函数（二） [上下学期通用]
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课件74张PPT。【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0
对称， ∴ f ( x )＝f (－x)，
∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，
∴ f (－x)＝f (4+x)．
于是有f ( x )＝f (4+x)
∴ f ( x )是周期为4的函数，
当－2≤x≤0时，
0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6] ∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称，
∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4，
∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1
即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1
∴ 2－x+4＝y－1
－x+4＝log2(y－1)
x＝4－log2(y－1)
∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1)
应选（B）． 例14 已知 ，函数g(x)的图像与函数y＝f －1(x+1)的图像关于直线 y＝x 对称，则 g ( 5 )＝ ． 【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )．
f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来． 【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是
f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数．
即g (x)＝f (x)－1，下略． 例16 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2 ， ，an ，共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从 a1，a2 ， ，an 推出的a=_______． 【讲解】 用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？
依题意，这个最佳近似值a，应当使函数
y＝(x－a1)2+(x－a2)2+ +(x－an)2
取最小值． 【讲解】首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2x 要化为1－sin2x，若再设t＝sinx，则y＝2t2 +2mt + m2－4m+1，t∈[－1，1]．
问题转化为求闭区间[－1，1]上的一个二次函数的最值问题．
这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置． （1）0≤m≤2时， ． 当0≤m≤2时， ，
这时，
∴ m＝0，
．
取得最大值时， ，k?Z． （2）－2≤m＜0时， ．当－2≤m＜0时， ．
这时，
∴ m＝0，
取得最大值时， ，k?Z ． （3）m＜－2 时， ．当m＜－2 时， ．
这时，函数在 [－1，1] 上递减，
∴
∴ m2 + 4m－4＝0 解之， ,
且
，
取最大值时， ，k?Z ． 例18 已知f (x)=x2+ax+b (a，b∈R)的定义域为[－1，1]．
(Ⅰ) 记| f (x)|的最大值M，求证：
；
(Ⅱ) 求出(Ⅰ)中的 时，f (x)的表达式． 【讲解】 已知条件是
x∈[－1，1] 且| f (x)|≤M
像这样在一个区间上的所有各点都
满足的性质，在各特殊点上依然成立．
即 | f (1)|＝|1+a+b|≤M
| f (0)|＝|b|≤M
| f (－1)|＝|1－a+b|≤M 接下来就要考虑由形如M≥|m|的三个不等式能否构造出常数 ？或者构造出4M≥2 ？这自然想到绝对值不等式的性质：
| x1|+| x2| + +| xn |≥| x1+ x2+ +xn |
于是，能否巧妙安排x1, x2, x3, x4使其和为2 ？
另一个思路是, 反证法, 即若M＜ , 由三个不等式能否导出矛盾？ (Ⅰ)【证法1】依题意x∈[－1，1]时， 总有| f (x) |≤M，因此有
| f (1) |＝|1 + a + b| ≤M
2 | f (0)|＝|2b|＝|－2b|≤2M
| f (－1) |＝|1－a + b|≤M
相加得
|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|≤4M ∵ |(1 + a + b) +(－2b) +(1－a + b)|
≤|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|
∴ 2≤4M
即 M≥ 由① + ③得
－1＜2 + 2b＜1
即 ④
④与②矛盾．
故 不能成立．因此， ． 由⑤，⑧知，
把 代入 ⑥，⑦ 得
∴ a＝0
∴ ， ． 【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax) 也是减函数，故只有a＞1时，f (x)才是减函数；
另外， x? [－1 ，1] 时， 要保证 3－ax＞0，为此只须考虑最小值：
x＝1时, tmin=3－a，要3－a＞0，
则a＜3，综上知1＜a＜3． 例20 如果不等式 x2－ ＜0
在区间 上恒成立，那么实数a
的取值范围是___________． 【讲解】 设y＝x2 ①
y＝ ②
当a＞1时，函数②在 上取负值， 因此 不可能有x2＜ 成立．
在 上函数①的最大值是 ，
在 上，当0＜a＜1时，②的最小
值是 ， 例21 已知函数 f (x)＝|2x －1 －1 |, a＜b＜c 且 f (a)＞f (c)＞f (b) ，则必有
(A) a＜b，b＜1，c＜1
(B) a＜1，b≥1，c＞1
(C) 2－a＜ 2c
(D) 2a＋2c＜4． 【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x－1 ，再下移1个单位得y = 2x－1 －1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x－1－1|，图像如下图 由于在 上，f (x) 是减函数，所 以 a， b，c 不能同时在 上；同理，a，b，c 也不能同时在 上． 故必有a＜1且c＞1．
从而2a－1＜1，2c－1＞1
∴ f (a)＝1－2a－1，f (c)＝2c－1－1
∵ f (a) ＞f (c)
∴ 1－2a－1＞2c－1－1
∴ 2a＋2c＜4．
故选（D）． 例22 设 m?R，关于x 的方程
(a＞0且a≠1) 有几个实根？证明你的结论．
【解】设y＝ax，则y＞0，且
(y + m)(y2+my+1) = 0
∴ y =－m ① 或y2+my+1=0 ②
令 ， 则m≤－2 (1) 当m＜－2 时，
① 有正实根，②有两个不等正实根．
∴ 原方程有三个实根；
(2) 当m＝－2 时，
① 有正实根，②有一个正实根．
∴ 原方程有两个实根；
(3) 当－2＜m＜0 时，
① 有正实根，②无实根．
∴ 原方程有一个实根； (4) 当m≥0 时，
① 只有负根，而②无实根或实根为负．
∴ 原方程无实根．
综上所述，知 【解】设x＜0，则－x＞0，
依题意F(－x)＝af (－x)+bg(－x)+2≤8
∵ f (x) 和g(x)是奇函数
∴－af (x)－bg (x)+2≤8
∴ a · f (x)+bg (x)≥－6
∴ F (x)＝af (x)+bg (x)+2≥－4．
故F (x)在（－∞，0）上有最小值－4．
应选（B）． 例24 求函数 的值域．
【讲解】 和 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式．
据这个特点可以演变出下面多种解法． 【解法1】易知定义域为 0≤x≤1，
0≤x≤1 －x2+x 的值域是 [0， ]
的值域是 [0， ]
∴ 的值域是[1， ]． 又由0≤x≤1知x2≤x , ∴
， ∴
且x＝1或0 时等号成立．
综合以上结果知， 的值域是 [1， ]． 解之，得 ．
当y＝1时x＝1或0，
时，
故两个等号皆成立，故值域为 【解法4】 ∵
且
∴ 设 ，
则 ．
∵ ∴
∴ ∴值域为[1， ]． 例25 已知函数 , 定义域为 , 且a＜b，求函数的最小值． 【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，x＝b时，y 有最小值2b, 而当 时， ,于是猜想，在 上函数递减，当然在 上也是减函数．于是有下面的解法1和2． 【解法2】 令0＜x1＜x2≤a＜b，
则x1－x2＜0 且x1 · x2＜b2，
f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)
∴ f (x1) ＞ f (x2)
即 f (x) 在 上是减函数，
∴ x＝a 时，y 最小且 ． 【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法． 【讲解3】 函数式化为
x2－yx + b2＝0
依题意，该方程在 上有实根，于是
△= y2－4b2≥0，即y≥2b．
而函数? (x)＝x2－yx+b2图像的对称轴为
． 因此，函数? (x) 在 上递减，故只能有一个实根，该实根存在的充要条件是 ? (a) ≤0
即a2－ay + b2≤0，
y≥ 且x＝a 时，等式成立，
故 ． ∴
∴
当x＝a 时， ． 【解法6】
令 = tan?，
∵ 0＜x≤a＜b ， ∴
∴ ．
对称， ∴ f ( x )＝f (－x)，
∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，
∴ f (－x)＝f (4+x)．
于是有f ( x )＝f (4+x)
∴ f ( x )是周期为4的函数，
当－2≤x≤0时，
0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6] ∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称，
∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4，
∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1
即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1
∴ 2－x+4＝y－1
－x+4＝log2(y－1)
x＝4－log2(y－1)
∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1)
应选（B）． 例14 已知 ，函数g(x)的图像与函数y＝f －1(x+1)的图像关于直线 y＝x 对称，则 g ( 5 )＝ ． 【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )．
f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来． 【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是
f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数．
即g (x)＝f (x)－1，下略． 例16 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2 ， ，an ，共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从 a1，a2 ， ，an 推出的a=_______． 【讲解】 用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？
依题意，这个最佳近似值a，应当使函数
y＝(x－a1)2+(x－a2)2+ +(x－an)2
取最小值． 【讲解】首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2x 要化为1－sin2x，若再设t＝sinx，则y＝2t2 +2mt + m2－4m+1，t∈[－1，1]．
问题转化为求闭区间[－1，1]上的一个二次函数的最值问题．
这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置． （1）0≤m≤2时， ． 当0≤m≤2时， ，
这时，
∴ m＝0，
．
取得最大值时， ，k?Z． （2）－2≤m＜0时， ．当－2≤m＜0时， ．
这时，
∴ m＝0，
取得最大值时， ，k?Z ． （3）m＜－2 时， ．当m＜－2 时， ．
这时，函数在 [－1，1] 上递减，
∴
∴ m2 + 4m－4＝0 解之， ,
且
，
取最大值时， ，k?Z ． 例18 已知f (x)=x2+ax+b (a，b∈R)的定义域为[－1，1]．
(Ⅰ) 记| f (x)|的最大值M，求证：
；
(Ⅱ) 求出(Ⅰ)中的 时，f (x)的表达式． 【讲解】 已知条件是
x∈[－1，1] 且| f (x)|≤M
像这样在一个区间上的所有各点都
满足的性质，在各特殊点上依然成立．
即 | f (1)|＝|1+a+b|≤M
| f (0)|＝|b|≤M
| f (－1)|＝|1－a+b|≤M 接下来就要考虑由形如M≥|m|的三个不等式能否构造出常数 ？或者构造出4M≥2 ？这自然想到绝对值不等式的性质：
| x1|+| x2| + +| xn |≥| x1+ x2+ +xn |
于是，能否巧妙安排x1, x2, x3, x4使其和为2 ？
另一个思路是, 反证法, 即若M＜ , 由三个不等式能否导出矛盾？ (Ⅰ)【证法1】依题意x∈[－1，1]时， 总有| f (x) |≤M，因此有
| f (1) |＝|1 + a + b| ≤M
2 | f (0)|＝|2b|＝|－2b|≤2M
| f (－1) |＝|1－a + b|≤M
相加得
|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|≤4M ∵ |(1 + a + b) +(－2b) +(1－a + b)|
≤|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|
∴ 2≤4M
即 M≥ 由① + ③得
－1＜2 + 2b＜1
即 ④
④与②矛盾．
故 不能成立．因此， ． 由⑤，⑧知，
把 代入 ⑥，⑦ 得
∴ a＝0
∴ ， ． 【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax) 也是减函数，故只有a＞1时，f (x)才是减函数；
另外， x? [－1 ，1] 时， 要保证 3－ax＞0，为此只须考虑最小值：
x＝1时, tmin=3－a，要3－a＞0，
则a＜3，综上知1＜a＜3． 例20 如果不等式 x2－ ＜0
在区间 上恒成立，那么实数a
的取值范围是___________． 【讲解】 设y＝x2 ①
y＝ ②
当a＞1时，函数②在 上取负值， 因此 不可能有x2＜ 成立．
在 上函数①的最大值是 ，
在 上，当0＜a＜1时，②的最小
值是 ， 例21 已知函数 f (x)＝|2x －1 －1 |, a＜b＜c 且 f (a)＞f (c)＞f (b) ，则必有
(A) a＜b，b＜1，c＜1
(B) a＜1，b≥1，c＞1
(C) 2－a＜ 2c
(D) 2a＋2c＜4． 【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x－1 ，再下移1个单位得y = 2x－1 －1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x－1－1|，图像如下图 由于在 上，f (x) 是减函数，所 以 a， b，c 不能同时在 上；同理，a，b，c 也不能同时在 上． 故必有a＜1且c＞1．
从而2a－1＜1，2c－1＞1
∴ f (a)＝1－2a－1，f (c)＝2c－1－1
∵ f (a) ＞f (c)
∴ 1－2a－1＞2c－1－1
∴ 2a＋2c＜4．
故选（D）． 例22 设 m?R，关于x 的方程
(a＞0且a≠1) 有几个实根？证明你的结论．
【解】设y＝ax，则y＞0，且
(y + m)(y2+my+1) = 0
∴ y =－m ① 或y2+my+1=0 ②
令 ， 则m≤－2 (1) 当m＜－2 时，
① 有正实根，②有两个不等正实根．
∴ 原方程有三个实根；
(2) 当m＝－2 时，
① 有正实根，②有一个正实根．
∴ 原方程有两个实根；
(3) 当－2＜m＜0 时，
① 有正实根，②无实根．
∴ 原方程有一个实根； (4) 当m≥0 时，
① 只有负根，而②无实根或实根为负．
∴ 原方程无实根．
综上所述，知 【解】设x＜0，则－x＞0，
依题意F(－x)＝af (－x)+bg(－x)+2≤8
∵ f (x) 和g(x)是奇函数
∴－af (x)－bg (x)+2≤8
∴ a · f (x)+bg (x)≥－6
∴ F (x)＝af (x)+bg (x)+2≥－4．
故F (x)在（－∞，0）上有最小值－4．
应选（B）． 例24 求函数 的值域．
【讲解】 和 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式．
据这个特点可以演变出下面多种解法． 【解法1】易知定义域为 0≤x≤1，
0≤x≤1 －x2+x 的值域是 [0， ]
的值域是 [0， ]
∴ 的值域是[1， ]． 又由0≤x≤1知x2≤x , ∴
， ∴
且x＝1或0 时等号成立．
综合以上结果知， 的值域是 [1， ]． 解之，得 ．
当y＝1时x＝1或0，
时，
故两个等号皆成立，故值域为 【解法4】 ∵
且
∴ 设 ，
则 ．
∵ ∴
∴ ∴值域为[1， ]． 例25 已知函数 , 定义域为 , 且a＜b，求函数的最小值． 【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，x＝b时，y 有最小值2b, 而当 时， ,于是猜想，在 上函数递减，当然在 上也是减函数．于是有下面的解法1和2． 【解法2】 令0＜x1＜x2≤a＜b，
则x1－x2＜0 且x1 · x2＜b2，
f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)
∴ f (x1) ＞ f (x2)
即 f (x) 在 上是减函数，
∴ x＝a 时，y 最小且 ． 【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法． 【讲解3】 函数式化为
x2－yx + b2＝0
依题意，该方程在 上有实根，于是
△= y2－4b2≥0，即y≥2b．
而函数? (x)＝x2－yx+b2图像的对称轴为
． 因此，函数? (x) 在 上递减，故只能有一个实根，该实根存在的充要条件是 ? (a) ≤0
即a2－ay + b2≤0，
y≥ 且x＝a 时，等式成立，
故 ． ∴
∴
当x＝a 时， ． 【解法6】
令 = tan?，
∵ 0＜x≤a＜b ， ∴
∴ ．