第三章函数的运用[上学期]
图片预览
文档简介
第三章函数的运用
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
教学目标：
1、知识技能：理解函数（结合已学的函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．
2、情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点、难点
重点：函数零点与方程的根之间的联系，及连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：理解函数零点与方程的根之间的联系，探究发现函数存在零点的判定方法。
教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。
教学过程
一、提出问题
问题1、求下列方程的根：
(1)2x-1=0 (2)x2-2x-3=0
问题2、方程-x３-３x＋５=0的根怎么求？
二、初步探究
问题3、作出下列函数的图象：
（1）y=2x-1 （2）y=x2-2x-3
（3）y=x2-2x+1 （4）y=x2-2x+3
各图象与以上方程的根分别有什么联系？
三、形成概念
归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
定义： 对于函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点(zero point).
练习：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根：
⑴-x2+3x+5=0 ⑵ 2x(x-2)=-3
⑶x2=4x-4 ⑷5x2+2x=3x2+5
四、组织探究：
请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个连续不间断的函数图象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
归纳：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。
说明：这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值。
提问：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)＜0 对吗？
五、尝试练习：
已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 - -126.49
函数在区间[1,6]上的零点至少有 个
六、例题研究
例1:已知函数f(x)=lnx+2x-6
(1)f(x)是否存在零点 若有零点则有几个？
(2)指出函数零点所在的大致区间
发现与探究：利用计算机探究 f(x)=lnx+ax-6(a∈R)的零点个数
七、收获体会：
1.函数的零点与方程的根的关系
2.判断连续不间断的函数零点存在性的方法
3.函数与方程转化思想、数形结合的思想。
八、布置作业：
1、课本P102习题3.1： T1，T2
2、发现与探究
课题： $3.1.2 用二分法求方程的近似解（第一课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标
知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
过程与方法：学生通过观察和实践，能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。
情感、态度、价值观：在学习中体会数形结合的思想、近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想，感受精确与近似的相对统一。
教学重点
重点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。
难点：对二分法求方程近似解的算法理解。
关键：搞清楚用二分法求方程近似解的一般步骤。
教学过程：
一、创设情境，引出问题
问题1：
今年夏天的8号台风“桑美”刮走我县91.3亿，大部分乡镇全部受淹，相信
我们还记忆犹新。那么假如在某台风夜里，某水库闸房到抗台指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，大约有199根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作可以最合理最快的找出故障所在？
引导学生充分思考，鼓励学生讨论、合作，得出问题的解决方法：
问题2：
在上一节课中，我们已经知道，函数在区间(2,3)内有零点。进一步的问题是，如何找出这个零点？
引导学生思考问题1带给我们的启发，鼓励自主探究得出结论：
思路：就是每次都取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法，其实质是不断把函数零点所在的区间逐步缩小，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值。
二、从特殊到一般，引出二分法的概念及用二分法求方程近似解的步骤
问题3：有了上面的思路后，让同学们按上述方法求函数在区间(2，3)内的零点(精确度为0.01)。
建议学生借助计算器完成
将上述方法推广到任意其它函数，引出二分法概念：
对于在区间[a，b]上连续不断、且·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）。
让学生简述上述实例中求函数零点过程，引导学生总结归纳出给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：
1． 确定初始区间[a，b]，验证·，给定精确度；
2． 求区间（a，b）的中点；
3． 计算；
（1） 若，则函数的零点；
（2） 若·<0，则令b＝（此时零点（a，））；
（3） 若·<0，则令a＝（此时零点（，b））；
４．判断是否达到精确度，即若|a－b|<，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2～4步骤。
三、实践探究，加深对用二分法求方程近似解的理解
例1：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。
引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值
四、理解函数零点的意义，明确二分法求方程近似解的适用范围
问题4：下列函数图像与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是______。（追问）为什么？
引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义通过学生口答，并尝试用数学语言表达，教师归纳总结
五、再创情境，创新应用
提出问题5：
2000～2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右。按照这个增长速度，到哪一年我国年国内生产总值约为2000年的2倍？
让学生独立思考后，交流、讨论，教师分析
六、练习、交流、反馈、巩固
课堂练习：课本P100页练习1、2
教师、学生相互交流以巩固本节课的学习
七、归纳整理，整体认识
由学生分小组进行归纳，老师补充以下几点：
1、二分法的定义；
2、用二分法求方程的近似解，其步骤如何（流程图）；
3、二分法求方程的近似解的适用范围；
4、二分法中的近似思想、逼近思想、算法思想。
八、课后作业与课外探究
1、 教材P102习题3．1第3~6题；
2、 借助于计算机或计算器，用二分法求的近似值（精确到0.01）；
3、利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料；
4、尝试对二分法进行编程，用计算机来求方程的近似解。
课题： $3.1.2用二分法求方程的近似解(第2课时)
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与技能：掌握二分法的适用条件；用类比的方法让学生感受二分查找的过程；二分法与二分查找的区别与联系；二分的思想在生活中的应用，提高学生类比、转化、应用的能力，进一步体验近似的思想、逼近的思想和算法的思想。
过程和方法：通过自学、查找资料，在老师的引导下积极探究知识的形成过程，根据对已知知识的理解，通过知识间存在的逻辑联系，掌握获得未知规律的方法，并能学以致用，从而培养探究精神、数学思维能力和提出问题的能力。
情感态度和价值观：通过探究学习，逐渐形成主动与他人合作的精神，具有将自己的见解与他人交流的愿望，敢于坚持正确的观点，勇于修正错误，具有团队精神。
教学重点与难点：
重点：二分法进行近似计算；二分思想的应用。
难点：二分思想的探究、理解。
教学环境：
在网络教室，学生每人一台电脑。
教学过程：
设计环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境，引出课题 提出问题1：早在1247年我国古代就有秦九韶法求方程的近似解，请大家利用网络查找它，并说说你对古人用二分法求方程的近似解有怎样的感受？
学生发言结束，教师鼓励并发言：这节课要在上节基础上对二分法这种算法的本质进一步揭示，并提炼出二分的思想，在实际生活中加以应用。写出课题：《二分法及其应用》。 学生积极查找：秦九韶约在(南宁时代)发现了一种高次方程根的近似计算法，我们称之为秦九韶法。此法在外国叫霍而耐()法，霍而耐是英国数学家，他1819年才发现这个方法，迟于我国500年。
学生总结、讨论、交流，代表发言。（1）算法的局限性：由于此法计算程序冗长，不便于精确度要求较高的运算。（2）我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献．
通过网络资源来传承古今中外先进的数学文化，介绍数学的发展，体现科学的进步，使学生逐步认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养，这是新教材的一个特色。本章在“阅读与思考”栏目专门介绍了方程求解在中外历史上的发展情况，这不仅给学生认识方程的解提供了更广阔的空间，同时还让学生了解到古今中外不少数学家在方程求解中所取得的成就，了解数学史。要求学生说感受，为了培养学生组织语言能力，条理清楚的口头表达能力。
二、互动探究，新课教学 利用多媒体在屏幕上打出学习方法和学习提示。学习方法：自主探究，互动学习。学习提示（即提出问题2）：二分法的适用条件？解释理由；二分查找的步骤及应用？两者的区别与联系？因为没有教材，教师提供材料让学生辨析正误，而后完成学习目标。二分法可以用在有序数的排列上。也就是说比如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这个数的排列,如果你想查找8这个数字。可以如下进行：
第1次查找,因为=5．5，所以找到了5；第2次:发现5比8要小,则在5的右边进行第2次查找,因为.这时发现找到的数字正好是8.找到了则结束查找,如果没找到则判断第二次找到的数字是比8大,还是比8小,大则在找到的数左边进行第3次的查找,小则在找到的数的右边进行……培养学生自主辨析的能力，引导学生从定义出发。教师及时鼓励并补充：当给定的对象不连续时常采用二分查找(又称折半查找)，结合材料让学生领悟：它的算法思想是对一有序表中的元素，从初始的查找区间开始，每经过一次与当前查找区间的中点位置上的结点关键字进行比较，若相等，则查找成功，否则，当前查找区间的缩小一半，按k值大小在某半个区间内重复相同的步骤进行查找，直到查找成功或失败为止。 学生四人为一学习小组,先阅读,根据提示,回答问题,可以互相讨论分析，由一人做小结，记录本组同学的观点、看法以及学习中遇到的困惑、疑难。学习完毕，将推选一组上台做中心发言，充当小老师的角色，阐述本组对概念的理解和观点，其他各组可以做补充发言，也可就其不懂之处提出问题，要求帮助解答，从而达到自主探究、互动学习的目的。学生分组自学，热烈讨论，记录，上台发言：⑴数学中的二分法定义是对于连续区间[]而言的；⑵补充发言：二分法求函数的近似零点都是指变号零点；⑶体验二分查找的适用条件和步骤。学生听完老师对二分查找方法的介绍，又可以总结出学习提示中的结论。得到：⑴两者都是算法，体现的思想一样，都是一分为二，通过不断缩小范围来实现，这种思想就形象地理解为二分的思想。⑵区别在于前者适合连续区间，后者是在离散的情况下使用的。 通过学生自主探究概念条件，教学过程就循着一条明确的认知线索，从已知到未知，层层设疑，步步深入，在一个接踵而至的问题中刨根究底，紧扣人心地层层比较、分析、综合、判断、推理这一系列有序的思维活动之后才逐步揭开真相，变传统的面向“结论”的传授式教学为面向“过程”的探究式教学，这是现代教育观念所倡导的。分组讨论，发表见解，引发争论，进行批判性思考，从而掌握获取规律的方法，并能简单运用解决实际问题。整个过程学习共同体成员间的互动、交流，即合作学习，凭借自己的主动学习、自主学习、亲身体验完成从识别目标到达到目标的全过程。教师从信息提供者转变为“教练”和学生的“学习伙伴”即教师自己也是一个学习者。在此过程中培养了学生多种能力，如自学能力的提高，主要提高其阅读、归纳、讲述的能力。自学能力是新时代对高素质人才的要求，更是一个人实现终身教育、终身发展的要求；学以致用、理论联系实际能力，运用数学思想解决实际问题，在激烈的答辩过程中，思想的火花不断闪烁出智慧的光芒；通过同龄人的相互学习和答辩的协作，增强了同学的集体荣誉感，培养思辩的能力以及团队合作精神。
三、规律应用，自编习题 提出问题3：我们学习了二分法，二分查找算法的解法程序框图，学以致用是我们学习的真正目的，我们能用它们来解决实际问题？请大家编写习题给本组同学解并交流。教师引导：编题要用学过的知识对现实生活有理论性指导，符合实际操作。（说明：若学生编题的水平确实有限，教师可把事先设计好的题目呈现出来）教师不失时机地进行赏识教育。要求学生讲出解决题3的方案并利用手头的计算器或计算机计算数据。（如果时间不允许，题3由学生分析思路，带回去完成。） 学生合作网络上交流。一组学生编题1：（猜数字游戏）主持人手上有个数字78元，给台下的观众猜，限制范围在1元至100元。问题：如何猜最合理？其他组学生：（二分查找法）查找区间缩小一半。别组学生评价：好。不同组学生：与现实生活不合。……学生抢着供题2：（分层要求）用二分法求的精确值（精确到0.01）。借助于计算器。类比二分法求方程近似解的方法得出思路。设=，则x1∈（1，2） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因为|所以我们可以将x0=1.44作为的近似值. 鼓励学生出题，把课堂作为学生展示自己思维、才华的舞台，允许他们犯错误。学生在民主、平和、愉悦的氛围中踊跃发言，课堂气氛估计会热烈、活跃，形成学习的小高潮。选择三个有代表性的题目，旨在：题1用二分查找法、题2用二分法解决实际问题，说明算法应用的广泛性；题3目的是突出本章主要数学方法--二分法在求近似值中的应用这个重点，强调重要方法的再现，培养学生知识正迁移能力及灵活应用知识和方法的能力。建构主义学习理论认为：“合作”应发生在整个学习过程的始终。通过学生自学，根据对已知知识的理解，通过知识间内在的逻辑联系，经过收集信息资料和编题的深思酝酿，实现知识经验的有效“同化”和“顺应”，完善了知识的“再创造”；提出设想，进行推理演绎，分组讨论，发表见解，引发争论，进行批判性思考，从而掌握获取规律的方法，并能简单运用达到解决实际问题的目的。进行分层教学，体现新课标的“以人为本”的设计新理念，考虑学生的能力和素质，实现个人的需要，使不同知识水平、思维方式和思维习惯的差异，提供新颖，别致的场景和刺激材料，区别对待，分层要求，体现尊重个性，尊重差异的后现代主义教育思想。
四、收获体会、小组评价 知识层面：二分法和二分查找的区别与联系；二分的思想在求近似值以及实际生活中的应用。方法层面：自主学习。情感层面：合作、负责精神。 （1）学生学会了如何在网络环境下进行学习的方法。（2）让学生客观地自我评价和小组评价学习结果：从主动意识、学习兴趣、负责精神、克服障碍、目标完成、自我反思等方面进行综合评价。 组织学生反思、交流体会、课堂评价，为学生提供更多的学习机会；为学生树立合适的学习榜样；对学生的学习进步给予适当的归因反馈，有利于增强学生的自我效能感，提高自主探究学习的能力。
五、布置任务 网络环境下继续学习编题、讨论同学们提出的问题，并以此作为研究性小课题。。 继续编题、讨论，自主复习和拓展。 （1）巩固知识与技能。（2）获得终身学习的习惯。
课题：$3.2.1几类不同增长的函数模型（第1课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与能力：能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，并据此对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解它们的增长差异。
过程与方法：通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图象分析问题和解决问题；通过对几种函数模型的增长情况的分析，初步体会它们的差异性。收集一些实际生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用，从而培养学习数学的兴趣。
情感与态度：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。
教学重难点：
重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
环节 教学内容设计 师生活动
创设情境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 师：[展示兔子图片]问：同学们感觉兔子可爱吗？可是兔子曾让澳大利亚伤透了脑筋，请看材料。[展示材料]。一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。生:感知指数函数变化剧烈。
教学过程：
环节 教学内容设计 师生活动
引入课题 板书节名：几类不同增长的函数模型 师：在现实生活中我们可以找到很多可有函数模型描述其增长的现象。当然不同的函数模型其增长也不同，本节课我们就结合实例来探究几类不同函数的增长规律。
引导探究 例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？ 生：阅读题目，理解题意，思考探究问题。师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述。三种方案每天回报数各是多少？师生：建立函数模型师：要求学生用计算器完成表格，引导学生体会表格中的数据变化，尤其是回报3的数据变化。感知“指数爆炸”并板书。生：填写并观察表格，获取信息，体会三种函数数量上的增长差异，说出自己的发现，并与同学交流。第二次感知“指数爆炸”。师：要求学生用表中数据作图。师：引导学生利用函数图像和数据分析三种方案的不同变化趋势[板书]。生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据。师：计算累计增长量。引导学生观察数据变化。生：第三次感知指数爆炸。生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断。师：展示结论。
深入探究 例2.经过科学的选择和不懈的努力，你的投资终于给你带来了爆炸式的回报，现在你拥有了自己的公司，为了能达到1000万元利润的目标,你的助手为你制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,,其中哪个模型能符合公司的要求 问题1：本例涉及了哪几类函数模型？符合公司要求的模型有什么条件问题2：请用合适的办法比较三个模型的增长差异。问题3：通过比较你认为哪个模型符合公司要求？你的同桌或邻桌同意你的看法吗？问题4：作为公司老总的你对助手提供的几种奖励模型你满意吗？你能否也制定一个符合上述条件的奖励模型？ 师：适当小结一次函数与指数函数的增长差异，过渡例2。师：引导学生分析三种函数的不同增长情况，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长差异。生：进一步体会函数模型的广泛应用。生：用列表与作图法比较师：补充板书：对数增长师：引导学生关注约束条件并把约束条件转化为数学模型（图线）。生：分析数据特点与作用判定每个奖励模型是否符合要求。作图佐证。生：在师的引导下写出解题过程。生：思考完成。师：根据学生的设计作图验证。
回顾反思总结提高 本节课你有哪些收获或体会？1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。2、选择确定模型→利用数据表格、函数图像讨论模型→分析讨论模型→体会直线上升、指数爆炸、对数增长。对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律。 生：自由发表自己的看法。师：展示归纳。
布置作业 1、四个变量、、、随x的变化的数据如下表: x051015202530y151305051130200531304505y25525125625312515625y35305580105130155y452.3111.431.1411.0461.0151.005关于x呈直线型函数变化的变量是（ ）呈指数型函数变化("指数爆炸")的变量是( )。2、P110 T23、在实际生活与生产中寻找体现函数模型的例子； 师：展示作业，视学生的实际布置作业。
课题：$3.2.1 几类不同增长的函数模型（第2课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标
1、借助信息技术，利用函数图象和数据表格，比较指数函数，对数函数以及幂函数的增长差异。
2、通过具体例子比较得到一般性的结论，体会从特殊到一般的思想。
教学重点难点
1、教学重点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
2、教学难点：比较指函数和幂函数的增长差异。
教学方法
探究式教学
教学用具
多媒体、计算器
教学过程：
问题情景 设计意图 教师活动 学生活动
（1）你能借助计算器或计算机，列表在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x，y=x2和y=log2x在（0，4）内的图象吗？ 观察三个函数的图象，判断三者的增长差异. 组织学生列表、画图并探究三个函数的图象的共同点和不同点. 列表在同一平面直角坐标系内作出三个函数在（0，4）内的图象并观察，探究三个函数的增长的差异.
（2）你能发现y=2x与y=x2的图象的交点吗？ 由二分法确定两曲线的交点，从而确定分界点. 让学生探究y=2x与y=x2的交点位置. 思考如何确定y=2x与y=x2的交点，并回答不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x 的解集.
（3）若将（0，4）范围扩大y=2x与y=x2的图象在（0，8 ]和（0，80）的图象又是怎样的呢？ 在大范围内总结出y=2x与y=x2的图像的变化趋势，找出它们增大差异. 组织学生在（0，8 ）内列表作图、探究它们的增长差异. 借助计算器或计算机分别在（0，8 ]，（0，80 ]内作出y=2x与y=x2的图像并探究出增长速度的差异。
（4）类似地在大范围内你能研究出y=2x与y=log2x的图像的增长情况吗？ 通过判断y=2x与y=log2x图象的增长差异，可判断出y=2x，y=x2与y=log2x的图象的增长差异. 组织学生依据前面的比较，作出y=2x与y=log2x的图象并比较. 依照前面列表，作出y=2x与y=log2x的图象，探究它们的增长差异.
（5）类似地你能研究出y=x3 y=3x与y=log3x的图像的增长情况吗？ 判断出y=3x，y=x3与y=log3x的图象的增长差异. 判断出y=3x，y=x3与y=log3x的图象的增长差异.
（6）你能根据y=2x，y=x2与y=log2x；y=3x，y=x3与y=log3x的增长差异得到y=ax(a＞1),y=xn(n＞0)与y=logax(a＞1)的增长差异吗？ 由具体实例推广得到一般性的结论对y=ax(a＞1),y=xn(n＞0)和y=logax(a＞1)作出比较. 组织学生思考推广到一般情况进行比较. 联想函数的性质及上述得到的结论总结一般性结论.
（7）你能用同样的方法讨论y=ax(0＜a＜1) y=xn(n＜0)y=logax((0＜a＜1)在区间（0，+∞）上的衰减情况吗？ 引导学生进一步思考对函数y=ax，y=xn以及y=logax作横向的比较，有较全面的认知. 帮助同学思考0＜a＜＜1，n＜时，三种函数一般性的结论. 进一步探索思考三种函数的变化趋势对三种函数作全面的比较认知.
小结作业：P113 练习
课题：§3.2.2函数模型的应用实例(第1课时)
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与技能： 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观： 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点：
重点 ： 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点 ： 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
教学过程：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更好的方法？原来孙子提出了大胆的设想。由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手，运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解决实际问题呢？ 师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．生：用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．
组织探究 材料一：一次函数、二次函数的应用举例例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程．探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程．例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：买一只茶壶赠送一只茶杯；按总价的92%付款．某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯（只）付款（元），试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？ 师：引导学生独立思考，完成解答．引导学生分析自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义．生：独立思考，完成解答，并进行讨论、交流、评析．师：本例从现实生产、生活实际出发，要引导学生认识到数学与实际的联系，体会数学的实用价值，享受数学的应用美．生：正确理解题意，认真思考、讨论，交流做法，给出解答．
组织探究 探索：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程． 师：注意提醒学生对于应用题一定要回来到实际问题中作答．师：引导学生认识：数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达．数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等．
例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？探索：本例涉及到哪些数量关系？应用如何选取变量，其取值范围又如何？应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？“总收入最高”的数学含义如何理解？． 师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型．师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解．师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高个2元．生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．
组织探究 例4．教材P117例5．（仿照例3给出例4的解答过程） 生：仿照例3给出例4的解答过程，然后讨论、交流，并进行评析．
探究与发现 根据前面例题的探索研究，总结运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题． 师：引导学生注意在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系．抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制．
巩固与反思 尝试练习：某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．小结与反思：共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
作业与回馈 教材P120习题3.2（A组）第2、3题；
课外活动 设计并解决一个生活中的一次函数或二次函数的应用性问题． 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（第2课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与技能： 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
过程与方法： 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．
情感、态度、价值观 ：体会数学在实际问题中的应用价值．
教学重点：
重点 ：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
难点 ：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．
教学过程：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价． 师：介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法．
组织探究 例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．写出速度关于时间的函数解析式；写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象．探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？ 师：本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例主要应引导学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．生：积极思考，主动参与，认真观察分析所给图象，按问题和探索步骤逐步思考、分析、讨论、解答、交流．师：引导学生对解答过程进行交流、评析，规范解题步骤与方法格式．师：本例注意培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式．
组织探究 例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索：本例中所涉及的数量有哪些？描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？根据表中数据如何确定函数模型？对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？ 师：本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与．生：认真阅读题目，根据老教师引导，完成数学模型的确定，注意计算较繁，可以借助计算器．师：在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．生：利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测．师：引导学生明确利用函数模型对国人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值．通过本例应让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．
组织探究 例3．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据有一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．探索：1）本例给出几种函数模型，如何根据已知数据确定各个模型？ 2）如何对所确定的函数模型进行评价？ 师：注意本例是不同函数类的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型．生：根据已知数据利用待定系数法确定给定的具体函数模型．师：引导学生认识比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度．生：对所确定的函数模型进行适当的评价．
探究与发现 结合例题，研究发现：利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正． 师：引导学生分析例题，进行总结归纳，渗透数学思想方法，培养学生如读图、分析已知数据等诸多方面的能力．
巩固与反思 尝试练习：课本P117练习1、2题；小结与反思：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题年适用的函数模型，借助计算器或计算机的数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程． 师：引导学生注意，用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．
作业与回馈 教材P120习题3.2（A组）T4.T5.T6
课外活动 1．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量，是所经过的时间．1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2）多少年后将会有一半的臭氧消失？2．各有关部门了解你所生活的城市的人口总数，假设人口年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：1）写出人口总数（万人）与年份的函数关系式；2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；3）计算大约多少年以后该城市人口将达到现在的1.5倍；4）如果要使20年后该城市的人口总数不超过现在的1.2倍，年人口增长率应该控制在多少？ 对现实生活中的实际问题动手进行调查、研究，体会函数模型应用的广泛性及其应用价值．
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（第3课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学任务分析：
知识与技能 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题．
过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，渗透函数拟合的思想方法．
情感、态度、价值观 体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值．
教学重点与难点：
重点 收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题．
难点 收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题．
教学过程：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目．67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件．这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真．结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要．分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上，根据疾病控制中心每日发布的数据，利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测． 师：以与我们悉悉相关的关系国计民生的实际问题引入，激发学生的学习兴趣，燃起学生的求知欲望，并使学生初步认识到数学模型的实际应用及其积极意义．
组织探究 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）身高60708090100110体重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120130140150160170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.051）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． 2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？探索：借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图；观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价．怎样修正确定的函数模型，使其拟合程度更好？利用较为理想的函数模型进行适当的预测判断． 师：本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．应注意引导学生借助计算器或计算机，帮助解决．．生：借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合较好的函数模型．师：引导学生体会函数拟合的思想思想方法．生：尝试利用不同的数据确定不同的函数模型，进行分析评价．师：引导学生对模型进行适当的修正．生：利用所确定的模型进行适当的预测．
组织探究 例2．将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：时间（s）60120180240300温度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32时间（s）360420480540600温度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36描点画出水温随时间变化的图象；建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间（s）的函数模型，并作出其图象，看与描点画出的图象的吻合程度如何．水杯所在的室内温度为18℃，根据所得模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？ 师：引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法．生：仿照例1利用拟合函数解答本例，并进行讨论、交流、评析．
探究与发现 1．2000年悉尼奥运会上第一次列入女子举重的项目，各级别冠军的成绩如下： （单位：kg）级别485358636975>75运动员德拉诺娃杨霞门丁维尔陈晓敏李伟宁乌鲁蒂亚丁美媛国籍保加利亚中国墨西哥中国中国哥伦比亚中国体重47.4852.4656.9262.8266.7473.28103.56抓举82.510095112.5110110135挺举102.5125127.5130132135165总成绩185225222.5242.5242245300试利用这些数据组建模型，描述运动员举重的总成绩对运动员体重的依赖关系．根据模型分析哪些级别上运动员举重的总成绩还有较大的提高潜力．2．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：1234567 行星金星地球火星（ ）木星土星（ ）距离0.71.01.65.210.0他研究行星排列规律后预测在火星与土星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
小结反思 小结与反思：根据例题研究发现，利用函数拟合思想解决实际问题的基本过程为： 师：引导学生结合例题，进一步探索利用函数拟合的思想解决实际问题的方法和基本过程．
布置作业 教材P121习题3.2（B组）第1、2题；
课外活动 1．某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．下表是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量． ．
水位测量记录 （符号//表示水泵启动）时刻(h)水位(cm)09680.929481.849312.959133.878984.988815.908697.018527.938398.97822时刻(h)水位(cm)9.98//10.92//10.95108212.03105012.95102113.8899414.9896515.9094116.8391817.93892时刻(h)水位(cm)86619.9684320.8482222.01//22.96//23.88105924.99103525.911018
收获与体会 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法，请你概括一下运用函数模型解决实际问题的基本步骤．
选择函数模型
画散点图
收集数据
t（h）
（km/h）
25根
50根
100根
指挥部
水库
x （小时)
11
7
-4
6
0
y (摄氏度)
求函数模型
检 验
用函数模型解释实际问题
不符合实际
符合实际
PAGE
１
= =
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
教学目标：
1、知识技能：理解函数（结合已学的函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．
2、情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点、难点
重点：函数零点与方程的根之间的联系，及连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：理解函数零点与方程的根之间的联系，探究发现函数存在零点的判定方法。
教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。
教学过程
一、提出问题
问题1、求下列方程的根：
(1)2x-1=0 (2)x2-2x-3=0
问题2、方程-x３-３x＋５=0的根怎么求？
二、初步探究
问题3、作出下列函数的图象：
（1）y=2x-1 （2）y=x2-2x-3
（3）y=x2-2x+1 （4）y=x2-2x+3
各图象与以上方程的根分别有什么联系？
三、形成概念
归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
定义： 对于函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点(zero point).
练习：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根：
⑴-x2+3x+5=0 ⑵ 2x(x-2)=-3
⑶x2=4x-4 ⑷5x2+2x=3x2+5
四、组织探究：
请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个连续不间断的函数图象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
归纳：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。
说明：这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值。
提问：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)＜0 对吗？
五、尝试练习：
已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 - -126.49
函数在区间[1,6]上的零点至少有 个
六、例题研究
例1:已知函数f(x)=lnx+2x-6
(1)f(x)是否存在零点 若有零点则有几个？
(2)指出函数零点所在的大致区间
发现与探究：利用计算机探究 f(x)=lnx+ax-6(a∈R)的零点个数
七、收获体会：
1.函数的零点与方程的根的关系
2.判断连续不间断的函数零点存在性的方法
3.函数与方程转化思想、数形结合的思想。
八、布置作业：
1、课本P102习题3.1： T1，T2
2、发现与探究
课题： $3.1.2 用二分法求方程的近似解（第一课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标
知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
过程与方法：学生通过观察和实践，能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。
情感、态度、价值观：在学习中体会数形结合的思想、近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想，感受精确与近似的相对统一。
教学重点
重点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。
难点：对二分法求方程近似解的算法理解。
关键：搞清楚用二分法求方程近似解的一般步骤。
教学过程：
一、创设情境，引出问题
问题1：
今年夏天的8号台风“桑美”刮走我县91.3亿，大部分乡镇全部受淹，相信
我们还记忆犹新。那么假如在某台风夜里，某水库闸房到抗台指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，大约有199根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作可以最合理最快的找出故障所在？
引导学生充分思考，鼓励学生讨论、合作，得出问题的解决方法：
问题2：
在上一节课中，我们已经知道，函数在区间(2,3)内有零点。进一步的问题是，如何找出这个零点？
引导学生思考问题1带给我们的启发，鼓励自主探究得出结论：
思路：就是每次都取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法，其实质是不断把函数零点所在的区间逐步缩小，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值。
二、从特殊到一般，引出二分法的概念及用二分法求方程近似解的步骤
问题3：有了上面的思路后，让同学们按上述方法求函数在区间(2，3)内的零点(精确度为0.01)。
建议学生借助计算器完成
将上述方法推广到任意其它函数，引出二分法概念：
对于在区间[a，b]上连续不断、且·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）。
让学生简述上述实例中求函数零点过程，引导学生总结归纳出给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：
1． 确定初始区间[a，b]，验证·，给定精确度；
2． 求区间（a，b）的中点；
3． 计算；
（1） 若，则函数的零点；
（2） 若·<0，则令b＝（此时零点（a，））；
（3） 若·<0，则令a＝（此时零点（，b））；
４．判断是否达到精确度，即若|a－b|<，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2～4步骤。
三、实践探究，加深对用二分法求方程近似解的理解
例1：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。
引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值
四、理解函数零点的意义，明确二分法求方程近似解的适用范围
问题4：下列函数图像与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是______。（追问）为什么？
引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义通过学生口答，并尝试用数学语言表达，教师归纳总结
五、再创情境，创新应用
提出问题5：
2000～2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右。按照这个增长速度，到哪一年我国年国内生产总值约为2000年的2倍？
让学生独立思考后，交流、讨论，教师分析
六、练习、交流、反馈、巩固
课堂练习：课本P100页练习1、2
教师、学生相互交流以巩固本节课的学习
七、归纳整理，整体认识
由学生分小组进行归纳，老师补充以下几点：
1、二分法的定义；
2、用二分法求方程的近似解，其步骤如何（流程图）；
3、二分法求方程的近似解的适用范围；
4、二分法中的近似思想、逼近思想、算法思想。
八、课后作业与课外探究
1、 教材P102习题3．1第3~6题；
2、 借助于计算机或计算器，用二分法求的近似值（精确到0.01）；
3、利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料；
4、尝试对二分法进行编程，用计算机来求方程的近似解。
课题： $3.1.2用二分法求方程的近似解(第2课时)
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与技能：掌握二分法的适用条件；用类比的方法让学生感受二分查找的过程；二分法与二分查找的区别与联系；二分的思想在生活中的应用，提高学生类比、转化、应用的能力，进一步体验近似的思想、逼近的思想和算法的思想。
过程和方法：通过自学、查找资料，在老师的引导下积极探究知识的形成过程，根据对已知知识的理解，通过知识间存在的逻辑联系，掌握获得未知规律的方法，并能学以致用，从而培养探究精神、数学思维能力和提出问题的能力。
情感态度和价值观：通过探究学习，逐渐形成主动与他人合作的精神，具有将自己的见解与他人交流的愿望，敢于坚持正确的观点，勇于修正错误，具有团队精神。
教学重点与难点：
重点：二分法进行近似计算；二分思想的应用。
难点：二分思想的探究、理解。
教学环境：
在网络教室，学生每人一台电脑。
教学过程：
设计环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境，引出课题 提出问题1：早在1247年我国古代就有秦九韶法求方程的近似解，请大家利用网络查找它，并说说你对古人用二分法求方程的近似解有怎样的感受？
学生发言结束，教师鼓励并发言：这节课要在上节基础上对二分法这种算法的本质进一步揭示，并提炼出二分的思想，在实际生活中加以应用。写出课题：《二分法及其应用》。 学生积极查找：秦九韶约在(南宁时代)发现了一种高次方程根的近似计算法，我们称之为秦九韶法。此法在外国叫霍而耐()法，霍而耐是英国数学家，他1819年才发现这个方法，迟于我国500年。
学生总结、讨论、交流，代表发言。（1）算法的局限性：由于此法计算程序冗长，不便于精确度要求较高的运算。（2）我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献．
通过网络资源来传承古今中外先进的数学文化，介绍数学的发展，体现科学的进步，使学生逐步认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养，这是新教材的一个特色。本章在“阅读与思考”栏目专门介绍了方程求解在中外历史上的发展情况，这不仅给学生认识方程的解提供了更广阔的空间，同时还让学生了解到古今中外不少数学家在方程求解中所取得的成就，了解数学史。要求学生说感受，为了培养学生组织语言能力，条理清楚的口头表达能力。
二、互动探究，新课教学 利用多媒体在屏幕上打出学习方法和学习提示。学习方法：自主探究，互动学习。学习提示（即提出问题2）：二分法的适用条件？解释理由；二分查找的步骤及应用？两者的区别与联系？因为没有教材，教师提供材料让学生辨析正误，而后完成学习目标。二分法可以用在有序数的排列上。也就是说比如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这个数的排列,如果你想查找8这个数字。可以如下进行：
第1次查找,因为=5．5，所以找到了5；第2次:发现5比8要小,则在5的右边进行第2次查找,因为.这时发现找到的数字正好是8.找到了则结束查找,如果没找到则判断第二次找到的数字是比8大,还是比8小,大则在找到的数左边进行第3次的查找,小则在找到的数的右边进行……培养学生自主辨析的能力，引导学生从定义出发。教师及时鼓励并补充：当给定的对象不连续时常采用二分查找(又称折半查找)，结合材料让学生领悟：它的算法思想是对一有序表中的元素，从初始的查找区间开始，每经过一次与当前查找区间的中点位置上的结点关键字进行比较，若相等，则查找成功，否则，当前查找区间的缩小一半，按k值大小在某半个区间内重复相同的步骤进行查找，直到查找成功或失败为止。 学生四人为一学习小组,先阅读,根据提示,回答问题,可以互相讨论分析，由一人做小结，记录本组同学的观点、看法以及学习中遇到的困惑、疑难。学习完毕，将推选一组上台做中心发言，充当小老师的角色，阐述本组对概念的理解和观点，其他各组可以做补充发言，也可就其不懂之处提出问题，要求帮助解答，从而达到自主探究、互动学习的目的。学生分组自学，热烈讨论，记录，上台发言：⑴数学中的二分法定义是对于连续区间[]而言的；⑵补充发言：二分法求函数的近似零点都是指变号零点；⑶体验二分查找的适用条件和步骤。学生听完老师对二分查找方法的介绍，又可以总结出学习提示中的结论。得到：⑴两者都是算法，体现的思想一样，都是一分为二，通过不断缩小范围来实现，这种思想就形象地理解为二分的思想。⑵区别在于前者适合连续区间，后者是在离散的情况下使用的。 通过学生自主探究概念条件，教学过程就循着一条明确的认知线索，从已知到未知，层层设疑，步步深入，在一个接踵而至的问题中刨根究底，紧扣人心地层层比较、分析、综合、判断、推理这一系列有序的思维活动之后才逐步揭开真相，变传统的面向“结论”的传授式教学为面向“过程”的探究式教学，这是现代教育观念所倡导的。分组讨论，发表见解，引发争论，进行批判性思考，从而掌握获取规律的方法，并能简单运用解决实际问题。整个过程学习共同体成员间的互动、交流，即合作学习，凭借自己的主动学习、自主学习、亲身体验完成从识别目标到达到目标的全过程。教师从信息提供者转变为“教练”和学生的“学习伙伴”即教师自己也是一个学习者。在此过程中培养了学生多种能力，如自学能力的提高，主要提高其阅读、归纳、讲述的能力。自学能力是新时代对高素质人才的要求，更是一个人实现终身教育、终身发展的要求；学以致用、理论联系实际能力，运用数学思想解决实际问题，在激烈的答辩过程中，思想的火花不断闪烁出智慧的光芒；通过同龄人的相互学习和答辩的协作，增强了同学的集体荣誉感，培养思辩的能力以及团队合作精神。
三、规律应用，自编习题 提出问题3：我们学习了二分法，二分查找算法的解法程序框图，学以致用是我们学习的真正目的，我们能用它们来解决实际问题？请大家编写习题给本组同学解并交流。教师引导：编题要用学过的知识对现实生活有理论性指导，符合实际操作。（说明：若学生编题的水平确实有限，教师可把事先设计好的题目呈现出来）教师不失时机地进行赏识教育。要求学生讲出解决题3的方案并利用手头的计算器或计算机计算数据。（如果时间不允许，题3由学生分析思路，带回去完成。） 学生合作网络上交流。一组学生编题1：（猜数字游戏）主持人手上有个数字78元，给台下的观众猜，限制范围在1元至100元。问题：如何猜最合理？其他组学生：（二分查找法）查找区间缩小一半。别组学生评价：好。不同组学生：与现实生活不合。……学生抢着供题2：（分层要求）用二分法求的精确值（精确到0.01）。借助于计算器。类比二分法求方程近似解的方法得出思路。设=，则x1∈（1，2） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因为|所以我们可以将x0=1.44作为的近似值. 鼓励学生出题，把课堂作为学生展示自己思维、才华的舞台，允许他们犯错误。学生在民主、平和、愉悦的氛围中踊跃发言，课堂气氛估计会热烈、活跃，形成学习的小高潮。选择三个有代表性的题目，旨在：题1用二分查找法、题2用二分法解决实际问题，说明算法应用的广泛性；题3目的是突出本章主要数学方法--二分法在求近似值中的应用这个重点，强调重要方法的再现，培养学生知识正迁移能力及灵活应用知识和方法的能力。建构主义学习理论认为：“合作”应发生在整个学习过程的始终。通过学生自学，根据对已知知识的理解，通过知识间内在的逻辑联系，经过收集信息资料和编题的深思酝酿，实现知识经验的有效“同化”和“顺应”，完善了知识的“再创造”；提出设想，进行推理演绎，分组讨论，发表见解，引发争论，进行批判性思考，从而掌握获取规律的方法，并能简单运用达到解决实际问题的目的。进行分层教学，体现新课标的“以人为本”的设计新理念，考虑学生的能力和素质，实现个人的需要，使不同知识水平、思维方式和思维习惯的差异，提供新颖，别致的场景和刺激材料，区别对待，分层要求，体现尊重个性，尊重差异的后现代主义教育思想。
四、收获体会、小组评价 知识层面：二分法和二分查找的区别与联系；二分的思想在求近似值以及实际生活中的应用。方法层面：自主学习。情感层面：合作、负责精神。 （1）学生学会了如何在网络环境下进行学习的方法。（2）让学生客观地自我评价和小组评价学习结果：从主动意识、学习兴趣、负责精神、克服障碍、目标完成、自我反思等方面进行综合评价。 组织学生反思、交流体会、课堂评价，为学生提供更多的学习机会；为学生树立合适的学习榜样；对学生的学习进步给予适当的归因反馈，有利于增强学生的自我效能感，提高自主探究学习的能力。
五、布置任务 网络环境下继续学习编题、讨论同学们提出的问题，并以此作为研究性小课题。。 继续编题、讨论，自主复习和拓展。 （1）巩固知识与技能。（2）获得终身学习的习惯。
课题：$3.2.1几类不同增长的函数模型（第1课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与能力：能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，并据此对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解它们的增长差异。
过程与方法：通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图象分析问题和解决问题；通过对几种函数模型的增长情况的分析，初步体会它们的差异性。收集一些实际生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用，从而培养学习数学的兴趣。
情感与态度：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。
教学重难点：
重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
环节 教学内容设计 师生活动
创设情境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 师：[展示兔子图片]问：同学们感觉兔子可爱吗？可是兔子曾让澳大利亚伤透了脑筋，请看材料。[展示材料]。一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。生:感知指数函数变化剧烈。
教学过程：
环节 教学内容设计 师生活动
引入课题 板书节名：几类不同增长的函数模型 师：在现实生活中我们可以找到很多可有函数模型描述其增长的现象。当然不同的函数模型其增长也不同，本节课我们就结合实例来探究几类不同函数的增长规律。
引导探究 例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？ 生：阅读题目，理解题意，思考探究问题。师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述。三种方案每天回报数各是多少？师生：建立函数模型师：要求学生用计算器完成表格，引导学生体会表格中的数据变化，尤其是回报3的数据变化。感知“指数爆炸”并板书。生：填写并观察表格，获取信息，体会三种函数数量上的增长差异，说出自己的发现，并与同学交流。第二次感知“指数爆炸”。师：要求学生用表中数据作图。师：引导学生利用函数图像和数据分析三种方案的不同变化趋势[板书]。生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据。师：计算累计增长量。引导学生观察数据变化。生：第三次感知指数爆炸。生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断。师：展示结论。
深入探究 例2.经过科学的选择和不懈的努力，你的投资终于给你带来了爆炸式的回报，现在你拥有了自己的公司，为了能达到1000万元利润的目标,你的助手为你制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,,其中哪个模型能符合公司的要求 问题1：本例涉及了哪几类函数模型？符合公司要求的模型有什么条件问题2：请用合适的办法比较三个模型的增长差异。问题3：通过比较你认为哪个模型符合公司要求？你的同桌或邻桌同意你的看法吗？问题4：作为公司老总的你对助手提供的几种奖励模型你满意吗？你能否也制定一个符合上述条件的奖励模型？ 师：适当小结一次函数与指数函数的增长差异，过渡例2。师：引导学生分析三种函数的不同增长情况，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长差异。生：进一步体会函数模型的广泛应用。生：用列表与作图法比较师：补充板书：对数增长师：引导学生关注约束条件并把约束条件转化为数学模型（图线）。生：分析数据特点与作用判定每个奖励模型是否符合要求。作图佐证。生：在师的引导下写出解题过程。生：思考完成。师：根据学生的设计作图验证。
回顾反思总结提高 本节课你有哪些收获或体会？1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。2、选择确定模型→利用数据表格、函数图像讨论模型→分析讨论模型→体会直线上升、指数爆炸、对数增长。对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律。 生：自由发表自己的看法。师：展示归纳。
布置作业 1、四个变量、、、随x的变化的数据如下表: x051015202530y151305051130200531304505y25525125625312515625y35305580105130155y452.3111.431.1411.0461.0151.005关于x呈直线型函数变化的变量是（ ）呈指数型函数变化("指数爆炸")的变量是( )。2、P110 T23、在实际生活与生产中寻找体现函数模型的例子； 师：展示作业，视学生的实际布置作业。
课题：$3.2.1 几类不同增长的函数模型（第2课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标
1、借助信息技术，利用函数图象和数据表格，比较指数函数，对数函数以及幂函数的增长差异。
2、通过具体例子比较得到一般性的结论，体会从特殊到一般的思想。
教学重点难点
1、教学重点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
2、教学难点：比较指函数和幂函数的增长差异。
教学方法
探究式教学
教学用具
多媒体、计算器
教学过程：
问题情景 设计意图 教师活动 学生活动
（1）你能借助计算器或计算机，列表在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x，y=x2和y=log2x在（0，4）内的图象吗？ 观察三个函数的图象，判断三者的增长差异. 组织学生列表、画图并探究三个函数的图象的共同点和不同点. 列表在同一平面直角坐标系内作出三个函数在（0，4）内的图象并观察，探究三个函数的增长的差异.
（2）你能发现y=2x与y=x2的图象的交点吗？ 由二分法确定两曲线的交点，从而确定分界点. 让学生探究y=2x与y=x2的交点位置. 思考如何确定y=2x与y=x2的交点，并回答不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x 的解集.
（3）若将（0，4）范围扩大y=2x与y=x2的图象在（0，8 ]和（0，80）的图象又是怎样的呢？ 在大范围内总结出y=2x与y=x2的图像的变化趋势，找出它们增大差异. 组织学生在（0，8 ）内列表作图、探究它们的增长差异. 借助计算器或计算机分别在（0，8 ]，（0，80 ]内作出y=2x与y=x2的图像并探究出增长速度的差异。
（4）类似地在大范围内你能研究出y=2x与y=log2x的图像的增长情况吗？ 通过判断y=2x与y=log2x图象的增长差异，可判断出y=2x，y=x2与y=log2x的图象的增长差异. 组织学生依据前面的比较，作出y=2x与y=log2x的图象并比较. 依照前面列表，作出y=2x与y=log2x的图象，探究它们的增长差异.
（5）类似地你能研究出y=x3 y=3x与y=log3x的图像的增长情况吗？ 判断出y=3x，y=x3与y=log3x的图象的增长差异. 判断出y=3x，y=x3与y=log3x的图象的增长差异.
（6）你能根据y=2x，y=x2与y=log2x；y=3x，y=x3与y=log3x的增长差异得到y=ax(a＞1),y=xn(n＞0)与y=logax(a＞1)的增长差异吗？ 由具体实例推广得到一般性的结论对y=ax(a＞1),y=xn(n＞0)和y=logax(a＞1)作出比较. 组织学生思考推广到一般情况进行比较. 联想函数的性质及上述得到的结论总结一般性结论.
（7）你能用同样的方法讨论y=ax(0＜a＜1) y=xn(n＜0)y=logax((0＜a＜1)在区间（0，+∞）上的衰减情况吗？ 引导学生进一步思考对函数y=ax，y=xn以及y=logax作横向的比较，有较全面的认知. 帮助同学思考0＜a＜＜1，n＜时，三种函数一般性的结论. 进一步探索思考三种函数的变化趋势对三种函数作全面的比较认知.
小结作业：P113 练习
课题：§3.2.2函数模型的应用实例(第1课时)
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与技能： 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观： 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点：
重点 ： 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点 ： 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
教学过程：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更好的方法？原来孙子提出了大胆的设想。由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手，运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解决实际问题呢？ 师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．生：用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．
组织探究 材料一：一次函数、二次函数的应用举例例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程．探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程．例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：买一只茶壶赠送一只茶杯；按总价的92%付款．某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯（只）付款（元），试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？ 师：引导学生独立思考，完成解答．引导学生分析自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义．生：独立思考，完成解答，并进行讨论、交流、评析．师：本例从现实生产、生活实际出发，要引导学生认识到数学与实际的联系，体会数学的实用价值，享受数学的应用美．生：正确理解题意，认真思考、讨论，交流做法，给出解答．
组织探究 探索：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程． 师：注意提醒学生对于应用题一定要回来到实际问题中作答．师：引导学生认识：数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达．数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等．
例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？探索：本例涉及到哪些数量关系？应用如何选取变量，其取值范围又如何？应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？“总收入最高”的数学含义如何理解？． 师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型．师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解．师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高个2元．生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．
组织探究 例4．教材P117例5．（仿照例3给出例4的解答过程） 生：仿照例3给出例4的解答过程，然后讨论、交流，并进行评析．
探究与发现 根据前面例题的探索研究，总结运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题． 师：引导学生注意在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系．抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制．
巩固与反思 尝试练习：某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．小结与反思：共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
作业与回馈 教材P120习题3.2（A组）第2、3题；
课外活动 设计并解决一个生活中的一次函数或二次函数的应用性问题． 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（第2课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学目标：
知识与技能： 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
过程与方法： 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．
情感、态度、价值观 ：体会数学在实际问题中的应用价值．
教学重点：
重点 ：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
难点 ：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．
教学过程：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价． 师：介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法．
组织探究 例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．写出速度关于时间的函数解析式；写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象．探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？ 师：本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例主要应引导学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．生：积极思考，主动参与，认真观察分析所给图象，按问题和探索步骤逐步思考、分析、讨论、解答、交流．师：引导学生对解答过程进行交流、评析，规范解题步骤与方法格式．师：本例注意培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式．
组织探究 例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索：本例中所涉及的数量有哪些？描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？根据表中数据如何确定函数模型？对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？ 师：本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与．生：认真阅读题目，根据老教师引导，完成数学模型的确定，注意计算较繁，可以借助计算器．师：在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．生：利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测．师：引导学生明确利用函数模型对国人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值．通过本例应让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．
组织探究 例3．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据有一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．探索：1）本例给出几种函数模型，如何根据已知数据确定各个模型？ 2）如何对所确定的函数模型进行评价？ 师：注意本例是不同函数类的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型．生：根据已知数据利用待定系数法确定给定的具体函数模型．师：引导学生认识比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度．生：对所确定的函数模型进行适当的评价．
探究与发现 结合例题，研究发现：利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正． 师：引导学生分析例题，进行总结归纳，渗透数学思想方法，培养学生如读图、分析已知数据等诸多方面的能力．
巩固与反思 尝试练习：课本P117练习1、2题；小结与反思：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题年适用的函数模型，借助计算器或计算机的数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程． 师：引导学生注意，用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．
作业与回馈 教材P120习题3.2（A组）T4.T5.T6
课外活动 1．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量，是所经过的时间．1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2）多少年后将会有一半的臭氧消失？2．各有关部门了解你所生活的城市的人口总数，假设人口年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：1）写出人口总数（万人）与年份的函数关系式；2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；3）计算大约多少年以后该城市人口将达到现在的1.5倍；4）如果要使20年后该城市的人口总数不超过现在的1.2倍，年人口增长率应该控制在多少？ 对现实生活中的实际问题动手进行调查、研究，体会函数模型应用的广泛性及其应用价值．
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（第3课时）
苍南县灵溪第二高级中学 林光来
教学任务分析：
知识与技能 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题．
过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，渗透函数拟合的思想方法．
情感、态度、价值观 体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值．
教学重点与难点：
重点 收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题．
难点 收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题．
教学过程：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目．67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件．这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真．结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要．分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上，根据疾病控制中心每日发布的数据，利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测． 师：以与我们悉悉相关的关系国计民生的实际问题引入，激发学生的学习兴趣，燃起学生的求知欲望，并使学生初步认识到数学模型的实际应用及其积极意义．
组织探究 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）身高60708090100110体重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120130140150160170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.051）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． 2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？探索：借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图；观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价．怎样修正确定的函数模型，使其拟合程度更好？利用较为理想的函数模型进行适当的预测判断． 师：本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．应注意引导学生借助计算器或计算机，帮助解决．．生：借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合较好的函数模型．师：引导学生体会函数拟合的思想思想方法．生：尝试利用不同的数据确定不同的函数模型，进行分析评价．师：引导学生对模型进行适当的修正．生：利用所确定的模型进行适当的预测．
组织探究 例2．将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：时间（s）60120180240300温度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32时间（s）360420480540600温度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36描点画出水温随时间变化的图象；建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间（s）的函数模型，并作出其图象，看与描点画出的图象的吻合程度如何．水杯所在的室内温度为18℃，根据所得模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？ 师：引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法．生：仿照例1利用拟合函数解答本例，并进行讨论、交流、评析．
探究与发现 1．2000年悉尼奥运会上第一次列入女子举重的项目，各级别冠军的成绩如下： （单位：kg）级别485358636975>75运动员德拉诺娃杨霞门丁维尔陈晓敏李伟宁乌鲁蒂亚丁美媛国籍保加利亚中国墨西哥中国中国哥伦比亚中国体重47.4852.4656.9262.8266.7473.28103.56抓举82.510095112.5110110135挺举102.5125127.5130132135165总成绩185225222.5242.5242245300试利用这些数据组建模型，描述运动员举重的总成绩对运动员体重的依赖关系．根据模型分析哪些级别上运动员举重的总成绩还有较大的提高潜力．2．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：1234567 行星金星地球火星（ ）木星土星（ ）距离0.71.01.65.210.0他研究行星排列规律后预测在火星与土星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
小结反思 小结与反思：根据例题研究发现，利用函数拟合思想解决实际问题的基本过程为： 师：引导学生结合例题，进一步探索利用函数拟合的思想解决实际问题的方法和基本过程．
布置作业 教材P121习题3.2（B组）第1、2题；
课外活动 1．某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．下表是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量． ．
水位测量记录 （符号//表示水泵启动）时刻(h)水位(cm)09680.929481.849312.959133.878984.988815.908697.018527.938398.97822时刻(h)水位(cm)9.98//10.92//10.95108212.03105012.95102113.8899414.9896515.9094116.8391817.93892时刻(h)水位(cm)86619.9684320.8482222.01//22.96//23.88105924.99103525.911018
收获与体会 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法，请你概括一下运用函数模型解决实际问题的基本步骤．
选择函数模型
画散点图
收集数据
t（h）
（km/h）
25根
50根
100根
指挥部
水库
x （小时)
11
7
-4
6
0
y (摄氏度)
求函数模型
检 验
用函数模型解释实际问题
不符合实际
符合实际
PAGE
１
= =