苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2 直线的方程【同步精讲教案】（解析版）

第1章 直线与方程
第02讲 直线的方程
课程标准 重难点
1.了解由斜率公式推导直线方程的五种方程形式；2.掌握直线的五种方程；3.会利用直线的五种方程形式解决实际问题 1.不同方程的适用条件2.根据方程解决实际问题
知识点一　直线的点斜式
1.定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
2.说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.
【概念解读】关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
知识点二　直线的两点式
1.直线的两点式方程的定义：已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则＝.为直线的两点式方程，简称为两点式。
2.说明：
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0
【概念解读】要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
知识点三　直线的截距式
1.截距式方程的定义：我们把直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程，由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，方程叫做直线的截距式方程，简称截距式.
2.说明:
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，不过原点
3.【概念解读】直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程.
知识点四　直线的一般式
直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
直线的一般式方程
1.定义：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
3．求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
4．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
考法01 直线的点斜式方程
(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
【跟踪训练】
写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
【方法总结】
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
考法02 直线的两点式
三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
【跟踪训练】
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
【方法总结】
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
考法03 直线的截距式
直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
【跟踪训练】
直线l过点P(，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l的方程为_____________．
【方法总结】
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
考法04 直线的一般式方程
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________.
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.
【即时训练】
直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，
①若l在两坐标轴上的截距相等，求a；
②若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【方法总结】　
(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程注意验根．
题组A 基础过关练
1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若表示两条直线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（ ）
A． B． C． D．
6．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1
C．－ D．
7．已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
8．倾斜角为90°且与点距离为2的直线方程为______．
题组B 能力提升练
1．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
2．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
3．设直线l的方程为．若不经过第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
6．已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．
7．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
8．已知直线l的方程是．
（1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？
（2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？
题组C 培优拔尖练
1．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为　(　　)
A． B．2 C．log26 D．0
4．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（ ）
A． B． C． D．或
5．已知直线l：y＝4x和定点P(6，4)，点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当OMQ的面积最小时点Q的坐标．
6．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
第1章 直线与方程
第02讲 直线的方程解析
课程标准 重难点
1.了解由斜率公式推导直线方程的五种方程形式；2.掌握直线的五种方程；3.会利用直线的五种方程形式解决实际问题 1.不同方程的适用条件2.根据方程解决实际问题
知识点一　直线的点斜式
1.定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
2.说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.
【概念解读】关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
知识点二　直线的两点式
1.直线的两点式方程的定义：已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则＝.为直线的两点式方程，简称为两点式。
2.说明：
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0
【概念解读】要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
知识点三　直线的截距式
1.截距式方程的定义：我们把直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程，由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，方程叫做直线的截距式方程，简称截距式.
2.说明:
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，不过原点
3.【概念解读】直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程.
知识点四　直线的一般式
直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
直线的一般式方程
1.定义：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
3．求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
4．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
考法01 直线的点斜式方程
(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
【答案】(1)x＝－5　(2)y－4＝－(x－3)　(3)2x－y＝0
【解析】　(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
【跟踪训练】
写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．
(2)∵直线的倾斜角为45°，
∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.
(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.
∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.
【方法总结】
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
考法02 直线的两点式
三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
【解析】由两点式，直线AB所在直线方程为：＝，即x＋4y＋1＝0.
同理，直线BC所在直线方程为：
＝，即2x＋y－5＝0.
直线AC所在直线方程为：
＝，即3x－2y＋3＝0.
【跟踪训练】
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
【答案】(1)x＝2　(2)－2
【解析】(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
【方法总结】
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
考法03 直线的截距式
直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
【解析】(1)设直线l的方程为
＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P(，2)，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0
或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，
消去b，得a2－6a＋8＝0，
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
【跟踪训练】
直线l过点P(，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l的方程为_____________．
【答案】3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
【解析】设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P(，2)，所以＋＝1，
即5a2－32a＋48＝0，
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
【方法总结】
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
考法04 直线的一般式方程
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________.
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.
【答案】(1)－　(2)－2
【解析】(1)令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－.
(2)由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
【即时训练】
直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，
①若l在两坐标轴上的截距相等，求a；
②若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解析】①令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝，
∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝，得a＝2或a＝0.
②由①知，在x轴上截距为，在y轴上的截距为a－2，
∵得a<－1或a＝2.
【方法总结】　
(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程注意验根．
题组A 基础过关练
1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．
∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．
故选：D．
2．若表示两条直线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设，
即，
则，解得.故选：B.
3．经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线的方向向量为，直线的斜率，
直线的方程为，即.故选：A.
4．直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】画出直线方程得：
故直线不过第三象限，故选：C
5．直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由变形得：，
由，解得，直线恒过定点.故选：C.
6．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1
C．－ D．
【答案】C
【解析】由直线的两点式可得直线的方程为，即6x－y＋1＝0，
将代入可得在x轴上的截距为.故选：C.
7．已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
【答案】
【解析】由已知得，
代入直线得，
即，
由，解得，
直线必过定点，故答案为:.
8．倾斜角为90°且与点距离为2的直线方程为______．
【答案】或
【解析】所求直线的倾斜角是，
所求直线和直线平行，
与直线距离为2的直线方程为：或，
故答案为：或．
题组B 能力提升练
1．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
【答案】A
【解析】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A.
2．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【解析】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
3．设直线l的方程为．若不经过第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将直线方程化为斜截式方程得，
因为不经过第一象限，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是故选：B
4．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得，直线的斜截式方程为，
若直线不过第二象限，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
5．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，如下图所示，kAP＝＝－2，kAQ＝＝，
则－≥(m＜0)或－≤－2(m＞0)，所以－≤m≤且m≠0．当m＝0时，
直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是－≤m≤．
故答案为：
6．已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．
【答案】或
【解析】由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为，
因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或，
当倾斜角为时,直线为，即为；
当倾斜角为时,直线为，
故答案为：或.
7．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
【解析】
如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)．
设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，
故点B(300，700)．
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，
则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
8．已知直线l的方程是．
（1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？
（2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？
【解析】（1）当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在；
（2）因为直线过原点，所以，
所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线.
题组C 培优拔尖练
1．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由直线，可得与轴，轴分别交于，
则的中点为，即中点坐标为，
设直线的方程为，即，且与轴交于点，
因为直线，及轴围成的三角形面积为6，
可得，即，解得或，
当时，即点，此时直线的方程为，即；
当时，即点，此时，直线的方程为，
综上可得直线的方程为或.
故选：D.
2．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以，故选A.
3．已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为　(　　)
A． B．2 C．log26 D．0
【答案】B
【解析】∵ 直线的方程为
∴直线的斜率为2，在轴上的截距为4，即
∴故选B
4．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】由题可知，直线过点，所以直线在轴上的截距为，
又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在轴上的截距为1或，
则所求直线方程为或．
故选：D.
5．已知直线l：y＝4x和定点P(6，4)，点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当OMQ的面积最小时点Q的坐标．
【答案】(2，8)
【解析】如图，因为点Q在y＝4x上，故可设点Q的坐标为(t，4t)(t>0)，
所以PQ所在的直线方程为y-4＝·(x-6)，
令，可得
所以点M的坐标为，
所以OMQ的面积为S＝
故 10t2－St＋S＝0，
所以＝S2－4×10S≥0，
所以S≥40，即Smin＝40，此时t＝2，4t＝8，
所以当OMQ的面积最小时，点Q的坐标为(2，8)．
故答案为：(2,8)．
6．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【答案】＋＝1.
【解析】设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得，＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
例 4
分层提分
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
例 4
分层提分
7 / 23