )是周期为4的函数，
当－2≤x≤0时，
0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6] ∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称，
∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4，
∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1
即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1
∴ 2－x+4＝y－1
－x+4＝log2(y－1)
x＝4－log2(y－1)
∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1)
应选（B）． 【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )．
f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来． 【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是
f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数．
即g (x)＝f (x)－1，下略．
（A）曲线?a>1，直线? 0
（D）直线?纵截距大于1．
故（C）正确． 例2 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有
（1）f (a－x) = f ( b + x )，这里
a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论；
（2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论． 例3
不等式y = lg ( | x－2 | + | x + 8 | ) < a 的解集是空集，那么a的取值范围是________． 解：易知函数y=lg(| x－2 |+|x + 8| )的最小值存在，因此，不等式无解相当于a≤ymin．
|x－2|+|x + 8| 表示数轴上的点x，到点2和－8的距离之和，
∴ | x－2 | + | x + 8 | ≥ 10
∴ lg ( | x－2 | + | x + 8 | ) ≥1
于是a≤1时，不等式解集为? ，反之亦然． 例6 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，
g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ①
y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ② 例7 f ( x )是奇函数，x＞0时，
f ( x ) = x · (4－3x)，那么x＜0时
f ( x ) = _______． 【解法2】 设x＜0，则－x＞0
∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x)
∵ f ( x )是奇函数，
∴ f (－x) = －f ( x )
∴ x＜0时，f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)．于是
f ( a )+f (－a ) = 2 f ( 0 )·f ( a ) = f ( a )
∴ f (－a ) = f ( a )，a∈R
∴ f ( x )是R上的偶函数．
而f ( 0 )≠0，故f ( x )不是奇函数．
应选（B）． 例10 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立：
（1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）；
（2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）；
（3）f (a－x) = f (b－x)（a，b为常数且a2 + b2≠0） （4）f (a－x) =－f (b－x)（a，b为常数且a2+b2≠0）
其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______． 【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，
且2a是周期； 考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期．
综上所述，应填（1），（3），（4）． 例12 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)＝－f (x)，且x?[0，1]时，f (x)＝x，则f (x)在R上的解析式为 ． 【解】∵ f (x+2)＝－f (x)，
∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)，
∴ f (x)是周期函数，4是周期．
∵ f (－x)＝－f (x)．
∴ f (x+2)＝f (－x)，
∴ f (x)的图像关于x＝1对称，
由上述这些性质，及x?[0，1]时，y=x，
得知f (x)的图像如下：【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0
对称， ∴ f ( x )＝f (－x)，
∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，
∴ f (－x)＝f (4+x)．
于是有f ( x )＝f (4+x)
∴ f ( x )是周期为4的函数，
当－2≤x≤0时，
0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6] ∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称，
∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4，
∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1
即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1
∴ 2－x+4＝y－1
－x+4＝log2(y－1)
x＝4－log2(y－1)
∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1)
应选（B）． 【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )．
f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来． 【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是
f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数．
即g (x)＝f (x)－1，下略．